第三章晶格動(dòng)力學(xué)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)

第三章晶格動(dòng)力學(xué)和晶體的熱學(xué)性質(zhì)第1頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)一維單原子鏈振動(dòng)3.2.1運(yùn)動(dòng)方程及其解3.2.2格波特性本節(jié)主要內(nèi)容:第2頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)動(dòng)方程

考慮N個(gè)質(zhì)量為m的同種原子組成的一維單原子鏈。設(shè)平衡時(shí)相鄰原子間距為a（即原胞大?。?，在t時(shí)刻第n個(gè)原子偏離其平衡位置的位移為n

。第3頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月為了建立起運(yùn)動(dòng)方程，我們首先要對原子之間的相互作用力做些討論，設(shè)在平衡時(shí)，兩原子的相互作用勢為V(a)，產(chǎn)生相對位移（例如）后勢能發(fā)生變化是V(a+δ)，將它在平衡位置附近做泰勒展開：首項(xiàng)是常數(shù)，可取為能量零點(diǎn)，由于平衡時(shí)勢能取極小值，第二項(xiàng)為零，簡諧近似下，我們只取到第三項(xiàng)，即勢能展開式中的二階項(xiàng)（δ2項(xiàng)），而忽略三階及三階以上的項(xiàng)。第4頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，這只適用于微振動(dòng)，即δ值很小的情況。此時(shí)，恢復(fù)力：β稱為恢復(fù)力常數(shù)相當(dāng)于把相鄰原子間的相互作用力看作是正比于相對位移的彈性恢復(fù)力。振動(dòng)很微弱時(shí)，勢能展開式中忽略掉（r）二次方以上的高次項(xiàng)，只保留到(r)2項(xiàng)---簡諧近似。(忽略掉作用力中非線性項(xiàng)的近似---簡諧近似。)第5頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月如只考慮最近鄰原子間的相互作用，第n個(gè)原子受到的力：于是第n個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程可寫為：

一維原子鏈上的每個(gè)原子，忽略邊界原子的區(qū)別，應(yīng)有同樣的方程，所以它是和原子數(shù)目相同的N個(gè)聯(lián)立的線性齊次方程。第6頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月方程的解：這樣的線性齊次方程應(yīng)有一個(gè)波形式的解：A是振幅，ω是角頻率，q是波數(shù)，λ是波長，naq是第n個(gè)原子的位相因子，將試解代入方程求解。解得——色散關(guān)系Dispersioncurves（利用歐拉公式）第7頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)結(jié)果與n無關(guān)，說明N個(gè)方程都有同樣結(jié)果，即所有原子都同時(shí)以相同的頻率ω和相同的振幅A在振動(dòng)，但不同的原子間有一個(gè)相差，相鄰原子間的相差是。該結(jié)果還表示：只要ω和q滿足上述關(guān)系，試解就是聯(lián)立方程的解。通常把ω和q的關(guān)系稱作色散關(guān)系。解的物理意義：格波原子振動(dòng)以波的方式在晶體中傳播。當(dāng)兩原子相距的整數(shù)倍時(shí)，兩原子具有相同的振幅和位相。第8頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月都是整數(shù)）。如：有：該解表明：晶體中所有原子共同參與的振動(dòng)，以波的形式在整個(gè)晶體中傳播，稱為格波。從形式上看，格波與連續(xù)介質(zhì)彈性波完全類似，但連續(xù)介質(zhì)彈性波中的x

是可以連續(xù)取值的；而在格波中只能取na格點(diǎn)位置這樣的孤立值。第9頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第一布里淵區(qū)里的色散關(guān)系：★分離原子集體振動(dòng)形成的格波與連續(xù)介質(zhì)中的彈性波相比，色散關(guān)系發(fā)生了變化，偏離了線性關(guān)系，而且具有周期性和反射對稱性。

