知識(shí)點(diǎn)38相似、位似及其應(yīng)用2018-2

一、選擇題1.（2018廣東省，7，3）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn)，則△ADE與△ABC的面積之比為A．B．C．D．【答案】C【解析】相似三角形面積比等于相似比的平方，由中位線性質(zhì)知相似比為1:2，所以△ADE與△ABC的面積之比為【知識(shí)點(diǎn)】中位線；相似三角形2.（2018黑龍江省龍東地區(qū)，20，5分）如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點(diǎn)E、P，連接OE，∠ADC＝60°，AB＝BC＝1．則下列結(jié)論：①∠CAD＝30°；②BD＝；③S平行四邊形ABCD＝AB·AC；④OE＝AD；⑤S△APO＝，正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【思路分析】由于條件和結(jié)論較多，需要逐條分析、綜合思考、分層落實(shí)．由已知條件容易得到的結(jié)論首先是：∠BAD＝120°，∠BAE＝60°，∠ABE＝60°，AB＝DC＝1，BC＝AD＝2，OA＝OC，OB＝OD；然后得到的結(jié)論是：△ABE是等邊三角形，AB＝AE＝BE＝EC，OE是△ABC的中位線，OE∥AB，OE＝AB；進(jìn)一步得到的結(jié)論是：OP＝BP＝OB＝BD，∠EAC＝∠ECA＝30°，∠BAC＝90°．分析到這個(gè)程度后，問題自然就獲解了．【解題過程】解：對(duì)于①，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，∵∠ADC＝60°，∴∠BAD＝120°，∠ABC＝60°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝60°，∴△ABE是等邊三角形，又∵AB＝BC＝1，∴AB＝AE＝BE＝EC＝1，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CAD＝30°，故①正確；對(duì)于②，∵BD＝2BO，BO＝，AO＝AC，AC＝＝，∴BD＝，故②正確；對(duì)于③，S平行四邊形ABCD＝AB·AC剛好符合平行四邊形的面積公式，故③正確；對(duì)于④，OE＝AB，AB＝AD，∴OE＝AD，故④正確；對(duì)于⑤，由③得S平行四邊形ABCD＝AB·AC＝．∵BE＝EC，AO＝OC，∴OE是△ABC的中位線，∴OE∥AB，OE＝AB，∴OP＝BP＝OB＝BD，∴S△APO＝S△ABD＝S平行四邊形ABCD＝，故⑤正確．【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等邊三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的判定和性質(zhì)；三角形的中位線；比例線段；相似三角形的性質(zhì)；勾股定理；三角形的面積公式；平行四邊形的面積公式3.（2018四川樂山，4，3）如圖2，DE∥FG∥BC，若DB=4FB，則EG與GC的關(guān)系是（）.A.EG=4GCB.EG=3GCC.EG=GCD.EG=2GC圖2【答案】B【思路分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是利用平行線分線段成比例定理得到正確的比例式.【解析】解：∵DE∥FG∥BC，∴，又∵DB=4FB，∴，∴，∴，故選擇答案B.根據(jù)平行線分線段成比例定理，可以得出多組成比例線段，解題時(shí)要認(rèn)準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系，找出已知條件最多的一組進(jìn)行解答.【知識(shí)點(diǎn)】平行線分線段成比例定理4.(2018甘肅省蘭州市,7,4分)如圖,邊長為4的等邊△ABC中,D?E分別是AB?AC的中點(diǎn),則△ADE的面積是()A.B.C.D.(第7題)(第7題)CAEDB【答案】A【解析】邊長為4的等邊三角形的面積為×4×2=4,因?yàn)镈,E分別為AB,AC的中點(diǎn),所以△ADE∽△ABC,所以S△ADE:S△ABC=1:4,所以S△ADE=×4=,故選A?【知識(shí)點(diǎn)】三角形中位線相似三角形的判定和性質(zhì)5.（2018黑龍江綏化，9，3分）兩個(gè)相似三角形的最短邊分別為5cm和3cm，他們的周長之差為12cm，那么大三角形的周長為（）A．14cmB．16cmC.18cmD．30cm【答案】D.【解析】解：∵兩個(gè)相似三角形的最短邊分別為5cm和3cm，∴兩個(gè)相似三角形的相似比為.設(shè)較小的三角形的周長為cm，則較大的三角形的周長為(+12)cm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得：，解得x=18，故大三角形的周長為18+12=30cm.故選D.【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形性質(zhì)6.（2018浙江嘉興，12，4）1∥l2∥l3．直線AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A、B、C；直線DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D、E、F，已知，．【答案】2【解析】∵，∴,∵l1∥l2∥l3，∴．7.（2018貴州省畢節(jié)市，11，3分）在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為:O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O(shè)為位似中心，與△OAB位似，若B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－6)，則A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．(－2，－4)B．(－4，－2)C．(－1，－4)D．(1，－4)【答案】A．【解題過程】如下圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2，－4)，故選A．【知識(shí)點(diǎn)】位似；點(diǎn)的坐標(biāo)8.（2018貴州省畢節(jié)市，14，3分）如圖，在矩形ABCD中,AD=3，M是CD上的一點(diǎn)，將△ADM沿直線AM對(duì)折得到△ANM，若AN平分∠MAB,則折痕AM的長為()A．3B．C．D．6【答案】B．【思路分析】由題意可得，∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，可得∠NAB＝30°，再用特殊角的三角函數(shù)值可求出折痕AM的長．【解題過程】解：由題意可得，∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四邊形是矩形，∴∠DAB＝90°，又∵∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB＝30°，則在則在Rt△DEF中，∵BC＝60，∴sin∠MAN＝，即，解得AM＝，故選B．【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)和判定；角平分線的性質(zhì)；折疊的性質(zhì)9.（2018貴州省畢節(jié)市，12，3分）如圖,在平行四邊形ABCD中，E是DC上的點(diǎn)，DE:EC=3:2，連接AE交BD于點(diǎn)F，則△DEF與△BAF的面積之比為()A．2:5B．3:5C．9:25D．4:25【答案】C．【思路分析】證明△DEF∽△BAF，即可證得，可得△DEF與△BAF的面積之比．【解題過程】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD，∴∠EDF＝∠ABF，∠DEF＝∠BAF，∴△DEF∽△BAF，又∵DE:EC=3:2,∴，∴，故選C．【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)和判定；平行的性質(zhì)10.（2018吉林省長春市，6，3）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有桿不知其長，量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問桿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺.同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），則竹竿的長為（A）五丈（B）四丈五尺（C）一丈（D）五尺【答案】B【解析】本題是利用相似求物高的問題，默認(rèn)已知條件：太陽光是平行光線；同一時(shí)刻，甲物高/乙物高=甲影長/乙影長.看實(shí)際問題：有一根竹竿不知道有多長，量出它在太陽下的影子長一丈五尺.同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸.提取關(guān)鍵信息：標(biāo)桿高度-----一尺五寸，標(biāo)桿影長----五寸，竹竿高度----未知數(shù)，竹竿影長一丈五尺，畫出草圖，設(shè)竹竿高度為，建立數(shù)學(xué)模型：，解得=四丈五尺.【知識(shí)點(diǎn)】相似，數(shù)學(xué)文化，方程思想.11.（2018江蘇揚(yáng)州，8，3）如圖，點(diǎn)A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P，M．對(duì)于下列結(jié)論：①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?ME；③2CB2=CP?CM．其中正確的是（）A．①②③B．①C．①②D．