北京課改初中數(shù)學(xué)九上《圓的對(duì)稱(chēng)性》課件-(公開(kāi)課獲獎(jiǎng))2022年北京課改版-北京課改版

圓的對(duì)稱(chēng)性〔一〕軸對(duì)稱(chēng)1．假設(shè)將一等腰三角形沿著底邊上的高對(duì)折，將會(huì)發(fā)生什么結(jié)果?２．如果以這個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)為圓心，腰長(zhǎng)為半徑作圓，得到的圓是否是軸對(duì)稱(chēng)圖形呢？二、新課1．結(jié)論：圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸，經(jīng)過(guò)圓心每一條直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．強(qiáng)調(diào)：〔1〕對(duì)稱(chēng)軸是直線，不能說(shuō)每一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸；〔2〕圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條．判斷：任意一條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸〔〕1．任意作一個(gè)圓和這個(gè)圓的任意一條直徑CD；2．作一條和直徑CD的垂線的弦，AB與CD相交于點(diǎn)E．問(wèn)題：把圓沿著直徑CD所在的直線對(duì)折，你發(fā)現(xiàn)哪些點(diǎn)、線段、圓弧重合？ABCDOE三、新知識(shí)在你們動(dòng)手實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生得出結(jié)論：①EA=EB；②AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，根據(jù)圓的軸軸對(duì)稱(chēng)性，可得射線EA與EB重合，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合．∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒ABCDOE歸納得出：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。箯蕉ɡ淼膸缀握Z(yǔ)言∵CD為直徑，CD⊥AB（OC⊥AB）∴EA=EB，AC=BC，AD=BD．⌒⌒⌒⌒ABCDOE②CD⊥AB,垂徑定理的逆定理:AB是⊙O的一條弦,且AM=BM.你能發(fā)現(xiàn)圖中有哪些等量關(guān)系?與同伴說(shuō)說(shuō)你的想法和理由.過(guò)點(diǎn)M作直徑CD.●O右圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎?如果是,其對(duì)稱(chēng)軸是什么?我們發(fā)現(xiàn)圖中有:CD由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●MAB┗平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.你可以寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論嗎?垂徑定理的逆定理如圖,在以下五個(gè)條件中:只要具備其中兩個(gè)條件,就可推出其余三個(gè)結(jié)論.駛向勝利的彼岸●OABCDM└①CD是直徑,③AM=BM,②CD⊥AB,⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.觀察以下哪些圖形滿足“垂直于弦的直徑〞的條件？為什么？BADCOABDOABDOABCDO圖5ABCDO圖6OABCD圖7圖8圖9圖10ＥＥＥＥＥ例1如圖，兩個(gè)圓都以點(diǎn)O為圓心，小圓的弦CD與大圓的弦AB在同一條直線上。你認(rèn)為AC與BD的大小有什么關(guān)系？為什么？G例2一條排水管的截面如下圖．排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC．．OABC思路：先作出圓心O到水面的距離OC，即畫(huà)OC⊥AB，∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，∴圓心O到水面的距離OC為6．例3：如圖，線段AB與⊙O交于C、D兩點(diǎn)，且OA=OB．求證：AC=BD．思路：作OM⊥AB，垂足為M∴CM=DM∵OA=OB∴AM=BM∴AC=BD．．OABCMD圓心到圓的一條弦的距離叫做弦心距．小結(jié)：1．畫(huà)弦心距是圓中常見(jiàn)的輔助線；．OABCrd2．半徑〔r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問(wèn)題的主要思路，它們之間的關(guān)系：1．⊙0的半徑為13，一條弦的AB的弦心距為5，那么這條弦的弦長(zhǎng)等于．242．如圖，AB是⊙0的中直徑，CD為弦，CD⊥AB于E，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．∠COE=∠DOEB．CE=DEC．OE=BED．BD=BC⌒⌒C．ABCODE五、目標(biāo)訓(xùn)練3．過(guò)⊙O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為10cm，最短弦長(zhǎng)為8cm，那么OM長(zhǎng)為（）

