2022年中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用(含答案)

2022年中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用

1.（四川遂寧）某服裝店以每件30元的價格購進一批7■恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出

300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)7恤的銷售單價提高x元.

（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種，恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問7恤的銷售單價應(yīng)

提高多少元？

（2）當銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種7恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

2.（2021雅安）某藥店選購了一批消毒液，進價為每瓶10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（瓶）

與每瓶售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中10WxW21,且x為整數(shù)）.當每瓶消毒液售價為12

元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶消毒液售價為15元時，每天銷售量為75瓶.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)該藥店銷售該消毒液每天的銷售利潤為『元，當每瓶消毒液售價為多少元時，藥店銷售該消毒液

每天銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

3.（2021鄂爾多斯）鄂爾多斯市某賓館共有50個房間供游客居住，每間房價不低于200元且不超過320元、

如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.已知每個房間定價元）和游客居住

房間數(shù)y（間）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x的函數(shù)圖象.

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當房價定為多少元時，賓館利潤最大？最大利潤是多少元？

280290x阮

4.某商家正在熱銷一種商品，其成本為30元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)隨著售價增加，銷售量在減少.商家

決定當售價為60元/件時，改變銷售策略，此時售價每增加1元需支付由此產(chǎn)生的額外費用150元.該商

品銷售量y（件）與售價元/件）滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系（其中40WxW70,且x為整數(shù)）.

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當售價為多少時，商家所獲利潤最大，最大利潤是多少？

5.（2021湖北武漢）在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以力，8兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機產(chǎn)品.4

原料的單價是6原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購8原料少IQQkg.生產(chǎn)該

產(chǎn)品每盒需要力原料2e和8原料4檢，每盒還需其他成本9元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是

60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.

（1）求每盒產(chǎn)品的成本（成本=原料費+其他成本）；

（2）設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是*元（x是整數(shù)），每天的利潤是“，元，求獷關(guān)于*的函數(shù)解析式（不需要寫

出自變量的取值范圍）；

（3）若每盒產(chǎn)品的售價不超過a元（a是大于60的常數(shù)，且是整數(shù)），直接寫出每天的最大利潤.

6.（2021湖北十堰）某商貿(mào)公司購進某種商品的成本為20元/扇，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40

fO.25x+30（l<x<20且x為整數(shù)）

天的銷售單價y（元/版）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：尸/J工女人，

35（20<x<40且x為整數(shù)）

且日銷量0（kg）與時間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如下表:

時間X（天）13610.??

日銷量m142138132124???

Qkg）

（1）填空：應(yīng)與x的函數(shù)關(guān)系為一_；

（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中，公司決定每銷售1例商品就捐贈〃元利潤（n<4）給當?shù)馗＠?，后發(fā)

現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間%的增大而增大，求〃的取值范圍.

7.（2021湖北仙桃）去年“抗疫”期間，某生產(chǎn)消毒液廠家響應(yīng)政府號召，將成本價為6元/件的簡裝消毒

液低價銷售，為此當?shù)卣疀Q定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進行補貼，設(shè)某月銷售價為x元/件，a

與x之間滿足關(guān)系式：a=20%（10-幻，下表是某4個月的銷售記錄，每月銷售量y（萬件）與該月銷售價

x（元/件）之間成一次函數(shù)關(guān)系（6Wx<9）.

月份???二月三月四月五月???

銷售價???677.68.5???

X（元/件）

該月銷售量???3020145.??

y（萬件）

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當銷售價為8元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補貼多少萬元?

（3）當銷售價x定為多少時，該月純收入最大？

（純收入=銷售總金額-成本+政府當月補貼）

8.（2021黃岡）紅星公司銷售一種成本為40元/件產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件，一個月可售出5

萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少0.1萬件.其中月銷售單價不低于成本.設(shè)月銷售單價

為x（單位：元/件），月銷售量為y（單位：萬件）.

（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當月銷售單價是多少元時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？

（3）為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款a元.已知該

公司捐款當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值.

9.（2021荊門）某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),

某種商品的周銷售量y（件）是關(guān)于售價元/件）的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價必周銷售量

八周銷售利潤元）的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù).