②③【答案】A【解析】由已知：AC=AB，AD=AE，∴；∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAE=∠CAD，∴△BAE∽△CAD，所以①正確；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA=∠CDA；∵∠PME=∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP?MD=MA?ME所以②正確；∵∠BEA=∠CDA，∠PME=∠AMD，∴P、E、D、A四點(diǎn)共圓，∴∠APD=∠EAD=90°；∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°，∴△CAP∽△CMA，∴AC2=CP?CM，∵AC=AB，∴2CB2=CP?CM所以③正確；故選A．【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)和判定12.（2018廣西貴港，10，3分）如圖，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四邊形BCFE＝16，則S△ABC＝ A．16 B．18 C．20 D．24【答案】B【解析】設(shè)△AEF的面積為S，則△ABC的面積為（16＋S），由于在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，所以EQ\F(S,16＋S)＝(EQ\F(AE,AB))2＝(EQ\F(1,3))2＝EQ\F(1,9)，解得S＝2，所以S△ABC＝16＋2＝18，故選B．13.（2018貴州銅仁，6，4）已知△ABC∽△DEF，相似比為2，且△ABC的面積為16，則△DEF的面積為（）【答案】C，【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比為2，∴△ABC和△DEF的面積從為4︰1，且△ABC的面積為16，∴△DEF的面積為4.14.（2018內(nèi)蒙古包頭，12，3分）如圖5，在四邊形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E為BC的中點(diǎn)，AE與BD相交于點(diǎn)F.若BC＝4，∠CBD＝30°，則DF的長為()A.B.C.D.【答案】D【解析】連接DE∵∠BDC＝90°∴DE＝BE＝＝2∴∠CBD＝∠EDB＝30°∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠CBD＝30°∴AB∥DE∴△DEF∽△BAF∴易求得AB＝3，∴∴,故選擇D.【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)；含有30°角的直角三角形的性質(zhì)15.（2018山東萊蕪，12，3分）如圖，在矩形ABCD中，∠ADC的平分線與AB交于E，點(diǎn)F在DE的延長線上，∠BFE=90°，連接AF、CF，CF與AB交于G.有以下結(jié)論：①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG·FC；④EG·AE=BG·AB．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路分析】結(jié)論①由AE＝AD＝BC顯然成立；結(jié)論②可證明△AFE≌△CFB；結(jié)論③只要說明△FBG與△FCB不相似；結(jié)論④可過點(diǎn)F作FI⊥DC于點(diǎn)I，交AB于點(diǎn)H，利用△FEG∽△FDC和tan∠FAH＝tan∠BCG得證．【解題過程】對(duì)于結(jié)論①，∵四邊形ABCD是矩形，∴DC∥AB，∠ADC＝90°；∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∴∠AED＝∠CDE＝45°，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，又∵AD＝BC，∴AE＝BC，結(jié)論①正確；對(duì)于結(jié)論②，∵在△BFE中，∠BEF＝∠AED＝45°，而∠∠BFE＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，而∠AEF＝∠CBF＝135°，∴△AFE≌△CFB，∴AF＝CF，結(jié)論②正確；對(duì)于結(jié)論③，∵∠BFG＝∠CFB，而∠FGB＝∠FEB＋∠EFG＜45°＋90°＝135°＝∠FBC，∴△FBG與△FCB不相似，結(jié)論③不正確；對(duì)于結(jié)論④，過點(diǎn)F作FI⊥DC于點(diǎn)I，交AB于點(diǎn)H，∵DC∥AB，∴△FEG∽△FDC，∴EQ\F(EG,DC)＝EQ\F(FH,FI)，∴EQ\F(EG,AB)＝EQ\F(FH,DI)＝EQ\F(FH,AH)＝tan∠FAH，而EQ\F(BG,AE)＝EQ\F(BG,BC)＝tan∠BCG；又由△AFE≌△CFB，得∠FAH＝∠BCG，∴EQ\F(EG,AB)＝EQ\F(BG,AE)，∴EG·AE＝BG·AB．結(jié)論④正確；故答案為C．【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形；相似三角形；銳角三角函數(shù)；等腰三角形的性質(zhì)與判定16.（2018黑龍江哈爾濱，10，3）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，點(diǎn)G在線段AD上，GE//BD，且交AB于點(diǎn)E，GF∥AC，且交CD于點(diǎn)F，則下列結(jié)論一定正確的是()A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D，【解析】∵GE//BD∴＝又∵GF//AC∴＝∴＝17.（2018湖北隨州6，3分）如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分，則的值為（）A．1B．C．－1D．＋1【答案】C．【解析】因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC．由于DE把△ABC分成面積相等的兩部分，再結(jié)合相似三角形的面積比等于相似比的平方，得＝()2＝，所以＝，故＝＝－1．18.(2018湖南邵陽，8，3分)如圖(三)所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，4)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B．將△AOB以坐標(biāo)原點(diǎn)O為位似中心縮小為原圖形的，得到△COD，則CD的長度是()A．2B．1C．4D．2圖(三)【答案】A，【解析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊的比等于位似比，可得＝，因?yàn)锳B＝4，所以CD＝2．故選A．19.（2018內(nèi)蒙古包頭，11，3分）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線l2：與直線l1在第一象限交于點(diǎn)C，若∠BOC＝∠BCO，則k的值為()A.B.C.D.【答案】B【解析】在中，令x＝0，得y＝1，∴OB＝1；令y＝0，得x＝，∴OA＝；在Rt△OAB中，由勾股定理得AB＝∵∠BOC＝∠BCO∴BO＝BC＝1∴AC＝3－1＝2作CD⊥OA于點(diǎn)D則△ADC∽△AOB∴，即，得將代入得,∴C（）將C（）代入得，故選擇B.【知識(shí)點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)20.（2018年浙江省義烏市，7，4）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，ABm，CO=1m，則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為（）m m m m【答案】C【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，∠AOB=∠COD(對(duì)頂角相等)，∴△AOB∽△COD∴，∴CD=m，故選擇C【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用二、填空題1.（2018廣西省柳州市，18，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠DCA＝30°，AC＝，AD＝，則BC的長為_________.第18題圖【答案】2或5【解析】過點(diǎn)A作AE∥BC，AE與CD的延長線交于點(diǎn)E，則∠CAE＝90°.∵∠ECA＝30°，AC＝，∴AE＝1.設(shè)BC＝a，由AE∥BC可知△BCD∽△AED，∴＝，即＝，∴BD＝a.在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝BC2＋AC2，得：(a＋)2＝a2＋()2，解得：a＝2或a＝5.故BC的長為2或5.【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理、相似三角形2.（2018黑龍江省龍東地區(qū)，10，3分）如圖，已知等邊△ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊△AB1C1；再以等邊△AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊△AB2C2；再以等邊△AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊△AB3C3；…，記△B1CB2面積為S1，△B2C1B3面積為S2，△B3C2B4面積為S3，如此下去，則Sn＝________．【答案】（或?qū)懗傻绕渌问剑舅悸贩治觥渴紫纫鞔_，圖中所有的陰影直角三角形都是含30°的直角三角形，它們都是相似的，對(duì)于每一個(gè)含30°角的直角三角形，其三邊之比為1：2：．在此基礎(chǔ)上，利用相似三角形的性質(zhì)“相似三角形的面積比等于相似比的平方”求解即可．