用一元一次方程解決實(shí)際問題【 學(xué)霸筆記+典例精析+競賽試題 】 初中數(shù)學(xué) 學(xué)科素養(yǎng)能力提升

專題10用一元一次方程解決實(shí)際問題一、銷售問題【學(xué)霸筆記】 銷售問題中常見的等量關(guān)系：①利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)；②；③售價(jià)=進(jìn)價(jià)×（1+利潤率）.【典例】某種高端品牌的家用電器，若按標(biāo)價(jià)打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元，其利潤率為20%．現(xiàn)如果按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為多少元？【解答】解：設(shè)標(biāo)價(jià)為x元，則進(jìn)價(jià)為（0.8x﹣500）元，根據(jù)題意得：20%（0.8x﹣500）＝500，解得x＝3750，∴進(jìn)價(jià)為0.8x﹣500＝0.8×3750﹣500＝2500（元），∴按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售獲得的純利潤為3750×0.9﹣2500＝875（元），答：按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為875元．【鞏固】某商場從廠家購進(jìn)了A、B兩種品牌籃球共120個(gè)，已知購買B品牌籃球的總價(jià)比購買A品牌籃球總價(jià)的3倍還多800元，A品牌籃球每個(gè)進(jìn)價(jià)60元，B品牌籃球每個(gè)進(jìn)價(jià)100元．（1）求購進(jìn)A、B兩種品牌籃球各多少個(gè)？（2）在銷售過程中，A品牌籃球每個(gè)按進(jìn)價(jià)加價(jià)30%銷售，很快全部售出；B品牌籃球每個(gè)售價(jià)140元，售出50個(gè)后出現(xiàn)滯銷，商場決定打折出售剩余的B品牌籃球，兩種品牌籃球全部售出后共獲利3080元，求B品牌籃球打幾折出售？二、工程問題【學(xué)霸筆記】 工程問題中的等量關(guān)系：①工作總量=工作時(shí)間×工作效率；②工作總量往往表示為“1”；③工作總量=各個(gè)部分的工作量之和.【典例】新冠病毒疫情初期，口罩供應(yīng)短缺，某口罩生產(chǎn)廠家接到一批口罩定制任務(wù)，要求10天完成．如果安排第一車間單獨(dú)加工，則正好如期完成任務(wù)；如果安排第二車間單獨(dú)加工，則會(huì)延期5天完成．（1）為了盡快完成任務(wù)，廠長安排第一車間單獨(dú)加工5天后，隨即安排第二車間加入一起加工，那么該廠家可以提前幾天完成任務(wù)？（2）已知第一車間一天投入生產(chǎn)的成本是1.2萬元，第二車間一天投入生產(chǎn)的成本是0.7萬元．現(xiàn)有三種加工方案：方案一：第一車間單獨(dú)加工；方案二：第二車間單獨(dú)加工；方案三：兩個(gè)車間同時(shí)加工．如果你是廠長，在以上三種方案中，應(yīng)選擇哪一種方案安排生產(chǎn)，既可以節(jié)約成本，又在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成這批口罩加工任務(wù)？請通過計(jì)算說明理由．【解答】解：（1）設(shè)提前x天完成，那么第一車間的工作時(shí)間是（10﹣x）天，第二車間的工作時(shí)間是（10﹣5﹣x）天，由題意得：10-x10解得x＝2．答：該廠家可以提前2天完成任務(wù)．（2）方案一：1.2×10＝12（萬）；方案二：0.7×15＝10.5（萬），但不能在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；方案三：1÷（110+115）＝6（天），6×（1.2+0.7）＝12＞11.4，所以選擇方案三．