X407090

y1809030

360045002100

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（2）若該商品進價a（元/件），售價x為多少時，周銷售利潤/最大？并求出此時的最大利潤；

（3）因疫情期間，該商品進價提高了加（元/件）（m>0）,公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價x不得

超過55（元/件），且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最

大利潤是4050元，求明的值.

10.如今我國的大棚（如圖1）種植技術(shù)已十分成熟.小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截

面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B

處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標系.已知大棚上某處離地面的高度y（米）與其離墻

體力的水平距離x（米）之間的關(guān)系滿足/=-工V+Ax+c,現(xiàn)測得4,8兩墻體之間的水平距離為6米.

6

（1）直接寫出b,c的值；

（2）求大棚的最高處到地面的距離；

（3）小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為21米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的

24

土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準備多少根竹竿？

圖1圖2

11.（2021廣西南寧）2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情.如圖是某跳臺滑

雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點4作水平線的垂線為y軸，建立平

面直角坐標系，圖中的拋物線G：尸-」一丁+工戶1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點

126

（1）當運動員運動到離1處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線C的函數(shù)解析式

（不要求寫出自變量x的取值范圍）；

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米？

（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求6的取值范圍.

12.某跳水運動員在一次跳水訓(xùn)練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段.已知跳水板AB長為2m,跳水板

距水面CD的高BC為3m.為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時跳水曲線應(yīng)在離起跳點A處水平距hm(hel)時

達到距水面最大高度4m.規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標系.

(1)當h=l時，求跳水曲線所在的拋物線方程；

(2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓(xùn)練效果，求此時h的取值范圍.

13.如圖，河上有一座拋物線橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部3m時，水面寬AB為6m,當水位上升0.5m

時：

(1)求水面的寬度CD為多少米？

(2)有一艘游船，它的左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在上述河流中航

行.

①若游船寬(指船的最大寬度)為2m,從水面到棚頂?shù)母叨葹長8m,問這艘游船能否從橋洞下通過？

②若從水面到棚頂?shù)母叨葹?m的游船剛好能從橋洞下通過，則這艘游船的最大寬度是多少米？

4

14.（2021.紹興）小聰設(shè)計獎杯，從拋物線形狀上獲得靈感，在平面直角坐標系中畫出截面示意圖，如圖

1,杯體力力是拋物線的一部分，拋物線的頂點C在y軸上，杯口直徑4Q4,且點46關(guān)于y軸對稱，杯

腳高戊=4,杯高"7=8,杯底網(wǎng)，在x軸上.

（1）求杯體］⑶所在拋物線的函數(shù)表達式（不必寫出x的取值范圍）；

（2）為使獎杯更加美觀，小敏提出了改進方案，如圖2,杯體/CB'所在拋物線形狀不變，杯口直徑

A'B'//AB,杯腳高。不變，杯深切'與杯高如'之比為0.6,求力'B'的長.

15.武漢歡樂谷要建一個圓形噴水池，如圖所示，計劃在噴水池的周邊靠近水面的位置安裝一圓噴水頭，

時噴出的水柱在離池中心4m處達到最高，高度為6m,另外還要再噴水池的中心設(shè)計一個裝飾水壇，使各方

向噴來的水柱在此匯合，己知裝飾水壇的高度為

&

3

（1）建立平面直角坐標系，使拋物線水柱最高坐標為（4,6）,裝飾水壇最高坐標為（0,以），求圓形

3

噴水池的半徑.

（2）為防止游客戲水出現(xiàn)危險，公園再噴水池內(nèi)設(shè)置了一個六方形隔離網(wǎng).如圖，若該六邊形被圓形噴水

池的直徑AB平分為兩個相同的等腰梯形，那么，當該等腰梯形的腰AD長為多少時，該梯形周長最大？

參考答案

2022年中考數(shù)學(xué)二輪壓軸題復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的應(yīng)用

1.（四川遂寧）某服裝店以每件30元的價格購進一批7■恤，如果以每件40元出售，那么一個月內(nèi)能售出

300件，根據(jù)以往銷售經(jīng)驗，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)7恤的銷售單價提高x元.

