現(xiàn)代控制理論

現(xiàn)代控制理論課件第1頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月1－1自動(dòng)控制發(fā)展歷史簡介自動(dòng)控制思想及其實(shí)踐可以說歷史悠久。它是人類在認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程中產(chǎn)生的，并隨著社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)水平的進(jìn)步而不斷發(fā)展。早在公元前300年，古希臘就運(yùn)用反饋控制原理設(shè)計(jì)了浮子調(diào)節(jié)器，并應(yīng)用于水鐘和油燈中。在如圖1－1所示的水鐘原理圖中，最上面的蓄水池提供水源，中間蓄水池浮動(dòng)水塞保證恒定水位，以確保其流出的水滴速度均勻，從而保證最下面水池中的帶有指針的浮子均勻上升，并指示出時(shí)間信息。同樣早在1000多年前，我國古代先人們也發(fā)明了銅壺滴漏計(jì)時(shí)器、指南車等控制裝置。首次應(yīng)用于工業(yè)的自控器是瓦特（J.Watt）于1769年發(fā)明的用來控制蒸汽機(jī)轉(zhuǎn)速的飛球控制器，如圖1－2所示。而前蘇聯(lián)則認(rèn)為1765年珀?duì)栔熘Z夫（I.Polzunov）的浮子水位調(diào)節(jié)器最有歷史意義。2第2頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖1－1水鐘原理圖3第3頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月1868年以前，自控裝置和系統(tǒng)的設(shè)計(jì)還處于直覺階段，沒有系統(tǒng)的理論指導(dǎo)，因此在控制系統(tǒng)的各項(xiàng)性能（如穩(wěn)、準(zhǔn)、快）的協(xié)調(diào)控制方面經(jīng)常出現(xiàn)問題。十九世紀(jì)后半葉，許多科學(xué)家開始基于數(shù)學(xué)理論的自控理論的研究，并對(duì)控制系統(tǒng)的性能改善產(chǎn)生了積極的影響。1868年，麥克斯威爾（J.C.Maxwell）建立了飛球控制器的微分方程數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)微分方程的解來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1877年，羅斯（E.J.Routh）提出了不求系統(tǒng)微分方程根的穩(wěn)定性判據(jù)。1895年，霍爾維茨（A.Hurwitz）也獨(dú)立提出了類似的霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)。第二次世界大戰(zhàn)前后，由于自動(dòng)武器的需要，為控制理論的研究和實(shí)踐提出了更大的需求，從而大大推動(dòng)了自控理論的發(fā)展。1948年，數(shù)學(xué)家維納(N.Wiener)的<<控制論>>(CYBERNETICS)一書的出版，標(biāo)志著控制論的正式誕生。這個(gè)“關(guān)于在動(dòng)物和機(jī)器中的控制和通訊的科學(xué)”(Wiener所下的經(jīng)典定義)經(jīng)過了半個(gè)多世紀(jì)的不斷發(fā)展，其研究內(nèi)容及其研究方法都有了很大的變化。圖1－3所示為控制理論的主要發(fā)展歷史。4第4頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖1－3控制理論發(fā)展簡史5第5頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月概括地說，控制論發(fā)展經(jīng)過了三個(gè)時(shí)期：第一階段是四十年代末到五十年代的經(jīng)典控制論時(shí)期，著重研究單機(jī)自動(dòng)化，解決單輸入單輸出系統(tǒng)的控制問題；它的主要數(shù)學(xué)工具是微分方程、拉普拉斯變換和傳遞函數(shù)；主要研究方法是時(shí)域法、頻域法和根軌跡法；主要問題是控制系統(tǒng)的快速性、穩(wěn)定性及其精度。第二階段是六十年代的現(xiàn)代控制理論時(shí)期，著重解決機(jī)組自動(dòng)化和生物系統(tǒng)的多輸入多輸出系統(tǒng)的控制問題；主要數(shù)學(xué)工具是一次微分方程組、矩陣論、狀態(tài)空間法等等；主要方法是變分法、極大值原理、動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論等；重點(diǎn)是最優(yōu)控制、隨機(jī)控制和自適應(yīng)控制；核心控制裝置是電子計(jì)算機(jī)；第三階段是七十年代的大系統(tǒng)理論時(shí)期，著重解決生物系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)這樣一些眾多變量的大系統(tǒng)的綜合自動(dòng)化問題；方法是時(shí)域法為主；重點(diǎn)是大系統(tǒng)多級(jí)遞階控制；核心裝置是網(wǎng)絡(luò)化的電子計(jì)算機(jī)。從控制論的觀點(diǎn)看，人是最巧妙，最靈活的控制系統(tǒng)。它善于根據(jù)條件的變化而作出正確的處理。如何將人的智能應(yīng)用于實(shí)際的自動(dòng)控制系統(tǒng)中，這是個(gè)有重要意義的問題。七十年代開始，人們不僅解決社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、管理、生態(tài)環(huán)境等系統(tǒng)問題，而且為解決模擬人腦功能，形成了新的學(xué)科----人工智能科學(xué)，這是控制論的發(fā)展前沿。計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展為人工智能的發(fā)展提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。人們通過計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大的信息處理能力來開發(fā)人工智能，并用它來模仿人腦。在沒有人的干預(yù)下，人工智能系統(tǒng)能夠進(jìn)行自我調(diào)節(jié)、自我學(xué)習(xí)和自我組織，以適應(yīng)外界環(huán)境的變化，并作出相應(yīng)的決策和控制。6第6頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)代控制理論的基本內(nèi)容科學(xué)在發(fā)展，控制論也在不斷發(fā)展。所以“現(xiàn)代”兩個(gè)字加在“控制理論”前面，其含義會(huì)給人誤解的。實(shí)際上，我們講的現(xiàn)代控制理論指的是五六十年代所產(chǎn)生的一些控制理論，主要包括：用狀態(tài)空間法對(duì)多輸入多輸出復(fù)雜系統(tǒng)建模，并進(jìn)一步通過狀態(tài)方程求解分析，研究系統(tǒng)的可控性、可觀性及其穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)問題；用變分法、最大（最?。┲翟怼?dòng)態(tài)規(guī)劃原理等求解系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題；其中常見的最優(yōu)控制包括時(shí)間最短、能耗最少等等，以及它們的組合優(yōu)化問題；相應(yīng)的有狀態(tài)調(diào)節(jié)器、輸出調(diào)節(jié)器、跟蹤器等綜合設(shè)計(jì)問題；最優(yōu)控制往往要求系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制，但在許多情況下系統(tǒng)的狀態(tài)是很難求得的，往往需要一些專門的處理方法，如卡爾曼濾波技術(shù)來求得。這些都是現(xiàn)代控制理論的范疇。六十年代以來，現(xiàn)代控制理論各方面有了很大的發(fā)展，而且形成幾個(gè)重要的分支課程，如線性系統(tǒng)理論，最優(yōu)控制理論，自適應(yīng)控制理論，系統(tǒng)辯識(shí)理論，等等。

