用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題【 學(xué)霸筆記+典例精析+競(jìng)賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升 （ 含答案解析 ）

專題10用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題一、銷售問(wèn)題【學(xué)霸筆記】 銷售問(wèn)題中常見(jiàn)的等量關(guān)系：①利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；②；③售價(jià)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤(rùn)率）.【典例】某種高端品牌的家用電器，若按標(biāo)價(jià)打八折銷售該電器一件，則可獲利潤(rùn)500元，其利潤(rùn)率為20%．現(xiàn)如果按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤(rùn)為多少元？【解答】解：設(shè)標(biāo)價(jià)為x元，則進(jìn)價(jià)為（0.8x﹣500）元，根據(jù)題意得：20%（0.8x﹣500）＝500，解得x＝3750，∴進(jìn)價(jià)為0.8x﹣500＝0.8×3750﹣500＝2500（元），∴按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售獲得的純利潤(rùn)為3750×0.9﹣2500＝875（元），答：按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤(rùn)為875元．【鞏固】某商場(chǎng)從廠家購(gòu)進(jìn)了A、B兩種品牌籃球共120個(gè)，已知購(gòu)買B品牌籃球的總價(jià)比購(gòu)買A品牌籃球總價(jià)的3倍還多800元，A品牌籃球每個(gè)進(jìn)價(jià)60元，B品牌籃球每個(gè)進(jìn)價(jià)100元．（1）求購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌籃球各多少個(gè)？（2）在銷售過(guò)程中，A品牌籃球每個(gè)按進(jìn)價(jià)加價(jià)30%銷售，很快全部售出；B品牌籃球每個(gè)售價(jià)140元，售出50個(gè)后出現(xiàn)滯銷，商場(chǎng)決定打折出售剩余的B品牌籃球，兩種品牌籃球全部售出后共獲利3080元，求B品牌籃球打幾折出售？【解答】解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A品牌籃球x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B品牌籃球（120﹣x）個(gè)，依題意有：3×60x+800＝100（120﹣x），解得x＝40，120﹣40＝80（個(gè)）．故購(gòu)進(jìn)A品牌籃球40個(gè)，購(gòu)進(jìn)B品牌籃球80個(gè)；（2）設(shè)B品牌籃球打y折出售，依題意有：30%×60×40+（140﹣100）×50+（80﹣50）（140×y10-100解得y＝8．故B品牌籃球打8折出售．二、工程問(wèn)題【學(xué)霸筆記】 工程問(wèn)題中的等量關(guān)系：①工作總量=工作時(shí)間×工作效率；②工作總量往往表示為“1”；③工作總量=各個(gè)部分的工作量之和.【典例】新冠病毒疫情初期，口罩供應(yīng)短缺，某口罩生產(chǎn)廠家接到一批口罩定制任務(wù)，要求10天完成．如果安排第一車間單獨(dú)加工，則正好如期完成任務(wù)；如果安排第二車間單獨(dú)加工，則會(huì)延期5天完成．（1）為了盡快完成任務(wù)，廠長(zhǎng)安排第一車間單獨(dú)加工5天后，隨即安排第二車間加入一起加工，那么該廠家可以提前幾天完成任務(wù)？（2）已知第一車間一天投入生產(chǎn)的成本是1.2萬(wàn)元，第二車間一天投入生產(chǎn)的成本是0.7萬(wàn)元．現(xiàn)有三種加工方案：方案一：第一車間單獨(dú)加工；方案二：第二車間單獨(dú)加工；方案三：兩個(gè)車間同時(shí)加工．如果你是廠長(zhǎng)，在以上三種方案中，應(yīng)選擇哪一種方案安排生產(chǎn)，既可以節(jié)約成本，又在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成這批口罩加工任務(wù)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．【解答】解：（1）設(shè)提前x天完成，那么第一車間的工作時(shí)間是（10﹣x）天，第二車間的工作時(shí)間是（10﹣5﹣x）天，由題意得：10-x10解得x＝2．