電磁場(chǎng)與電磁波第講靜電場(chǎng)的邊值問題

電磁場(chǎng)與電磁波第講靜電場(chǎng)的邊值問題第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Maintopic靜電問題的解3.

鏡象法1.

泊松方程和拉普拉斯方程2.

靜電問題解的唯一性4.

直角坐標(biāo)系中的邊值問題2第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

電位函數(shù)V

和電場(chǎng)強(qiáng)度E

之間的關(guān)系可表示為:

上式方程中兩邊同時(shí)取散度運(yùn)算,有:

在線性、各向同性介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度

E

的散度滿足:1.泊松方程和拉普拉斯方程3第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月電位函數(shù)的微分方程是:上式稱為泊松方程.

如果是在一個(gè)無源區(qū),則上式方程為:上式稱為拉普拉斯方程.

4第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月泊松方程表明均勻媒質(zhì)中,

V的拉普拉斯運(yùn)算(梯度的散度)等于–/,其中

是介質(zhì)的介電常數(shù),

是自由電荷體密度.算子

2,即拉普拉斯算子,它表示:“梯度的散度”or“”.散度運(yùn)算和梯度運(yùn)算都是一階空間導(dǎo)數(shù).

泊松方程是一個(gè)二階偏微分方程，在二階導(dǎo)數(shù)存在的空間中每一點(diǎn),二階偏微分方程都成立.

Remarks5第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月InCartesiancoordinates:Insphericalcoordinates:Incylindricalcoordinates:6第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月邊值問題研究方法計(jì)算法解析法積分變換法分離變量法鏡像法（電軸法）微分方程法保角變換法實(shí)驗(yàn)法作圖法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法數(shù)值法有限差分法有限元法邊界元法矩量法半解析法/半數(shù)值法格林函數(shù)法7第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Example1.一維泊松方程的解ThetwometalplateshavinganareaA

andaseparationdformaparallel-platecapacitor.TheupperplateisheldatpotentialofV0

,andthelowerplateisgrounded.Determine(a)thepotentialdistribution(b)theelectricfieldintensity(c)thechargedistributiononeachplate(d)thecapacitanceoftheparallel-platecapacitor8第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Solution:Choose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位V只是隨高度z的變化而變化9第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月4.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）3.方程的通解10第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月11第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Example2.

The

inner

conductorofradius

a

ofa

coaxialcable

isheldatapotentialof

V0

whiletheouterconductorofradius

b

is

groundedDetermine(a)the

potentialdistributionbetweentheconductors

(b)the

electricfieldintensity(c)the

chargedensity

ontheinnerconductor

(d)the

capacitanceofthe

perunitlength12第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Choose

anappropriate

coordinatesystem

forthegivengeometry2.Governingequation

forproblemsand

boundarycondition.Solution:13第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月4.特解（帶入邊界條件求解未知系數(shù)）

3.方程的通解14第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月15第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月16第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Example3

Theupperandlowerconductingplatesofalargeparallel-platecapacitorareseparatedbyadistance

d

andmaintainedatpotentials

V0

and

0respectively.

Adielectricslabofdielectricrconstantanduniformthickness0.8d

isplacedoverthelowerplate.EandD

?yxD2D1E2E117第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)

求解區(qū)域：平行板電容器之間的區(qū)域(2)

分區(qū)：由于填充兩種介質(zhì)，因此場(chǎng)量在分界面上會(huì)發(fā)生突變，因此，分成兩個(gè)子區(qū)域(3)

建立坐標(biāo)系：豎直向上為y軸方向，建立坐標(biāo)系(4)

場(chǎng)分布分析：在兩種介質(zhì)中都是勻強(qiáng)電場(chǎng)，電位V只是隨高度y的變化而變化V(y)，而與x，z無關(guān)，(5)

寫出場(chǎng)方程與邊界條件：待求量是兩個(gè)區(qū)域的電位V1

、V2，場(chǎng)方程：泊松方程（有源）or拉普拉斯方程（無源）yxD2D1E2E118第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月區(qū)域1：區(qū)域2：yxD2D1E2E119第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

寫出通解：一維邊值問題BVP電位的邊界條件，兩個(gè)介質(zhì)的銜接條件：20第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月yxD2D1E2E122第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月在直角坐標(biāo)系中,電位的拉普拉斯方程是三個(gè)坐標(biāo)的偏微分方程:假設(shè):

上式代入拉普拉斯方程,兩邊同時(shí)除以

X(x)Y(y)Z(z),有:

左邊三項(xiàng)中每一項(xiàng)都只是一個(gè)坐標(biāo)變量的函數(shù),并且之涉及常微分.滿足該方程的所有變量都成立的條件是每一項(xiàng)都必須為一個(gè)常數(shù).Lettheseconstantsbe,andwehave3.