7第7頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)控制系統(tǒng)一定要進(jìn)行定量分析，否則就沒有控制論；而要進(jìn)行定量分析，就必須用數(shù)學(xué)模型來刻劃描述系統(tǒng)，也即建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這是一個(gè)很重要的問題。經(jīng)典控制論中常用一個(gè)高階微分方程來描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，而現(xiàn)代控制論中采用的是狀態(tài)空間法，就是用一組狀態(tài)變量的一階微分方程組作為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。這是現(xiàn)代控制理論與經(jīng)典控制理論的一個(gè)重要區(qū)別。從某種意義上說，經(jīng)典控制中的微分方程只能描述系統(tǒng)的輸入與輸出的關(guān)系，卻不能描述系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)及其狀態(tài)變量，它描述的只是一個(gè)‘黑箱’系統(tǒng)。而現(xiàn)代控制論中的狀態(tài)空間法不但能描述系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，而且還能完全描述內(nèi)部的結(jié)構(gòu)及其狀態(tài)變量的關(guān)系，它描述的是一個(gè)‘白箱’系統(tǒng)。由于能夠描述更多的系統(tǒng)信息，所以可以實(shí)現(xiàn)更好的系統(tǒng)控制。8第8頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月引論經(jīng)典控制理論:

數(shù)學(xué)模型:線性定常高階微分方程和傳遞函數(shù);

分析方法:

時(shí)域法(低階1～3階)

根軌跡法頻域法

適應(yīng)領(lǐng)域:單輸入－單輸出（SISO）線性定常系統(tǒng)

缺點(diǎn):只能反映輸入－輸出間的外部特性，難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運(yùn)行狀態(tài)。現(xiàn)代控制理論：

數(shù)學(xué)模型:以一階微分方程組成差分方程組表示的動(dòng)態(tài)方程

分析方法:精準(zhǔn)的時(shí)域分析法

適應(yīng)領(lǐng)域：（1）多輸入－多輸出系統(tǒng)（MIMO、SISO、MISO、SIMO）

（2）非線性系統(tǒng)

（3）時(shí)變系統(tǒng)

優(yōu)越性：（1）能描述系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)行狀態(tài)

（2）便于考慮初始條件（與傳遞函數(shù)比較）

（3）適用于多變量、非線性、時(shí)變等復(fù)雜大型控制系統(tǒng)

（4）便于計(jì)算機(jī)分析與計(jì)算

（5）便于性能的最優(yōu)化設(shè)計(jì)與控制

內(nèi)容：線性系統(tǒng)理論、最優(yōu)控制、最優(yōu)估計(jì)、系統(tǒng)辨識(shí)、自適應(yīng)控制近似分析9第9頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第二章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析第三章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性第五章線性系統(tǒng)非奇異線性變換及系統(tǒng)的規(guī)范分解第六章線性定?？刂葡到y(tǒng)的綜合分析10第10頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法1.2狀態(tài)空間描述常用的基本概念1.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣1.4線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立第一章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間11第11頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

典型控制系統(tǒng)方框圖執(zhí)行器被控對(duì)象傳感器控制器控制輸入觀測(cè)y控制u被控過程x反饋控制被控過程

1.1系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法12第12頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

典型控制系統(tǒng)由被控對(duì)象、傳感器、執(zhí)行器和控制器組成。

被控過程具有若干輸入端和輸出端。

數(shù)學(xué)描述方法：

輸入－輸出描述（外部描述）:高階微分方程、傳遞函數(shù)矩陣。

狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）：基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)，是對(duì)系統(tǒng)的一種完整的描述。13第13頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月輸入：外部對(duì)系統(tǒng)的作用（激勵(lì)）；控制：人為施加的激勵(lì)；輸入分控制與干擾。輸出：系統(tǒng)的被控量或從外部測(cè)量到的系統(tǒng)信息。若輸出是由傳感器測(cè)量得到的，又稱為觀測(cè)。狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量：能完整描述和唯一確定系統(tǒng)時(shí)域行為或運(yùn)行過程的一組獨(dú)立（數(shù)目最小）的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)；其中的各個(gè)變量稱為狀態(tài)變量。當(dāng)狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時(shí)，稱為狀態(tài)向量。狀態(tài)空間：以狀態(tài)向量的各個(gè)分量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。狀態(tài)軌線：系統(tǒng)在某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間可以看作是一個(gè)點(diǎn)。隨著時(shí)間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，并在狀態(tài)空間中描述出一條軌跡，這種軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。狀態(tài)方程：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項(xiàng)。一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時(shí)變的，可以表示為

輸出方程：描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，當(dāng)輸出由傳感器得到時(shí)，又稱為觀測(cè)方程。輸出方程的一般形式為動(dòng)態(tài)方程：狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為動(dòng)態(tài)方程，又稱為狀態(tài)空間表達(dá)式。一般形式為1.2狀態(tài)空間描述常用的基本概念14第14頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月或離散形式

線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的一般形式為線性定常系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的A，B，C，D或G，H，C，D中的各元素全部是常數(shù)。即或離散形式若有15第15頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月分別寫出狀態(tài)矩陣A、控制矩陣B、輸出矩陣C、前饋矩陣D:已知：為書寫方便，常把連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)分別簡記為S(A,B,C,D)和S(G,H,C,D)。

線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖：線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示。圖中，I為()單位矩陣，s是拉普拉斯算子，z為單位延時(shí)算子。16第16頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月討論：1、狀態(tài)變量的獨(dú)立性。

2、由于狀態(tài)變量的選取不是唯一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動(dòng)態(tài)方程也都不是唯一的。但是，用獨(dú)立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是唯一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。

3、動(dòng)態(tài)方程對(duì)于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個(gè)變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。

例1－1試確定圖8-5中（a）、（b）所示電路的獨(dú)立狀態(tài)變量。圖中u、i分別是是輸入電壓和輸入電流，y為輸出電壓，xi為電容器電壓或電感器電流。

x3x3解

并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨(dú)立變量。對(duì)圖8-5（a），不失一般性，假定電容器初始電壓值均為0，有17第17頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

因此，只有一個(gè)變量是獨(dú)立的，狀態(tài)變量只能選其中一個(gè)，即用其中的任意一個(gè)變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實(shí)際上，三個(gè)串并聯(lián)的電容可以等效為一個(gè)電容。對(duì)圖（b）x1=x2，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一組變量如（x2，x3）作為狀態(tài)變量。18第18頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月令初始條件為零，對(duì)線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程進(jìn)行拉氏變換，可以得到

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣）定義為例1-2

已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解

已知故1.3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣19第19頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.1由物理模型建動(dòng)態(tài)方程根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動(dòng)態(tài)方程1.4線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立

RLC電路

例1-3

試列寫如圖所示RLC的電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程，并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進(jìn)行討論。解

有明確物理意義的常用變量主要有：電流、電阻器電壓、電容器的電壓與電荷、電感器的電壓與磁通。根據(jù)獨(dú)立性要求，電阻器的電壓與電流、電容器的電壓與電荷、電感器的電流與磁通這三組變量不能選作為系統(tǒng)的狀態(tài)。

