初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題

-.z.2014年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類1．如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式．〔2〕點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)〔不與B，C重合〕，過M作MN∥y軸交拋物線于N，假設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長．〔3〕在〔2〕的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？假設(shè)存在，求m的值；假設(shè)不存在，說明理由．2．如圖，拋物線的圖象與*軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為〔4，0〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)．平行四邊形類3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*2+m*+n經(jīng)過點(diǎn)A〔3，0〕、B〔0，﹣3〕，點(diǎn)P是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作*軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．〔1〕分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積．〔3〕是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．〔1〕一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？假設(shè)存在，請求出P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕在〔2〕的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．5．如圖，拋物線y=*2﹣2*+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=*﹣5上．〔1〕求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與*軸交于點(diǎn)C、D〔C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)〕，試判斷△ABD的形狀；〔3〕在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．周長類6．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在*軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔﹣3，0〕、〔0，4〕，拋物線y=*2+b*+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線*=上．〔1〕求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)把△ABO沿*軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；〔3〕在〔2〕的條件下，連接BD，對稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；〔4〕在〔2〕、〔3〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)M是線段OB上的一個動點(diǎn)〔點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合〕，過點(diǎn)M作∥BD交*軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值*圍，S是否存在最大值？假設(shè)存在，求出最大值和此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．等腰三角形類7．如圖，點(diǎn)A在*軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．8．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔﹣1，0〕，如下圖：拋物線y=a*2+a*﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．9．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔1，0〕，如下圖，拋物線y=a*2﹣a*﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．綜合類10．如圖，拋物線y=*2+b*+c的圖象與*軸的一個交點(diǎn)為B〔5，0〕，另一個交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C〔0，5〕．〔1〕求直線BC與拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M是拋物線在*軸下方圖象上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；〔3〕在〔2〕的條件下，MN取得最大值時，假設(shè)點(diǎn)P是拋物線在*軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．11．如圖，拋物線y=a*2+b*+c〔a≠0〕的圖象過點(diǎn)C〔0，1〕，頂點(diǎn)為Q〔2，3〕，點(diǎn)D在*軸正半軸上，且OD=OC．〔1〕求直線CD的解析式；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕將直線CD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；〔4〕在〔3〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．12．如圖，拋物線與*軸交于A〔1，0〕、B〔﹣3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0，3〕，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．〔1〕求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．〔2〕試判斷△BCD的形狀，并說明理由．〔3〕探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．對應(yīng)練習(xí)13．如圖，拋物線y=a*2+b*+3與*軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是〔1，0〕，C點(diǎn)坐標(biāo)是〔4，3〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕在〔1〕中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長最小？假設(shè)存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕假設(shè)點(diǎn)E是〔1〕中拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．14．如圖，拋物線y=﹣*2+b*+4與*軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為A〔﹣2，0〕．