直角坐標(biāo)系中的邊值問題23第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

三個(gè)分離常數(shù)并不是各自獨(dú)立的,它們滿足如下的關(guān)系:

三維的二階偏微分方程化為三個(gè)一維的二階常微分方程,求解常系數(shù)的常微分方程可確定拉普拉斯方程的可能解.

orwhereA,B,C,D

aretheconstantstobedetermined.where

kx

，ky

，kz

arecalledtheseparationconstants(分離常數(shù)),andtheycouldbe

real

or

imaginary

numbers.

Ifkxis

anrealnumber(實(shí)數(shù)),

Thesolutionoftheequationforthevariable

x

canbewrittenas24第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月or

Thesolutionsoftheequationsforthevariables

y

and

z

havethe

sameforms.Theproductofthesesolutionsgivesthesolutionoftheoriginalpartialdifferentialequation.

Theseparationconstantscouldbeimaginarynumbers.Ifis

animaginarynumber,writtenas,thentheequationbecomes

Theconstantsinthesolutionsare

also

relatedtotheboundaryconditions.

根據(jù)邊界條件選擇適當(dāng)形式的解是非常重要的.25第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

Example.

Twosemi-infinite,groundedconductingplanesareparalleltoeachotherwithaseparationof

d.Thefiniteendisclosedbyaconductingplaneheldatelectricpotential

V0

,andisisolatedfromthesemi-infinitegroundedconductingplanewithasmallgap.Findthe

electricpotential

intheslot

constructedbythethreeconductingplanes.

Solution:

Select

rectangular

coordinatesystem.Sincetheconductingplaneisinfinite

inthe

z-direction,thepotentialintheslotmustbe

independent

of

z,andthisisa

two-dimensional

problem.TheLaplace’sEquationfortheelectricpotentialbecomesdxyV=0V=0V=V0O26第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Usingthemethodof

separationofvariables,andlet

Theboundaryconditionsfortheelectricpotential

intheslot

canbeexpressedas

Inordertosatisfytheboundaryconditionsand,thesolutionof

Y(y)

shouldbeselectedas

Fromtheboundarycondition,wehave

V=0

aty=0,andtheconstant

B=0.Inordertosatisfy,theconstant

ky

shouldbe27第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月WefindSince，weobtain

Theconstant

kx

isanimaginarynumber,andthesolutionof

X(x)

shouldbeSince

V

=

0

at

x,theconstant

C=0,andThenWheretheconstant

C=AD

.28第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月Since

V=V0

at

x=0

,andwehave

Therightsideoftheaboveequationisvariable,since

C

and

n

arenotfixed.Tosatisfytherequirementat

x=0,oneneedstotakethe

linearcombination

oftheequationasthesolution,leadingto

Inordertosatisfytheboundarycondition

x=0,V=V0

,andwehave29第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

Therightsideoftheaboveequationis

Fourierseries.ByusingtheorthogonalitybetweenthetermsofaFourierseries,thecoefficients

Cn

canbefoundasFinally,wefindthe

electricpotential

intheslotas0dxyV=0V=0V=V0ElectricfieldlinesEquipotentialsurfaces30第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月uniquenesstheorem:滿足給定邊界條件的泊松方程的解是唯一解.(其中拉普拉斯方程是特例)

Itdoesnotmeanthatonlyonemethodcanbeusedtoobtainthesolutionoftheelectrostaticproblem.Theimplicationoftheuniquenesstheoremisthatasolutionofanelectrostaticproblemwithitsboundaryconditionsistheonlypossiblesolution

irrespectiveofthemethodbywhichthesolutionisobtained.Asolutionobtainedevenbyintelligentguessingistheonlycorrectsolution2.

