2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)北海市南康中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)北海市南康中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為

（A）8 （B）2

（C）6＋4 （D）4＋4參考答案：C略2.已知（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A．1+i

B．1－i

C．－1+i

D．－1－i參考答案：C，，，，故選C.

3.一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5人，女隊(duì)員4人，從中選出男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打，不同的選法共有（）A． 9種 B． 10種 C．15種 D．20種參考答案：D略4.

給出計(jì)算

的值的一個(gè)程序框圖如右圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（

）．

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.閱讀程序框圖，如果輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，則輸入的實(shí)數(shù)x的取值范圍是(

) A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，2] D．[2，+∞）參考答案：B考點(diǎn)：選擇結(jié)構(gòu)．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值．根據(jù)函數(shù)的解析式，結(jié)合輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，即可得到答案．解答： 解：分析程序中各變量、各語句的作用再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計(jì)算分段函數(shù)f（x）=的函數(shù)值．又∵輸出的函數(shù)值在區(qū)間內(nèi)，∴x∈[﹣2，﹣1]故選B點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是選擇結(jié)構(gòu)，其中根據(jù)函數(shù)的流程圖判斷出程序的功能是解答本題的關(guān)鍵．6.已知a，b∈R，若a﹣bi=（1+i）i3（其中為虛數(shù)單位），則（）A．a(chǎn)=1，b=﹣1B．a(chǎn)=﹣1，b=1C．a(chǎn)=1，b=1D．a(chǎn)=﹣1，b=﹣1參考答案：A考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；復(fù)數(shù)相等的充要條件．ks5u專題：計(jì)算題．ks5u分析：先對（1+i）i3進(jìn)行化簡，再由復(fù)數(shù)相等求出a和b的值．解答：解：由題意得，a﹣bi=（1+i）i3=﹣i（1+i）=﹣i﹣i2=1﹣i，則a=1，b=﹣1，故選A．點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.的值為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C8.已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，l1，l2是兩條不同的直線，下列命題是真命題的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B．若l1∥α，l1⊥β，則α∥βC．若α∥β，l1∥α，l2∥β，則l1∥l2 D．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，則l1⊥l2E．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，則l1⊥l2 F．若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，則l1⊥l2參考答案：D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系．【分析】反例判斷A的錯(cuò)誤；利用直線與平面的關(guān)系判斷B錯(cuò)誤；反例判斷C錯(cuò)誤；直線與平面垂直判斷D正誤即可．【解答】解：α，β，γ是三個(gè)不同的平面，l1，l2是兩條不同的直線，對于A，α⊥γ，β⊥γ，則α∩β=a也可能平行，所以A不正確．對于B，若l1∥α，l1⊥β，則α⊥β，所以B不正確；對于C，α∥β，l1∥α，l2∥β，則l1∥l2，也可能相交也可能異面，所以C不正確；對于D，若α⊥β，l1⊥α，l2⊥β，則l1⊥l2，l1與l2是平面的法向量，顯然正確；故選：D．9.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）滿足下列條件：（1）對任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四個(gè)命題：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④當(dāng)n＞2，n∈N*時(shí)，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值為1．其中所有正確命題的序號是（） A．①③ B． ②④ C． ②③④ D． ①③④參考答案：考點(diǎn)： 命題的真假判斷與應(yīng)用．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 既然對任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1﹣x2），那么分別令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根據(jù)不等式即可得④解答： 解；對于①結(jié)論是正確的．∵對任意實(shí)數(shù)x1，x2都有f（x1）?f（x2）+g（x1）?g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g（0）﹣1]=0解方程組

得對于②結(jié)論是不正確的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g（﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1對于③結(jié)論是正確的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，對于④結(jié)論是正確的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|fn（x）|≤f2（x），|gn（x）|≤g2（x）對n＞2，n∈N*時(shí)恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1綜上，①③④是正確的．故選：D點(diǎn)評： 本題考查賦值法求抽象函數(shù)的性質(zhì)屬于中檔題．10.設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，若（

）

A．17

B．

C．5

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若變量x、y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為

．參考答案：3【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足約束條件的可行域，并求出各角點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出目標(biāo)函數(shù)z=x﹣2y的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖所示：由圖可知，當(dāng)x=1，y=﹣1時(shí)，z=x﹣2y取最大值3故答案為：312.已知函數(shù)，則f(x)在處的切線方程為

.參考答案：切線方程為.13.執(zhí)行下面的程序框圖，若，則輸出的

；參考答案：414.已知球半徑為2，球面上A、B兩點(diǎn)的球面距離為，則線段AB的長度為________.參考答案：2由于球面距離為，設(shè)球心角為，所以，在中，為等邊三角形，所以AB=2.