〔1〕求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；〔2〕求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；〔3〕試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；〔4〕在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？假設(shè)存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．15．如圖，在坐標(biāo)系*Oy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A〔1，0〕，B〔0，2〕，拋物線y=*2+b*﹣2的圖象過C點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩局部？〔3〕點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．2014年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類2．如圖，拋物線的圖象與*軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為〔4，0〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；〔3〕假設(shè)點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．分析：〔1〕該函數(shù)解析式只有一個待定系數(shù)，只需將B點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可．〔2〕首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)．〔3〕△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，假設(shè)要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，假設(shè)設(shè)一條平行于BC的直線，則當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個交點(diǎn)時，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．解答：解：〔1〕將B〔4，0〕代入拋物線的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴拋物線的解析式為：y=*2﹣*﹣2．〔2〕由〔1〕的函數(shù)解析式可求得：A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣2〕；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：〔，0〕．〔3〕已求得：B〔4，0〕、C〔0，﹣2〕，可得直線BC的解析式為：y=*﹣2；設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=*+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個交點(diǎn)時，可列方程：*+b=*2﹣*﹣2，即：*2﹣2*﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×〔﹣2﹣b〕=0，即b=﹣4；∴直線l：y=*﹣4．所以點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：即M〔2，﹣3〕．過M點(diǎn)作MN⊥*軸于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×〔2+3〕+×2×3﹣×2×4=4．平行四邊形類3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=*2+m*+n經(jīng)過點(diǎn)A〔3，0〕、B〔0，﹣3〕，點(diǎn)P是直線AB上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作*軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．〔1〕分別求出直線AB和這條拋物線的解析式．〔2〕假設(shè)點(diǎn)P在第四象限，連接AM、BM，當(dāng)線段PM最長時，求△ABM的面積．〔3〕是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定．專題：壓軸題；存在型．分析：〔1〕分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式：把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕分別代入y=*2+m*+n與y=k*+b，得到關(guān)于m、n的兩個方程組，解方程組即可；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔t，t﹣3〕，則M〔t，t2﹣2t﹣3〕，用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去M的縱坐標(biāo)得到PM的長，即PM=〔t﹣3〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕=﹣t2+3t，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值得到當(dāng)t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可；〔3〕由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng)PM=OB時，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，〔t2﹣2t﹣3〕﹣〔t﹣3〕=3；當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值．解答：解：〔1〕把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕代入y=*2+m*+n，得解得，所以拋物線的解析式是y=*2﹣2*﹣3．設(shè)直線AB的解析式是y=k*+b，把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕代入y=k*+b，得，解得，所以直線AB的解析式是y=*﹣3；〔2〕設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是〔t，t﹣3〕，則M〔t，t2﹣2t﹣3〕，因?yàn)閜在第四象限，所以PM=〔t﹣3〕﹣〔t2﹣2t﹣3〕=﹣t2+3t，當(dāng)t=﹣=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為=，則S△ABM=S△BPM+S△APM==．〔3〕存在，理由如下：∵PM∥OB，∴當(dāng)PM=OB時，點(diǎn)P、M、B、O為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，①當(dāng)P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3．②當(dāng)P在第一象限：PM=OB=3，〔t2﹣2t﹣3〕﹣〔t﹣3〕=3，解得t1=，t2=〔舍去〕，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；③當(dāng)P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=〔舍去〕，t2=，所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．