靜電問題解的唯一性31第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)電荷和帶電的球殼、球體在R>a的區(qū)域中產(chǎn)生的場(chǎng)是是相等的，稱為這三種源是相互等效的.注：在R<a的區(qū)域是不等效的，所以等效只是對(duì)某一區(qū)域等效，對(duì)另一區(qū)域是不等效的xyzxyzaxyza4.MethodofImages32第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月yQdHalf－spaceproblemExample.

考慮一個(gè)正的點(diǎn)電荷

Q與無限大的接地(零電位)導(dǎo)體平面相距為d

的情況.

求出導(dǎo)體平面上方(y>0)每一個(gè)點(diǎn)的電位.(1)chap2：感應(yīng)電荷很難求(2)直接解方程:33第33頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月yQdHalf－spaceproblem點(diǎn)電荷＆感應(yīng)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，靜態(tài)平衡后，導(dǎo)體表面是等勢(shì)面，電力線與其正交。而這種電力線的分布與以xoz平面為對(duì)稱面，在（0，d，0）處點(diǎn)電荷Q，（0，－d，0）處有－Q的一對(duì)點(diǎn)電荷在x>0空間的電力線分布相似。(3)另辟蹊徑：(等效原理)感應(yīng)（極化）電荷產(chǎn)生的場(chǎng)，由假想的簡(jiǎn)單電荷（像點(diǎn)電荷線電荷等）分布產(chǎn)生的場(chǎng)來等效(4)問題：引入像電荷后求得的場(chǎng)，是不是原問題的場(chǎng)？判斷的依據(jù)

（uniqueness

theorem）是不是滿足原問題的場(chǎng)方程＆邊界條件？34第34頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月ImageChargeImagemethod

V(x,0,z)=0yQ–Q根據(jù)場(chǎng)疊加原理，寫出點(diǎn)電荷和像電荷在上半空間任意一點(diǎn)P處產(chǎn)生的場(chǎng)的表達(dá)式BVPB－C（判斷的條件）等效問題的場(chǎng)就是原問題的場(chǎng)35第35頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月鏡象法

實(shí)質(zhì):用一個(gè)或者多個(gè)等效電荷來代替邊界上的作用,將原來不連續(xù)的邊界變成一個(gè)連續(xù)均勻的空間.

依據(jù)：唯一性定理.Therefore,thesechargesshouldnotchangetheoriginalboundaryconditions.Theseequivalentchargesareattheimagepositionsoftheoriginalcharges,andarecalled

imagecharges,andthismethodiscalledthemethodofimages.

方法：確定鏡象電荷的大小和位置.

限制：Theseimagechargesmaybedeterminedonlyforsome

specialboundaries

(infiniteplane,infinitelylongwedge,infinitelylongcylindrical,andsphericalboundaries)andchargeswith

certaindistributions.36第36頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月q

Forthesemi-infinite

wedge

conductingboundary,themethodofimagesisalsoapplicable.However,theimagescanbefoundonlyforconductingwedgeswithanglegivenbywhere

n

isaninteger.Inordertokeepthewedgeboundaryatzero-potential,

several

imagechargesarerequired./3

Whenan

infiniteline

chargeisnearbyaninfiniteconductingplane,themethodofimagescanbeappliedaswell,basedonthe

principleof

superposition./3q37第37頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月summary1.Poisson’sandLaplace’sEquationsInCartesiancoordinates:38第38頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月3.MethodofImages4.Boundary-ValueProblemsinCartesianCoordinates2.UniquenessofElectrostaticSolutionsuniquenesstheorem:meansthatasolutionofPoisson’sequation(ofwhichLaplace’sequationisaspecialcase)thatsatisfiesthegivenboundaryconditionsisauniquesolution.

Essence:

Theeffectoftheboundary

isreplacedbyoneorseveral

equivalentcharges,andtheoriginalinhomogeneousregionwithaboundarybecomes

aninfinitehomogeneous

space.39第39頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月homeworkThankyou!Bye-bye!答疑安排時(shí)間：地點(diǎn)：1301，1311P.4-1