（1）服裝店希望一個月內(nèi)銷售該種7恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，問7恤的銷售單價應(yīng)

提高多少元？

（2）當銷售單價定為多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種7恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【分析】（1）設(shè)銷售單價提高x元，根據(jù)題意列出方程求解即可；

（2）設(shè)銷售利潤為"元，求得函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：（1）設(shè)7恤的銷售單價提高x元，

由題意列方程得:（A+40-30）（300-10%）=3360,

解得：汨=2或.=18,

???要盡可能減少庫存，

，尼=18不合題意，應(yīng)舍去.

，T恤的銷售單價應(yīng)提高2元，

答：7恤的銷售單價應(yīng)提高2元；

（2）設(shè)利潤為材元，由題意可得：

M=（A+40-30）（300-10x）,

=-10/+200A+3000,

=-10（X-10）.4000,

...當x=10時，"城大的=4000元，

...銷售單價:40+10=50（元），

答：當服裝店將銷售單價定為50元時，得到最大利潤是4000元.

【點評】本題考查了二次函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用利潤=單件利潤X銷售量列出

二次函數(shù)解析式.

2.（2021雅安）某藥店選購了一批消毒液，進價為每瓶10元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天銷售量y（瓶）

與每瓶售價x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中10^^21,且x為整數(shù)）.當每瓶消毒液售價為12

元時，每天銷售量為90瓶；當每瓶消毒液售價為15元時，每天銷售量為75瓶.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)該藥店銷售該消毒液每天的銷售利潤為v元，當每瓶消毒液售價為多少元時，藥店銷售該消毒液

每天銷售利潤最大，最大利潤是多少元？

【考點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)據(jù)，利用待定系數(shù)法即可求出V與”之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）利用銷售該消毒液每天的銷售利潤=每瓶的銷售利潤X每天的銷售量，即可得出臚關(guān)于x的函數(shù)關(guān)

系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

【解答】解：（1）設(shè)y與不之間的函數(shù)關(guān)系式為y=A廣6

將（12,90）,（15,75）代入尸26,

{:猊2翁解得:憶急

115k+D=753=150

???y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-5*+150（10WW21,且x為整數(shù)）.

（2）依題意得：懺（%-10）（-5A+150）=-5f+200x-1500=-5（公20）2+500.

：-5<0,

當x=20時，甲取得最大值，最大值為500.

答：當每瓶消毒液售價為20元時，藥店銷售該消毒液每天銷售利潤最大，最大利潤是500元.

3.（2021鄂爾多斯）鄂爾多斯市某賓館共有50個房間供游客居住，每間房價不低于200元且不超過320元、

如果游客居住房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.已知每個房間定價x（元）和游客居住

房間數(shù)y（間）符合一次函數(shù)關(guān)系，如圖是y關(guān)于x的函數(shù)圖象.

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）當房價定為多少元時，賓館利潤最大？最大利潤是多少元？

【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；應(yīng)用意識.

【答案】(1)y與x之間的函數(shù)解析式為尸-工產(chǎn)68(200WW320)；(2)當每間房價定價為320元

10

時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是10800元.

【分析】(1)根據(jù)圖象設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為尸取+6,然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

(2)根據(jù)賓館利潤數(shù)=單個房間的利潤X游客居住房間數(shù)列出二次函數(shù)的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性

質(zhì)解決問題.

【解答】解：(1)由題意，設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為尸無r+方，

把(280,40,),(290,39)代入得:

[280k+b=40,

l290k+b=39，

解得：10,

b=68

與x之間的函數(shù)解析式為尸-」_戶68(200^^320)；

10

(2)設(shè)賓館的利潤為曠元，

貝ljir=(x-20)y=(x-20)(-上矛+68)=-上9+70*-1360=-2(x-350)2+10890,

101010

;-工＜0,

10

.,.當x〈350時，甲隨x的增大而增大，

?.?200WxW320,

...當x=320時，甲取得最大值，最大值為10800元，

答：當每間房價定價為320元時，賓館每天所獲利潤最大，最大利潤是10800元.

4.某商家正在熱銷一種商品，其成本為30元/件，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)隨著售價增加，銷售量在減少.商家

決定當售價為60元/件時，改變銷售策略，此時售價每增加1元需支付由此產(chǎn)生的額外費用150元.該商

品銷售量y(件)與售價x(元/件)滿足如圖所示的函數(shù)關(guān)系(其中40WxW70,且x為整數(shù)).