答：該廠家可以提前2天完成任務(wù)．（2）方案一：1.2×10＝12（萬(wàn)）；方案二：0.7×15＝10.5（萬(wàn)），但不能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；方案三：1÷（110+115）＝6（天），6×（1.2+0.7）＝12＞11.4，所以選擇方案三．【鞏固】一空水池有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管，單開(kāi)甲管需5min注滿水池，單開(kāi)乙管需10min注滿水池，滿池水如單開(kāi)排水管需6min流盡，某次池中沒(méi)有水，打開(kāi)甲管若干分鐘后，發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上，隨即關(guān)上排水管，同時(shí)打開(kāi)乙管，又過(guò)了同樣長(zhǎng)的時(shí)間，水池的14【解答】解：設(shè)甲開(kāi)了xmin后關(guān)上排水管，依題意得：15×2x+110x解得：x=3則前后一共所花的時(shí)間為：34×2+（1-14）÷（15+110）＝三、行程問(wèn)題【典例】【閱讀理解】甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛，出發(fā)后經(jīng)過(guò)0.4小時(shí)相遇，已知在相遇時(shí)乙比甲多行駛了14.4千米，相遇后經(jīng)0.1小時(shí)乙到達(dá)A地．問(wèn)甲、乙兩人的速度分別是多少？分析可以用示意圖來(lái)分析本題中的數(shù)量關(guān)系．從圖中可得如下的相等關(guān)系，甲行駛0.4小時(shí)的路程＝乙行駛0.1小時(shí)路程，甲行駛0.4小時(shí)的路程+14.4＝乙行駛0.4小時(shí)的路程．根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系，可得到甲、乙速度的關(guān)系，設(shè)元列出方程．【問(wèn)題解決】請(qǐng)你列方程解答【閱讀理解】中的問(wèn)題．【能力提升】對(duì)于上題，若乙出發(fā)0.2小時(shí)后行駛速度減少10千米/小時(shí)，問(wèn)甲出發(fā)后經(jīng)多少小時(shí)兩人相距2千米？【解答】解：【問(wèn)題解決】設(shè)甲的速度是x千米/小時(shí)，則乙的速度是4x千米/小時(shí)，依題意有0.4x+14.4＝0.4×4x，解得x＝12，則4x＝4×12＝48．故甲的速度是12千米/小時(shí)，乙的速度是48千米/小時(shí)；【能力提升】設(shè)甲出發(fā)后經(jīng)t小時(shí)相距2千米，（1）甲、乙兩人相遇前兩人相距2千米，依題意有12t+48×0.2+38（t﹣0.2）+2＝24，解得t＝0.4；（2）甲、乙兩人相遇后相距2千米，依題意有12t+48×0.2+38（t﹣0.2）﹣2＝24，解得t＝0.48．故甲出發(fā)后經(jīng)0.4或0.48小時(shí)兩人相距2千米．【鞏固】鐵路旁的一條小路上，甲乙兩人同時(shí)向東而行．甲步行，速度是1m/s；乙騎自行車，速度是3m/s．如果有一列勻速行駛的火車從他們的身后開(kāi)過(guò)來(lái)，火車完全通過(guò)甲用了22s，完全通過(guò)乙用了26s，那么這列火車的車身有多長(zhǎng)？【解答】解：設(shè)這列火車的速度是x米/秒，依題意列方程，得（x﹣1）×22＝（x﹣3）×26，22x﹣22＝26x﹣78，26x﹣22x＝78﹣22，4x＝56，x＝56÷4，x＝14．火車的車身長(zhǎng)為：（14﹣1）×22＝286（米）．答：這列火車的車身有286米．鞏固練習(xí)1．相傳有個(gè)人不講究說(shuō)話藝術(shù)常引起誤會(huì)，一天他設(shè)宴請(qǐng)客，他看到幾個(gè)人沒(méi)來(lái)，就自言自語(yǔ)：“怎么該來(lái)的還不來(lái)呢？”客人聽(tīng)了，心想難道我們是不該來(lái)的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分著急，又說(shuō)：“嗨，不該走的倒走了！”剩下的人一聽(tīng)，是我們?cè)撟甙?！又有剩余客人的三分之一離開(kāi)了，他著急地一拍大腿：“我說(shuō)的不是他們．”于是剩下的6個(gè)人也走了，聰明的你知道最開(kāi)始來(lái)了多少客人嗎？（）A．16 B．18 C．20 D．22【解答】解：設(shè)開(kāi)始來(lái)了x位客人，根據(jù)題意得x-12x-1解得：x＝18答：開(kāi)始來(lái)的客人一共是18位．故選：B．2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作中有這樣一道題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈”．