二次函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用

雙休創(chuàng)新練(四)方法技巧訓(xùn)練3二次函數(shù)在學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用第22章

二次函數(shù)1231．(中考?大連)如圖，拋物線y＝x2－3x＋

與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線BC相交于點(diǎn)E.(1)求直線BC的解析式；1應(yīng)用二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合解：∵拋物線y＝x2－3x＋

與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，∴令y＝0，得x＝

或x＝

，∴A(，0)，B(，0)；令x＝0，得y＝

，∴C(0，).∴直線BC的解析式為y＝－

x＋.則有解得設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，(2)當(dāng)線段DE的長(zhǎng)度最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，m2－3m＋)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，－

m＋)，設(shè)DE的長(zhǎng)度為d.∵點(diǎn)D是直線BC下方拋物線上一點(diǎn)，∴d＝－

m＋

－(m2－3m＋)，整理得d＝－m2＋

m.∴當(dāng)m＝

時(shí)，d取得最大值，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，－).返回2．已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4.(1)探究m取不同值時(shí)，該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；2類型二次函數(shù)與一元二次方程的綜合解：(1)令y＝0，得x2－(2m－1)x＋m2＋3m＋4＝0，Δ＝(2m－1)2－4(m2＋3m＋4)＝－16m－15.當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即－16m－15＞0，∴m＜－

，此時(shí)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即－16m－15＝0，∴m＝－

，此時(shí)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即－16m－15＜0，∴m＞－

，此時(shí)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．(2)設(shè)該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)分別為A(x1，0)，B(x2，0)，且x21＋x22＝5，與y軸的交點(diǎn)為C，它的頂點(diǎn)為M，求直線CM對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式．由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2＋3m＋4，∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(2m－1)2－2(m2＋3m＋4)＝2m2－10m－7.∵x21＋x22＝5，∴2m2－10m－7＝5.∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴m＜－

，∴m＝－1.∴y＝x2＋3x＋2.令x＝0，得y＝2，∴二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)．又∵y＝x2＋3x＋2＝(x＋)2－14，∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－

，－).設(shè)過(guò)點(diǎn)C(0，2)與M(－

，－)的直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，∴直線CM對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝

x＋2.則解得返回3．(中考?綿陽(yáng))如圖，已知拋物線y＝－x2－2x＋a(a≠0)與y軸相交于A點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，直線y＝

x－a分別與x3類型二次函數(shù)與一元二次方程的綜合軸、y軸相交于B，C兩點(diǎn)，且與直線MA相交于N點(diǎn)．(1)若直線BC和拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍，并用a表示點(diǎn)M，A的坐標(biāo)．解：由題意聯(lián)立整理得整理得2x2＋5x－4a＝0，由Δ＝25＋32a＞0，解得a＞－.∵a≠0，∴a＞－

且a≠0.在y＝－x2－2x＋a中，令x＝0,得y＝a，∴A(0，a)．由y＝－(x＋1)2＋1＋a，得M(－1，1＋a)．(2)將△NAC沿著y軸翻折，若點(diǎn)N的對(duì)稱點(diǎn)P恰好落在拋物線上，AP與拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)D，連接CD，求a的值及△PCD的面積．設(shè)直線MA對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝kx＋b，將點(diǎn)A(0，a)，M(－1，1＋a)的坐標(biāo)分別代入得解得故直線MA對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－x＋a.聯(lián)立解得∴N(，－

).由于P點(diǎn)是N點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，因此P(－

，－

)．將點(diǎn)P坐標(biāo)代入y＝－x2－2x＋a，得－

＝－

a2＋83a＋a，解得a＝

或a＝0(舍去)．∴A(0，)，C(0，－)，M(－1，)，∴AC＝.∴S△PCD＝S△PAC－S△DAC＝

AC?|xP|－12AC?|xD|＝××(3－1)＝.返回(3)在拋物線y＝－x2－2x＋a(a＞0)上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，A，C，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．①當(dāng)點(diǎn)Q1在y軸左側(cè)時(shí)，由四邊形AQ1CN為平行四邊形，得AC與Q1N互相平分，則點(diǎn)Q1與點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)(0，0)對(duì)稱，而而N(

，－

)，A(0，a)，C(0，－a)，故Q2(，－).將點(diǎn)Q2的坐標(biāo)代入y＝－x2－2x＋a，得－