(1)直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當售價為多少時，商家所獲利潤最大，最大利潤是多少？

【分析】(1)先設(shè)出一次函數(shù)關(guān)系式，分40WW60和60<痣70兩種情況用待定系數(shù)法分別求出函數(shù)

解析式即可；

(2)設(shè)獲得的利潤為，/元，分①當40WxW60時和②當60<xW70時兩種情況分別求出函數(shù)解析式，然

后根據(jù)自變量的取值范圍和函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大值.

【解答】解：(1)設(shè)線段18的表達式為：y=kx+b(40<xW60),

將點(40,300)、(60,100)代入上式得：

[300=40k+b,

I100=60k+b，

解得：(k=70,

lb=700

函數(shù)的表達式為：-10A+700(40WXW60),

設(shè)線段6C的表達式為：尸加肝〃(60<xW70),

將點(60,100),(70,150)代入上式得：

<f60k+b=100；

l70k+b=150，

解得：0=5,

Ib=-200

二函數(shù)的表達式為：y=5x-200(60<xW70),

(-10x+700(40<x<60)

???y與x的函數(shù)關(guān)系式為:

15x-200(60<x<70)

(2)設(shè)獲得的利潤為此元，

①當40Wx<60時，JF=(x-30)(-10x+700)=-10(x-50)2+4000,

,/-10<0,

...當x=50時，W有值最大，最大值為4000元;

②當60VxW70時，iv=(x-30)(5^-200)-150(x-60)=5(x-50)2+2500,

V5>0,

...當60VA<70時，w隨x的增大而增大，

.?.當x=70時，曠有最大，最大值為：5(70-50)2+2500=4500(元)，

綜上，當售價為70元時，該商家獲得的利潤最大，最大利潤為4500元.

5.(2021湖北武漢)在“鄉(xiāng)村振興”行動中，某村辦企業(yè)以兒8兩種農(nóng)作物為原料開發(fā)了一種有機產(chǎn)品.4

原料的單價是6原料單價的1.5倍，若用900元收購A原料會比用900元收購6原料少1004g.生產(chǎn)該

產(chǎn)品每盒需要4原料2例和6原料4例，每盒還需其他成本9元.市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該產(chǎn)品每盒的售價是

60元時，每天可以銷售500盒；每漲價1元，每天少銷售10盒.

(1)求每盒產(chǎn)品的成本(成本=原料費+其他成本)；

(2)設(shè)每盒產(chǎn)品的售價是x元(x是整數(shù))，每天的利潤是“，元，求曠關(guān)于x的函數(shù)解析式(不需要寫

出自變量的取值范圍)；

(3)若每盒產(chǎn)品的售價不超過a元(a是大于60的常數(shù)，且是整數(shù))，直接寫出每天的最大利潤.

【分析】(1)根據(jù)題意列方程先求出兩種原料的單價，再根據(jù)成本=原料費+其他成本計算每盒產(chǎn)品的成

本即可；

(2)根據(jù)利潤等于售價減去成本列出函數(shù)關(guān)系式即可；

(3)根據(jù)(2)中的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解答】解：(1)設(shè)8原料單價為必元，則4原料單價為1.50元，

根據(jù)題意，得顫-型上=100,

m1.5m

解得〃=3,

經(jīng)檢驗m=3是方程的解，

1.5/27=4.5,

,每盒產(chǎn)品的成本是：4.5X2+4X3+9=30(元)，

答：每盒產(chǎn)品的成本為30元；

(2)根據(jù)題意，得k(x-30)[500-10(x-60)]=-10A1400A--33000,

二用關(guān)于x的函數(shù)解析式為：w=-10/+1400x-33000；

(3)由(2)知-10?+1400A--33000=-10Cx-70)2+16000,

當a270時,每天最大利潤為16000元,

當60<a<70時，每天的最大利潤為(-10a2+1400a-33000)元.

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)和分式方程，熟練應(yīng)用二次函數(shù)求最值是解題的關(guān)鍵.