【解題過程】依題意得B1C＝1，B2C＝，B1B2＝，又B1B2＝B2C1，∴B2C1＝，∵∠C＝∠C1＝60°，∠B1B2C＝∠B2B3C1＝90°，∴△B1B2C∽∠B2B3C1，∴，∴＝；同理可得＝＝×；＝××；…，∴＝＝．∵＝＝＝，∴Sn＝×＝．【知識(shí)點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；勾股定理3.（2018黑龍江省齊齊哈爾市，題號(hào)17，分值3）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（，1）在射線OM上，點(diǎn)B(，3)在射線ON上，以AB為直角邊作Rt△以為直角邊作第二個(gè)Rt△，以為直角邊作第三個(gè)Rt△，……，依此規(guī)律，得到Rt△，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_______.【答案】【解析】∵A（，1），B（，3），由圖可知，x軸∥∥∥……∴△∽△∽△……，∠=30°，AB=2，∴=2，=6，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為9=32，的縱坐標(biāo)為27=33，……，以此類推，的縱坐標(biāo)為.∴的縱坐標(biāo)為.【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)的應(yīng)用，坐標(biāo)點(diǎn)與圖象的關(guān)系.4.（2018年黔三州，20,3）如圖，已知在△ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點(diǎn)F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，則△ABC的面積為.【答案】60【解析】∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°.∵∠BAC=45°，∴AE=EB.∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°，∴∠EAF=∠CBE.∴△AEF≌△BEC，∴AF=BC=10，設(shè)DF=x．∵△ADC∽△BDF，∴=，∴=.整理得x2+10x﹣24=0，解得x=2或﹣12（舍棄），∴AD=AF+DF=12，∴S△ABC=?BC?AD=×10×12=60．【知識(shí)點(diǎn)】三角形高，全等三角形、一元二次方程5.（2018遼寧省沈陽市，16，3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AB=，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)H是線段AD上一點(diǎn)，連接BH，CH，當(dāng)∠BHD=60°，∠AHC=90°時(shí)，DH=.第16題圖【答案】【解析】在△BDH和△ADB中，∴△BDH∽△ADB.∴.∴.如圖，AE⊥BC與點(diǎn)E，∵∠AHC=90°，∴∠CHD=∠AED=90°.在△CHD和△AED中，∴△CHD∽△AED.∴.∴∴在等邊三角形ABC中，∵AE⊥BC，∴BE=CE=BC=AB=.∴由，得，即.解得DE=.∴BD=BE-DE=-=.又∵AE=，∴AD=.∴由，得=.解得DH=.【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定及性質(zhì)；勾股定理；等邊三角形的性質(zhì).6.（2018青海，7，2分）如圖3，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點(diǎn)O，且,則QUOTEOEEA=.圖3【答案】【解析】∵四邊形ABCD與四邊形EFGH位似∴△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC ∴==，∴==【知識(shí)點(diǎn)】位似7.（2018江蘇常州，18，2）如圖，在△ABC紙板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P沿直線剪下一個(gè)與△ABC相似的小三角形紙板，如果有4種不同的剪法，那么AP長的取值范圍是_______．【答案】【解析】如下圖，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，都有PE∥BC，PG∥AB，∠APD=∠B，有三種相似，即△CPG∽△CAB，△APD∽△ABC，△APD∽△ABC，當(dāng)∠CPF=∠B時(shí)，點(diǎn)F如果與B重合如下圖，則△CBP∽△CAB，∴，求得CP=1，∴PA=3，所以AP的取值范圍是：.8.(2018遼寧葫蘆島，16，3分)如圖，OP平分∠MON，A是邊OM上一點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，大于點(diǎn)A到ON的距離為半徑作弧，交ON于點(diǎn)B、C，再分別以點(diǎn)B、C為圓心，大于BC的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，作直線AD分別交OP、ON于點(diǎn)E、F，若∠MON＝60°，EF＝1，則OA＝__________．【答案】2，【解析】由垂線的作法得AD⊥ON，由OP平分∠MON得∠PON＝30°，由兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得△AOF∽△OEF，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得＝．利用銳角三角函數(shù)求得OE，OF，OA可得．解：∵AD⊥ON，∠MON＝60°，∴∠OAD＝30°．∵∠PON＝∠MON＝30°，∴△AOF∽△OEF．∴＝．∵EF＝1，∴OE＝2，OF＝．∴＝．∴OA＝2．9.(2018遼寧葫蘆島，17，3分)如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，將△BCE沿BE折疊得到△BEF，且點(diǎn)F在矩形ABCD的內(nèi)部，將BF延長交AD于點(diǎn)G．若，則＝__________．【答案】，【解析】連接EG，證△EFG≌△EDG．得DG＝FG，∠DEG＝∠FEG．又因?yàn)檎郫B，所以∠DEG＝∠FEG．所以∠BEG＝90°．∵，∴．∵AD＝BC＝BF，∴．∵△EFG∽△BFE，∴EF2＝BF·FG．∴EF＝BF．∴CD＝2EF＝BF．即＝＝．10.（2018內(nèi)蒙古包頭，18，3分）如圖7，在ABCD中，AC是一條對(duì)角線，EF∥BC，且EF與AB相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，3AE＝2EB，連接DF.若S△AEF＝1，則S△ADF的值為.【答案】【思路分析】由3AE＝2EB得；由EF∥BC易證得△AEF∽△ABC，所以求出的值，又因?yàn)镾△AEF＝1，所以求出S△ABC＝，又因?yàn)锳C是對(duì)角線，所以S△ADC＝，又因?yàn)?，求出S△ADF=.【解題過程】解：∵3AE＝2EB∴∵EF∥BC易證得△AEF∽△ABC，∴，又∵S△AEF＝1，∴S△ABC＝，∵AC是對(duì)角線，∴S△ADC＝，又∵，∴S△ADF＝.【知識(shí)點(diǎn)】平行線分線段成比例定理；相似三角形的性質(zhì)11.（2018內(nèi)蒙古包頭，20，3分）如圖9，在Rt△ACB中，∠ACB＝25°，AC=BC，D是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接DE，DE與AC相交于點(diǎn)F，連接AE.下列結(jié)論：①△ACE≌△BCD；②若∠BCD＝25°，則∠AED＝65°；③DE2＝2CF·CA；④若AB＝，AD＝2BD，則AF＝.其中正確的結(jié)論是.（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③【思路分析】該題運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出△ACE≌△BCD；利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠AED；利用等腰直角三角形的三邊關(guān)系及轉(zhuǎn)化思想證明DE2＝2CF·CA；利用三角形和DE2＝2CF·CA這個(gè)結(jié)論求出AF的值.【解題過程】①由題意易得∠BCD＝∠ACE，由“邊角邊”證明△ACE≌△BCD，故①正確；②∵△ACE≌△BCD∴∠CAE＝∠CBD＝45°∵∠BCD＝25°∴∠ACE＝∠BCD＝25°∴∠AED＝∠AEC－∠CED＝(180°－25°－45°)－45°＝65°，故②正確；③∵∠CAE＝∠CED＝45°,∠ACE＝∠ACE∴△ACE∽△ECF∴，即在Rt△DCE中，DE2＝2CF·CA，故③正確；④作DM⊥BC于點(diǎn)M∴DM＝BM＝1∴CM＝3－1＝2∴DC＝CE＝由③可知DE2＝2CF·CA，∴∴∴,故④錯(cuò)誤.【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)12.（2018上海，17，4分）如圖4，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、ACBC=4，△ABC的面積是6，那么這個(gè)正方形的邊長是.【答案】，【解析】作AH⊥BC于點(diǎn)H，交GF于點(diǎn)I，設(shè)正方形的邊長是x.因?yàn)椤鰽BC的面積是6，所以，又因?yàn)锽C=4，所以AH=3，AI=3－x，因?yàn)檎叫蜠EFG，所以GF∥BC，所以,，解得，所以正方形的邊長是.13.（2018四川巴中，20，3分）如圖，已知在△ABC中，BC邊上的高AD與AC邊上的高BE交于點(diǎn)F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，則△ABC的面積為.【答案】60.