根據(jù)回路電壓定律電路輸出量y為

1)

設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓，即則狀態(tài)方程為輸出方程為

20第20頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其向量-矩陣形式為

簡記為

式中，

2)設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷，即則有3)設(shè)狀態(tài)變量（無明確意義的物理量），可以推出21第21頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其向量-矩陣形式為

可見對(duì)同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選擇不具有唯一性，動(dòng)態(tài)方程也不是唯一的。例1-4

由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的雙輸入三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)如圖所示，具有力F和阻尼器氣缸速度V兩種外作用，輸出量為質(zhì)量塊的位移，速度和加速度。試列寫該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程。分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)；x為質(zhì)量塊位移。雙輸入－三輸出機(jī)械位移系統(tǒng)解

根據(jù)牛頓力學(xué)可知，系統(tǒng)所受外力F與慣性力m、阻尼力f(－V)和彈簧恢復(fù)力構(gòu)成平衡關(guān)系，系統(tǒng)微分方程如下:這是一個(gè)二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度，系統(tǒng)在輸入作用下的解便可唯一確定，故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量。設(shè)。由題意知系統(tǒng)有三個(gè)輸出量，設(shè)22第22頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程其向量-矩陣形式為1.4.2由高階微分方程建動(dòng)態(tài)方程1)微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)：

選n個(gè)狀態(tài)變量為有

得到動(dòng)態(tài)方程

23第23頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月式中

系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖

2)微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項(xiàng)：

一般輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n。首先研究情況，為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量，設(shè)

例1－524第24頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其展開式為

式中，是n個(gè)待定常數(shù)。是n個(gè)。

由上式的第一個(gè)方程可得輸出方程是n個(gè)。

其余（n－１）個(gè)狀態(tài)方程如下n個(gè)。

＃對(duì)＃式求導(dǎo)，有：25第25頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月由展開式將均以及u

的各階導(dǎo)數(shù)表示，經(jīng)整理可得

令上式中u的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零，可確定各h值記

故

則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為

式中26第26頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月若輸入量中僅含ｍ次導(dǎo)數(shù)且，可將高于ｍ次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)置0，仍可應(yīng)用上述公式。1.4.3由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程

應(yīng)用綜合除法有

式中，是直接聯(lián)系輸入、輸出量的前饋系數(shù)，當(dāng)G(s)的分母次數(shù)大于分子次數(shù)時(shí)，，是嚴(yán)格有理真分式，其分子各次項(xiàng)的系數(shù)分別為下面介紹由導(dǎo)出幾種標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的方法：1）串聯(lián)分解

如圖，取z為中間變量，將分解為相串聯(lián)的兩部分，有選取狀態(tài)變量27第27頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月則狀態(tài)方程為

輸出方程為其向量-矩陣形式式中，當(dāng)具有以上形狀時(shí)，陣稱為友矩陣，相應(yīng)的狀態(tài)方程則稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。時(shí)，的形式不變，28第28頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)

時(shí)，不變，當(dāng)時(shí)，若按下式選取狀態(tài)變量

式中，T為轉(zhuǎn)置符號(hào)，則有注意的形狀特征。若動(dòng)態(tài)方程中的具有這種形式，則稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。自行證明：可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型是同一傳遞函數(shù)的不同實(shí)現(xiàn)?？煽貥?biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖如圖

：（對(duì)偶關(guān)系

）

可控標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖

可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型狀態(tài)變量圖29第29頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例1-6

設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為，試列寫可控標(biāo)準(zhǔn)型、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系。解

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為于是，可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程的各矩陣為由G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量z有對(duì)y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式，則有令

可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系；可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程中各矩陣為30第30頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系為

該系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖：（a）可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（b）可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)2）只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況當(dāng)只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)，動(dòng)態(tài)方程除了可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型以外，還可化為對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程，其A陣是一個(gè)對(duì)角陣。設(shè)D(s)可分解為D(s)=

式中，為系統(tǒng)的單實(shí)極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)可展成部分分式之和31第31頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月而，為在極點(diǎn)處的留數(shù)，且有Y(s)=U(s)若令狀態(tài)變量

其反變換結(jié)果為

展開得

其向量-矩陣形式為（其狀態(tài)變量如圖(a)所示）32第32頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月若令狀態(tài)變量則

Y(s)=

進(jìn)行反變換并展開有

其向量-矩陣形式為其狀態(tài)變量圖如圖(b)所示，兩者存在對(duì)偶關(guān)系對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖如下：33第33頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月（a）

（b）

對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖

3）含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況當(dāng)傳遞函數(shù)除含單實(shí)極點(diǎn)之外還含有重實(shí)極點(diǎn)時(shí)，不僅可化為可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，還可化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程，其A陣是一個(gè)含約當(dāng)塊的矩陣。設(shè)D(s)可分解為D(s)=

式中為三重實(shí)極點(diǎn)，為單實(shí)極點(diǎn)，則傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和：

34第34頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其狀態(tài)變量的選取方法與之含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)相同，可分別得出向量-矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程：

35第35頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖（a），（b）所示。上面兩式也存在對(duì)偶關(guān)系。約當(dāng)型動(dòng)態(tài)方程狀態(tài)變量圖36第36頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.4由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立離散動(dòng)態(tài)方程單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為：兩端取z變換并整理得G(z)稱為脈沖傳遞函數(shù)，利用z變換關(guān)系和，可以得到動(dòng)態(tài)方程為：簡記為37第37頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4.5由傳遞函數(shù)矩陣建動(dòng)態(tài)方程（傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)）給定一傳遞函數(shù)矩陣G(s)，若有一系統(tǒng)（A，B，C，D）能使成立，則稱系統(tǒng)（A，B，C，D）是G(s)的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。這里僅限于單輸入-多輸出和多輸入-單輸出系統(tǒng)。SIMO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)：單輸入－多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

1）系統(tǒng)可看作由q個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)組成，傳遞矩陣為：38第38頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月式中，d為常數(shù)向量；為不可約分的嚴(yán)格有理真分式（即分母階次大于分子階次）函數(shù)。通常,,

的特性并不相同，具有不同的分母，設(shè)最小公分母為：的一般形式為將作串聯(lián)分解并引入中間變量Z，令若將A陣寫為友矩陣，便可得到可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程：每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程：39第39頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月每個(gè)子系統(tǒng)的輸出方程：可以看到，單輸入，q維輸出系統(tǒng)的輸入矩陣為q維列向量，輸出矩陣為（qn）矩陣，故不存在其對(duì)偶形式，即不存在可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。MISO系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn):多輸入－單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

系統(tǒng)由p個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)輸出由子系統(tǒng)輸出合成為：40第40頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月式中

同理設(shè),,的最小公分母為D（s），則若將A陣寫成友矩陣的轉(zhuǎn)置形式，便可得到可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)的動(dòng)態(tài)方程：41第41頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月可見，p維輸入，單輸入系統(tǒng)的輸入矩陣為（np）矩陣輸出矩陣為一行矩陣，故不存在其對(duì)偶形式，即不存在可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。