6.（2021湖北十堰）某商貿(mào)公司購進某種商品的成本為20元/招，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，這種商品在未來40

天的銷售單價y（元/依）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為：尸Q:x氏臂數(shù)1

135（20<*440且乂為整數(shù)）

且日銷量）（俯）與時間x（天）之間的變化規(guī)律符合一次函數(shù)關(guān)系，如下表:

時間X（天）13610???

日銷量m142138132124???

（kg）

（1）填空：0與x的函數(shù)關(guān)系為l-2Hl44（1WXW40且x為整數(shù)）；

（2）哪一天的銷售利潤最大？最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中，公司決定每銷售1償商品就捐贈〃元利潤（n<4）給當?shù)馗＠?，后發(fā)

現(xiàn)：在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間x的增大而增大，求〃的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)題意建立一次函數(shù)模型，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）根據(jù)題意找到等量關(guān)系式：日銷售利潤一（銷售單價-單件成本）X銷售量，列出方程，再分情況

進行討論總結(jié)即可；

（3）根據(jù)題意列出方程，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行求解即可.

【解答】解：（1）由題意可設(shè)日銷量卬（檢）與時間天）之間的一次函數(shù)關(guān)系式為：RLk/b（k￥0）,

將（1,142）和（3,138）代入m=kx+b,W：J142=k+b,

I138=3k+b

解得k---2,b=144,

故位與x的函數(shù)關(guān)系為：/L-2盧144（lWx<40且”為整數(shù)）；

（2）設(shè)日銷售利潤為/元，根據(jù)題意可得：

當1WXW20且x為整數(shù)時，—（0.25戶30-20）（-2A+144）--0.5^+16A+1440—-0.5（%-16）2+1568,

此時當a—16時，取得最大日銷售利潤為1568元，

當20cA<40且x為整數(shù)時，~（35-20）（-2戶144）--30x+2160,

此時當A—21時，取得最大日銷售利潤/^=-30X21+2160=1530（元），

綜上所述，第16天的銷售利潤最大，最大日銷售利潤為1568元；

（3）設(shè)每天扣除捐贈后的日銷售利潤為只根據(jù)題意可得：

P=-0.5/+16A+1440-nd-2A+144）=-0.5x+（16+2/?）戶1440-144萬,其對稱軸為直線L16+2〃,

在前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間*的增大而增大，且x只能取整數(shù)，故只要第20

天的利潤高于第19天，即對稱軸要大于19.5

.,.16+2/?>19,5,求得〃>1.75,

又：〃<4,

二〃的取值范圍是：1.75<"<4,

答：〃的取值范圍是L75<〃<4.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解此類型題目首先要根據(jù)題意找到等量關(guān)系式，列出方程，再結(jié)合

實際和二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行逐步的分析.

7.（2021湖北仙桃）去年“抗疫”期間，某生產(chǎn)消毒液廠家響應(yīng)政府號召，將成本價為6元/件的簡裝消毒

液低價銷售，為此當?shù)卣疀Q定給予其銷售的這種消毒液按a元/件進行補貼，設(shè)某月銷售價為x元/件，a

與x之間滿足關(guān)系式：a=20%（10-幻，下表是某4個月的銷售記錄，每月銷售量y（萬件）與該月銷售價

x（元/件）之間成一次函數(shù)關(guān)系（6Wx<9）.

月份???二月三月四月五月???

銷售價???677.68.5???

X（元/件）

該月銷售量???3020145.??

y（萬件）

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當銷售價為8元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補貼多少萬元？

（3）當銷售價x定為多少時，該月純收入最大？

（純收入=銷售總金額-成本+政府當月補貼）

【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）先求出*=3時，銷售量y的值，再求政府補貼；

（3）純收入=銷售總金額-成本+政府當月補貼列出函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.

【解答】解：（1）:?每月銷售量y與該月銷售價x之間成一次函數(shù)關(guān)系，

.,.設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為：尸kx+b,

則［6k+b=30,

l7k+b=20

解得：(k=-10,

lb=90

與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-10x+90(6<x<9)；

(2)當x=8時，y=-10X8+90=10(萬元)，

；a與x之間滿足關(guān)系式:a=20%(10-x),

二當銷售價為8元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補貼為：10a=10X20%(10-8)=4(萬元)，

答：當銷售價為8元/件時，政府該月應(yīng)付給廠家補貼4萬元；

(3)設(shè)該月的純收入w萬元，

則(x-6)+0.2(10-x)]=(-10A+90)(0.8X-4)=-8/+112x-360=-8(A-7)2+32,

：-8<0,6Wx<9

...當x=7時，甲最大，最大值為32萬元,

答：當銷售價定為7時，該月純收入最大.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)純收入=銷售總金額-成本+

政府當月補貼列出函數(shù)解析式.

