2022-2023學(xué)年陜西省西安重點大學(xué)附中高一（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷

第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年陜西省西安重點大學(xué)附中高一（下）第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知z=2+i，則A.6+2i B.4?2i2.已知等邊三角形ABC的邊長為2，則ABA.2 B.?2 C.?33.設(shè)m、n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則(

)A.若m⊥n，n//α，則m⊥α

B.若m//β，β⊥α，則m⊥α

C.若m⊥β4.從裝有3個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取3個球，那么“至少有2個黑球”的對立事件是(

)A.至少有1個紅球 B.至少有1個黑球 C.至多有1個黑球 D.至多2個紅球5.已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為(

)A.24 B.64 C.6.若數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為2，則2x1?3，2xA.1 B.2 C.4 D.87.在△ABC中，BC=3，ACA.59 B.±59 C.28.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為18，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為(

)A.4322π B.2162π二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）9.下面關(guān)于復(fù)數(shù)的說法，正確的是(

)A.1?i的虛部為1 B.|1?i|=210.在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，下列說法正確的是A.若A為銳角，則b2+c2>a2

B.若A為銳角，則b2+c2<a2

11.某公司為檢測某型號汽車的質(zhì)量問題，需對三個批次生產(chǎn)的該型號汽車進行檢測，三個批次產(chǎn)量分別為100000輛、150000輛和250000輛，公司質(zhì)監(jiān)部門計劃從中抽取500輛進行檢測，則下列說法正確的是(

)A.樣本容量為500

B.采用簡單隨機抽樣比分層隨機抽樣合適

C.應(yīng)采用分層隨機抽樣，三個批次的汽車被抽到的概率不相等

D.應(yīng)采用分層隨機抽樣，三個批次分別抽取100輛、150輛、250輛12.已知圓錐PO(P為圓錐頂點，O為底面圓心)軸截面PAB是邊長為A.圓錐PO的表面積為3π

B.圓錐PO的內(nèi)切球半徑為33

C.圓錐PO的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積最大時，該圓柱的高為32

D.若C為P三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知復(fù)數(shù)z=3?m+(m+14.已知直線l與平面α所成角為30°，若直線m?α，則l與m所成角的最小值為

15.某小區(qū)12戶居民四月份月用水呈(單位：t)分別為：

5.4?13.6?6.8?7.7?16.8?16.為了考察某校各班參加課外小組的人數(shù)，從全校隨機抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為______．四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

某高中為了解全校高一學(xué)生的身高，隨機抽取40個學(xué)生，將學(xué)生的身高分成4組：[150,160)，[160,170)，[170,180)，[18018.(本小題12.0分)

已知向量a=(2,?1)，b=(3,1)，c=(3,19.(本小題12.0分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1?的邊長為2，E(1)求證：EF(2)求異面直線EF20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AC交BD于點O，點E為PB的中點，且PA=PC，P21.(本小題12.0分)

坐位體前屈是中小學(xué)體質(zhì)健康測試項目，主要測試學(xué)生軀干、腰、髖等部位關(guān)節(jié)韌帶和肌肉的伸展性、彈性及身體柔韌性，在對某高中1500名高三年級學(xué)生的坐位體前屈成績的調(diào)查中，采用按學(xué)生性別比例分配的分層隨機抽樣抽取100人，已知這1500名高三年級學(xué)生中男生有900人，且抽取的樣本中男生的平均數(shù)和方差分別為13.2cm和13.36，女生的平均數(shù)和方差分別為15.2cm和17.56．

(1)求抽取的總樣本的平均數(shù)；

(2)試估計高三年級全體學(xué)生的坐位體前屈成績的方差．

參考公式：總體分為2層，分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：n1，x?，s12，n22.(本小題12.0分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為A1B，A1C的中點，D為B1C

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查共軛復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算，屬于基礎(chǔ)題．

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算即可求解．【解答】解：∵z=2+i，

∴

2.【答案】B

【解析】解：AB?BC=|AB||3.【答案】C

【解析】解：A.若m⊥n，n//α，則m⊥α或m?α或m//α，故A錯誤．

B.若m//β，β⊥α，則m⊥α或m?α或m//α，故B錯誤．

C.若m⊥β，n⊥β，n4.【答案】C

【解析】解：由題，由對立事件的定義，“至少有2個黑球”與“至多有1個黑球”對立，

故選：C．

根據(jù)對立事件的定義判斷即可．

本題主要考查對立事件，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】B

【解析】解：∵三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為2正三角形，

∴直觀圖的面積是12×2×2×sin60°=3，

由斜二測畫法中直觀圖和原圖的面積的關(guān)系S直觀圖S原圖6.【答案】D

【解析】【分析】本題考查方差的求法，考查方差的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

利用方差的性質(zhì)直接求解．【解答】解：∵數(shù)據(jù)x1，x2，?，xn的方差為2，

∴2x1?3，2x2?