例1-7已知單輸入-多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為，求其傳遞矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對(duì)角型實(shí)現(xiàn)。例1-7已知單輸入-多輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為，求其傳遞矩陣的可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)及對(duì)角型實(shí)現(xiàn)。解

由于系統(tǒng)是單輸入，多輸出的，故輸入矩陣只有一列，輸出矩陣有兩行。將化為嚴(yán)格有理真分式各元素的最小公分母D（s）為

故

則可控標(biāo)準(zhǔn)型動(dòng)態(tài)方程為：

42第42頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

由可確定系統(tǒng)極點(diǎn)為-1，-2，它們構(gòu)成對(duì)角形狀態(tài)矩陣的元素。鑒于輸入矩陣只有一列，這里不能選取極點(diǎn)的留數(shù)來構(gòu)成輸入矩陣，而只能取元素全為1的輸入矩陣。于是，對(duì)角型實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)方程為：其輸出矩陣由極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的留數(shù)組成，在-1，-2處的留數(shù)分別為：故其輸出方程為

43第43頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月第二章線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析2.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng)2.4線性定常離散系統(tǒng)的分析2.5連續(xù)系統(tǒng)的離散化44第44頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月在控制u=0情況下，線性定常系統(tǒng)由初始條件引起的運(yùn)動(dòng)稱為線性定常系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)，可由齊次狀態(tài)方程描述：齊次狀態(tài)方程求解方法：冪級(jí)數(shù)法、拉普拉斯變換法和凱萊－哈密頓定理法。冪級(jí)數(shù)法:設(shè)齊次方程的解是t的向量冪級(jí)數(shù)式中，都是n維向量，且，求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程，得

2.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)等號(hào)兩邊對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等，有45第45頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月故定義則稱為矩陣指數(shù)函數(shù)，簡稱矩陣指數(shù),又稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，記為

：求解齊次狀態(tài)方程的問題，核心就是計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的問題。拉普拉斯變換法：對(duì)進(jìn)行拉氏變換，有：進(jìn)行拉氏反變換，有：與相比有：它是的閉合形式。

例2-1設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，試用拉氏變換求解。解46第46頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月狀態(tài)方程的解為

:凱萊－哈密頓定理

矩陣A滿足它自己的特征方程。即若設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為則有:47第47頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月從該定理還可導(dǎo)出以下兩個(gè)推論：推論1

矩陣A的次冪可表為A的（n-1）階多項(xiàng)式：推論2

矩陣指數(shù)

可表為A的（n-1）階多項(xiàng)式，即：且各作為時(shí)間的函數(shù)是線性無關(guān)的。

在式推論1中用A的特征值替代A后等式仍能滿足：利用上式和k個(gè)就可以確定待定系數(shù)：若互不相等：可寫出各所構(gòu)成的n元一次方程組為

：48第48頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月求解上式，可求得系數(shù)，，…

，它們都是時(shí)間t的函數(shù)，將其代入推論2式后即可得出

。例2-2已知

，求。

解

首先求A的特征值：

將其代入，有：

49第49頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月若矩陣A的特征值是m階的：則求解各系數(shù)的方程組的前m個(gè)方程可以寫成：其它由組成的（k-m）個(gè)方程仍與第一種情況相同，它們上式聯(lián)立即可解出各待定系數(shù)。50第50頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例2-3

已知，求。解

先求矩陣A的特征值，由得：

51第51頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì)：

1)2)3)4)

表明與可交換，且

在式3）中，令便可證明；表明可分解為

的乘積，且是可交換的。證明:由性質(zhì)3）有

根據(jù)的這一性質(zhì)，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，顯然有5)證明：由于則即由轉(zhuǎn)移至的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為52第52頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月6)證明：由和得到7)8)若，則證明：例2-4已知狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，試求

。解：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)有9)若，則53第53頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3線性定常連續(xù)系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng)線性定常系統(tǒng)的受控運(yùn)動(dòng):線性定常系統(tǒng)在控制作用下的運(yùn)動(dòng)，數(shù)學(xué)描述為：主要有如下兩種解法：1)積分法由上式由于 積分后有即式中，第一項(xiàng)為零輸入響應(yīng)；第二項(xiàng)是零狀態(tài)響應(yīng)。通過變量代換，上式又可表示為：若取作為初始時(shí)刻，則有54第54頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月2)拉普拉斯變換法將式兩端取拉氏變換，有進(jìn)行拉氏反變換有例2-5

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為且

試求在作用下狀態(tài)方程的解。解由于前面已求得

55第55頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月56第56頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4線性定常離散系統(tǒng)的分析1)遞推法(線性定常系統(tǒng))重寫系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程如下：令狀態(tài)方程中的k=0，1，…，k-1，可得到T，2T，…，kT時(shí)刻的狀態(tài)，即：k=0: k=2: k=1: k=k-1: 于是，系統(tǒng)解為:57第57頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5連續(xù)系統(tǒng)的離散化2.5.1線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化已知線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程在及作用下的解為:令，則；令則

并假定在區(qū)間內(nèi)，，于是其解化為若記變量代換得到故離散化狀態(tài)方程為式中，與連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的關(guān)系為58第58頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月2.5.2非線性時(shí)變系統(tǒng)的離散化及分析方法對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)，常采用近似的離散化處理方法。當(dāng)采樣周期T足夠小時(shí)，按導(dǎo)數(shù)定義有

代入（8-5a）得到離散化狀態(tài)方程

對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)，一般都是先離散化，然后再用遞推計(jì)算求數(shù)值解的方法進(jìn)行系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析。本章作業(yè)：8－8，8－9，8－1159第59頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月3.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念3.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法3.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法3.4線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第三章控制系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

60第60頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月如果對(duì)于所有t，滿足的狀態(tài)稱為平衡狀態(tài)（平衡點(diǎn)）。1)平衡狀態(tài):3.1李雅普諾夫穩(wěn)定性概念

平衡狀態(tài)的各分量不再隨時(shí)間變化；若已知狀態(tài)方程，令所求得的解x,便是平衡狀態(tài)。（1）只有狀態(tài)穩(wěn)定，輸出必然穩(wěn)定；（2）穩(wěn)定性與輸入無關(guān)。2)李雅普諾夫穩(wěn)定性定義：

如果對(duì)于任意小的>0，均存在一個(gè)，當(dāng)初始狀態(tài)滿足時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡滿足lim，則稱該平衡狀態(tài)xe是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，簡稱是穩(wěn)定的。表示狀態(tài)空間中x0點(diǎn)至xe點(diǎn)之間的距離，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：3)一致穩(wěn)定性：通常δ與、t0都有關(guān)。如果δ與t0無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致穩(wěn)定的。定常系統(tǒng)的δ與t0無關(guān)，因此定常系統(tǒng)如果穩(wěn)定，則一定是一致穩(wěn)定的。61第61頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月4）漸近穩(wěn)定性：