所以P點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，將此三角板繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′O．〔1〕一拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，求該拋物線的解析式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍？假設(shè)存在，請求出P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔3〕在〔2〕的條件下，試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形？并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出A′〔﹣1，0〕，B′〔0，2〕，再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；〔2〕利用S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，得出一元二次方程，得出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；〔3〕利用P點(diǎn)坐標(biāo)以及B點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可．解答：解：〔1〕△A′B′O是由△ABO繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，又A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，∴A′〔﹣1，0〕，B′〔0，2〕．方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=a*2+b*+c〔a≠0〕，∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A′、B′、B，∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣*2+*+2．方法二：∵A′〔﹣1，0〕，B′〔0，2〕，B〔2，0〕，設(shè)拋物線的解析式為：y=a〔*+1〕〔*﹣2〕將B′〔0，2〕代入得出：2=a〔0+1〕〔0﹣2〕，解得：a=﹣1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣〔*+1〕〔*﹣2〕=﹣*2+*+2；〔2〕∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，設(shè)P〔*，y〕，則*＞0，y＞0，P點(diǎn)坐標(biāo)滿足y=﹣*2+*+2．連接PB，PO，PB′，∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×*+×2×y，=*+〔﹣*2+*+2〕+1，=﹣*2+2*+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1，假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則4=﹣*2+2*+3，即*2﹣2*+1=0，解得：*1=*2=1，此時y=﹣12+1+2=2，即P〔1，2〕．∴存在點(diǎn)P〔1，2〕，使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍．〔3〕四邊形PB′A′B為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意2個均可．①等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等；②等腰梯形對角線相等；③等腰梯形上底與下底平行；④等腰梯形兩腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕或用符號表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②PA′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣〔10分〕5．如圖，拋物線y=*2﹣2*+c的頂點(diǎn)A在直線l：y=*﹣5上．〔1〕求拋物線頂點(diǎn)A的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)拋物線與y軸交于點(diǎn)B，與*軸交于點(diǎn)C、D〔C點(diǎn)在D點(diǎn)的左側(cè)〕，試判斷△ABD的形狀；〔3〕在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；分類討論．分析：〔1〕先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，然后代入直線l的解析式中即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．〔2〕由A點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀．〔3〕假設(shè)以點(diǎn)P、A、B、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況討論，即①ADPB、②ABPD，然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列方程求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：〔1〕∵頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為*=﹣=1，且頂點(diǎn)A在y=*﹣5上，∴當(dāng)*=1時，y=1﹣5=﹣4，∴A〔1，﹣4〕．〔2〕△ABD是直角三角形．將A〔1，﹣4〕代入y=*2﹣2*+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=*2﹣2*﹣3，∴B〔0，﹣3〕當(dāng)y=0時，*2﹣2*﹣3=0，*1=﹣1，*2=3∴C〔﹣1，0〕，D〔3，0〕，BD2=OB2+OD2=18，AB2=〔4﹣3〕2+12=2，AD2=〔3﹣1〕2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．〔3〕存在．由題意知：直線y=*﹣5交y軸于點(diǎn)E〔0，﹣5〕，交*軸于點(diǎn)F〔5，0〕∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即PA∥BD則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過點(diǎn)P作y軸的垂線，過點(diǎn)A作*軸的垂線交過P且平行于*軸的直線于點(diǎn)G．設(shè)P〔*1，*1﹣5〕，則G〔1，*1﹣5〕則PG=|1﹣*1|，AG=|5﹣*1﹣4|=|1﹣*1|PA=BD=3由勾股定理得：〔1﹣*1〕2+〔1﹣*1〕2=18，*12﹣2*1﹣8=0，*1=﹣2或4∴P〔﹣2，﹣7〕或P〔4，﹣1〕，存在點(diǎn)P〔﹣2，﹣7〕或P〔4，﹣1〕使以點(diǎn)A、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．周長類6．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在*軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔﹣3，0〕、〔0，4〕，拋物線y=*2+b*+c經(jīng)過點(diǎn)B，且頂點(diǎn)在直線*=上．