★從解的表達(dá)式中可以看出：把a(bǔ)q改變2π的整數(shù)倍后，所有原子的振動(dòng)實(shí)際上沒有任何區(qū)別，因此有物理意義的q取值范圍可以限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)。在波矢空間第10頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月這種性質(zhì)稱作格波的簡約性。一維單原子鏈的倒格矢：這就避免了某一頻率的格波有很多波長與之對應(yīng)的問題。第11頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

由圖明顯看出兩個(gè)不同波長的格波只表示晶體原子的一種振動(dòng)狀態(tài)，q只需要在第一布里淵區(qū)內(nèi)取值即可，這是與連續(xù)介質(zhì)彈性波的重大區(qū)別。

由白線所代表的波不能給出比黑虛線更多的信息，為了表示這個(gè)運(yùn)動(dòng)，只需要大于2a的波長。第12頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月周期性邊界條件（Born－Karman邊界條件）

上面求解假定原子鏈無限長，這是不現(xiàn)實(shí)的，確定何種邊界條件才既能使運(yùn)動(dòng)方程可解，又能使結(jié)果符合實(shí)際晶體的測量結(jié)果呢？Born－Karman最早利用周期性邊界條件解決了此問題，成為固體理論的一個(gè)典范。所謂周期性邊界條件就是將一有限長度的晶體鏈看成無限長晶體鏈的一個(gè)重復(fù)單元，即：n=任意整數(shù)，但考慮到q值的取值范圍，n取值數(shù)目是有限的：只有布里淵區(qū)內(nèi)的N個(gè)整數(shù)值。第13頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月周期性邊界條件并沒有改變方程解的形式，只是對解提出一定的條件，q只可取N個(gè)不同的值，每個(gè)q對應(yīng)著一個(gè)格波。

引入周期性邊界條件后，波數(shù)q不能任意取值，只能取分立的值。在q軸上，相鄰兩個(gè)q的取值相距，即在q軸上，每一個(gè)q的取值所占的空間為：第14頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月L＝Na為晶體鏈的長度。第一布里淵區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)等于晶體鏈的原胞個(gè)數(shù)，即：晶格振動(dòng)格波的總數(shù)=N·1=晶體鏈的總自由度數(shù)。至此，我們可以有把握的說找到了原子鏈的全部振動(dòng)模。所以，q值的分布密度（單位長度上的模式數(shù)目）：第15頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月一維原子鏈第一布里淵區(qū)內(nèi)的色散關(guān)系：在長波長極限區(qū)，即時(shí)，格波就是彈性波。和彈性波的結(jié)果一致。第16頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月隨著q的增長，ω?cái)?shù)值逐漸偏離線性關(guān)系，變得平緩，在布里淵區(qū)邊界，格波頻率達(dá)到極大值。相速和群速：相速度是單色波單位時(shí)間內(nèi)一定的振動(dòng)位相所傳播的距離。群速度是平均頻率為ω，平均波矢為q的波包的傳播速度，它是合成波能量和動(dòng)量的傳播速度。在的長波極限下：即聲速。第17頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月在布里淵區(qū)邊界處：群速度為零，這是因?yàn)榇藭r(shí)近鄰原子散射的子波與入射波位相相差π，由B原子反射的子波到達(dá)近鄰A原子處時(shí)恰好和A原子反射的子波同位相，對所有原子的散射波都滿足上述條件，所以當(dāng)時(shí)，散射子波之間發(fā)生相長干涉，結(jié)果反射達(dá)到最大值，并與入射波相結(jié)合，形成駐波，群速度為零。這和X射線衍射的Bragg條件是一致的，也同樣顯示了布里淵區(qū)邊界的特征。它們都是由于入射波的波動(dòng)性和晶格的周期性所產(chǎn)生的結(jié)果。第18頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月入射波反射波

所以一維單原子就像一個(gè)低通濾波器，它只能傳播的彈性波，高于頻率的彈性波被強(qiáng)烈衰減。第19頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月該圖表明了波矢的等價(jià)性，是以移動(dòng)一個(gè)倒格矢量為準(zhǔn)。第20頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