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不僅具有李雅普若夫意義下的穩(wěn)定性，且有：

稱此平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。5）大范圍穩(wěn)定性：當(dāng)初始條件擴(kuò)展至整個(gè)狀態(tài)空間，且具有穩(wěn)定性時(shí)，稱此平衡狀態(tài)是大范圍穩(wěn)定的，或全局穩(wěn)定的。此時(shí)。

6）不穩(wěn)定性：不論δ取得得多么小，只要在內(nèi)有一條從x0出發(fā)的軌跡跨出，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。注意：按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)則認(rèn)為是穩(wěn)定的，同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。62第62頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月穩(wěn)定性定義的平面幾何表示

設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)x0位于平衡狀態(tài)xe

為球心、半徑為δ的閉球域內(nèi)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，則狀態(tài)方程的解在的過程中，都位于以xe為球心，半徑為ε的閉球域內(nèi)。（a）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性

（b）漸近穩(wěn)定性

（c）不穩(wěn)定性63第63頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月3.2李雅普諾夫穩(wěn)定性間接判別法

李雅普諾夫第一法（間接法）是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，它適用于線性定常、線性時(shí)變及可線性化的非線性系統(tǒng)。

線性定常系統(tǒng)的特征值判據(jù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部，即證明：(略)64第64頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月李雅普諾夫第二法（直接法）基本原理：根據(jù)物理學(xué)原理，若系統(tǒng)貯存的能量（含動(dòng)能與位能）隨時(shí)間推移而衰減，系統(tǒng)遲早會(huì)到達(dá)平衡狀態(tài)。

實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式相當(dāng)難找，因此李雅普諾夫引入了廣義能量函數(shù)，稱之為李雅普諾夫函數(shù)。它與及t

有關(guān)，是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，記以；若不顯含t

，則記以。

考慮到能量總大于零，故為正定函數(shù)。能量衰減特性用或表示。

實(shí)踐表明，對(duì)于大多數(shù)系統(tǒng)，可先嘗試用二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)。3.3李雅普諾夫穩(wěn)定性直接判別法65第65頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性

正定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零狀態(tài)有且，則稱均在域S內(nèi)正定。如是正定的。負(fù)定性：標(biāo)量函數(shù)在域S中對(duì)所有非零x有且，則稱在域S內(nèi)負(fù)定。如是負(fù)定的。如果是負(fù)定的，則一定是正定的。負(fù)（正）半定性：，且在域S內(nèi)某些狀態(tài)處有，而其它狀態(tài)處均有（），則稱在域S內(nèi)負(fù)（正）半定。設(shè)為負(fù)半定，則為正半定。如為正半定不定性:

在域S內(nèi)可正可負(fù)，則稱不定。如是不定的。

二次型函數(shù)

是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記其中，P為對(duì)稱矩陣，有。

66第66頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)?shù)母黜樞蛑髯有辛惺骄笥诹銜r(shí)，即則正定，且稱P為正定矩陣。當(dāng)P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，即

則負(fù)定，且稱P為負(fù)定矩陣。若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負(fù)半定。不屬以上所有情況的不定。67第67頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)滿足,不失一般性地把狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài),并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在對(duì)x的連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。

3.3.2李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理

定理1若（1）正定，（2）負(fù)定；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。負(fù)定表示能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)地衰減，故與漸近穩(wěn)定性定義敘述一致。

定理2

若（1）正定；（2）負(fù)半定，且在非零狀態(tài)不恒為零；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。負(fù)半定表示在非零狀態(tài)存在，但在從初態(tài)出發(fā)的軌跡上，不存在的情況，于是系統(tǒng)將繼續(xù)運(yùn)行至原點(diǎn)。狀態(tài)軌跡僅是經(jīng)歷能量不變的狀態(tài)，而不會(huì)維持在該狀態(tài)。

定理3若（1）正定；（2）負(fù)半定，且在非零狀態(tài)恒為零；則原點(diǎn)是李雅普，表示系統(tǒng)能維持等能量水平運(yùn)行，使系統(tǒng)維持在非零狀態(tài)沿狀態(tài)軌跡能維持諾夫意義下穩(wěn)定的。而不運(yùn)行至原點(diǎn)。

定理4

若（1）正定；（2）正定；則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。正定表示能量函數(shù)隨時(shí)間增大，故狀態(tài)軌跡在原點(diǎn)鄰域發(fā)散。正定，當(dāng)正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)，則原點(diǎn)不穩(wěn)參考定理2可推論：定。68第68頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：李雅普諾夫第二法諸穩(wěn)定性定理所述條件都是充分條件。具體分析時(shí)，先構(gòu)造一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，通常選二次型函數(shù)，求其導(dǎo)數(shù)再將狀態(tài)方程代入，最后根據(jù)是否有恒為零：令將狀態(tài)方程代入，若能導(dǎo)出非零解，表示對(duì)，若導(dǎo)出的是全零解，表示只有原點(diǎn)滿足的條件。的定號(hào)性判別穩(wěn)定性。的條件是成立的；例3-1試用李雅普諾夫第二法判斷下列非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

令及，可以解得原點(diǎn)（）是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。，則將狀態(tài)方程代入有顯然負(fù)定，根據(jù)定理1，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。鑒于只有一個(gè)平衡狀態(tài)，該非線性與t無關(guān)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。取李雅普諾夫函數(shù)為系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。因判斷在非零狀態(tài)下69第69頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-2試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。，解

令得知原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。選則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故不定，不能對(duì)穩(wěn)定性作出判斷，應(yīng)重選選，則考慮狀態(tài)方程后得對(duì)于非零狀態(tài)（如）存在，對(duì)于其余非零狀態(tài)，，故根據(jù)定理2，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。負(fù)半定。例3-3試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。，解由可知原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。選，考慮狀態(tài)方程則有

對(duì)所有狀態(tài)，，故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。70第70頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-4

試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。選，則，與故存在非零狀態(tài)（如使而對(duì)其余任意狀態(tài)有，故根據(jù)定理4的推論，系統(tǒng)不穩(wěn)定。無關(guān)，)正半定。解

是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)，方程中的常數(shù)項(xiàng)可以看作是階躍輸入作用的，得到原狀態(tài)方程在狀態(tài)空間（1，1）處穩(wěn)定性判別問題就變成變換后狀態(tài)方程在X對(duì)其求導(dǎo)考慮狀態(tài)方程得到系統(tǒng)原點(diǎn)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的，因而原系統(tǒng)在平衡狀態(tài)（1，1）處是大結(jié)果。作坐標(biāo)變換選狀態(tài)空間原點(diǎn)處穩(wěn)定性的判別問題。圍一致漸近穩(wěn)定的。注意：一般不能用李雅普諾夫函數(shù)去直接判別非原點(diǎn)的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性。例3-5試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。71第71頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例3-6試判斷下列非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解

這實(shí)際上是一個(gè)可線性化的非線性系統(tǒng)的典型例子。令得知系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài)，和對(duì)位于原點(diǎn)的平衡狀態(tài)，選于是，當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是局部根據(jù)定理4，當(dāng)時(shí)原點(diǎn)顯然是不穩(wěn)定的時(shí)原點(diǎn)也是不穩(wěn)定的從狀態(tài)方程直接看出。，作坐標(biāo)變換，得到新的狀態(tài)方程