【解析】先推導(dǎo)出△ABE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE＝BE，利用同角的余角相等求出∠1＝∠2，然后利用“角邊角”證明△AFE和△BCE全等；求出BC的長為6＋4＝10，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AF＝BC＝10，然后求出△ACD和△BFD相似，設(shè)DF＝x．∵△ADC∽△BDF，∴QUOTE，∴QUOTE，整理得x2＋10x﹣24＝0，解得x＝2或﹣12（舍棄），∴AD＝AF＋DF＝12，∴S△ABC＝QUOTE?BC?AD＝QUOTE×10×12＝60．故答案為60．14.（2018貴州貴陽，15，4分）如圖，在△ABC中，BC＝6，BC邊上的高為4，在△ABC的內(nèi)部作一個(gè)矩形EFGH，使EF在BC邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC邊上，則對(duì)角線EG長的最小值為.【答案】【解析】過點(diǎn)A作AM⊥DG于M，交BC于N.由題意知，要使矩形EFGD的對(duì)角線最小，則該矩形為正方形.∵DG//BC，∴△ADG∽△ABC.設(shè)正方形EFGD邊長為x，∴，即.解之，x＝.∴在Rt△EFG中，根據(jù)勾股定理知，對(duì)角線EF＝.15.(2018湖南邵陽，12，3分)如圖(六)所示，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，交CD于點(diǎn)F，連接BF．寫出圖中任意一對(duì)相似三角形：________________．圖(六)【答案】：△ADF∽△ECF或△EBA∽△ECF或△ADF∽△EBA(任意寫一對(duì)即可)，【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD∥BC，所以△ADF∽△ECF；因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB∥CD，所以△EBA∽△ECF;因?yàn)椤鰽DF∽△ECF∽△EBA，所以△ADF∽△EBA．16.（2018L遼寧省撫順市，題號(hào)17，分值3）如圖，△AOB三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(8,0)，O(0,0),B(8,-6),點(diǎn)M為OB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為位似中心，把△AOB縮小為原來的，得到△A’O’B’,點(diǎn)M’為O’B’的中點(diǎn)，則MM’的長為_________.【答案】或【解析】由題可知，OA=8,AB=6,點(diǎn)O與點(diǎn)O’重合，∴OB=10，OM=5，OM’=.當(dāng)△A’O’B’在第四象限時(shí)，MM’=OM-OM’=；當(dāng)△A’O’B’在第二象限時(shí)，MM’=OM+OM’=.【知識(shí)點(diǎn)】位似圖形的性質(zhì)，勾股定理.17.（2018遼寧省撫順市，題號(hào)18，分值3）如圖，正方形AOBO的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（0,2），為正方形AOBO的中心；以正方形AOBO的對(duì)角線AB為邊，在AB的右側(cè)作正方形,為正方形的中心；再以正方形的對(duì)角線為邊，在的右側(cè)作正方形,為正方形的中心；再以正方形的對(duì)角線為邊，在的右側(cè)作正方形，為正方形的中心；…；按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______.【答案】（）【解析】由圖可知，上有點(diǎn)，上有點(diǎn),上有點(diǎn)，…可得點(diǎn)在上，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為點(diǎn)縱坐標(biāo)的一半，橫坐標(biāo)與點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)C，∴Rt△COA∽R(shí)t△CB∽R(shí)t△C∽R(shí)t△……這些直角三角形均為等腰直角三角形，且后一個(gè)三角形和前一個(gè)三角形的相似比為2:1，已知A（0,2），OC=OA，∴的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為，∴點(diǎn)（，）.【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形的性質(zhì)，圖形與坐標(biāo)點(diǎn)之間的關(guān)系，正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，探索數(shù)字規(guī)律.18.（2018·寧夏，12，3）已知＝，則的值是_______________．【答案】－．【解析】解法一：∵＝，∴a＝b．∴原式＝．解法二：由題意可令a＝2k，b＝3k（k≠0），則原式＝．【知識(shí)點(diǎn)】代數(shù)式的值；比例的基本性質(zhì)19.（2018云南，5，3分）如圖，已知AB∥CD，若＝，則＝________．（第5題圖）（第5題圖）【答案】．【解析】因?yàn)锳B∥CD，所以△OAB∽△OCD，所以＝＝．20.（2018浙江舟山，12，4）1∥l2∥l3．直線AC交l1，l2，l3于點(diǎn)A、B、C；直線DF交l1，l2，l3于點(diǎn)D、E、F，已知，．【答案】2【解析】∵，∴,∵l1∥l2∥l3，∴．21.（2018遼寧錦州，12，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，已知△AOB與△A1OB1位似，位似中心為原點(diǎn)O，且相似比為3:2，點(diǎn)A、B都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為【答案】(-2,)，【解析】：利用位似圖形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)而得出答案．注意象限與符號(hào).三、解答題1.（2018海南省，23，13分）已知，如圖11-1，在□ABCD中，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△ADE≌△BFE；（2）如圖11-2，點(diǎn)G是邊BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)G不與點(diǎn)B，C重合)，連接AG交DF于點(diǎn)H，連接HC，過點(diǎn)A作AK∥HC，交DF于點(diǎn)K．①求證：HC=2AK；②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí)，恰有HD=n·HK（n為正整數(shù))，求n的值．【思路分析】（1）點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，AD∥BC，易證得△ADE≌△BFE；（2）①AK∥HC，∠AKE=∠CHD，∠AEK=∠CDH，從而證得△AEK∽△CDH，，2AE=AB=CD，故HC=2AK；②由△AHD∽△GHF，得，2BG=AD=BF，，易證得△AKD∽△CHF，，，HK=HD﹣KD=，故，因此求得n=4．【解題過程】（1）證明：在□ABCD中，有AD∥BC，∴∠ADE=∠F，∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，∴AE=BE，又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE．（2）①在□ABCD中，有AB∥CD，AB=CD．∴∠AEK=∠CDH，∵AK∥HC，∴∠AKE=∠CHD，∴△AEK∽△CDH．∴．又∵E是邊AB的中點(diǎn)，∴2AE=AB=CD，∴HC=2AK．②當(dāng)點(diǎn)G是邊BC中點(diǎn)時(shí)，在□ABCD中，有AD∥BC，AD=BC，∴△AHD∽△GHF，∴．由（1）得，△ADE≌△BFE，∴AD=BF，又∵G是BC中點(diǎn)，∴2BG=AD=BF，∴．∵AD∥FC，∴∠ADK=∠F，∵AK∥HC，∴∠AKH=∠CHK，∴∠AKD=∠CHF，∴△AKD∽△CHF．∴，∴，HK=HD﹣KD=，∴，∴n=4．【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定2.（2018黑龍江省龍東地區(qū)，26，8分）如圖，在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，BC＝BD，點(diǎn)A在CB的延長線上，且BA＝BC，點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)，過點(diǎn)E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上移動(dòng)時(shí)，如圖1所示，求證：BC－DE＝；（2）當(dāng)點(diǎn)E在直線BD上移動(dòng)時(shí)，如圖2、圖3所示，線段BC、DE與DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，不需證明．圖1 圖2 圖3【思路分析】由BC＝BD很容易發(fā)現(xiàn)：BC－DE＝BE，因此，此題事實(shí)上就是去判斷BE與DF的數(shù)量關(guān)系，因此有兩種基本思路，一是將DF向BE靠攏，二是將BE向DF靠攏．結(jié)合問題中的的數(shù)量關(guān)系，因此在“靠攏”的過程中要思考構(gòu)造等腰直角三角形的幾何模型．思路1：根據(jù)前面的思考，結(jié)合∠ABD＝90°，因此考慮在AB上取一點(diǎn)G，使BG＝BE，如答圖1，連接EG，則BE＝EG，接下來證明EG＝DF即可．思路2：根據(jù)前面的思考，結(jié)合∠BDC＝45°，其對(duì)頂角也是45°，因此考慮過點(diǎn)F作BD的垂線，構(gòu)造等腰直角三角形DFG，則FG＝DF，接下來證明FG＝BE即可．答圖2，答圖3，答圖4，答圖5都體現(xiàn)了這種思路．