〔1〕求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕假設(shè)把△ABO沿*軸向右平移得到△DCE，點(diǎn)A、B、O的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、C、E，當(dāng)四邊形ABCD是菱形時，試判斷點(diǎn)C和點(diǎn)D是否在該拋物線上，并說明理由；〔3〕在〔2〕的條件下，連接BD，對稱軸上存在一點(diǎn)P使得△PBD的周長最小，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；〔4〕在〔2〕、〔3〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)M是線段OB上的一個動點(diǎn)〔點(diǎn)M與點(diǎn)O、B不重合〕，過點(diǎn)M作∥BD交*軸于點(diǎn)N，連接PM、PN，設(shè)OM的長為t，△PMN的面積為S，求S和t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值*圍，S是否存在最大值？假設(shè)存在，求出最大值和此時M點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B〔0，4〕，以及頂點(diǎn)在直線*=上，得出b，c即可；〔2〕根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔5，4〕、〔2，0〕，利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)得出*=5或2時，y的值即可．〔3〕首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=k*+b，求出解析式，當(dāng)*=時，求出y即可；〔4〕利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進(jìn)而得出，得到ON=，進(jìn)而表示出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可．解答：解：〔1〕∵拋物線y=經(jīng)過點(diǎn)B〔0，4〕∴c=4，∵頂點(diǎn)在直線*=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函數(shù)關(guān)系式為；〔2〕在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是〔5，4〕、〔2，0〕，當(dāng)*=5時，y=，當(dāng)*=2時，y=，∴點(diǎn)C和點(diǎn)D都在所求拋物線上；〔3〕設(shè)CD與對稱軸交于點(diǎn)P，則P為所求的點(diǎn)，設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=k*+b，則，解得：，∴，當(dāng)*=時，y=，∴P〔〕，〔4〕∵M(jìn)N∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，設(shè)對稱軸交*于點(diǎn)F，則〔PF+OM〕?OF=〔+t〕×，∵，S△PNF=×NF?PF=×〔﹣t〕×=，S=〔﹣〕，=﹣〔0＜t＜4〕，a=﹣＜0∴拋物線開口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣〔t﹣〕2+，∴當(dāng)t=時，S取最大值是，此時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，〕．等腰三角形類7．如圖，點(diǎn)A在*軸上，OA=4，將線段OA繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求經(jīng)過點(diǎn)A、O、B的拋物線的解析式；〔3〕在此拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？假設(shè)存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題；分類討論．分析：〔1〕首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置，然后過B做*軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長〔即OA長〕確定B點(diǎn)的坐標(biāo)．〔2〕O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．〔3〕根據(jù)〔2〕的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而O、B坐標(biāo)，可先表示出△OPB三邊的邊長表達(dá)式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)．解答：解：〔1〕如圖，過B點(diǎn)作BC⊥*軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔﹣2，﹣2〕；〔2〕∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=a*2+b*，將A〔4，0〕，B〔﹣2．﹣2〕代入，得，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣*2+*〔3〕存在，如圖，拋物線的對稱軸是直線*=2，直線*=2與*軸的交點(diǎn)為D，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，y〕，①假設(shè)OB=OP，則22+|y|2=42，解得y=±2，當(dāng)y=2時，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上，∴y=2不符合題意，舍去，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕②假設(shè)OB=PB，則42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，③假設(shè)OP=BP，則22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P只有一個，其坐標(biāo)為〔2，﹣2〕，8．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔﹣1，0〕，如下圖：拋物線y=a*2+a*﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BD⊥*軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到*、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；〔2〕根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；〔3〕首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．解答：解：〔1〕過點(diǎn)B作BD⊥*軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，〔1分〕又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，〔2分〕∴BD=OC=1，CD=OA=2，〔3分〕∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔﹣3，1〕；〔4分〕〔2〕拋物線y=a*2+a*﹣2經(jīng)過點(diǎn)B〔﹣3，1〕，則得到1=9a﹣3a﹣2，〔5分〕解得a=，所以拋物線的解析式為y=*2+*﹣2；〔7分〕〔3〕假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①假設(shè)以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，〔8分〕過點(diǎn)P1作P1M⊥*軸，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．