因此，通過與原狀態(tài)方程對(duì)比可以斷定：對(duì)于原系統(tǒng)在狀態(tài)空間處的平衡狀態(tài)，當(dāng)時(shí)是局部一致漸近穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)是不穩(wěn)定的，時(shí)也是不穩(wěn)定的。一致漸近穩(wěn)定的?；蛳到y(tǒng)發(fā)散，也可以當(dāng)對(duì)于平衡狀態(tài)當(dāng)有72第72頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析3.4.1連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，平衡狀態(tài)。可以取下列正定二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù)根據(jù)定理1，只要正定（即負(fù)定）則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。于是線性，存在滿足式的為非奇異矩陣，故原點(diǎn)是唯一求導(dǎo)并考慮狀態(tài)方程令得到定常連續(xù)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判定條件可表示為：給定一正定矩陣正定矩陣。(#)(#)先指定正定的陣，然后驗(yàn)證陣是否正定。注：(×)73第73頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5

（證明從略）系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定正定實(shí)對(duì)稱矩陣正定實(shí)對(duì)稱矩陣使式成立。，存在該定理為系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性判斷帶來實(shí)用上的極大方便。(×)-x1(s)=y(s)x3(s)u(s)x2(s)例3-7試用李雅普諾夫方程確定使圖所示系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的值范圍。例3-7系統(tǒng)框圖解由圖示狀態(tài)變量列寫狀態(tài)方程

穩(wěn)定性與輸入無關(guān)，可令。由于，非奇異，原點(diǎn)為唯一的平衡狀為正半定矩陣態(tài)。取

則，負(fù)半定。令，有，考慮狀態(tài)方程中

，解得；考慮到，解得，表明唯有原點(diǎn)存在74第74頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月令

展開的代數(shù)方程為6個(gè)，即

，，

，，解得

使正定的條件為：及。故時(shí)，系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。由于是線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。75第75頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月3.4.2離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的判別設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，式中以代替，有

陣非奇異，原點(diǎn)考慮狀態(tài)方程，有

是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，于是

式稱為李雅普諾夫代數(shù)方程。定理7系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定任一正定實(shí)對(duì)稱矩陣（常），存在正定對(duì)稱矩陣，使式成立。令取正定二次型函數(shù)是平衡狀態(tài)。(#)(#)(#)76第76頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月本章作業(yè)：8－14，8－1577第77頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月４．１可控性和可觀測(cè)性的概念線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性４．２線性定常系統(tǒng)的可控性４．３線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性４．４可控性,可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系返回４．５連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可控性與可觀測(cè)性78第78頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.1可控性和可觀測(cè)性的概念可控性如果系統(tǒng)所有狀態(tài)變量的運(yùn)動(dòng)都可以通過有限點(diǎn)的控制輸入來使其由任意的初態(tài)達(dá)到任意設(shè)定的終態(tài)，則稱系統(tǒng)是可控的，更確切的說是狀態(tài)可控的；否則，就稱系統(tǒng)是不完全可控的，簡稱為系統(tǒng)不可控。

可觀性

如果系統(tǒng)所有的狀態(tài)變量任意形式的運(yùn)動(dòng)均可由有限點(diǎn)的輸出測(cè)量完全確定出來，則稱系統(tǒng)是可觀測(cè)的，簡稱為系統(tǒng)可觀測(cè)；反之，則稱系統(tǒng)是不完全可觀測(cè)的，簡稱為系統(tǒng)不可觀測(cè)。

可控性與可觀測(cè)性的概念，是用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)引伸出來的新概念，在現(xiàn)代控制理論中起著重要的作用?？煽匦?、可觀測(cè)性與穩(wěn)定性是現(xiàn)代控制系統(tǒng)的三大基本特性。

第四章線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性

79第79頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

下面舉幾個(gè)例子直觀地說明系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性。上圖所示的結(jié)構(gòu)圖，其中左圖顯見受的控制，但與無關(guān)，故系統(tǒng)不可，但是受影響的，能間接獲得中圖中的、均受的控制，故系統(tǒng)可控，但與中的、均受u的控制，且在中均能觀測(cè)到、故系統(tǒng)是可控可觀測(cè)的。

控。系統(tǒng)輸出量的信息，故系統(tǒng)是可觀測(cè)的。無關(guān)，故系統(tǒng)不可觀測(cè)。又圖只有少數(shù)簡單的系統(tǒng)可以從結(jié)構(gòu)圖或信號(hào)流圖直接判別系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性，如果系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)復(fù)雜，就只能借助于數(shù)學(xué)方法進(jìn)行分析與研究，才能得到正確的結(jié)論。80第80頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.2線性定常系統(tǒng)的可控性可控性分為狀態(tài)可控性和輸出可控性，若不特別指明，一般指狀態(tài)可控性。狀態(tài)可控性只與狀態(tài)方程有關(guān)，與輸出方程無關(guān)。

§4.2.1離散系統(tǒng)的可控性(1)單輸入離散系統(tǒng)

為導(dǎo)出系統(tǒng)可控性的條件，設(shè)單輸入系統(tǒng)狀態(tài)方程為

定義

其解為由于和取值都可以是任意的，因此的取值也可以是任意的。

81第81頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月記稱為可控性矩陣。個(gè)方程中有個(gè)未知數(shù)稱為可控性判據(jù)。此為充要條件。當(dāng)rankS1＜n時(shí)，系統(tǒng)不可控，表示不存在能使任意轉(zhuǎn)移至任意的控制。(4---1)

或則

(4---2)

式(4---1)是一個(gè)非齊次線性方程組，82第82頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月從以上推導(dǎo)看出，狀態(tài)可控性取決于和，當(dāng)不受約束時(shí)，可控系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移個(gè)采樣周期便可以完成，有時(shí)狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程還可能少于上述過程不僅導(dǎo)出了單輸入離散系統(tǒng)可控性條件，而且還給出了求取控制指過程至多以個(gè)采樣周期。令的具體方法。

§4.2.1多輸入離散系統(tǒng)

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

可控性矩陣為多輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是

或(4---1)

83第83頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月的行數(shù)總小于列數(shù)，在列寫時(shí)，若能知道的秩為，便不必把和列寫出來。階行列式多輸入線性定常離散系統(tǒng)轉(zhuǎn)移過程一般可少于個(gè)采樣周期。例8-30設(shè)單輸入線性定常散離系統(tǒng)狀態(tài)方程為試判斷可控性；若初始狀態(tài)，確定使的控制序列,,；研究使的可能性。解由題意知

故該系統(tǒng)可控。技巧：便可確定可控性。（2）利用計(jì)算一次（1）

的其余列都計(jì)算84第84頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月可按式（8-90）求出,,令k=0，1，2，可得狀態(tài)序列。為了避免矩陣求逆，下面用遞推法來求。令，即解下列方程組 85第85頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其系數(shù)矩陣即可控性矩陣S1，它的非奇異性可給出如下的解

