插值擬合逼近

插值擬合逼近第1頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

§2.1曲線擬合的最小二乘法

常見(jiàn)的數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題可描述為，給定離散數(shù)據(jù)表

x

x1

x2 ?? xm

f(x)y1

y2 ?? ym

求擬合函數(shù)使得達(dá)到最小。這里，函數(shù)稱為擬合函數(shù)，式（2）稱為擬合條件。通常假設(shè)（1）中是已給定的函數(shù)。（1）（2）

數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題第2頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月擬合函數(shù)是一元函數(shù)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形是平面曲線。數(shù)據(jù)擬合的幾何背景是尋找一條近似通過(guò)給定離散點(diǎn)的曲線，故稱為曲線擬合問(wèn)題。為了確定數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題，首先要選取適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類例如，選用冪函數(shù)類,則這就是多項(xiàng)式擬合函數(shù)。在實(shí)際問(wèn)題中常用的擬合函數(shù)類有指數(shù)函數(shù)類、三角函數(shù)類等等，可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的分布特點(diǎn)來(lái)選取。第3頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

曲線擬合的最小二乘法

設(shè)函數(shù)已選定，根據(jù)擬合條件（2）確定擬合函數(shù)（1）中系數(shù)的方法稱為最小二乘法。擬合函數(shù)與數(shù)據(jù)表中函數(shù)在各結(jié)點(diǎn)上的差值

組成的向量稱為殘差，記為

殘差向量r的分量平方和為現(xiàn)在確定使殘差平方和最小，可令第4頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即由于是未知數(shù)，將上式整理為方程組（3）稱為正規(guī)方程組，由它的解可以確定擬合函數(shù)（3）第5頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月線性擬合與多項(xiàng)式擬合將擬合函數(shù)取線性函數(shù)或多項(xiàng)式函數(shù)是一種簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)擬合方法。

擬合函數(shù)稱為對(duì)數(shù)據(jù)的線性擬合。對(duì)于線性擬合問(wèn)題，需要求函數(shù)的最小值。對(duì)兩個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)，得令其等于零，得正規(guī)方程組第6頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組系數(shù)矩陣方程組右端項(xiàng)超定方程組:

GX=F正規(guī)方程組:

GTGX=GTF

超定方程組第7頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下,求線性擬合函數(shù)。

x 1 2 3 45f(x)4 4.5 6 8 9第8頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月||r||2=0.7583殘差向量:(1)－4=－0.40(2)－4.5=0.45(3)－6=0.30(4)－8=－0.35(5)－9=0(x)=2.25+1.35x第9頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月擬合函數(shù)稱為對(duì)數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式擬合。對(duì)于多項(xiàng)式擬合問(wèn)題，需要求函數(shù)采用同樣的方法，可得到正規(guī)方程組第10頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方程組系數(shù)矩陣方程組右端項(xiàng)超定方程組:GX=F正規(guī)方程組:GTGX=GTF

第11頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.求數(shù)據(jù)的二次擬合函數(shù)

P(x)=a0+a1x+a2x2x12345f(x)

44.5689

第12頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二次擬合誤差:||r||2=0.6437比較線性擬合誤差:

||r||2=0.7583第13頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月超定方程組的最小二乘解

給定數(shù)據(jù)表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym擬合函數(shù)(x)=a00(x)

+a11(x)

+······+an

n(x)為了進(jìn)一步理解數(shù)據(jù)擬合的最小二乘方法，考慮如下線性方程組問(wèn)題。第14頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以矩陣符號(hào)記為：GX=F··············m>n+1

超定方程組GTGX=GTF第15頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)矩陣按列分塊GX=F

GTGX=GTF·····正規(guī)方程組的解稱為超定方程組的最小二乘解第16頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月取求擬合函數(shù):(x)=a00(x)

+a11(x)給定數(shù)表

x

x1

x2··········xmf(x)y1

y2··········ym第17頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第18頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用最小二乘法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程包含三個(gè)步驟：(1)由觀測(cè)數(shù)據(jù)表中的數(shù)值，點(diǎn)畫(huà)出未知函數(shù)的粗略圖形——散點(diǎn)圖；(2)從散點(diǎn)圖中確定擬合函數(shù)類型；(3)通過(guò)最小二乘原理，確定擬合函數(shù)中的未知參數(shù)。例3設(shè)經(jīng)實(shí)驗(yàn)取得一組數(shù)據(jù)如下解：在坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，可見(jiàn)這些點(diǎn)基本位于一條雙曲線附近，于是可取擬合函數(shù)第19頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月于是所求擬合函數(shù)為第20頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月前面所討論的最小二乘問(wèn)題都是線性的，即：關(guān)于待定系數(shù)是線性的。若關(guān)于待定系數(shù)是非線性的，則往往先用適當(dāng)?shù)淖儞Q把非線性問(wèn)題線性化后，再求解。如對(duì)，取對(duì)數(shù)得：，記則有，它是關(guān)于待定系數(shù)是線性的，于是所滿足的正規(guī)方程組是其中.由上述方程組解得后，再由，求得.第21頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

由實(shí)驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)如下解：在坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖如下可見(jiàn)這些點(diǎn)近似于一條指數(shù)曲線，記第22頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記則有記，則第23頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5有函數(shù)如下表所列，要求用公式解：正則方程組為第24頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月指數(shù)擬合第25頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第26頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§

3.最佳平方逼近

對(duì)于離散點(diǎn)的最小二乘擬合方法，可以推廣到連續(xù)函數(shù)的逼近上去。下面先給出正交多項(xiàng)式的概念?！?.1正交多項(xiàng)式定義如果函數(shù)系中每個(gè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，不恒等于零，且滿足條件那么稱函數(shù)系在上關(guān)于權(quán)函數(shù)為正交函數(shù)系。稱為正交多項(xiàng)式。例如三角函數(shù)系1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,…在[]上關(guān)于權(quán)函數(shù)是正交函數(shù)系。第27頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月稱為與的內(nèi)積

如果內(nèi)積，則稱與正交。

下面介紹幾個(gè)工程中最常用的正交多項(xiàng)式一、Legendre多項(xiàng)式

多項(xiàng)式系

：在區(qū)間上關(guān)于權(quán)函數(shù)正交，稱為勒讓德（Legendre）多項(xiàng)式第28頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、Tchebyshev多項(xiàng)式多項(xiàng)式系

：在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交，稱為切比雪夫（Tchebyshev）多項(xiàng)式

。第29頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、Laguerre多項(xiàng)式稱為拉蓋爾（Laguerre）多項(xiàng)式，它是在上關(guān)于權(quán)的正交多項(xiàng)式。四、Hermite多項(xiàng)式稱為Hermite多項(xiàng)式，它是在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交多項(xiàng)式系。第30頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§3.2

最佳平方逼近設(shè)是一族在上線性無(wú)關(guān)的連續(xù)函數(shù),以它們?yōu)榛讟?gòu)成的線性空間

.所謂最佳平方逼近問(wèn)題就是求廣義多項(xiàng)式

使函數(shù)取得最小值。對(duì)每個(gè)變量求導(dǎo)數(shù)，得

第31頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即把代入上式，得利用內(nèi)積定義，我們可得方程組第32頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其系數(shù)行列式為特別當(dāng)為[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交函數(shù)系,則可立刻求出從而最佳平方逼近函數(shù)為第33頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6求函數(shù)在上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。練習(xí)求函數(shù)在上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。第34頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第35頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第36頁(yè)，課件共37頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本章小結(jié)本章介紹