15.設(shè){an}是等比數(shù)列，公比，Sn為{an}的前n項(xiàng)和．記．設(shè)為數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)，則n0=

．參考答案：4【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】首先用公比q和a1分別表示出Sn和S2n，代入Tn易得到Tn的表達(dá)式．再根據(jù)基本不等式得出n0【解答】解：==因?yàn)楱R8，當(dāng)且僅當(dāng)=4，即n=4時(shí)取等號，所以當(dāng)n0=4時(shí)Tn有最大值．故答案為：4．【點(diǎn)評】本題主要考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與通項(xiàng)及平均值不等式的應(yīng)用，屬于中等題．本題的實(shí)質(zhì)是求Tn取得最大值時(shí)的n值，求解時(shí)為便于運(yùn)算可以對進(jìn)行換元，分子、分母都有變量的情況下通?？梢圆捎梅蛛x變量的方法求解．16.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為的兩個(gè)全等的等腰直角三角形，則該幾何體的表面積是 。參考答案：17.已知等比數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列.若a1>0,且2（an+an+2）=5an+1,則數(shù)列｛an｝的公比q=_____________________.參考答案：2因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，且【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知遞增等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．參考答案：【知識點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列求和.D3D4

【答案解析】（1）（2）見解析解析：（1）設(shè)公比為q，由題意：q>1,，則，，∵，∴，……………2分則解得：或（舍去），……………4分∴……………5分（2）……………7分則……………10分【思路點(diǎn)撥】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）利用分組求和即可.19.已知四棱錐A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥面ABC；（Ⅱ）求證：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱錐A﹣BCDE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直的判定；LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，根據(jù)三角形中位線定理，得到四邊形FGBE為平行四邊形，進(jìn)而得到EF∥BG，再結(jié)合線面平行的判定定理得到EF∥面ABC；（Ⅱ）根據(jù)已知中△ABC為等邊三角形，G為AC的中點(diǎn)，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根據(jù)線面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，則EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；（Ⅲ）方法一：四棱錐四棱錐A﹣BCDE分為兩個(gè)三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC，分別求出三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC的體積，即可得到四棱錐A﹣BCDE的體積．方法二：取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，可證AO⊥平面BCDE，即AO為VA﹣BCDE的高，求出底面面積和高代入棱錐體積公式即可求出四棱錐A﹣BCDE的體積．【解答】證明：（Ⅰ）取AC中點(diǎn)G，連接FG、BG，∵F，G分別是AD，AC的中點(diǎn)∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG與BE平行且相等∴EF∥BG．

EF?面ABC，BG?面ABC∴EF∥面ABC…（4分）（Ⅱ）∵△ABC為等邊三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的兩條相交直線AC，DC，∴BG⊥面ADC．

…（6分）∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．

…（8分）解：（Ⅲ）方法一：連接EC，該四棱錐分為兩個(gè)三棱錐E﹣ABC和E﹣ADC．．…（12分）方法二：取BC的中點(diǎn)為O，連接AO，則AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，∴AO為VA﹣BCDE的高，，∴．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線面平行或垂直的判定、性質(zhì)、定義、幾何特征是解答此類問題的關(guān)鍵．20.【選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓．已知曲線上的點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線，的方程；（Ⅱ）若點(diǎn)，在曲線上，求的值．參考答案：解：（I）將及對應(yīng)的參數(shù)，代入，得，即，所以曲線的方程為（為參數(shù)），或.

設(shè)圓的半徑為,由題意,圓的方程為,(或).將點(diǎn)代入,得,即.

(或由,得,代入,得),所以曲線的方程為,或.

…6分

（II）因?yàn)辄c(diǎn)，在曲線上,

所以,,

所以.

…10分略21.已知曲線C的參數(shù)方程為，在同一平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C上的點(diǎn)按坐標(biāo)變換得到曲線C'，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．（Ⅰ）求曲線C'的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)（極坐標(biāo)）且傾斜角為的直線l與曲線C'交于M，N兩點(diǎn)，弦MN的中點(diǎn)為P，求的值．參考答案：【考點(diǎn)】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QH：參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（I）曲線C的參數(shù)方程為，利用平方關(guān)系即可化為普通方程．利用變換公式代入即可得出曲線C'的直角坐標(biāo)方程，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．（II）點(diǎn)直角坐標(biāo)是，將l的參數(shù)方程代入曲線C'的直角坐標(biāo)方程可得，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．【解答】解：（Ⅰ），將，代入C的普通方程可得x'2+y'2=1，即C'：x2+y2=1，所以曲線C'的極坐標(biāo)方程為C'：ρ=1（Ⅱ）點(diǎn)直角坐標(biāo)是，將l的參數(shù)方程代入x2+y2=1，可得，∴t1+t2