此外，從相似三角形的角度也可以解決此題．【解題過程】解：（1）證法1：如答圖1，在AB上取一點(diǎn)G，使BG＝BE，連接EG，∵∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，∴△GBE是等腰直角三角形，∠BGE＝45°，∴∠AGE＝135°．∵BC＝BD，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠BDC＝45°，∴∠EDF＝135°，∴∠AGE＝∠EDF．∵BC＝BD，BC＝BA，∴BA＝BD，∴AG＝ED．∵∠AEF＝90°，∴∠FED＋∠AEB＝90°，∵∠ABD＝90°，∴∠GAE＋∠AEB＝90°，∴∠FED＝∠EAG，∴△FED≌△EAG，∴DF＝GE．在Rt△BEG中，由勾股定理得BE＝GE，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴BC－DE＝DF．證法2：如答圖2，作FG⊥BD，交BD延長線于點(diǎn)G，連接EC，則EA＝EC，∠BAE＝∠BCE，∵ABE＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB＋∠FEG＝90°，∴∠FEG＝∠BCE，∵BC＝BD，∴∠BCD＝45°，∴∠BDC＝45°，∴∠FDG＝45°，∴∠ECD＝45°－∠BCE，∠EFD＝45°－∠FEG，∴∠ECD＝∠EFD，∴EC＝EF，∴AE＝EF，∴△ABE≌△EGF，∴BE＝GF，在Rt△DFG中，由勾股定理得GF＝DF，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴BC－DE＝DF．方法3：如答圖3，取點(diǎn)F關(guān)于BD軸對(duì)稱的點(diǎn)H，作FG⊥BD，交BD延長線于點(diǎn)G．類比方法2，問題可證．方法4：如答圖4，連接AD，作EH⊥BD，交AD于點(diǎn)H，作FG⊥BD，交BD延長線于點(diǎn)G．先證明△AHE≌△FDE，得AE＝EF，再證明△ABE≌△EGF，問題可證．方法5：作FG⊥BD，交BD延長線于點(diǎn)G．∵∠EAB＝∠FEG，∠ABE＝∠EGF＝90°，∴△ABE∽△EGF，∴，∵AB＝BD，DG＝GF，∴，即，∴，∴BE＝DG，∴BE＝GF，在Rt△DFG中，由勾股定理得GF＝DF，∵BE＝BD－DE＝BC－DE，∴BC－DE＝DF．（2）圖2中，猜想DE－BC＝DF．圖3中，猜想BC＋DE＝DF．答圖1 答圖2 答圖3 答圖4 答圖5【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理3.（2018黑龍江省龍東地區(qū)，28，10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)（－3，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且sin∠CBO＝．點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒一個(gè)單位長度的速度沿x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0≤t≤5）秒，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l，直線l掃過四邊形OCDA的面積為S．（1）求點(diǎn)D坐標(biāo)；（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）在直線l移動(dòng)過程中，l上是否存在一點(diǎn)Q，使以B、C、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【思路分析】對(duì)于（1），根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)和銳角三角函數(shù)值可求OC和BC的長，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到CD的長，從而得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；對(duì)于（2），分兩種情況，第一種，直線l掃過的圖形是矩形，利用矩形面積公式即可求解，第二種，直線l掃過的圖形是矩形和梯形的組合圖形，分別利用面積公式即可求解；對(duì)于（3），分三種情況討論，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求解過程用全等三角形的判定和性質(zhì)即可．【解題過程】解：（1）∵點(diǎn)B坐標(biāo)（－3，0），∴OB＝3，∵sin∠CBO＝，∴OC＝4，BC＝5，C（0，4）．∵菱形ABCD，∴CD＝BC＝BA＝5，CD∥BA，∴D（5，4）．（2）依題意知OP＝t，由（1）知OC＝4，OA＝BA－OB＝2．①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，如答圖1，S＝OP×OC＝4t；②當(dāng)2＜t≤5時(shí)，如答圖2，AP＝OP－OA＝t－2，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠SAP，∴△CBO∽△SAP，∴，∴，∴SP＝，∴S△APS＝＝＝，∴SOASRC＝S矩形OPRC－S△APS＝4t－（）＝．綜上，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為S＝．答圖1 答圖2（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（1，－3）或（4，1）．①如答圖3，當(dāng)BQ＝CQ時(shí)，延長PQ交CD于點(diǎn)M，∵∠BQC＝90°，∴∠BQP＋∠CQM＝90°，∵∠CQM＋∠QCM＝90°，∴∠BQP＝∠QCM，∴△BQP≌△QCM，∴CM＝QP，QM＝BP，又∵CM＝OP，∴OP＝QP＝t，∴QM＝PM－QP＝4－t，BP＝BO＋OP＝3＋t，∴4－t＝3＋t，∴t＝，∴Q1（，）．②如答圖4，當(dāng)BQ＝BC時(shí)，∵∠CBQ＝90°，∴∠CBO＋∠PBQ＝90°，∵∠PBQ＋∠BQP＝90°，∴∠CBO＝∠BQP，∴△CBO≌△BQP，∴BP＝CO＝4，PQ＝OB＝3，∴OP＝BP－OB＝1，∴Q2（1，－3）．③如答圖5，當(dāng)CB＝CQ時(shí)，∵∠BCQ＝90°，∴∠BCO＋∠OCQ＝90°，∵∠OCQ＋∠QCM＝90°，∴∠BCO＝∠QCM，∴△BCO≌△QCM，∴CM＝CO＝4，MQ＝OB＝3，∴PQ＝MP－MQ＝1，∴Q3（4，1）．綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（1，－3）或（4，1）．答圖3 答圖4 答圖5【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形；全等三角形的判定和性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；相似三角形的判定和性質(zhì)4.（2018山東省東營市，20，10分）（1）某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團(tuán)遇到這樣一個(gè)題目：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=,BO:CO=1:3,求AB的長。經(jīng)過社團(tuán)成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)B作BD∥AC,交AO的延長線于點(diǎn)D，通過構(gòu)造△ABD就可以解決問題（如圖2）。請(qǐng)問答：∠ADB= ，AB= .請(qǐng)參考以上解題思路，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AC⊥AD,AO=,∠ABC=∠ACB=75°，BO:OD=1:3,求DC的長。(第(第24題圖1)(第24題圖2)(第24題圖3)【思路分析】（1）利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可得∠ADB=∠OAC=75°和△AOC與△DOB相似，于是得DO=，再利用三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABD=75°，所以∴AB=AD=4。（2）同理，可過B作AD的平行線，利用相似可求得DC的長?！窘忸}過程】∵BD∥AC∴∠BDO=∠OAC=75°，∵∠AOC=∠DOB∴△DOB∽△AOC∴∵AO=∴DO=.∴AD=AO+DO=+=.∵在△ABD中，∠BAO=30°，∠ADB=75°，∴∠ABD=180°-∠BAO-∠ADB=180°-30°-75°=75°，∴∠ABD=∠ADB∴AB=AD=.(2)解：過點(diǎn)B作BE∥AD交AC于點(diǎn)E(第(第24題答案圖)∵AC⊥AD∴∠DAC=∠BEA=90°∵∠AOD=∠EOB∴△AOD∽△EOB∴∵BO:OD=1:3∴.∵AO=∴EO=∴AE=∵∠ABC=∠ACB=75°∴∠BAC=30°,AB=AC.∴AB=2BE在Rt△AEB中，即,得BE=4.∴AB=AC=8,AD=12.在Rt△CAD中，即,得CD=【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的性質(zhì)與判定方法，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定。5.（2018四川樂山，1，3）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E分別在BC、AC邊上，連接BE、AD交于點(diǎn)P，設(shè)AC=kBD，CD=kAE，k為常數(shù)，試探究∠APE的度數(shù)；（1）如圖12.1，若k=1，則∠APE的度數(shù)為；（2）如圖12.2，若，試問（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立，求出∠APE的度數(shù)；（3）如圖12.3，若，且D、E分別在CB、CA的延長線上，（2）中的結(jié)論是否成立，請(qǐng)說明理由.