上面求解可以推廣到平面點(diǎn)陣，但有縱波和橫波之分，它們的原子位移狀況是不同的，橫波情形可用同樣方法求解，也將得到類似結(jié)果。第21頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月例.求由5個(gè)原子組成的一維單原子晶格的振動(dòng)頻率。設(shè)原子質(zhì)量為m，恢復(fù)力常數(shù)為

(只考慮近鄰原子間的相互作用)。第22頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月由玻恩---卡門周期性邊界條件:解:設(shè)最近鄰原子間的恢復(fù)力系數(shù)為，則:將試探解代入振動(dòng)方程得色散關(guān)系:S為整數(shù)第23頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月由色散關(guān)系式可畫圖如下:2.色散關(guān)系是波矢q的周期性函數(shù),且

(-q)=(q)。0m第25頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月且第26頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月故取簡約布里淵區(qū)且3.玻恩---卡門周期性邊界條件及波矢q的取值

(1)玻恩---卡門周期性邊界條件設(shè)在實(shí)際晶體外，仍然有無限多個(gè)完全相同的晶體相連接，各晶體中相對應(yīng)的原子的運(yùn)動(dòng)情況都一樣。第27頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月晶體中任一個(gè)原子，當(dāng)其原胞標(biāo)數(shù)增加N（N為晶體中原胞的個(gè)數(shù)）后，其振動(dòng)情況復(fù)原。由N個(gè)原胞組成的單原子鏈，由玻恩---卡門周期性邊界條件:對于一維布拉維晶格(原胞標(biāo)數(shù)與原子標(biāo)數(shù)相同):整數(shù)(2)波矢q的取值第28頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月(共N個(gè)值)晶格振動(dòng)波矢只能取分立的值波矢的數(shù)目(個(gè)數(shù))=晶體原胞的數(shù)目4.長波極限:波矢也只能取N個(gè)不同的值。第29頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月在長波近似的情況下，晶體可視為連續(xù)介質(zhì)，格波可視為彈性波。由連續(xù)介質(zhì)波的傳播速度：第30頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月模型運(yùn)動(dòng)方程試探解色散關(guān)系波矢q范圍一維無限長原子鏈，m，a，晶格振動(dòng)波矢的數(shù)目=晶體的原胞數(shù)B-K條件波矢q取值n-2nn+1n+2n-1amm第31頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)一維雙原子鏈振動(dòng)1運(yùn)動(dòng)方程及其解聲學(xué)波和光學(xué)波玻恩——馮卡門邊界條件本節(jié)主要內(nèi)容:第32頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)動(dòng)方程及其解：(1)模型:一維無限長原子鏈，原子質(zhì)量為m和M，且m<M。相鄰原子間距均為a，恢復(fù)力系數(shù)為。(晶格常量為2a)2n2n-12n+12n+22n-2mM質(zhì)量為M的原子編號為2n-2、2n、2n+2、···質(zhì)量為m的原子編號為2n-1、2n+1、2n+3、···第33頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)晶格常數(shù)為2a，平衡時(shí)相鄰兩原子的間距為a，原子間的力常數(shù)為。在t時(shí)刻，兩種原子的位移分別為：第34頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月若只考慮近鄰原子間的彈性相互作用，則運(yùn)動(dòng)方程為：試解：③代入方程得：②①第35頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月有解條件是久期方程為零：解得:④⑤⑥解的三種表達(dá)式④⑤⑥是等價(jià)的，下面討論時(shí)可任選其一。第36頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月帶隙稱約化質(zhì)量。一維雙原子鏈晶體可作帶通濾波器。圖中一維雙原子鏈得到了兩個(gè)解，兩種色散關(guān)系，它們都是q的周期函數(shù)，和一維單原子相同的討論可知，q取值范圍也在第一布里淵區(qū)（）內(nèi)。此時(shí)點(diǎn)陣基矢是2a，倒易點(diǎn)陣基矢是第37頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月零點(diǎn)和布里淵邊界數(shù)值的確定：利用④式討論。結(jié)果繪在上圖中。第38頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月兩支格波的物理意義的討論：由③－2式可以得到：由色散關(guān)系可以看出：由于波數(shù)被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，故：相鄰原子的振動(dòng)方向相同第39頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月這表明，在長波極限下，原胞內(nèi)兩種原子的運(yùn)動(dòng)完全一致，振幅和位相均相同，這時(shí)的格波非常類似于聲波，所以我們將這種晶格振動(dòng)稱為聲學(xué)波或聲學(xué)支。事實(shí)上，在長波極限下，晶格可以看成連續(xù)的彈性介質(zhì)，格波類似于聲波。有：在長波極限第40頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月相鄰兩種不同原子的振幅都有相同的正號或負(fù)號，即對于聲學(xué)波，相鄰原子都是沿著同一方向振動(dòng)的，其振動(dòng)概括如下圖所示，當(dāng)波長相當(dāng)長時(shí)，聲學(xué)波實(shí)際上代表元胞質(zhì)心的振動(dòng)。聲學(xué)支原子振動(dòng)模型第41頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月而從色散關(guān)系可以看到：相鄰原子的振動(dòng)方向相反由③－1式可以得到：