〔10分〕∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得點(diǎn)P1〔1，﹣1〕；〔11分〕②假設(shè)以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，〔12分〕過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，同理可證△AP2N≌△CAO，〔13分〕∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得點(diǎn)P2〔2，1〕，〔14分〕經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P1〔1，﹣1〕與點(diǎn)P2〔2，1〕都在拋物線y=*2+*﹣2上．〔16分〕9．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔1，0〕，如下圖，拋物線y=a*2﹣a*﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕首先過點(diǎn)B作BD⊥*軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；〔3〕分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥*軸，②假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，③假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．解答：解：〔1〕過點(diǎn)B作BD⊥*軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，1〕；〔2〕∵拋物線y=a*2﹣a*﹣2過點(diǎn)B〔3，1〕，∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=*2﹣*﹣2；〔3〕假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰直角三角形，①假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥*軸，如圖〔1〕，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1〔﹣1，﹣1〕，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=*2﹣*﹣2上；②假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖〔2〕，同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2〔﹣2，1〕，經(jīng)檢驗(yàn)P2〔﹣2，1〕也在拋物線y=*2﹣*﹣2上；③假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖〔3〕，同理可證△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3〔2，3〕，經(jīng)檢驗(yàn)P3〔2，3〕不在拋物線y=*2﹣*﹣2上；故符合條件的點(diǎn)有P1〔﹣1，﹣1〕，P2〔﹣2，1〕兩點(diǎn)．綜合類10．如圖，拋物線y=*2+b*+c的圖象與*軸的一個交點(diǎn)為B〔5，0〕，另一個交點(diǎn)為A，且與y軸交于點(diǎn)C〔0，5〕．〔1〕求直線BC與拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)M是拋物線在*軸下方圖象上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N，求MN的最大值；〔3〕在〔2〕的條件下，MN取得最大值時，假設(shè)點(diǎn)P是拋物線在*軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕設(shè)直線BC的解析式為y=m*+n，將B〔5，0〕，C〔0，5〕兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B〔5，0〕，C〔0，5〕兩點(diǎn)∑的坐標(biāo)代入y=*2+b*+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；〔2〕MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于MN的長和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；〔3〕先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=3，過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交*軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求出E的坐標(biāo)為〔﹣1，0〕，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PQ的解析式為y=﹣*﹣1，然后解方程組，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．解答：解：〔1〕設(shè)直線BC的解析式為y=m*+n，將B〔5，0〕，C〔0，5〕兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣*+5；將B〔5，0〕，C〔0，5〕兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=*2+b*+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=*2﹣6*+5；〔2〕設(shè)M〔*，*2﹣6*+5〕〔1＜*＜5〕，則N〔*，﹣*+5〕，∵M(jìn)N=〔﹣*+5〕﹣〔*2﹣6*+5〕=﹣*2+5*=﹣〔*﹣〕2+，∴當(dāng)*=時，MN有最大值；〔3〕∵M(jìn)N取得最大值時，*=2.5，∴﹣*+5=﹣2.5+5=2.5，即N〔2.5，2.5〕．解方程*2﹣6*+5=0，得*=1或5，∴A〔1，0〕，B〔5，0〕，∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．∵BC=5，∴BC?BD=30，∴BD=3．過點(diǎn)D作直線BC的平行線，交拋物線與點(diǎn)P，交*軸于點(diǎn)E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD為等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B〔5，0〕，∴E〔﹣1，0〕，設(shè)直線PQ的解析式為y=﹣*+t，將E〔﹣1，0〕代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直線PQ的解析式為y=﹣*﹣1．解方程組，得，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1〔2，﹣3〕〔與點(diǎn)D重合〕或P2〔3，﹣4〕．11．如圖，拋物線y=a*2+b*+c〔a≠0〕的圖象過點(diǎn)C〔0，1〕，頂點(diǎn)為Q〔2，3〕，點(diǎn)D在*軸正半軸上，且OD=OC．