【思路分析】本題考查的是全等與相似的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用.（1）如下圖，以AE、BE為邊構(gòu)造平行四邊形AEPM，連接DM，易證△ACD≌△DBM，故△ADM為等腰直角三角形，∴∠AEP=∠DAM=45°；（2）作平行構(gòu)造四邊形ADBF是平行四邊形，利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△FAE∽△ACD，得到，然后將其轉(zhuǎn)化為直角三角形中的兩邊的比，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到∠FBE=∠APE=30°；（3）類比（2）中的方法構(gòu)造平行四邊形，照舊利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明∴△ACD∽△HEA，得到，然后將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用特殊角的三角函數(shù)值得到∠ADH=∠APE=30°.【解題過程】解：25.（1）∠APE=45° 3分（2）（1）中的結(jié)論不成立，其理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于F，連接EF，如圖4所示，∵AF∥CB，BF∥AD，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四邊形ADBF是平行四邊形，∴BD=AF，BF=AD， 4分∵，，∴， 5分又∵BD=AF，∴，又∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD， 6分∴，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD.∵AD∥BF，∴∠EFB=90°. 7分在Rt△EFB中，∵∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，∴（1）中的結(jié)論不成立. 8分圖4（3）（2）中的結(jié)論成立，其理由如下：作EH∥CD，HD∥BE，DH、EH相交于H，連接AH，如圖5所示.∵EH∥CD，HD∥BE，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四邊形EBDH是平行四邊形，∴BE=DH，EH=BD， 9分∵，，∴，又∵BD=EH，∴，又∵∠HEC=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA， 10分∴，∠HAE=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠HAE+∠CDA=90°，∴∠HAD=90° 11分在Rt△DAH中，∵，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°，∴（2）中的結(jié)論成立. 12分圖5【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定；相似三角形的性質(zhì)；特殊角三角函數(shù)值的運(yùn)用；6.(2018甘肅省蘭州市,26,8分)如圖,在ABC中,過點(diǎn)C作CD//AB,E是AC的中點(diǎn),連接DE并延長,交AB于點(diǎn)F,交CB的延長線于點(diǎn)G.連接AD?CF.求證:四邊形AFCD是平行四邊形;若GB=3,BC=6,BF=,求AB的長.【思路分析】(1)由CD//AB,E是AC的中點(diǎn),證明△AEF≌△CED，利用對(duì)角線互相平分證明四邊形AFCD是平行四邊形;(2)利用△GBF∽△GCD，根據(jù)相似比求得CD，進(jìn)而求得AB的長?！窘忸}過程】AADCBEFG第26題圖∵E是AC中點(diǎn)，∴AE=CE,∵CD//AB,∴∠FAE=∠DCE,又∠AEF=∠CED,∴△AEF≌△CED,∴EF=ED,∴四邊形AFCD是平行四邊形;(2)∵CD//AB,∴△GBF∽△GCD,∴GB:GC=BF:CD,∴3:(3+6)=:CD,解得CD=,∴AB=BF+AF=BF+CD=+=6即AB的長為6.【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)相似三角形的判定和性質(zhì)平行線的性質(zhì)7.（2018黑龍江綏化，24，6分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D、E分別是斜邊AB、直角邊BC上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊.（1）如圖1，當(dāng)折疊后點(diǎn)B和點(diǎn)A重合時(shí)，用直尺和圓規(guī)作出直線DE（不寫作法和證明，保留作圖痕跡）（2）如圖2，當(dāng)折疊后點(diǎn)B落在AC邊上點(diǎn)P處，且四邊形PEBD是菱形時(shí)，求折痕DE的長.圖1圖2【思路分析】（1）確定兩弧相交的兩個(gè)交點(diǎn)，作出經(jīng)過兩個(gè)交點(diǎn)的直線，標(biāo)出與邊AB、BC的交點(diǎn)D、E和垂直符合即可；（2）首先連接BP，設(shè)CE=x，則BE=PE=4-x，根據(jù)△PCE∽△ACB可得出x的值即CE的值進(jìn)而得出BE的長，然后根據(jù)菱形的面積計(jì)算公式得出DE的長.【解題過程】解：（1）作圖如下：連接BP.∵四邊形PEBD是菱形，∴PE=BE.設(shè)CE=x，則BE=PE=4-x.∵PE∥AB，∴△PCE∽△ACB，∴，∴，∴，∴CE=，∴BE=PE=.在Rt△PCB中，∵PC=，BC=4，∴BP=.又∵S菱形PEBD=BE·PC=DE·BP，∴，∴DE=.【知識(shí)點(diǎn)】利用尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的面積計(jì)算公式8.（2018黑龍江綏化，28，9分）如圖，在矩形ABCD中，AD=5，CD=4，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，BE=3,連接AE，DE⊥AE交于點(diǎn)F.（1）求證：△ABE≌△DFA；（2）連接CF，求sin∠DCF的值；（3）連接AC交DF于點(diǎn)G，求的值.【思路分析】（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD∥BC，進(jìn)而得出∠AEB=∠DAF，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AE的長，進(jìn)而得出AE=AD，然后根據(jù)全等三角形的判定得出結(jié)論；首先連接DE交CF于點(diǎn)H，根據(jù)△ABE≌△DFA可得DF=AB=CD，進(jìn)而得出DE⊥CF，進(jìn)而得出∠DCH=∠DEC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念得出sin∠DCF=sin∠DEC=，進(jìn)而得出答案；首先過點(diǎn)C作CK⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)K，可得CK∥DF，進(jìn)而得出，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念計(jì)算出EK，進(jìn)而得出FK的長，進(jìn)而得出答案.【解題過程】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠AEB=∠DAF.∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA.在Rt△ABE中，AB=DC=4，BE=3，∴AE=5，∴AE=AD，∴△ABE≌△DFA.連接DE交CF于點(diǎn)H.∵△ABE≌△DFA，∴DF=AB=CD=4，AF=BE=3，∴EF=CE=2，∴DE⊥CF，∴∠DCH+∠HDC=∠DEC+∠HDC=90°，∴∠DCH=∠DEC.在Rt△DCE中，CD=4，CE=2，∴DE=2,∴sin∠DCF=sin∠DEC=.（3）過點(diǎn)C作CK⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)K.∴CK∥DF，∴.在Rt△CEK中，EK=CE·cos∠CEK=CE·cos∠AEB=2×=，∴FK=FE+EK=，∴.【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的概念，平行線分線段成比例定理9.（湖北省咸寧市，23，10）定義：我們知道，四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似（不全等),我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”.理解：如圖1，已知在正方形網(wǎng)格中，請(qǐng)你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形（保留畫圖痕跡，找出3個(gè)即可）；如圖2，在四邊形ABCD中，，對(duì)角線BD平分.求證：BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”；運(yùn)用：(3)如圖3，已知FH是四邊形EFGH的“相似對(duì)角線”，.連接EG，若的面積為，求FH的長.【思路分析】（1）先求出AB，BC，AC，再分情況利用相似比求出CD或AD，即可畫出圖形；（2）先判斷出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出△FEH∽△FHG，得出FH2=FE?FG，再判斷出EQ=FE，繼而求出?FE=8，即可得出結(jié)論．【解題過程】解：（1）由圖1知，AB=，BC=2，∠ABC=90°，AC=5，