是相鄰原子的相對運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方向相反。長波極限下質(zhì)心不動(dòng)，我們稱作光學(xué)支。第42頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

稱作光學(xué)支振動(dòng)的說明：如果原胞內(nèi)為兩個(gè)帶相反電荷的離子(如離子晶體)，那么正負(fù)離子的相對振動(dòng)必然會產(chǎn)生電偶極矩，而這一電偶極矩可以和電磁波發(fā)生相互作用。在某種光波的照射下，光波的電場可以激發(fā)這種晶格振動(dòng)，因此，我們稱這種振動(dòng)為光學(xué)波或光學(xué)支。實(shí)際晶體的長光學(xué)波的對應(yīng)遠(yuǎn)紅外的光波，因此離子晶體的長光學(xué)波的共振能夠引起遠(yuǎn)紅外光在附近的強(qiáng)烈吸收，正是基于此性質(zhì)，支被稱作光學(xué)支。第43頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

長波極限下：q很小，cos(qa)≈1，又第44頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月因此對于波長很長的光學(xué)波(長光學(xué)波)，mA+MB=0，即元胞的質(zhì)心保持不動(dòng)，由此可定性地看出，光學(xué)波是代表元胞中兩個(gè)原子的相對振動(dòng)。光學(xué)波的振動(dòng)概括如下圖所示。光學(xué)支原子振動(dòng)模型第45頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種振動(dòng)模式原子位移更細(xì)致的示意圖（縱波情形）第46頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月周期性邊界條件周期性邊界條件：n=整數(shù)，N為晶體鏈的原胞數(shù)。q的分布密度：第一布里淵區(qū)內(nèi)波數(shù)q的總數(shù)就是晶體鏈原胞的數(shù)目N。每個(gè)q值對應(yīng)著兩個(gè)頻率，所以第47頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)三維晶格的振動(dòng)本節(jié)主要內(nèi)容:1色散關(guān)系2波矢q的取值和范圍第48頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月三維晶格的振動(dòng)：

雖然一維晶格振動(dòng)問題簡單可解，但三維晶格的振動(dòng)卻是一個(gè)十分復(fù)雜的問題，幸好一維晶格振動(dòng)解已經(jīng)反映出三維晶格振動(dòng)的基本特點(diǎn)，因此我們可以把一維求解的方法和結(jié)論推廣到三維情況。

考慮原胞內(nèi)含有n個(gè)原子的復(fù)式晶格，n個(gè)原子的質(zhì)量分別為：原胞的位置表示為：第49頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月原胞中各原子的平衡位置記做：偏離平衡位置的位移：一個(gè)原胞中原子的運(yùn)動(dòng)方程：