若令，即解下列方程組 容易看出其系數(shù)矩陣的秩為2，但增廣矩陣兩個(gè)秩不等，方程組無解，意為不能在第二個(gè)采樣周期內(nèi)使給定初態(tài)轉(zhuǎn)移至原點(diǎn)。若的秩為3，該兩個(gè)秩相等時(shí)，便意味著可用兩步完成狀態(tài)轉(zhuǎn)移。86第86頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-31輸入線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為試判斷可控性，設(shè)初始狀態(tài)為，研究使的可能性。

解：

由前三列組成的矩陣的行列式不為零，故該系統(tǒng)可控，一定能求得控制使給出系統(tǒng)從任意初態(tài)在三步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。由設(shè)初始狀態(tài)為87第87頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月由于可求得，在一步內(nèi)使該初態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。當(dāng)初始狀態(tài)為亦然，只是。但本例不能對(duì)任意初態(tài)，使之在一步內(nèi)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。時(shí)，§4.2.1連續(xù)系統(tǒng)的可控性（1）單輸入系統(tǒng)，如果存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù)從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱是可控的。間間隔內(nèi)設(shè)狀態(tài)方程為定義終態(tài)解為顯然，的取值也是任意的。于是有，能使系統(tǒng)定義：在有限時(shí)88第88頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月利用凱萊-哈密頓定理的推論有令則有

記其狀態(tài)可控的充分必要條件是（2）多輸入系統(tǒng)記可控性矩陣狀態(tài)可控的充要條件為或89第89頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-32試用可控性判據(jù)判斷圖8-20所示橋式電路的可控性。解選取狀態(tài)變量：。電路的狀態(tài)方程如下：

可控性矩陣為當(dāng)時(shí)，，系統(tǒng)可控；反之當(dāng)，即電橋處于平衡狀態(tài)時(shí)，，系統(tǒng)不可控，顯然，不能控制。90第90頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

圖8-20電橋電路圖8-21并聯(lián)電路例8-33試用可控性判斷圖8-21并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的可控性。解網(wǎng)絡(luò)的微分方程為

式中，,

狀態(tài)方程為于是當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)可控。當(dāng)，，有，系統(tǒng)不可控；實(shí)際上，設(shè)初始狀態(tài)，只能使，而不能將與分別轉(zhuǎn)移到不同的數(shù)值，即不能同時(shí)控制住兩個(gè)狀態(tài)。，91第91頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-34判斷下列狀態(tài)方程的可控性

解顯見S4矩陣的第二、三行元素絕對(duì)值相同，（3）A為對(duì)角陣或約當(dāng)陣時(shí)的可控性判據(jù)

，系統(tǒng)不可控。設(shè)二階系數(shù)A、b矩陣為其可控性矩陣S3的行列式為由此可知：A陣對(duì)角化且有相異元素時(shí)，只需根據(jù)輸入矩陣沒有全零行即可判斷系統(tǒng)可控。時(shí)，則不能這樣判斷，這時(shí)，系統(tǒng)總是不可控的。若92第92頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月又設(shè)二階系數(shù)A、b矩陣為其可控性矩陣S3的行列式為矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不是全零由此可知：當(dāng)A陣約當(dāng)化且相同矩陣中的其它行是否為零行是無關(guān)的。以上判斷方法可推廣到A陣對(duì)角化、約當(dāng)化的n階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為A為對(duì)角陣時(shí)的可控性判據(jù)可表為：A為對(duì)角陣且元素各異時(shí)，輸入矩陣不存在全零行。特征值分布在一個(gè)約當(dāng)快時(shí)，只需根據(jù)輸入行，即可判斷系統(tǒng)可控，與輸入93第93頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)A為對(duì)角陣且含有相同元素時(shí)，上述判據(jù)不適用，應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來判斷。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為全零行（與約當(dāng)塊其它行所對(duì)應(yīng)的行允許是全零行）；輸入矩陣中與相異特征值所對(duì)應(yīng)的行不存在全零行。A陣約當(dāng)化時(shí)的可控性判據(jù)可表為：輸入矩陣中與約當(dāng)A陣的相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊時(shí)，例如適用，也應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來判斷。，以上判據(jù)不當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不存在94第94頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-35下列系統(tǒng)是可控。1)2)

3)例8-36下列系統(tǒng)不可控1)2)3)95第95頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）可控標(biāo)準(zhǔn)型問題其可控性矩陣為與該狀態(tài)方程對(duì)應(yīng)的可控性矩陣一定是可控的，這就是式(4---3)稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型的由來。是一個(gè)右下三角陣，且其主對(duì)角線元素均為1，系統(tǒng)(4---3)96第96頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.3線性定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性§4.3.1離散系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性及，則稱系因?yàn)槭怯懻摽捎^性，可假設(shè)輸入為0，其解為

將寫成展開式 定義：已知輸入向量序列輸出向量序列，能唯一確確定任意初始狀態(tài)向量統(tǒng)是完全可觀測(cè)的。97第97頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其向量-矩陣形式為令為線性定常離散系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣?？捎^測(cè)的充分必要條件為

98第98頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-37判斷下列線性定常離散系統(tǒng)的可觀測(cè)性，并討論可觀測(cè)性的物理解釋。其輸出矩陣取了兩種情況。

解計(jì)算可觀測(cè)性矩陣V1（1）故系統(tǒng)可觀測(cè)。由輸出方程由于可見，在第k步便可由輸出確定狀態(tài)變量.故在第（k+1）步便可確定。由于

故在第（k+2）步便可確定該系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，可觀測(cè)意味著至多以三步便能由y（k），y（k+1），y（k+2）的輸出測(cè)量值來確定三個(gè)狀態(tài)變量。。99第99頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）

故系統(tǒng)不可觀測(cè)。由輸出方程

可看出三步的輸出測(cè)量值中始終不含，故是不可觀測(cè)狀態(tài)變量。只要有一個(gè)狀態(tài)變量不可觀測(cè)，稱系統(tǒng)不完全可觀測(cè)，簡稱不可觀測(cè)。連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性其定義為：已知輸入及有限時(shí)間間隔到的輸出，能唯一確定初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡稱系統(tǒng)可觀測(cè)。內(nèi)測(cè)量100第100頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.3.2連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性定義已知輸入u(t)及有限時(shí)間間隔

對(duì)于多輸入系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)的充分必要條件是

或

均稱為可觀測(cè)性矩陣。

101第101頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

§4.3.3A為對(duì)角陣或約當(dāng)陣時(shí)的可觀測(cè)性判據(jù)（1）單輸入對(duì)角二階系統(tǒng)

可觀測(cè)矩陣的行列式為

判據(jù)：A陣對(duì)角化且有相異特征值時(shí)，只需根據(jù)輸出矩陣中沒有全零列即可判斷系統(tǒng)時(shí)，則不能這樣判斷，這時(shí)，系統(tǒng)總是不可觀測(cè)的?？捎^測(cè)。若（2）單輸入約當(dāng)二階系統(tǒng)則102第102頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月有時(shí)A陣的相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，例如，以上判斷方法不適用。以下推廣到A陣對(duì)角化、約當(dāng)化的n階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為（令u=0）

