第四節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)

第四節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月PowerPoint統(tǒng)計(jì)學(xué)2第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第七章無窮級(jí)數(shù)

第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)7.2

正項(xiàng)級(jí)數(shù)7.3

任意項(xiàng)級(jí)數(shù)7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)7.5

函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)7.6

函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用7.7函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)7.8傅里葉級(jí)數(shù)7.9正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)7.10以2l為周期的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)目錄4第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)

1）理解無窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念及，理解無窮級(jí)數(shù)和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2）熟悉幾何級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)的收斂性。

3）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法，回用根式審斂法。

4）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲定理。

5）了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂和收斂的關(guān)系。

6）了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7）理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。5第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月學(xué)習(xí)的基本要求和預(yù)期目標(biāo)

8）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9）了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的必要條件和充分條件。

10）掌握的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡單函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。

11)了解冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的簡單應(yīng)用。

12）理解付氏級(jí)數(shù)的概念，狄利克雷定理，函數(shù)展開為付氏級(jí)數(shù)的充分條件，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為付氏級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在上的函數(shù)展開為正弦和余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出付氏級(jí)數(shù)和函數(shù)的表達(dá)式。6第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念7.4.4冪級(jí)數(shù)及其收斂性7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)7.4.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂及其判別法7.4.5冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算與和7.4.3一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)7第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4.1函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定義4.1如果ui(x)(i=1，2，···，n，···)

是定義在I上函數(shù)列，則u1(x)+u2(x)

u3(x)

···

un(x)

···稱為定義在I上的函數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，簡稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。例如，幾何級(jí)數(shù)就是定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。例如，幾何級(jí)數(shù)就是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。8第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定義4.2設(shè)x0?I，且收斂，則稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在該點(diǎn)收斂，稱x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)，而所有收斂點(diǎn)的集合稱為收斂域。如果發(fā)散，稱函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在該點(diǎn)發(fā)散，稱x0為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)，而所有發(fā)散點(diǎn)的集合稱為發(fā)散域。在收斂域上,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x),稱s(x)為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)，其定義域就是級(jí)數(shù)的收斂域，并寫成9第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定義4.3函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和記為sn(x),余項(xiàng)記為rn(x)，則在收斂域內(nèi)例4.1求級(jí)數(shù)的收斂域收斂域(-∞,-2)[0,+∞)10第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂及其判別法7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定義4.4設(shè){sn(x)}

是定義在I上函數(shù)列，如果對(duì)于任意的正數(shù)ε>0，總存在正整數(shù)N(僅與ε有關(guān))，使對(duì)于一切n>N，以及I上的一切x，恒有|sn(x)-s(x)|<ε，則稱函數(shù)列{si(x)}

在I上的一致收斂于函數(shù)s(x)。注:函數(shù)在[-1,1]以及區(qū)間(-∞,+∞)上并不一致收斂。例4.2

證明函數(shù)在區(qū)間(-a,a)(0<a<1)上一致收斂于11第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)例4.3

證明級(jí)數(shù)在區(qū)間(-a,a)上一致收斂(0<a<1)，在(-1,1)內(nèi)不一致收斂。定義4.5設(shè){sn(x)}

是級(jí)數(shù)的部分和序列，如果序列{sn(x)}

在I上一致收斂于函數(shù)s(x)，則稱該級(jí)數(shù)在I上一致收斂于函數(shù)s(x)。12第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定理4.1(魏爾斯特拉斯Weierstrass定理)

魏爾斯特拉斯德國數(shù)學(xué)家.1815─1897如果函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

在區(qū)間I上滿足條件：則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

在I上一致收斂。收斂例4.4證明級(jí)數(shù)在區(qū)間(-∞,+∞)上一致收斂。13第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4.3一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定理4.2如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)un(x)在I上連續(xù)，且該級(jí)數(shù)一致收斂于和函數(shù)s(x)，則函數(shù)s(x)在I上也連續(xù)．定理4.3如果級(jí)數(shù)

在區(qū)間I上收斂于和函數(shù)s(x)，每一項(xiàng)具有連續(xù)的可導(dǎo)u'(x)，且

在區(qū)間I上一致收斂,則級(jí)數(shù)在區(qū)間I上的一致收斂和函數(shù)s(x)可微，并且可逐項(xiàng)求導(dǎo)：14第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)其中，a≦x0≦x≦b，并且上式右端級(jí)數(shù)在[a,b]上一致收斂．定理4.4如果級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)un(x)在[a,b]上連續(xù)，且該級(jí)數(shù)一致收斂于和函數(shù)s(x)，則函數(shù)s(x)在[a,b]上可積,且可以逐項(xiàng)求積．15第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)7.4.4冪級(jí)數(shù)及其收斂性定義4.6形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為(x-x0)的冪級(jí)數(shù)；若取x=0，則級(jí)數(shù)收斂。說明至少有一個(gè)收斂點(diǎn)若令t=x-x0，則級(jí)數(shù)形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為x的冪級(jí)數(shù)。16第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定理4.5(阿貝爾Abel定理)

如果冪級(jí)數(shù)

在點(diǎn)x0處收斂,則對(duì)滿足不等式|x|<|x0|的x處冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；如果冪級(jí)數(shù)

在點(diǎn)x0處發(fā)散,則對(duì)滿足不等式|x|>|x0|的x處冪級(jí)數(shù)發(fā)散。阿貝爾挪威數(shù)學(xué)家.1802─182917第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月幾何說明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域說明：存在點(diǎn)x*，使得當(dāng)|x|<|x*|時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)|x|>|x*|時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定義4.7記R=|x*|稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，(-R,R)稱為收斂區(qū)間?？赡艿氖諗坑?yàn)椋篬-R,R]、(-R,R]、[-R,R)、(-R,R)。18第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)注;

若0<<+∞，則

若=0，則R=+∞若=+∞，則R=0定理4.6設(shè)冪級(jí)數(shù)，且an≠0，設(shè)或19第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)舉例例4.5求下列冪級(jí)數(shù)的斂散半徑與收斂域20第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)7.4.4冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及其性質(zhì)記R=min{R1，R2}，則在(-R,R)內(nèi)注：定理只給出了等式右邊級(jí)數(shù)在(-R,R)內(nèi)收斂，但不一定是收斂域。定理4.7設(shè)冪級(jí)數(shù)，的收斂半徑分別是R1和R221第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定理4.8設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R(R>0)，則收斂和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)連續(xù)．如果冪級(jí)數(shù)在x=R(或x=-R)也收斂，則和函數(shù)s(x)在(-R,R](或[-R,R))連續(xù)．定理4.9設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R，則收斂和s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)可導(dǎo)．且可逐項(xiàng)求導(dǎo)：注：逐項(xiàng)求導(dǎo)所得的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑，但在端點(diǎn)的斂散性可能會(huì)發(fā)生改變．22第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與冪級(jí)數(shù)定理4.10設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是R，則收斂和s(x)在區(qū)間(-R,R)內(nèi)可積．且可逐項(xiàng)求積：注：逐項(xiàng)求導(dǎo)所得的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑，但在端點(diǎn)的斂散性