【鞏固】一空水池有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管，單開甲管需5min注滿水池，單開乙管需10min注滿水池，滿池水如單開排水管需6min流盡，某次池中沒有水，打開甲管若干分鐘后，發(fā)現(xiàn)排水管未關(guān)上，隨即關(guān)上排水管，同時(shí)打開乙管，又過了同樣長的時(shí)間，水池的14三、行程問題【典例】【閱讀理解】甲、乙兩人分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，甲騎自行車，乙騎摩托車，沿同一條路線相向勻速行駛，出發(fā)后經(jīng)過0.4小時(shí)相遇，已知在相遇時(shí)乙比甲多行駛了14.4千米，相遇后經(jīng)0.1小時(shí)乙到達(dá)A地．問甲、乙兩人的速度分別是多少？分析可以用示意圖來分析本題中的數(shù)量關(guān)系．從圖中可得如下的相等關(guān)系，甲行駛0.4小時(shí)的路程＝乙行駛0.1小時(shí)路程，甲行駛0.4小時(shí)的路程+14.4＝乙行駛0.4小時(shí)的路程．根據(jù)這兩個(gè)相等關(guān)系，可得到甲、乙速度的關(guān)系，設(shè)元列出方程．【問題解決】請你列方程解答【閱讀理解】中的問題．【能力提升】對于上題，若乙出發(fā)0.2小時(shí)后行駛速度減少10千米/小時(shí)，問甲出發(fā)后經(jīng)多少小時(shí)兩人相距2千米？【解答】解：【問題解決】設(shè)甲的速度是x千米/小時(shí)，則乙的速度是4x千米/小時(shí)，依題意有0.4x+14.4＝0.4×4x，解得x＝12，則4x＝4×12＝48．故甲的速度是12千米/小時(shí)，乙的速度是48千米/小時(shí)；【能力提升】設(shè)甲出發(fā)后經(jīng)t小時(shí)相距2千米，（1）甲、乙兩人相遇前兩人相距2千米，依題意有12t+48×0.2+38（t﹣0.2）+2＝24，解得t＝0.4；（2）甲、乙兩人相遇后相距2千米，依題意有12t+48×0.2+38（t﹣0.2）﹣2＝24，解得t＝0.48．故甲出發(fā)后經(jīng)0.4或0.48小時(shí)兩人相距2千米．【鞏固】鐵路旁的一條小路上，甲乙兩人同時(shí)向東而行．甲步行，速度是1m/s；乙騎自行車，速度是3m/s．如果有一列勻速行駛的火車從他們的身后開過來，火車完全通過甲用了22s，完全通過乙用了26s，那么這列火車的車身有多長？鞏固練習(xí)1．相傳有個(gè)人不講究說話藝術(shù)常引起誤會(huì)，一天他設(shè)宴請客，他看到幾個(gè)人沒來，就自言自語：“怎么該來的還不來呢？”客人聽了，心想難道我們是不該來的，于是已到的客人的一半走了，他一看十分著急，又說：“嗨，不該走的倒走了！”剩下的人一聽，是我們該走?。∮钟惺Ｓ嗫腿说娜种浑x開了，他著急地一拍大腿：“我說的不是他們．”于是剩下的6個(gè)人也走了，聰明的你知道最開始來了多少客人嗎？（）A．16 B．18 C．20 D．222．我國古代數(shù)學(xué)著作中有這樣一道題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈”．意思是：遠(yuǎn)遠(yuǎn)望見一座7層高的雄偉壯麗的佛塔，每層塔點(diǎn)著的紅燈數(shù)，下層比上層成倍增加，共381盞．則塔尖有盞燈．3．某超市推出如下優(yōu)惠方案：（1）購物款不超過200元不享受優(yōu)惠；（2）購物款超過200元但不超過600元一律享受九折優(yōu)惠；（3）購物款超過600元一律享受八折優(yōu)惠．小明的媽媽兩次購物分別付款168元、423元．如果小明的媽媽在超市﹣次性購買與上兩次價(jià)值相同的商品，則小明的媽媽應(yīng)付款元．4．在環(huán)行自行車賽場內(nèi)，甲、乙、丙三人騎自行車進(jìn)行訓(xùn)練，他們的速度是：甲每分鐘23圈，乙每分鐘34圈，丙每分鐘12圈，他們同時(shí)出發(fā)，起點(diǎn)如圖所示（甲從A點(diǎn)出發(fā)，沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)；乙從B點(diǎn)出發(fā)，沿圓周逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)；丙從C點(diǎn)出發(fā)，沿圓周順時(shí)針運(yùn)動(dòng)），則出發(fā)5．某生產(chǎn)車間專門加工生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每天能生產(chǎn)螺母24個(gè)或螺栓15個(gè)，一個(gè)螺栓配兩個(gè)螺母配成如圖的一套．