式中為系統(tǒng)相異特征值，狀態(tài)變量間解耦，輸出解為判據(jù)：輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列所對(duì)應(yīng)的列不是全零列。103第103頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月A為對(duì)角陣時(shí)可觀測(cè)判據(jù)：可表為：A為對(duì)角陣且元素各異時(shí)，輸出矩陣不存在全零列。當(dāng)A為對(duì)角陣但含有相同元素時(shí)，上述判據(jù)不適用，應(yīng)根據(jù)可觀測(cè)矩陣的秩來判斷。

設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為

為二重特征值且構(gòu)成一個(gè)約當(dāng)塊，，為相異特征值。動(dòng)態(tài)方程解為104第104頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不存在全零列（與約當(dāng)塊其它列所對(duì)應(yīng)的列允許是全零列）；輸出矩陣中與相異特征值所對(duì)應(yīng)的列不存在全零列。對(duì)于相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)的情況，以上判據(jù)不適用，仍應(yīng)用可觀測(cè)矩陣來判斷。故A為約當(dāng)例8-38下列系統(tǒng)可觀測(cè)，試自行說明。1）2）

陣且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，可觀測(cè)判據(jù)：105第105頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-39下列系統(tǒng)不可觀測(cè)，試自行說明。（1）（2）§4.3.4可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型問題

動(dòng)態(tài)方程中的A、c矩陣具有下列形式106第106頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月其可觀測(cè)性矩陣V2是一個(gè)右下三角陣，，系統(tǒng)一定可觀測(cè)，這就是形如（8－125）所示的A、C

矩陣稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型名稱的由來。一個(gè)可觀測(cè)系統(tǒng)，當(dāng)A、C陣不具有可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型時(shí)，也可選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q化為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。107第107頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月§4.4可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)矩陣的關(guān)系§4.4.1SISO系統(tǒng)

當(dāng)A陣具有相異特征值時(shí)，通過線性變換定可是A對(duì)角化為利用A陣對(duì)角化的可控、可觀測(cè)性判據(jù)可知：當(dāng)時(shí)，不可控；當(dāng)時(shí)，測(cè)。試看傳遞函數(shù)所具有的相應(yīng)特點(diǎn)。由于不可觀其中（令初始條件為零）來導(dǎo)出。

乃是輸入至狀態(tài)向量之間的傳遞矩陣。這可由狀態(tài)方程兩端取拉氏變換當(dāng)時(shí)，不可控，則矩陣一定會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，

108第108頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月如是初始狀態(tài)至輸出向量之間的傳遞矩陣。

當(dāng)時(shí)，不可觀測(cè)，則也一定會(huì)出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消現(xiàn)象，如

109第109頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

有以上分析可知：單輸入-單輸出系統(tǒng)可控可觀測(cè)的充要條件是：由動(dòng)態(tài)方程導(dǎo)出的傳遞函數(shù)不存在零極點(diǎn)對(duì)消（即傳遞函數(shù)不可約）；或系統(tǒng)可控的充要條件是對(duì)消，系統(tǒng)可觀測(cè)的充要條件是以上判據(jù)僅適用于單輸入－單輸出系統(tǒng)，對(duì)多輸入－多輸出系統(tǒng)一般不適用。不存在零極點(diǎn)不存在零極點(diǎn)對(duì)消。110第110頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-40已知下列動(dòng)態(tài)方程，試研究其可控性、可觀測(cè)性與傳遞函數(shù)的關(guān)系。1)2)3)111第111頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月x1uyx2解三個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)均為（1）A、b為可控標(biāo)準(zhǔn)型故可控不可觀測(cè)。（2）A、c為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型，故可觀測(cè)不可控。（3）由A陣對(duì)角化時(shí)的可控可觀測(cè)判據(jù)可知，系統(tǒng)不可控不可觀測(cè)，為不可控不可觀測(cè)的狀態(tài)變量。，存在零、極點(diǎn)對(duì)消。

例8-41設(shè)二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試用狀態(tài)空間及傳遞函數(shù)描述判斷系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性，并說明傳遞函數(shù)描述的不完全性。解由結(jié)構(gòu)圖列寫系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖再寫成向量-矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程

由狀態(tài)可控性矩陣及可觀測(cè)性矩陣有

故不可控。112第112頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月

故不可觀測(cè)。由傳遞矩陣

兩式均出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，系統(tǒng)不可控、不可觀測(cè)。系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為，二階系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式是二次多項(xiàng)式，對(duì)消結(jié)果是二階系統(tǒng)降為一階。本系統(tǒng)原是不穩(wěn)系統(tǒng)穩(wěn)定。定系統(tǒng)，含一個(gè)右特征值，但如果用對(duì)消后的傳遞函數(shù)來描述系統(tǒng)時(shí)，會(huì)誤認(rèn)為§4.4.2MIMO系統(tǒng)

多輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣存在零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)并非一定是不可控或不可觀測(cè)的，需要利用傳遞函數(shù)矩陣中的行或列的線性相關(guān)性來判斷。113第113頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞函數(shù)矩陣的元素是s的多項(xiàng)式，設(shè)以下面列向量組來表示

若存在不全為零的時(shí)常數(shù)使下式

成立，則稱函數(shù)是線性相關(guān)的。若只有當(dāng)式（8-133）才成立，則稱函數(shù)定理

多輸入系統(tǒng)可控的充要條件是：定理多輸出系統(tǒng)可觀的充要條件是：(8-132)(8-133)全為零時(shí)，是線性無關(guān)的。的n行線性無關(guān)。的n行線性無關(guān)。114第114頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-42試用傳遞矩陣判據(jù)判斷下列雙輸入-雙輸出系統(tǒng)的解

寫出特征多項(xiàng)式，將矩陣中各元素的公因子提出矩陣符號(hào)外面以便判斷。

若存在不全零的時(shí)常數(shù)能使下列向量方程

故成立，則稱三個(gè)行向量線性相關(guān)；若只有當(dāng)量線性無關(guān)。

時(shí)上式才成立，則稱三個(gè)行向可控性和可觀測(cè)性。115第115頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月運(yùn)算時(shí)可先令上式成立，可分列出

解得且同冪項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等，有

故只有時(shí)才能滿足上述向量方程，于是可斷定關(guān)，系統(tǒng)可控。由令的三行線性無可分列為解得

故顯見，這時(shí)與傳遞矩陣出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消無關(guān)。利用可控性矩陣及可觀測(cè)性矩陣的判據(jù)，的三列線性無關(guān)，系統(tǒng)可觀測(cè)?？傻孟嗤Y(jié)論。116第116頁，課件共168頁，創(chuàng)作于2023年2月例8-43試用傳遞矩陣判據(jù)判斷下列單輸入-單輸出系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性。

解

故

令分列出,