8.(2021黃岡)紅星公司銷售一種成本為40元/件產(chǎn)品，若月銷售單價不高于50元/件，一個月可售出5

萬件；月銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少0.1萬件.其中月銷售單價不低于成本.設(shè)月銷售單價

為x(單位：元/件)，月銷售量為y(單位：萬件).

(1)直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(2)當月銷售單價是多少元時，月銷售利潤最大，最大利潤是多少萬元？

(3)為響應(yīng)國家“鄉(xiāng)村振興”政策，該公司決定在某月每銷售1件產(chǎn)品便向大別山區(qū)捐款a元.已知該

公司捐款當月的月銷售單價不高于70元/件，月銷售最大利潤是78萬元，求a的值.

【分析】(1)根據(jù)題意寫出銷售量和銷售單價之間的關(guān)系式即可；

(2)根據(jù)銷售量和銷售單價之間的關(guān)系列出銷售利潤和單價之間的關(guān)系式求最值即可;

(3)根據(jù)(2)中的函數(shù)和月銷售單價不高于70元/件的取值范圍，確定a值即可.

【解答】解：(1)由題知，①當40WxW50時，尸5,

②當50〈后100時，y=5-(x-50)X0.1=10-0.lx,

y=5(40<x<50)

與x之間的函數(shù)關(guān)系式為:

y=10-0.lx(50<x<100)

(2)設(shè)月銷售利潤為z,由題知，

①當40W后50時，x=50時利潤最大,

此時z=(50-40)X5=50(萬元)，

②當50<A-^100時，z=(x-40)y=(x-40)(10-0.1^)=-0.Ix+I4x-400=-0.1(x-70)2+90,

.?.當x=70時，z有最大值為90萬元，

即當月銷售單價是70元時，月銷售利潤最大，最大利潤是90萬元；

(3)由題知,利潤z=(x-40-由(10-0.1%)=-0.1/+(14+0.la)x-400-10a,

此函數(shù)的對稱軸為：直線x=-1"0.la=70+0.5a>70,

2X(-0.1)

...當月銷售單價是70元時，月銷售利潤最大，

即(70-40-a)X(10-0.1X70)=78,

解得a—4,

，a的值為4.

【點評】本題主要考查一次函數(shù)性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)及方程的應(yīng)用，熟練應(yīng)用二次函數(shù)求最值是解題

的關(guān)鍵.

9.(2021荊門)某公司電商平臺，在2021年五一長假期間，舉行了商品打折促銷活動，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),

某種商品的周銷售量y(件)是關(guān)于售價元/件)的一次函數(shù)，如表僅列出了該商品的售價x,周銷售量

y,周銷售利潤元)的三組對應(yīng)值數(shù)據(jù).

X407090

y1809030

W360045002100

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)若該商品進價a(元/件)，售價x為多少時，周銷售利潤”最大？并求出此時的最大利潤；

(3)因疫情期間，該商品進價提高了加(元/件)(///>0),公司為回饋消費者，規(guī)定該商品售價“不得

超過55(元/件)，且該商品在今后的銷售中，周銷售量與售價仍滿足(1)中的函數(shù)關(guān)系，若周銷售最

大利潤是4050元，求應(yīng)的值.

【分析】(1)設(shè)了=履+6,把x=40,y=180和x=70,y=90,代入可得解析式.

(2)根據(jù)利潤=(售價-進價)X數(shù)量，得人(-3x+300)(x-a),把戶40,—3600,代入上式可

得關(guān)系式用=-3(x-60)2+4800,頂點的縱坐標是有最大值.

(3)根據(jù)根據(jù)利潤=(售價-進價)X數(shù)量，得/眸-3(x-100)(x-20-?)(x<55),其對稱軸x

=60+皿>60,0<xW55時，函數(shù)單調(diào)遞增，只有x=55時周銷售利潤最大，即可得〃=5.