7.【答案】D

【解析】解：利用正弦定理：ACsinB=BCsinA，

由于BC=3，AC=5，sinA=8.【答案】C

【解析】解：如圖所示，

設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=18×2π3，得r=6．

則圓錐的高h=182?9.【答案】CD【解析】解：對于A，1?i的虛部為?1，故A錯誤，

對于B，|1?i|=12+(?1)2=2，故B錯誤，

對于C，(1?10.【答案】AC【解析】解：對于A：若A為銳角，則cosA=b2+c2?a22bc>0，則b2+c2>a2，故A正確；

對于B：由于A為銳角，則b2+c2>a2，故B錯誤；

對于C：由于11.【答案】AD【解析】【分析】本題考查了簡單隨機抽樣的理解與應(yīng)用，樣本容量的概念以及分層抽樣的運用，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

利用樣本容量的定義判斷選項A，由分層抽樣的定義以及分層抽樣的特點判斷選項BCD．【解答】解：因為抽取500輛進行檢測，所以樣本容量為500，故選項A正確；

因為汽車分為三個型號，故應(yīng)該采用分層抽樣比較合適，故選項B錯誤；

由分層抽樣的定義可知，三個批次的汽車被抽到的概率都是相同的，故選項C錯誤；

設(shè)三種型號的車依次抽取x，y，z輛，

則有x100000=y150000=z250000x+y+z=500，

解得x=100，y=

12.【答案】AB【解析】解：圓錐PO(P為圓錐頂點，O為底面圓心)軸截面PAB是邊長為2的等邊三角形，

對于A，圓錐PO的表面積為：

S=πr2+πrl=π×12+π×1×2=3π，故A正確；

對于B，如圖，圓錐OP的高h=22?12=3，圓錐底面圓半徑r=1，

∴圓錐PO的內(nèi)切球半徑為：

R=rh(h2+r2?r)=13(3+1?1)=33，故B正確；

對于C，如圖，OB=1，PB=2，PO=3，則∠OPB=30°，

設(shè)C13.【答案】3

【解析】【分析】本題主要考查純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．

由題意利用純虛數(shù)的定義，求得m的值．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z=3?m+(m+1)i(i為虛數(shù)單位

14.【答案】30°【解析】【分析】本題主要考查了直線直線與平面所成角的范圍，解題的關(guān)鍵是要知道并且會用最小角定理：直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角．屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)最小角定理可得則l與m所成角最小的角為30°【解答】解：根據(jù)最小角定理：直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角，

則可得則l與m所成角最小的角為30°，

故答案為：30

15.【答案】14.4

【解析】【分析】本題考查百分位數(shù)的求法，百分位數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．

先把數(shù)據(jù)從小到大排列，然后根據(jù)百分位數(shù)的計算公式求解即可．【解答】解：所給數(shù)據(jù)從小到大排列為：

3.5，4.9，5.4，6.8，7.1，7.7，10.5，11.1，13.6，15.2，16.8，20.5，

因為12×75%=9，所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是第9個數(shù)據(jù)和第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

即13.6

16.【答案】10

【解析】【分析】

本題可運用平均數(shù)公式求出平均數(shù)，再運用方差的公式列出方差表達式，再討論樣本數(shù)據(jù)中的最大值的情況，即可解決問題．

本題考查的是平均數(shù)和方差的求法，計算方差的步驟是：①計算數(shù)據(jù)的平均數(shù)；②計算偏差，即每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差；③計算偏差的平方和；④偏差的平方和除以數(shù)據(jù)個數(shù)．

【解答】

解：設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：x1，x2，x3，x4，x5，

平均數(shù)=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7，

方差s2=[(x1?7)2+(x2?7)17.【答案】解：(1)由圖可知[150,160)，[170,180)，[180,190]三組的頻率分別為0.275，0.225，0.05，

所以身高在[160,170)內(nèi)的頻率1?0.275?【解析】本題考查頻率、平均數(shù)、中位數(shù)的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)分析能力，是基礎(chǔ)題．

(1)由圖可知[150,160)，[170,180)，[180,190]三組的頻率分別為18.【答案】解：(1)根據(jù)題意，向量a=(2,?1)，b=(3,1)，則a+λb=(2+3λ,λ?1)，

若a+【解析】(1)根據(jù)題意，求出a+λb的坐標(biāo)，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得關(guān)于λ的方程，解可得答案；

(2)根據(jù)題意，設(shè)要求向量為m，且m=(x,y19.【答案】(1)證明：連接AC，

∵E、F分別為AD1、CD1中點，

∴EF//AC，

又∵EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，

∴EF//平面ABCD．【解析】本題考查線面平行的證明，考查兩異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題．

(1)連接AC，則EF//AC，由此能證明EF//平面ABCD；

(2)20.【答案】(1)證明：∵底面ABCD為正方形，O為AC，BD的中點，(1分)

又∵PA=PC，PB=PD.∴PO⊥AC，【解析】(1)證明PO⊥AC，結(jié)合PO⊥BD，推出PO21.【答案】解：(1)設(shè)在男生、女生中分別抽取m名和n名，則m900=n1500?900=1001500，

解得：m=60，n=40，

記抽取的總樣本的平均數(shù)為ω?，

根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平