2016版步步高高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略專用理科配套課件審題解題回扣第一篇第四篇14份打包

4.數(shù)列、不等式第四篇 回歸教材，糾錯例析，幫你減少高考失分點要點回扣易錯警示查缺補漏欄目索引要點回扣1.已知前n

項和

Sn

＝

a1

＋

a2

＋

a3

＋

…

＋

an

，則

an

＝(n＝1)

(n≥2)

.S1S

－Sn

n－1由Sn

求an

時，易忽略n＝1

的情況..2，問題1

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝n＝12n－1，

n≥2(3)等差數(shù)列的前n

項和：Sn＝n(a1＋an)

n(n－1)2

2，Sn＝na1＋

d.2.等差數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì)等差數(shù)列的判斷方法：定義法an＋1－an＝d(d為常數(shù))或an＋1－an＝an－an－1(n≥2).等差數(shù)列的通項：an＝a1＋(n－1)d或an＝am＋(n－m)d.(4)等差數(shù)列的性質(zhì)①當(dāng)公差d≠0

時，等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)·d＝dn＋a1－d

是關(guān)于n

的一次函數(shù)，且斜率為公差d；前n

項n(n－1)2和Sn＝na1＋

d＝212n

＋(a

－d

d2)n

是關(guān)于n

的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.②若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列.③當(dāng)m＋n＝p＋q時，則有am＋an＝ap＋aq，特別地，當(dāng)m＋n＝2p時，則有am＋an＝2ap.④Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列.問題2

已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝12，S20＝17，則S30＝

15

.(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法

anan＋1＝q(q

為常數(shù))，其中nq≠0，a

≠0

或a＋n

1an＝anan－1n(n≥2).如一個等比數(shù)列{a

}共有2nn＋1＝56.＋1

項，奇數(shù)項之積為100，偶數(shù)項之積為120，則a(2)等比數(shù)列的通項：an＝a1qn－1或an＝amqn－m.3.等比數(shù)列的有關(guān)概念及性質(zhì)(3)等比數(shù)列的前n

項和：當(dāng)q＝1

時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1

時，Sn＝a1(1－qn)

a1－anq1－q

＝

1－q

.易錯警示：由于等比數(shù)列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q

的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比q是否為1時，要對q分q＝1和q≠1兩種情形討論求解.(4)等比中項：若a，A，b

成等比數(shù)列，那么A

叫做a

與b的等比中項.值得注意的是，不是任何兩數(shù)都有等比中項，只有同號兩數(shù)才存在等比中項，且有兩個，即為±ab.如已知兩個正數(shù)a，b(a≠b)的等差中項為A，等比中項為B，則

A

與B

的大小關(guān)系為A>B.(5)等比數(shù)列的性質(zhì)當(dāng)m＋n＝p＋q

時，則有am·an＝ap·aq，特別地，當(dāng)m＋n＝p2p

時，則有am·an＝a2.問題3

(1)在等比數(shù)列{an}中，a3＋a8＝124，a4a7＝－512，公比q是整數(shù)，則a10＝

512

.(2)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5·a6＝9，則log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝

10

.如：n(n＋1)n＝

－

；1

1

1

1n＋1

n(n＋k)＝

11kn–1n＋k.4.數(shù)列求和的方法(1)公式法：等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式；(2)分組求和法；(3)倒序相加法；(4)錯位相減法；(5)裂項法；＝12問題

4

數(shù)列{an}滿足

an＋an＋1

2(n∈N，n≥1)，若

a

＝1，(6)并項法.數(shù)列求和時要明確：項數(shù)、通項，并注意根據(jù)通項的特點選取合適的方法.9Sn

是{an}的前

n

項和，則

S21

的值為

2

.5.在求不等式的解集時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示，不能直接用不等式表示.問題5

不等式－3x2＋5x－2>0的解集為

.23，16.不等式兩端同時乘以一個數(shù)或同時除以一個數(shù)，必須討論這個數(shù)的正負(fù).兩個不等式相乘時，必須注意同向同正時才能進(jìn)行.問題6

已知a，b，c，d為正實數(shù)，且c>d，則“a>b”是“ac>bd”的

充分不必要

條件.7.基本不等式：a＋b2≥

ab

(a，b>0)(1)推廣：a2＋b2

a＋b2

22≥ ≥

ab≥1＋1(a，b>0).a

b(2)用法：已知x，y都是正數(shù)，則①若積

xy

是定值

p，則當(dāng)

x＝y(tǒng)

時，和

x＋y

有最小值

2

p；②若和

x＋y

是定值

s，則當(dāng)

x＝y(tǒng)

時，積

xy

有最大值1

2.4s易錯警示：利用基本不等式求最值時，要注意驗證“一正、二定、三相等”的條件.問題

7

已知

a>0，b>0，a＋b＝1，則

y＝1＋4的最小值是a

b

9

.x≥0，y≤x，8.解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標(biāo)函數(shù)中y的系數(shù)的正負(fù)；注意最優(yōu)整數(shù)解.問題