代表原胞中的某個(gè)原子。代表原子的三個(gè)位移分量。第50頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

作用力的表示十分復(fù)雜，因?yàn)橐婕暗缴舷伦笥业慕?。這里我們只作定性討論，就不具體寫出了。它也是一組線性齊次方程，其解應(yīng)和一維相同：指數(shù)函數(shù)表示各種原子的振動(dòng)都具有共同的平面波的形式，該表達(dá)式中

是波矢，代表了傳播方向。振幅也是矢量。表示各原子位移分量的振幅有區(qū)別第51頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月代入方程后同樣可以證明有解條件是的一個(gè)3n次方程式，從而給出了3n個(gè)解：即3n支色散曲線。分析表明，其中有3支，在且原胞內(nèi)n個(gè)原子的振幅趨于相同，就是說在長波極限下整個(gè)原胞一起移動(dòng)，所以這三個(gè)解類似彈性波，稱聲學(xué)支。另外3n－3支的解在長波極限下描述原胞內(nèi)原子的相對振動(dòng)，是光學(xué)支振動(dòng)。這和一維計(jì)算討論結(jié)果是符合的。第52頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月三維結(jié)果同樣要使用周期性邊界條件，q同樣在第一布里淵區(qū)內(nèi)取N個(gè)（原胞數(shù)）值。因此在波矢空間，每個(gè)q占據(jù)的體積是：N分之一的倒格子體積：即每個(gè)q

占據(jù)的體積為：其倒數(shù)是分布密度。第53頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)論：

N個(gè)原胞每個(gè)原胞有n個(gè)原子的三維晶體，晶體中格波的支數(shù)＝原胞內(nèi)的自由度數(shù)：3n

其中

3支為聲學(xué)支（1支縱波、2支橫波）

3n－3支為光學(xué)支（也有縱波、橫波之分）晶格振動(dòng)的波矢數(shù)＝晶體的原胞數(shù)