意思是：遠(yuǎn)遠(yuǎn)望見(jiàn)一座7層高的雄偉壯麗的佛塔，每層塔點(diǎn)著的紅燈數(shù)，下層比上層成倍增加，共381盞．則塔尖有盞燈．【解答】解：設(shè)塔的頂層裝x盞燈，則從塔頂向下，每一層燈的數(shù)量依次是2x、4x、8x、16x、32x、64x，所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x＝381127x＝381x＝381÷127x＝3答：塔的頂層裝3盞燈．故答案為：3．3．某超市推出如下優(yōu)惠方案：（1）購(gòu)物款不超過(guò)200元不享受優(yōu)惠；（2）購(gòu)物款超過(guò)200元但不超過(guò)600元一律享受九折優(yōu)惠；（3）購(gòu)物款超過(guò)600元一律享受八折優(yōu)惠．小明的媽媽兩次購(gòu)物分別付款168元、423元．如果小明的媽媽在超市﹣次性購(gòu)買與上兩次價(jià)值相同的商品，則小明的媽媽應(yīng)付款元．【解答】解：（1）第一次購(gòu)物顯然沒(méi)有超過(guò)200元，即在消費(fèi)168元的情況下，商品的實(shí)質(zhì)購(gòu)物價(jià)值只能是168元．（2）第二次購(gòu)物消費(fèi)423元，則可能有兩種情況，這兩種情況下付款方式不同（折扣率不同）：第一種情況：她消費(fèi)超過(guò)200元但不足600元，這時(shí)候是按照9折付款的．設(shè)第二次實(shí)質(zhì)購(gòu)物價(jià)值為x元，那么依題意有x×0.9＝423，解得：x＝470．第二種情況：她消費(fèi)超過(guò)600元，這時(shí)候是按照8折付款的．設(shè)第二次實(shí)質(zhì)購(gòu)物價(jià)值為x元，那么依題意有x×0.8＝423，解得：x＝528.75（舍去），即在第二次消費(fèi)423元的情況下，商品的實(shí)際購(gòu)物價(jià)值可能是470元．綜上所述，小明的媽媽兩次購(gòu)物的實(shí)質(zhì)價(jià)值為168+470＝638（元），超過(guò)了600元．因此均可以按照8折付款：638×0.8＝510.4（元）．綜上所述，她應(yīng)付款510.4元．故答案為：510.4．4．在環(huán)行自行車賽場(chǎng)內(nèi)，甲、乙、丙三人騎自行車進(jìn)行訓(xùn)練，他們的速度是：甲每分鐘23圈，乙每分鐘34圈，丙每分鐘12圈，他們同時(shí)出發(fā)，起點(diǎn)如圖所示（甲從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)；乙從B點(diǎn)出發(fā)，沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)；丙從C點(diǎn)出發(fā)，沿圓周順時(shí)針運(yùn)動(dòng)），則出發(fā)【解答】解：設(shè)出發(fā)后x分鐘后三人第一次相遇，由甲和乙相遇得：23x+14+16此時(shí)，甲逆時(shí)針行駛了23當(dāng)出發(fā)5分鐘后，丙順時(shí)針行駛了12×5此時(shí)，甲乙丙第一次相遇．故答案為：5．5．某生產(chǎn)車間專門加工生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天能生產(chǎn)螺母24個(gè)或螺栓15個(gè)，一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺母配成如圖的一套．（1）若安排20人生產(chǎn)螺栓，那么應(yīng)安排多少人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套？（2）若車間里有90名工人，那么應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套？【解答】解：（1）設(shè)安排x人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套，24x＝15×20×2解得，x＝25即安排25人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套；（2）設(shè)生產(chǎn)螺栓的有x人，15x×2＝24（90﹣x），解得，x＝40，則90﹣x＝50，即若車間里有90名工人，那么應(yīng)分配40人生產(chǎn)螺栓，50人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套．6．