8

設(shè)定點

A(0,1)，動點

P(x

，

y)

的坐標(biāo)滿足條件2則

PA

的最小值是

2

.易錯警示易錯點1

an與Sn關(guān)系不清例1

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2＋n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為

.錯因分析

沒有注意到an＝Sn－Sn－1成立的條件：n≥2，忽視對n的分類討論.∴an＝2n，n≥2.解析

當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時，an＝n2＋n＋1－(n－1)2－(n－1)－1＝2n，3，n＝1，答案

an＝3，n＝1，2n，n≥2a1(1－qn)1－q中錯因分析

沒有考慮等比數(shù)列求和公式

Sn

＝q≠1

的條件，本題中q＝1

恰好符合題目條件.易錯點2

忽視等比數(shù)列中q的范圍例2

設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則數(shù)列{an}的公比q＝

.得a1(1－q3)

a1(1－q6)

a1(1－q9)1－q

1－q

1－q＋

＝

.解析

①當(dāng)q＝1時，S3＋S6＝9a1，S9＝9a1，∴S3＋S6＝S9成立.②當(dāng)q≠1時，由S3＋S6＝S9，∴q9－q6－q3＋1＝0，即(q3－1)(q6－1)＝0.∵q≠1，∴q3－1≠0，∴q6＝1，∴q＝－1.答案

1或－1n

n例

3

已知數(shù)列{a

}的通項公式為

a

＝(n＋

9n2)(10)

(n∈N*)，易錯點3數(shù)列最值問題忽略n的限制則數(shù)列{an}的最大項是第

項.錯因分析求解數(shù)列{an}的前n項和Sn的最值，無論是利用

Sn還是利用an來求，都要注意n的取值的限制，因為數(shù)列中可能出現(xiàn)零項，所以在利用不等式(組)求解時，不能漏掉不等式(組)中的等號，避免造成無解或漏解的失誤.9解析

因為

a

－a

＝(n＋3)(10)n＋1－(n＋n9

9n

7－n2)(10)

＝(10)

·

10

，n＋1

n當(dāng)n＜7時，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；當(dāng)n＝7時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當(dāng)n＞7時，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.故a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞a10…，所以此數(shù)列的最大項是第7項或第8項.答案

7或8n

n例

4

在數(shù)列{a

}中，a

＝12n＋1

n＋1＋

＋…＋nn＋1n，又b

＝1anan＋1n，則數(shù)列{b

}的前

n

項和等于

.易錯點4裂項法求和搞錯剩余項錯因分析裂項相消后搞錯剩余項，導(dǎo)致求和錯誤：一般情況下剩余的項是對稱的，即前面剩余的項和后面剩余的項是對應(yīng)的.n解析

由已知得

a

＝12n＋1

n＋1＋

＋…＋nn＋1＝1n＋12(1＋2＋…＋n)＝n，n從而b

＝anan＋1＝1

12·2＝4(n1－

1n

n＋1

n＋1)，n

n所以數(shù)列{b

}的前

n

項和為

S

＝4[(1－1)＋(1－1)＋(1－1)nn＋11

1＋…＋(

－

)]＝4(1－1n＋1

n＋1)＝

4n

.答案2

2

3

3

44nn＋1例

5

解不等式3x－5x2＋2x－3≥2.易錯點5解不等式時變形不同解錯因分析本題易出現(xiàn)的問題有兩個方面：一是錯用不等式的性質(zhì)直接把不等式化為3x－5≥2(x2＋2x－3)求解；二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件，導(dǎo)致增解.解

原不等式可化為3x－5x2＋2x－3－2≥0，不等式等價于－2x2－x＋1即

x2＋2x－3

≥0.(2x－1)(x＋1)整理得

(x－1)(x＋3

≤0，)(2x－1)(x＋1)(x－1)(x＋3)≤0，(x－1)(x＋3)≠0，解得－3＜x≤－1

或1

x＜1.2≤所以原不等式的解集為{x|－3＜x≤－1

或12≤x＜1}.例

6

函數(shù)

y＝x＋1x－1(x≠1)的值域是

.易錯點6忽視基本不等式中等號成立條件錯因分析

本題易出現(xiàn)的錯誤有兩個方面：一是不會

“湊”，不能根據(jù)函數(shù)解析式的特征適當(dāng)變形湊出兩式之積為定值；二是利用基本不等式求最值時，忽視式子

的取值范圍，直接套用基本不等式求最值.如本題易出現(xiàn)：由

y＝x＋1

1x－1

x－1

x－1＝x－1＋

＋1≥2

(x－1)·

1

＋1＝3，得出y∈[3，＋∞)這一錯誤結(jié)果.解析

當(dāng)

x＞1

時，y＝x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2

(x－1)·1x－1＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝1x－1，即x＝2

時等號成立；當(dāng)x＜1

時，－y＝－x＋1

11－x

1－x＝1－x＋

－1≥2

(1－x)·11－x－1＝1，即y≤－1，當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝11－x，即x＝0