N

晶格振動(dòng)的模式數(shù)＝晶體的自由度數(shù)3nN思考Cu，金剛石，NaI晶體應(yīng)該分別有幾支色散關(guān)系？以上結(jié)論是否正確，只能依據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果來判定。第54頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月Pb的振動(dòng)譜Cu的振動(dòng)譜fccfcc第55頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月金剛石的振動(dòng)譜第56頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)離子晶體的長光學(xué)波主要內(nèi)容：一、離子晶體中長光學(xué)波晶格振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場二、長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程三、離子晶體長光學(xué)波的本征頻率ωTO和ωLO四、極化激元第57頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月在離子晶體中，長光學(xué)模代表元胞內(nèi)正、負(fù)離子的反向運(yùn)動(dòng)，它將伴隨著晶體的極化并產(chǎn)生內(nèi)場。不僅影響長光學(xué)模的頻率，同時(shí)與電磁波有強(qiáng)烈的相互作用，從而對離子晶體的電學(xué)和光學(xué)性質(zhì)有重要的影響。類似于長聲學(xué)波可以看作連續(xù)介質(zhì)中的彈性波，在宏觀彈性理論上求解運(yùn)動(dòng)方程，對于長光學(xué)波也可以宏觀理論的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。第58頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月一、離子晶體中長光學(xué)波晶格振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場離子晶體長光學(xué)晶格振動(dòng)，正、負(fù)離子相對位移u+-u-，導(dǎo)致極化強(qiáng)度矢量其中q*為離子有效電荷，Ω為元胞體積。因?yàn)闃O化強(qiáng)度矢量正比于相對位移，它將以格波的頻率ω(q)和波矢q在時(shí)間和空間上周期變化，產(chǎn)生極化波第59頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)電動(dòng)力學(xué)，可以得到極化產(chǎn)生的宏觀內(nèi)場：其中c和ε0分別為真空中的光速和介電常量。晶格振動(dòng)存在縱模和橫模，它們將產(chǎn)生性質(zhì)截然不同的內(nèi)場。1.縱振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場對于縱振動(dòng)，P‖q，由上式得到：第60頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月可見場矢量平行于波矢，因此縱模伴隨的電場是縱向的，這是一種沒有磁場伴隨的無旋場，類似于靜電場。該電場的存在使晶體中的離子除了受近程彈性恢復(fù)力外，還要受到與相對位移反向的長程庫侖力的作用，使之總的恢復(fù)力變大，必然提高縱振動(dòng)模的頻率ωL。2.橫振動(dòng)產(chǎn)生的內(nèi)場對于縱振動(dòng)，P⊥q，由上式得到：第61頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月可見場矢量垂直于波矢，因此橫模伴隨的內(nèi)場是一種有磁場相伴的有旋場，即電磁場。由于有這種電磁場的存在，使外電磁波與晶格振動(dòng)的橫模之間發(fā)生耦合，從而改變電磁波在晶體中的傳播性質(zhì)。當(dāng)電磁波的波矢和頻率與橫光學(xué)模的波矢和頻率相等，即ω=cq時(shí)，發(fā)生共振，耦合最強(qiáng)。第62頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月在共振區(qū)以外，若ω>cq，E⊥與位移方向相反，將增加橫振動(dòng)的恢復(fù)力，特別當(dāng)q≈0時(shí)，與縱場EL形式相等。若ω<cq，E⊥與位移方向相同將減小橫振動(dòng)的恢復(fù)力，使共振頻率降低，特別當(dāng)ω?cq，E⊥→0，共振頻率僅由彈性恢復(fù)力決定，ω=ωTO。第63頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月二、長光學(xué)波的宏觀運(yùn)動(dòng)方程1、運(yùn)動(dòng)方程為了簡單起見，設(shè)每個(gè)元胞中只含有電荷大小相等，符號相反，質(zhì)量為M

+、M

-的兩個(gè)離子，仍限于各向同性的連續(xù)模型。在長波近似下，晶體中正、負(fù)離子的相對位移u+-u-幾乎一樣，因此可以用一個(gè)向量W來描述長光頻支振動(dòng)：第64頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

光頻支的動(dòng)能密度為而勢能密度由兩部分組成：式中，F(xiàn)為彈性恢復(fù)力。在簡諧近似下

而P是晶體的極化強(qiáng)度矢量，E為宏觀電場強(qiáng)度矢量。由于正、負(fù)離子相對位移導(dǎo)致極化并產(chǎn)生內(nèi)場，反過來電場又作用于離子影響其運(yùn)動(dòng)，并且使離子周圍的電子相對于核位移，產(chǎn)生電子極化，于是在線性近似下第65頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

將式子代入得到：式中，b11、b12、b22稱為動(dòng)力學(xué)系數(shù)。

系統(tǒng)的拉格朗日密度函數(shù)為：由此可確定位移W對應(yīng)的共軛動(dòng)量第66頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月

系統(tǒng)的哈密頓量為：由正則方程，得到運(yùn)動(dòng)方程：式中第一項(xiàng)代表短程彈性恢復(fù)力，第二項(xiàng)代表與離子位移極化相關(guān)的作用力。可以把兩式放在一起，寫成對稱形式，有第67頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月黃昆方程第一個(gè)方程：決定離子相對振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程第二個(gè)方程：極化方程可以證明：b12=b21

P：宏觀極化強(qiáng)度；E：宏觀極化電場：離子相對位移引起的短程彈性恢復(fù)力

：宏觀極化電場對離子的作用力第68頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月2、介電函數(shù)與動(dòng)力學(xué)系數(shù)b11、b12、b22的關(guān)系