∵四邊形ABCD是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形，

①當(dāng)∠ACD=90°時(shí)，△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA，

∴或，

∴CD=10或

同理：當(dāng)∠CAD=90°時(shí)，或AD=10，

（2）證明：∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=40°，

∴∠A+∠ADB=140°

∵∠ADC=140°，

∴∠BDC+∠ADB=140°，

∴∠A=∠BDC，

∴△ABD∽△BDC，

∴BD是四邊形ABCD的“相似對(duì)角線”；

（3）如圖3，

∵FH是四邊形EFGH的“相似對(duì)角線”，

∴△EFG與△HFG相似，

∵∠EFH=∠HFG，

∴△FEH∽△FHG，

∴，

∴FH2=FE?FG，

過點(diǎn)E作EQ⊥FG于Q，

∴EQ=FE?sin60°=FE，

∵FG×EQ=2，

∴FG×FE=2，

∴FG?FE=8，

∴FH2=FE?FG=8，

∴FH=2．【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定和性質(zhì)；銳角三角函數(shù)10.（2018浙江嘉興，24，12）我們定義：如果一個(gè)三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個(gè)三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個(gè)三角形的“等底”．（1）概念理解：如圖1，在△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ACB＝30°，試判斷△ABC是否是“等高底”三角形，請(qǐng)說明理由．（2）問題探究：如圖2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC關(guān)于BC所在直線的對(duì)稱圖形得到△A′BC，連結(jié)AA′交直線BC于點(diǎn)D．若點(diǎn)B是△AA′C的重心，求的值．（3）應(yīng)用拓展:如圖3，已知l1∥l2，l1與l2之間的距離為2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，有一邊的長是BC的倍．將△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C，A′C所在直線交l2于點(diǎn)D．求CD的值．圖1圖2圖3【思路分析】（1）求出BC邊上的高的長和BC比較；（2）由“等底”三角形可知AD＝BC，再由B為△AA′C的重心，知BC＝2BD，從而通過勾股定理，用BD表示出AC的長；（3）分兩種情況說明：AB＝和AC＝，畫出圖形．【解答過程】（1）如圖1，過點(diǎn)A作AD上直線CD于點(diǎn)D，∴△ADC為直角三角形，∠ADC＝90°∴∠ACB＝30°，AC＝6，∴AD＝＝3∴AD＝BC＝3即是“等高底”三角形．（2）如圖2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，∴AD＝BC∵△A′BC與與△ABC關(guān)于直線BC對(duì)稱，∴∠ADC＝90°∵點(diǎn)B是△AA′C的重心，∴BC＝2BD設(shè)BD＝x，則AD＝BC＝2x，∴CD＝3x∴由勾股定理得AC＝x，∴（3）①當(dāng)AB＝BC時(shí)，Ⅰ．如圖3，作AE⊥l1于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，“等高底”△ABC的“等底”為BC，l1∥l2.l1與l2之間的距離為2，AB＝BC∴BC＝AE＝2，AB＝∴BE＝2，即EC＝4，∴AC＝∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C，∴∠CDF＝45°設(shè)DF＝CF＝x∵l1∥l2，∴∠ACE＝∠DAF，∴，即．∴AC＝3x＝，可得x＝，∴CD＝Ⅱ．如圖4，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，∵△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AC＝②當(dāng)AC＝BC時(shí)，Ⅰ．如圖5，此時(shí)△ABC是等腰直角三角形，∴△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°得到△A′B′C時(shí)，點(diǎn)A′在直線l1上∴A′C∥l2，即直線A′C與l2無交點(diǎn)綜上，CD的值為，，2【其他不同解法，請(qǐng)酌情給分】24題圖124題圖224題圖324題圖424題圖524題圖611.（2018吉林省，12,2分）如圖是測(cè)量河寬的示意圖，AE與BC相交于點(diǎn)D，∠B=∠C=90°，測(cè)得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河寬AB=100m．【答案】100【解析】兩角對(duì)應(yīng)相等可得△BAD∽△CED，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB．易證△ABD∽△ECD，∴，即，∴AB=100.【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用12.（2018遼寧省沈陽市，24，12分）已知：△ABC是等腰三角形，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上（點(diǎn)M、點(diǎn)N不與所在線段端點(diǎn)重合），BN＝AM，連接AN，BM．射線AG∥BC，延長BM交射線AG于點(diǎn)D，點(diǎn)E在直線AN上，且AE＝DE．（1）如圖，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)：=1\*GB3①求證：△BCM≌△CAN；=2\*GB3②求∠BDE的度數(shù)；（2）當(dāng)∠ACB＝α，其它條件不變時(shí)，∠BDE的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）；（3）若△ABC是等邊三角形，AB＝，點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，直線ED與直線BC交于點(diǎn)F，請(qǐng)直接寫出線段CF的長.第24題圖第24題備用圖1第24題備用圖2【思路分析】（1）=1\*GB3①由CA＝CB，BN＝AM，得CN=CM，由“邊角邊”即可證明△BCM≌△CAN.=2\*GB3②由△BCM≌△CAN可知：∠MBC＝∠NAC.由AE＝DE可知：∠EAD＝∠EDA.故由AG∥BC可知：∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC.故可知：∠ADB=∠NAC，＋∠ANC=90°，故可得∠BDE＝∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD＝180°－90°＝90°.(2)當(dāng)α=90°時(shí)，∠BDE的度數(shù)是90°.求法同（1）=2\*GB3②．當(dāng)α≠90°時(shí)，∠BDE的度數(shù)是180°∠BDE=∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC=180°-∠CAN=180°-α，即可求得.（3）分兩種情況：【解題過程】解：（1）①∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB-BN=CA-AM.∴CN=CM.∵∠ACB＝∠ACB，BC＝CA，△BCM≌△CAN.=2\*GB3②∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC.∵EA=ED，∴∠EAD＝∠EDA.∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC.∴∠ADB＝∠NAC.∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD.∵∠ADB＋∠EDA＝180°－90°＝90°，∴∠BDE＝90°.(2)當(dāng)α=90°時(shí)，∠BDE的度數(shù)是α.同（1）=2\*GB3②可求．當(dāng)α≠90°時(shí)，由（1）知：△BCM≌△ACN，∠MBC＝∠NAC.又∵AG∥BC，AE＝DE，∴∠EAD＝∠ANC=∠EDA.∴∠BDE=∠ADB＋∠EDA＝∠ANC＋∠NAC＝∠ANC＋∠NAC=180°-∠CAN=180°-α.故∠BDE的度數(shù)是α或180°-α.（3）分兩種情況：如圖甲，作AI⊥BC與點(diǎn)I，DH⊥BC于點(diǎn)H，∵△ABC是等邊三角形，AB＝，點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，∴BN=，CN=.又∵在等邊△ABC中，AI⊥BC，∴BI=.∴NI=BI-BN=.∵點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，AB＝，∴AM=BN==.∵AG∥BC，∴△ADM∽△CBM.∴==.∴AD===CI.∴點(diǎn)H與點(diǎn)C重合，即此時(shí)，DC⊥BC于點(diǎn)C.