〔1〕求直線CD的解析式；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕將直線CD繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，求證：△CEQ∽△CDO；〔4〕在〔3〕的條件下，假設(shè)點(diǎn)P是線段QE上的動點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動點(diǎn)，問：在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕利用待定系數(shù)法求出直線解析式；〔2〕利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；〔3〕關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；〔4〕如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于*軸的對稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．利用軸對稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此時△PCF的周長最?。绱饒D③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值．解答：解：〔1〕∵C〔0，1〕，OD=OC，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔1，0〕．設(shè)直線CD的解析式為y=k*+b〔k≠0〕，將C〔0，1〕，D〔1，0〕代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直線CD的解析式為：y=﹣*+1．〔2〕設(shè)拋物線的解析式為y=a〔*﹣2〕2+3，將C〔0，1〕代入得：1=a×〔﹣2〕2+3，解得a=．∴y=〔*﹣2〕2+3=*2+2*+1．〔3〕證明：由題意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥*軸，則點(diǎn)C、E關(guān)于對稱軸〔直線*=2〕對稱，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔4，1〕．如答圖①所示，設(shè)對稱軸〔直線*=2〕與CE交于點(diǎn)M，則M〔2，1〕，∴ME=CM=QM=2，∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD為等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．〔4〕存在．如答圖②所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)C′，作點(diǎn)C關(guān)于*軸的對稱點(diǎn)C″，連接C′C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．〔證明如下：不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F′，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P′，連接F′C″，F(xiàn)′P′，P′C′．由軸對稱的性質(zhì)可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是點(diǎn)C′，C″之間的折線段，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長大于△PCE的周長．〕如答圖③所示，連接C′E，∵C，C′關(guān)于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形，∴△QC′E為等腰直角三角形，∴△CEC′為等腰直角三角形，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為〔4，5〕；∵C，C″關(guān)于*軸對稱，∴點(diǎn)C″的坐標(biāo)為〔0，﹣1〕．過點(diǎn)C′作C′N⊥y軸于點(diǎn)N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．綜上所述，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為．12．如圖，拋物線與*軸交于A〔1，0〕、B〔﹣3，0〕兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C〔0，3〕，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D．〔1〕求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．〔2〕試判斷△BCD的形狀，并說明理由．〔3〕探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？假設(shè)存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；〔2〕利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；〔3〕分p在*軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．解答：解：〔1〕設(shè)拋物線的解析式為y=a*2+b*+c由拋物線與y軸交于點(diǎn)C〔0，3〕，可知c=3．即拋物線的解析式為y=a*2+b*+3．把點(diǎn)A〔1，0〕、點(diǎn)B〔﹣3，0〕代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴拋物線的解析式為y=﹣*2﹣2*+3．∵y=﹣*2﹣2*+3=﹣〔*+1〕2+4∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔﹣1，4〕；〔2〕△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：過點(diǎn)D分別作*軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD為直角三角形．解法二：過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD為直角三角形．〔3〕①△BCD的三邊，==，又=，故當(dāng)P是原點(diǎn)O時，△ACP∽△DBC；②當(dāng)AC是直角邊時，假設(shè)AC與CD是對應(yīng)邊，設(shè)P的坐標(biāo)是〔0，a〕，則PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，則P的坐標(biāo)是〔0，﹣9〕，三角形ACP不是直角三角形，則△ACP∽△CBD不成立；③當(dāng)AC是直角邊，假設(shè)AC與BC是對應(yīng)邊時，設(shè)P的坐標(biāo)是〔0，b〕，則PC=3﹣b，則=，即=，解得：b=﹣，故P是〔0，﹣〕時，則△ACP∽△CBD一定成立；④當(dāng)P在*軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是〔d，0〕．則AP=1﹣d，當(dāng)AC與CD是對應(yīng)邊時，=，即=，解得：d=1﹣3，此時，兩個三角形不相似；⑤當(dāng)P在*軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標(biāo)是〔e，0〕．則AP=1﹣e，當(dāng)AC與DC是對應(yīng)邊時，=，即=，解得：e=﹣9，符合條件．總之，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：．對應(yīng)練習(xí)13．