時等號成立.所以原函數(shù)的值域為(－∞，－1]∪[3，＋∞).答案

(－∞，－1]∪[3，＋∞)查缺補漏1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

111.(2015·重慶)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6等于

0

.解析

由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

112.已知正項等差數(shù)列{an}的前20項和為100，那么a6·a15的最大值是

25

.20解析

由題意知

S

＝a

＋a1

202×20＝100a1＋a20＝5，2故a6＋a15＝a1＋a20＝10，又{an}為正項數(shù)列，所以，a6＞0，a15＞0，所以a6·a15≤(a6＋a1522)

＝25.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

113.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，其中a1＝3，b1＝1，a2＝b2

，

3a5＝b3，若存在常數(shù)u，v對任意正整數(shù)n都有an＝3logubn＋v，則u＋v＝

.解析

設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，則3＋d＝q，23(3＋4d)＝q

，解得d＝6，q＝9，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11所以logu9＝2，v－3logu9＝－3，答案

6解得u＝v＝3，故u＋v＝6.所以an＝6n－3，bn＝9n－1,6n－3＝3nlogu9＋v－3logu9對任意正整數(shù)n恒成立，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

114.已知數(shù)列{an}的通項公式為

an＝log3nn＋1(n∈N*)，設(shè)其前n

項和為

Sn，則使

Sn＜－4

成立的最小自然數(shù)

n

為

.解析

∵an＝log3nn＋1＝log3n－log3(n＋1)，∴Sn＝log31－log32＋log32－log33＋…＋log3n－log3(n＋1)＝－log3(n＋1)＜－4，解得n＞34－1＝80.故最小自然數(shù)n的值為81.811

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11x＋y≥－1，5.(2015·湖南改編)若變量x，y

滿足約束條件2x－y≤1，y≤1，則

z＝3x－y

的最小值為

.解析x＋y≥－1，不等式組2x－y≤1，y≤1表示的平面區(qū)域如圖，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11平移直線y＝3x－z，過M(－2,1)時，zmin＝3×(－2)－1＝－7.答案

－71

2

3

4

5

6

7

8

9

10

116.把一數(shù)列依次按第一個括號內(nèi)一個數(shù)，第二個括號內(nèi)兩個數(shù)，第三個括號內(nèi)三個數(shù)，第四個括號內(nèi)一個數(shù)，…循環(huán)分為(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為

.解析

將三個括號作為一組，則由50＝16×3＋2，知第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號，即第50個括號中應(yīng)是兩個數(shù).1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11又因為每組中含有6個數(shù)，所以第48個括號的最末一個數(shù)為數(shù)列{2n－1}的第16×6＝96項，第50個括號的第一個數(shù)應(yīng)為數(shù)列{2n－1}的第98項，即為2×98－1＝195，第二個數(shù)為2×99－1＝197，故第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為195＋197＝392.答案

3921

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11y2

x27.設(shè)

x，y∈R，且

xy≠0，則(x2＋

1

)(

1

＋4y2)的最小值為

9

.解析

(x2＋

1

)(

1

＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋

1

2y2

x2

x2y≥1＋4＋2

4x2y2·x2y21

＝9，x2y22當(dāng)且僅當(dāng)

4x2y2＝

1

即|xy|＝

2時等號成立.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

118.已知函數(shù)f(x)＝a(4－2)x＋4(x≤6)，(a>0，a≠1).數(shù)列{anax－5(x>6)滿足

an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)

a

的取值范圍是

.1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

114－a

，2>0∴a>1，a2(4－2)×6＋4<a

，a<8，a>1，a<－7或a>4，解析

∵{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴4<a<8.答案

(4,8)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11x≥0，9.不等式組x＋y≤3，y≥x＋1表示的平面區(qū)域為

Ω，直線

y＝kx－1

與區(qū)域

Ω

有公共點，則實數(shù)

k

的取值范圍為

.解析

作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分.直線y＝kx－1顯然經(jīng)過定點M(0，－1)，1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11此時kCM＝2－(－1)1－0＝3，由圖形直接觀察知，當(dāng)直線y＝kx－1經(jīng)過直線y＝x＋1和直線x＋y＝3的交點C(1,2)時，k最小，因此k≥3.答案

[3，＋∞)1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11x210.已知函數(shù)

f(x)＝ax＋

(a，b

為常數(shù))且方程

f(x)－x＋12＝0b有兩實根x1＝3，x2＝4.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；解

將

x1＝3，x2＝4

分別代入方程x2ax＋b－x＋12＝0，得9＝－9，164a＋b

＝－83a＋