某市自來(lái)水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，規(guī)定按以下標(biāo)準(zhǔn)收取水費(fèi)：用水量/月單價(jià)（元/m3）不超過(guò)20m32.05超過(guò)20m3的部分3.05另：每立方米用水加收0.8元的城市污水處理費(fèi)和0.15元的城市附加費(fèi)（1）根據(jù)上表，用水量每月不超過(guò)20m3，實(shí)際每立方米收水費(fèi)元；如果10月份某用戶用水量為15m3，那么該用戶10月份應(yīng)該繳納水費(fèi)元；（2）某用戶11月份共繳納水費(fèi)72元，那么該用戶11月份用水多少m3？（3）若該用戶水表12月份出了故障，有25%的水量沒(méi)有計(jì)入水表中，這樣該用戶在12月份只繳納了54元水費(fèi)，問(wèn)該用戶12月份實(shí)際應(yīng)該繳納水費(fèi)多少元？【解答】解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，每月不超過(guò)20m3，實(shí)際每立方米收水費(fèi)2.05+0.8+0.15＝3（元），10月份某用戶用水量為15m3，不超過(guò)20m3，∴該用戶10月份應(yīng)該繳納水費(fèi)15×3＝45（元），故答案為3，45；（2）由（1）知實(shí)際每立方米收水費(fèi)3元，20×3＝60＜72，∴11月份用水量超過(guò)了20m3，設(shè)11月份用水量為xm3，根據(jù)題意列方程得，20×3+（x﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝72，解得x＝23，答：該用戶11月份用水23m3；（3）由（1）知實(shí)際每立方米收水費(fèi)3元，20×3＝60＞54，∴水表12月份出故障時(shí)收費(fèi)按沒(méi)有超過(guò)20m3計(jì)算，設(shè)12月份實(shí)際用水量為xm3，根據(jù)題意列方程得，x（1﹣25%）×3＝54，解得x＝24，20×3+（24﹣20）×（3.05+0.8+0.15）＝76（元），答：該用戶12月份實(shí)際應(yīng)該繳納水費(fèi)76元．7．壯壯、菲菲、路路出生時(shí)，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時(shí)，王雪說(shuō)：“菲菲比劉芳小29歲”；李薇說(shuō)：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說(shuō)：“路路和王雪的年齡的和是35歲”．已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個(gè)人年齡的總和是105歲．請(qǐng)回答：是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲，歲，歲？【解答】解：設(shè)劉芳的年齡為x歲．①劉芳和路路的年齡和是36歲，是個(gè)偶數(shù)，他們的年齡差也是一個(gè)偶數(shù)，而路路和媽媽的年齡的差是奇數(shù)，因此路路的媽媽不是劉芳．注意到菲菲比劉芳小29歲，菲菲的媽媽不是劉芳，所以，壯壯的媽媽是劉芳．②壯壯和媽媽劉芳的年齡的和為（2x﹣27）路路（36﹣x）歲，他的媽媽應(yīng)當(dāng)是（36﹣x+27）歲，和為（99﹣2x）菲菲（x﹣29）歲，她的媽媽應(yīng)當(dāng)是（x﹣29+27）歲，和為（2x﹣31）由于6個(gè)人共105歲，所以，（2x﹣27）+（99﹣2x）+（2x﹣31）＝105．③解出x＝32，菲菲比劉芳小29歲，所以菲菲3歲；路路和劉芳的年齡的和是36，路路4歲；路路和王雪的年齡的和是35歲，所以王雪31歲．答：王雪是路路的媽媽；壯壯5歲、菲菲3歲和路路4歲．故填：王雪，5，3，4．8．老師帶著兩個(gè)學(xué)生到離學(xué)校33千米的博物館參觀．老師開(kāi)一輛摩托車，速度為25千米/小時(shí)．這輛摩托車后坐可帶乘一名學(xué)生，帶人后速度為20千米/小時(shí)．學(xué)生如果步行，速度為5千米/小時(shí)．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，使得師生3人同時(shí)出發(fā)后用3個(gè)小時(shí)同時(shí)到達(dá)博物館．【解答】解：設(shè)計(jì)方案：學(xué)生乙先步行，老師帶學(xué)生甲乘摩托車走出一定路程，讓學(xué)生甲步行，老師返回接學(xué)生乙，然后老師帶乘學(xué)生乙，與學(xué)生甲步行同時(shí)到達(dá)博物館即可要確定摩托車中途接乙的返回點(diǎn)．（4分）設(shè)兩個(gè)學(xué)生為甲、乙二人．學(xué)生乙先步行，老師帶學(xué)生甲乘摩托車走了x千米，共用了x20小時(shí)．他們比乙多行了x20(乙遇到老師時(shí)，已經(jīng)步行了(x20+如果甲、乙二人搭乘摩托車的路程相同，那么x=33-38x，解得x這樣，在路上學(xué)生甲共計(jì)用的時(shí)間為x20學(xué)生乙共計(jì)用的時(shí)間為x20+x因此，上述方案可使師生3人同時(shí)出發(fā)后只用3小時(shí)就可同時(shí)到達(dá)博物館．