如圖，拋物線y=a*2+b*+3與*軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是〔1，0〕，C點(diǎn)坐標(biāo)是〔4，3〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕在〔1〕中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使△BCD的周長最??？假設(shè)存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕假設(shè)點(diǎn)E是〔1〕中拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．分析：〔1〕利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；〔2〕利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；〔3〕根據(jù)直線AC的解析式，設(shè)出過點(diǎn)E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉y得到關(guān)于*的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出該直線與*軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)，再求出AF，再根據(jù)直線l與*軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．解答：解：〔1〕∵拋物線y=a*2+b*+3經(jīng)過點(diǎn)A〔1，0〕，點(diǎn)C〔4，3〕，∴，解得，所以，拋物線的解析式為y=*2﹣4*+3；〔2〕∵點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸對稱，∴點(diǎn)D為AC與對稱軸的交點(diǎn)時△BCD的周長最小，設(shè)直線AC的解析式為y=k*+b〔k≠0〕，則，解得，所以，直線AC的解析式為y=*﹣1，∵y=*2﹣4*+3=〔*﹣2〕2﹣1，∴拋物線的對稱軸為直線*=2，當(dāng)*=2時，y=2﹣1=1，∴拋物線對稱軸上存在點(diǎn)D〔2，1〕，使△BCD的周長最??；〔3〕如圖，設(shè)過點(diǎn)E與直線AC平行線的直線為y=*+m，聯(lián)立，消掉y得，*2﹣5*+3﹣m=0，△=〔﹣5〕2﹣4×1×〔3﹣m〕=0，即m=﹣時，點(diǎn)E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，此時*=，y=﹣=﹣，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔，﹣〕，設(shè)過點(diǎn)E的直線與*軸交點(diǎn)為F，則F〔，0〕，∴AF=﹣1=，∵直線AC的解析式為y=*﹣1，∴∠CAB=45°，∴點(diǎn)F到AC的距離為×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面積=×3×=，此時E點(diǎn)坐標(biāo)為〔，﹣〕．14．如圖，拋物線y=﹣*2+b*+4與*軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為A〔﹣2，0〕．〔1〕求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；〔2〕求點(diǎn)C的坐標(biāo)，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；〔3〕試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；〔4〕在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形？假設(shè)存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：〔1〕利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式*=求出對稱軸方程；〔2〕在拋物線解析式中，令*=0，可求出點(diǎn)C坐標(biāo)；令y=0，可求出點(diǎn)B坐標(biāo)．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；〔3〕根據(jù)，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；〔4〕本問為存在型問題．假設(shè)△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，防止漏解．解答：解：〔1〕∵拋物線y=﹣*2+b*+4的圖象經(jīng)過點(diǎn)A〔﹣2，0〕，∴﹣×〔﹣2〕2+b×〔﹣2〕+4=0，解得：b=，∴拋物線解析式為y=﹣*2+*+4，又∵y=﹣*2+*+4=﹣〔*﹣3〕2+，∴對稱軸方程為：*=3．〔2〕在y=﹣*2+*+4中，令*=0，得y=4，∴C〔0，4〕；令y=0，即﹣*2+*+4=0，整理得*2﹣6*﹣16=0，解得：*=8或*=﹣2，∴A〔﹣2，0〕，B〔8，0〕．設(shè)直線BC的解析式為y=k*+b，把B〔8，0〕，C〔0，4〕的坐標(biāo)分別代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直線BC的解析式為：y=*+4．〔3〕可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．〔4〕∵拋物線的對稱軸方程為：*=3，可設(shè)點(diǎn)Q〔3，t〕，則可求得：AC===，AQ==，CQ==．i〕當(dāng)AQ=CQ時，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1〔3，0〕；ii〕當(dāng)AC=AQ時，有=，t2=﹣5，此方程無實(shí)數(shù)根，∴此時△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形；iii〕當(dāng)AC=CQ時，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為：Q2〔3，4+〕，Q3〔3，4﹣〕．綜上所述，存在點(diǎn)Q，使△ACQ為等腰三角形，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：Q1〔3，0〕，Q2〔3，4+〕，Q3〔3，4﹣〕．15．如圖，在坐標(biāo)系*Oy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A〔1，0〕，B〔0，2〕，拋物線y=*2+b*﹣2的圖象過C點(diǎn)．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕平移該拋物線的對稱軸所在直線l．當(dāng)l移動到何處時，恰好將△ABC的面積分為相等的兩局部？〔3〕點(diǎn)P是拋物線上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使四邊形PACB為平行四邊形？假設(shè)存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．專題：壓軸題．分析：如解答圖所示：〔1〕首先構(gòu)造全等三角形△AOB≌△CDA，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后利用點(diǎn)C的坐標(biāo)求出拋物線的解析式；〔2〕首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點(diǎn)E、F，則可求出EF的表達(dá)式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；〔3〕首先作出?PACB，然后證明點(diǎn)P在拋物線上即可．解答：解：〔1〕如答圖1所