A．3B．6cmC．cmD．9cm4．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB長(zhǎng)為8，M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，那么OM的長(zhǎng)的取值范圍是〔〕A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3<OM<5D．4<OM<5．ABOMAA五、目標(biāo)訓(xùn)練5．⊙O的半徑為10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，那么AB和CD的距離為．6．如圖，AB、AC為弦，OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥AC于點(diǎn)N，BC=4，求MN的長(zhǎng)．2或14．ACOMNB思路：由垂徑定理可得M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，所以MN=BC=2．五、目標(biāo)訓(xùn)練１．本節(jié)課主要內(nèi)容：〔1〕圓的軸對(duì)稱(chēng)性；〔2〕垂徑定理．2．垂徑定理的應(yīng)用：〔1〕作圖；〔2〕計(jì)算和證明．3．解題的主要方法：六、總結(jié)回憶（2）半徑（r)、半弦、弦心距(d)組成的直角三角形是研究與圓有關(guān)問(wèn)題的主要思路，它們之間的關(guān)系：〔1〕畫(huà)弦心距是圓中常見(jiàn)的輔助線；作法：⒈連結(jié)AB.⒉作AB的垂直平分線CD，交弧AB于點(diǎn)E.點(diǎn)E就是所求弧AB的中點(diǎn)．CDABE例1已知AB，如圖，用直尺和圓規(guī)求作這條弧的中點(diǎn)．(先介紹弧中點(diǎn)概念）⌒做一做，提高你的能力變式一：求弧AB的四等分點(diǎn)．CDABEFGmn變式一：求弧AB的四等分點(diǎn)．CDABＭFG錯(cuò)在哪里？1．作AB的垂直平分線CD2．作AT、BT的垂直平分線EF、GHＴＥＮＨＰ強(qiáng)調(diào)：等分弧時(shí)一定要作弧所對(duì)的弦的垂直平分線．變式二：你能確定弧AB的圓心嗎？OABCab方法：只要在圓弧上任意取三點(diǎn)，得到三條弦，畫(huà)其中兩條弦的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓弧的圓心．判斷〔1〕垂直于弦的直線平分弦，并且平分弦所對(duì)的弧…………..()〔2〕弦所對(duì)的兩弧中點(diǎn)的連線，垂直于弦，并且經(jīng)過(guò)圓心……..()〔3〕圓的不與直徑垂直的弦必不被這條直徑平分…………...()〔4〕平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧………()〔5〕圓內(nèi)兩條非直徑的弦不能互相平分〔〕×√××√垂徑定理的應(yīng)用例1如圖，一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓弧(即圖中弧CD,點(diǎn)O是弧CD的圓心),其中CD=600m,E為弧CD上的一點(diǎn),且OE⊥CD垂足為F,EF=90m.求這段彎路的半徑.駛向勝利的彼岸解:連接OC.●OCDEF┗老師提示:注意閃爍的三角形的特點(diǎn).趙州石拱橋多年前,我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)是弦的長(zhǎng))為37.4m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m).駛向勝利的彼岸趙州石拱橋駛向勝利的彼岸解：如圖，用表示橋拱，所在圓的圓心為O，半徑為Rm，經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OD，D為垂足，與相交于點(diǎn)C.根據(jù)垂徑定理，D是AB的中點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，CD就是拱高.由題設(shè)在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得〔m〕.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9m.RD37.47.2垂徑定理的應(yīng)用在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如下圖.假設(shè)油面寬AB=600mm，求油的最大深度.駛向勝利的彼岸ED┌

600BAO600?650DC船能過(guò)拱橋嗎2.如圖,某地有一圓弧形拱橋,橋下水面寬為米,拱頂高出水面米.現(xiàn)有一艘寬3米、船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過(guò)這里,此貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？相信自己能獨(dú)立完成解答.駛向勝利的彼岸船能過(guò)拱橋嗎解:如圖,用表示橋拱,所在圓的圓心為O,半徑為Rm,經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OD,D為垂足,與相交于點(diǎn)C.根據(jù)垂徑定理,D是AB的中點(diǎn),C是的中點(diǎn),CD就是拱高.由題設(shè)得駛向勝利的彼岸在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得〔m〕.在Rt△ONH中，由勾股定理，得∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋.小結(jié)：1、有時(shí)并未直接給出“圓的直徑垂直于弦〞這樣的條件，而是給出以下圖所示條件，我們可以得到他們具有和垂直與弦的直徑一樣的性質(zhì)。BADCOABDOABDO圖11圖12圖13ＥＥ圓的半徑垂直于弦圓心到弦的垂線段〔弦心距〕過(guò)圓心的直線垂直于弦2、在圓中接有關(guān)弦的問(wèn)題，常常需要做一條輔助線：垂直與弦的直徑或半徑或弦心距。從而利用“垂直與弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧〞圓的這條非常重要的性質(zhì)。討論〔1〕過(guò)圓心〔2〕垂直于弦〔3〕平分弦〔4〕平分弦所對(duì)優(yōu)弧〔5〕平分弦所對(duì)的劣弧〔3〕〔1〕〔2〕〔4〕〔5〕〔2〕〔3〕〔1〕〔4〕〔5〕〔1〕〔4〕〔3〕〔2〕〔5〕〔1〕〔5〕〔3〕〔4〕〔2〕〔1〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧〔2〕弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧〔3〕平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧學(xué)生練習(xí)：AB是⊙O直徑，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD求證：EC＝DF.AOBECDF

列方程解應(yīng)用題的一般步驟：(1)(2)(3)(4)(5)分析題意，設(shè)未知數(shù)找出等量關(guān)系，列方程解方程看方程的解是否符合題意答數(shù)綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開(kāi)辟面積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？解：設(shè)寬為x米，那么長(zhǎng)為〔x+10〕米依題意得：x(x＋10)＝900

整理得

x2＋10x－900＝0解得：所求的，都是所列方程的解嗎？

所求的，都符合題意嗎？綠苑小區(qū)住宅設(shè)計(jì)，準(zhǔn)備在每?jī)纱睒欠恐g，開(kāi)辟面積為900平方米的一塊長(zhǎng)方形綠地，并且長(zhǎng)比寬多10米，那么綠地的長(zhǎng)和寬各為多少？解：設(shè)寬為x米，那么長(zhǎng)為〔x+10〕米

依題意得：x(x＋10)＝900

整理得x2＋10x－900＝0

解得：

但不合題意，舍去．

例1．如圖，一塊長(zhǎng)和寬分別為60厘米和40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水槽，使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長(zhǎng)。

例題例1．如圖，一塊長(zhǎng)和寬分別為60厘米和40厘米的長(zhǎng)方形鐵皮，要在它的四角截去四個(gè)相等的小正方形，折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體水槽，使它的底面積為800平方厘米.求截去正方形的邊長(zhǎng)