黃昆方程組中的系數(shù)取決于材料性質(zhì)的參數(shù)，它們可以通過實(shí)驗(yàn)來確定?？紤]極端情況，若E為恒定的靜電場，它表示正、負(fù)離子僅僅產(chǎn)生靜態(tài)相對位移W，并不振動(dòng)，則＝0，由方程組一式得到它表示彈性恢復(fù)力與宏觀電場產(chǎn)生的力大小相等，方向相反。第69頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月解得W，代入方程組二式，有由于晶體被靜電極化，根據(jù)靜電學(xué)有式中是真空介電常量，是靜電介電函數(shù)；第70頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月再考慮相反的極端情況，若E為高頻電場，E的振動(dòng)頻率遠(yuǎn)高于晶格振動(dòng)的頻率。此時(shí)晶格跟不上外場的變化，W＝0，由方程組二式得到此時(shí)，晶體中只存在電子極化。根據(jù)電動(dòng)力學(xué)，有式中是高頻介電函數(shù)；對比上兩式，得到第71頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月下面將證明其中TO是無耦合橫長光學(xué)模頻率，記為0。綜上得到動(dòng)力系數(shù)與介電函數(shù)及TO的關(guān)系：其中ε(0)和ε(∞)可以由介電測量得到，而0可由晶格的紅外吸收譜測量得到。第72頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月三、離子晶體長光學(xué)波的本征頻率ωTO和ωLO在每個(gè)元胞中包含兩個(gè)原子或離子的晶體中，應(yīng)該有三支光頻支（二橫一縱）。對于各向同性的晶體，兩支橫振動(dòng)是簡并的。在長波情況下，ω與q幾乎無關(guān)，因此僅對應(yīng)兩個(gè)頻率ωTO和ωLO。一般對于非離子晶體，例如Ge，在長波情況下，ωTO=ωLO。但對于離子晶體，縱振動(dòng)產(chǎn)生的類靜電場，增加了振子的恢復(fù)力，使得離子晶體長光頻支頻率ωTO>ωLO。第73頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月在不考慮橫場耦合情況下，系統(tǒng)的本征振動(dòng)由黃昆方程和靜電方程聯(lián)合求解得到：

將W寫為橫向位移WT和縱向位移WL兩部分：W=WT+WL其中第74頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月橫振動(dòng)方程：解之得到無耦合橫波本征頻率它只與彈性恢復(fù)力有關(guān)。同樣對黃昆方程取散度，有第75頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月消去得到得到縱振動(dòng)方程：第76頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月——LST關(guān)系于是得到縱波的頻率：上式稱作為LST(Lyddane-Sachs-Teller)關(guān)系。第77頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月由于靜電介電函數(shù)ε(0)表示晶體中所有帶電粒子的響應(yīng)，而高頻介電函數(shù)ε(∞)僅僅是電子的響應(yīng)，所以一般而言，因此離子晶體中的長光學(xué)波縱波頻率ωLO總是大于無耦合長光學(xué)波橫波的頻率ωTO，這是由于離子晶體中縱振動(dòng)產(chǎn)生的極化電場，增加了縱波的恢復(fù)力。而對于非離子晶體，晶格振動(dòng)不產(chǎn)生位移極化，b12=0，可知ωLO=ωTO第78頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月縱波橫波第79頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月四、極化激元（電磁激元Polariton）橫光學(xué)模聲子與電磁波的相互作用。在共振條件下，聲子—光子耦合將導(dǎo)致全新的色散關(guān)系，完全改變電磁波的傳播特性。所謂共振是指聲子和光子的頻率和波矢均近似相等。由于長橫光學(xué)模的頻率ωTO≈1013s-1，在遠(yuǎn)紅外區(qū)域，共振時(shí)，聲子和光子的波矢≈ωTO/c≈300cm-1，而布里淵區(qū)邊界波矢≈107cm-1，因此這些耦合過程發(fā)生在布里淵區(qū)中心附近小波矢的情況下。耦合聲子—光子場的量子稱為極化激元。第81頁，課件共90頁，