9．某社區(qū)超市第一次用6000元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的12倍多15甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）2230售價(jià)（元/件）2940（1）該超市購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？（2）該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤(rùn)？（3）該超市第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價(jià)銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤(rùn)比第一次獲得的總利潤(rùn)多180元，求第二次乙商品是按原價(jià)打幾折銷售？【解答】解：（1）設(shè)第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品x件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品（12x+15根據(jù)題意得：22x+30（12x+15）＝6000解得：x＝150，∴12x+15＝90答：該超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品150件、乙種商品90件．（2）（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．答：該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得利潤(rùn)1950元．（3）設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打y折銷售，根據(jù)題意得：（29﹣22）×150+（40×y10-30）×90×3＝1950解得：y＝8.5．答：第二次乙商品是按原價(jià)打8.5折銷售．10．梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時(shí)送1名帶隊(duì)老師及7名九年級(jí)的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離考場(chǎng)15km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻還有42分鐘，這時(shí)唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）若小汽車送4人到達(dá)考場(chǎng)，然后再回到出故障處接其他人，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他們能否在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)；（2）假如你是帶隊(duì)的老師，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前到達(dá)考場(chǎng)，并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明方案的可行性．【解答】解：（1）1560∵45＞42，∴不能在限定時(shí)間內(nèi)到達(dá)考場(chǎng)．（2）方案1：先將4人用車送到考場(chǎng)，另外4人同時(shí)步行前往考場(chǎng)，汽車到考場(chǎng)后返回到與另外4人的相遇處再載他們到考場(chǎng)．先將4人用車送到考場(chǎng)所需時(shí)間為15600.25小時(shí)另外4人步行了1.25km，此時(shí)他們與考場(chǎng)的距離為15﹣1.25＝13.75（km），設(shè)汽車返回t（h）后先步行的4人相遇，5t+60t＝13.75，解得t=2.7513所以用這一方案送這8人到考場(chǎng)共需15+所以這8個(gè)人能在截止進(jìn)考場(chǎng)的時(shí)刻前趕到．方案2，8人同時(shí)出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點(diǎn)xkm的A處，然后這4個(gè)人步行前往考場(chǎng)，車回去接應(yīng)后面的4人，使他們跟前面4人同時(shí)到達(dá)考場(chǎng)，由A處步行前考場(chǎng)需15-x汽車從出發(fā)點(diǎn)到A處需x60(h)先步行的4人走了設(shè)汽車返回t（h）后與先步行的4人相遇，則有60t+解得t=11所以相遇點(diǎn)與考場(chǎng)的距離為：15-由相遇點(diǎn)坐車到考場(chǎng)需：(1