（1）若安排20人生產(chǎn)螺栓，那么應(yīng)安排多少人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套？（2）若車間里有90名工人，那么應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母才能使螺栓和螺母正好配套？6．某市自來水公司為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，規(guī)定按以下標(biāo)準(zhǔn)收取水費(fèi)：用水量/月單價(jià)（元/m3）不超過20m32.05超過20m3的部分3.05另：每立方米用水加收0.8元的城市污水處理費(fèi)和0.15元的城市附加費(fèi)（1）根據(jù)上表，用水量每月不超過20m3，實(shí)際每立方米收水費(fèi)元；如果10月份某用戶用水量為15m3，那么該用戶10月份應(yīng)該繳納水費(fèi)元；（2）某用戶11月份共繳納水費(fèi)72元，那么該用戶11月份用水多少m3？（3）若該用戶水表12月份出了故障，有25%的水量沒有計(jì)入水表中，這樣該用戶在12月份只繳納了54元水費(fèi)，問該用戶12月份實(shí)際應(yīng)該繳納水費(fèi)多少元？7．壯壯、菲菲、路路出生時(shí)，他們的媽媽都是27歲，某天三位媽媽王雪、劉芳和李薇閑談時(shí)，王雪說：“菲菲比劉芳小29歲”；李薇說：“路路和劉芳的年齡的和是36歲”，劉芳說：“路路和王雪的年齡的和是35歲”．已知壯壯、菲菲、路路和他們的媽媽6個(gè)人年齡的總和是105歲．請回答：是路路的媽媽？壯壯、菲菲和路路的年齡各是歲，歲，歲？8．老師帶著兩個(gè)學(xué)生到離學(xué)校33千米的博物館參觀．老師開一輛摩托車，速度為25千米/小時(shí)．這輛摩托車后坐可帶乘一名學(xué)生，帶人后速度為20千米/小時(shí)．學(xué)生如果步行，速度為5千米/小時(shí)．請你設(shè)計(jì)一種方案，使得師生3人同時(shí)出發(fā)后用3個(gè)小時(shí)同時(shí)到達(dá)博物館．9．某社區(qū)超市第一次用6000元購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的12倍多15甲乙進(jìn)價(jià)（元/件）2230售價(jià)（元/件）2940（1）該超市購進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？（2）該超市將第一次購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？（3）該超市第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購進(jìn)甲、乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)不變，乙商品的件數(shù)是第一次的3倍；甲商品按原價(jià)銷售，乙商品打折銷售，第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次獲得的總利潤多180元，求第二次乙商品是按原價(jià)打幾折銷售？10．梅林中學(xué)租用兩輛小汽車（設(shè)速度相同）同時(shí)送1名帶隊(duì)老師及7名九年級的學(xué)生到縣城參加數(shù)學(xué)競賽，每輛限坐4人（不包括司機(jī)）．其中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)離截止進(jìn)考場的時(shí)刻還有42分鐘，這時(shí)唯一可利用的交通工具是另一輛小汽車，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）．（1）若小汽車送4人到達(dá)考場，然后再回到出故障處接其他人，請你通過計(jì)算說明他們能否在截止進(jìn)考場的時(shí)刻前到達(dá)考場；（2）假如你是帶隊(duì)的老師，請你設(shè)計(jì)一種運(yùn)送方案，使他們能在截止進(jìn)考場的時(shí)刻前到達(dá)考場，并通過計(jì)算說明方案的可行性．11．如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別﹣2、10，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速