∵△ADE是等腰三角形，且AD∥BC，∴三角形NFE為等腰三角形.∴∠ANI=∠DFH.又∵∠AIN=∠DCF，AN=EN-AE=EF-ED=DF，∴△ANI≌△DFC.∴CF=NI=.如圖乙，作AH⊥BC與點(diǎn)H，EK⊥AD于點(diǎn)K，∵△ABC是等邊三角形，AB＝，點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn)，BN＝AM，∴BN＝AM=，CN=CM=，AH=JK==.又∵在等邊△ABC中，AH⊥BC，∴BH=CH=.∴NH=CH-CN=.∵AH⊥BC，EK⊥AD，AH∥EK，∴∠HAN=∠KEA，∠AHN=∠EKA.∴△ANH∽△EAK.∴.又∵AG∥BC，∴△ADM∽△CBM.∴.∴AD==.∴AK=DK=.∴EK==27.∴EJ=EK-JK=.∵AG∥BC，∴.∴FN==.∴CF=FN-CN=.綜上所述，線段CF的長為或.甲乙或【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；分類討論思想.13.（2018青海，23，8分）如圖12，在平行四邊形ABCD中，E為AB邊上的中點(diǎn)，連接DE并延長，交CB的延長線于點(diǎn)F.（1）求證：AD=BF；（2）若平行四邊形ABCD的面積為32，試求四邊形EBCD的面積.【思路分析】（1）由ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，結(jié)合已知條件E為AB邊上的中點(diǎn)，可證明△AED≌△BFE，即可得AD=BF；（2）由EB∥CD得△EFB∽FDC，利用相似三角形的性質(zhì)可求得四邊形EBCD的面積.【解題過程】（1）解：∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)∴AE=BE又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC又∵點(diǎn)F在CB、DE延長線上∴AD∥BF∴∠ADE=∠BFE在△AED與△BFE中∠ADE=∠BFE（已證）∠ADE=∠BFE（對(duì)頂角）AE=BE（已證）∴△AED≌△BFE（AAS）∴AD=BF（2）∵EB∥CD∴△EFB∽FDC∵△AED≌△BFE∴ED=EFS△AED=S△BFE∴EF∴S∴設(shè)S△BFE為x，S□EBCD為3x4x=32x=8S□EBCD=3×8=24【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)14.（2018山西省，21題，8分）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì)，常?？梢哉业浇鉀Q問題的辦法。著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個(gè)例子：試問如何在一個(gè)三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點(diǎn)X和Y，使得AX=BY=XY。(如圖)解決這個(gè)問題的操作步驟如下：在數(shù)學(xué)中，利用圖形在變化過程中的不變性質(zhì)，常常可以找到解決問題的辦法。著名美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在他所著的《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中有這樣一個(gè)例子：試問如何在一個(gè)三角形ABC的AC和BC兩邊上分別取一點(diǎn)X和Y，使得AX=BY=XY。(如圖)解決這個(gè)問題的操作步驟如下：第一步，在CA上作出一點(diǎn)D，使得CD=CB，連接BD。第二步，在CB上取一點(diǎn)Y',作Y'Z'∥CA，交BD于點(diǎn)Z'，并在AB上取一點(diǎn)A'，使Z'A'=Y'Z'。第三步，過點(diǎn)A作AE∥A'Z'，交BD于點(diǎn)Z。第四步，過點(diǎn)Z作ZY∥AC，交BC于點(diǎn)Y，再過點(diǎn)Y作YX∥ZA，交AC于點(diǎn)X則有AX=BY=XY下面是該結(jié)論的部分證明證明:∵AZ∥A'Z'，∴∠BA'Z'=∠BAZ又∵∠A'BZ'=∠ABZ?！唷鰾A'Z'~△BAZ∴Z同理可得Y'Z'∵A'Z'=Y'Z'，∴ZA=YZ?！蝿?wù)：（1）請(qǐng)根據(jù)上面的操作步驟及部分證明過程，判斷四邊形AXYZ的形狀，并加以證明;（2）請(qǐng)?jiān)僮屑?xì)閱讀上面的操作步驟，在（1）的基礎(chǔ)上完成AX=BY=XY的證明過程；（3）上述解決問題的過程中，通過作平行線把四邊形BAZY放大得到四邊形BAZY，從而確定了點(diǎn)Z，Y的位置，這里運(yùn)用了下面一種圖形的變化是. 【解題過程】解（1）答：四邊形AXYZ是菱形證明：∵ZY∥AC，YX∥ZA,∴四邊形AXYZ是平行四邊形∵ZA=YZ∴四邊形AXYZ是菱形（2）證明：∵CD=CB，∴∠1=∠2∵ZY∥AC∴∠3=∠2∴YB=YZ∵四邊形AXYZ是菱形，∴AX=XY=YZ∴AX=BY=XY（3）D【知識(shí)點(diǎn)】相似15.（2018山西省，22題，3分）綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題：如圖1，在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AB延長線上一點(diǎn)，且BE=AB，連接DE，交BC于點(diǎn)M，以DE為一邊在DE的左下方作正方形DEFG，連接AM，試判斷線段AM與DE的位置關(guān)系。探究展示：勤奮小組發(fā)現(xiàn)，AM垂直平分DE，并展示了如下的證明方法：證明：∵BE=AB，∴AE=2AB.∵AD=2AB，∴AD=AE∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴EMDM=EB∵BE=AB，∴EMDM即AM是△ADE的DE邊上的中線，又∵AD=AE，∴AM⊥DE.(依據(jù)2)∴AM垂直平分DE.反思交流:（1）①上述證明過程中的“依據(jù)1”“依據(jù)2”分別是指什么?②試判斷圖1中的點(diǎn)A是否在線段GF的垂直平分線上，請(qǐng)直接回答，不必證明；答：①依據(jù)1：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例(或平行線分線段成線段成比例)。依據(jù)2：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線及底邊上的高互相重合(或等腰三角形的“三線合一”)（2）創(chuàng)新小組受到勤奮小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，如圖2，連接CE，以CE為一邊在CE的左下方作正方形CEFG，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)G在線段BC的垂直平分線上，請(qǐng)你給出證明；證明：過點(diǎn)G作GH⊥BC于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長線上，∴∠CBE=∠ABC=∠GHC=90°. ∴∠1+∠2=90°∵四邊形CEFG為正方形,∴CG=CE，∠GEC=90°.∴∠1+∠3=90°.∴∠2=∠3?！唷鱃HC≌△CBE∴GC=BE?！咚倪呅蜛BCD是矩形∴AD=BC∵AD=2AB,BE=AB，∴BC=2BE=2HC.∴HC=BH∴GH垂直平分BC.∴點(diǎn)G在BC的垂直平分線上探索發(fā)現(xiàn)：（3）如圖3，連接CE，以CE為一邊在CE的右上方作正方形CEFG，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C，點(diǎn)B都在線段AE的垂直平分線上，除此之外，請(qǐng)觀察矩形ABCD和正方形GEFG的頂點(diǎn)與邊，你還能發(fā)現(xiàn)哪個(gè)頂點(diǎn)在哪條邊的垂直平分線上，請(qǐng)寫出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，并加以證明。答：點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上（或點(diǎn)F在AD邊的垂直平分線上）.證明：過點(diǎn)F作FM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥FM于點(diǎn)N∴∠BMN=∠ENM=∠ENF=90°.∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在AB的延長線∴∠CBE=∠ABC=90°∴四邊形BENM為矩形∴BM=EN,∠BEN=90°∴∠1+∠2=90°∵四邊形CEFG為正方形∴EF=EC，∠CEF=90°∴∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵∠CBE=∠ENF=90°∴△ENF≌△EBC.∴NE=BE.∴BM=BE.∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC∵AD=2AB，AB=BE∴BC=2BM，∴BM=MC∴FM垂直平分BC∴點(diǎn)F在BC邊的垂直平分線上?！局R(shí)點(diǎn)】全等、垂直平分線、角平分線16.（2018廣西貴港，26，10分）已知：A，B兩點(diǎn)在直線l的同一側(cè)，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