2

【解答】解：(1)設(shè)尸M+6,由題意有：

<f40k+b=180；

I70k+b=90'

解得(k=-3,

lb=300

所以y關(guān)于x的函數(shù)解析式為尸-3廿300；

(2)由(1)-(-3廣300)(x-a),

又由表知，把*=40,/勺3600,代入上式可得關(guān)系式

得：3600=(-3X40+300)(40-a),

**?3=20

:.W=(-3A+300)(x-20)=-3f+360x-6000=-3(%-60)2+4800,

所以售價x=60時，周銷售利潤“最大，最大利潤為4800；

(3)由題意W=-3(x-100)(x-20-而(V55),

其對稱軸x=60+旦>60,

2

.?.0<xW55時，『的值隨x增大而增大，

只有x=55時周銷售利潤最大，

二4050=-3(55-100)(55-20-加，

:.必=5.

【點評】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵理解題意，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和銷售問題中利潤公

式，

10.如今我國的大棚(如圖1)種植技術(shù)已十分成熟.小明家的菜地上有一個長為16米的蔬菜大棚，其橫截

面頂部為拋物線型，大棚的一端固定在離地面高1米的墻體A處，另一端固定在離地面高2米的墻體B

處，現(xiàn)對其橫截面建立如圖2所示的平面直角坐標系.已知大棚上某處離地面的高度y(米)與其離墻

體A的水平距離x(米)之間的關(guān)系滿足y=-^x2+bx+c,現(xiàn)測得A,6兩墻體之間的水平距離為6米.

6

(1)直接寫出b,c的值；

(2)求大棚的最高處到地面的距離：

(3)小明的爸爸欲在大棚內(nèi)種植黃瓜，需搭建高為冬■米的竹竿支架若干，已知大棚內(nèi)可以搭建支架的

24

土地平均每平方米需要4根竹竿，則共需要準備多少根竹竿？

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)題意可推出點力坐標為（0,1）,點8坐標為（6,2）,將這兩點坐標代入二次函數(shù)表

達式即可求得氏c的值;

（2）將二次函數(shù)一般式化為頂點式，即可求得大棚的最高點;

（3）先求出大棚內(nèi)可以搭建支架土地的寬，再求需要搭建支架部分的面積，進而求得需要準備的竹竿.

【解答】解：（1）~工，c=l.

6

127I727Q

（2）由y^=VM—v+1（x）H，

666'2'24

可知當L工時，了有最大值四，

224

故大棚最高處到地面的距離為巡米；

24

（3）4j——,則有［X?上］一9

246624

解得小一］，M

22

，大棚內(nèi)可以搭建支架的土地的寬為6-工一旦（米），

22

又大棚的長為16米，

二需要搭建支架部分的土地面積為16X11-88（平方米），

2

故共需要88X4-352（根）竹竿，

答：共需要準備352根竹竿.

11.（2021廣西南寧）2022年北京冬奧會即將召開，激起了人們對冰雪運動的極大熱情.如圖是某跳臺滑

雪訓(xùn)練場的橫截面示意圖，取某一位置的水平線為x軸，過跳臺終點4作水平線的垂線為y軸，建立平

面直角坐標系，圖中的拋物線G：y=-工/+工戶1近似表示滑雪場地上的一座小山坡，某運動員從點

126

（1）當運動員運動到離1處的水平距離為4米時，離水平線的高度為8米，求拋物線C的函數(shù)解析式

（不要求寫出自變量x的取值范圍）;

（2）在（1）的條件下，當運動員運動的水平距離為多少米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米?

（3）當運動員運動到坡頂正上方，且與坡頂距離超過3米時，求。的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)題意將點（0,4）和（4,8）代入G：尸-工V+6戶c求出b、c的值即可寫出C的

8

函數(shù)解析式；

（2）設(shè)運動員運動的水平距離為小米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得：-上層+3研4

82

-（-）=1,解出加即可；

126

（3）求出小坡的頂點坐標為（7,11）,根據(jù)題意即-Lx7>7>4>3+旦1,再解出8的取值范圍即可.

12812

【解答】解：（1）由題意可知拋物線C：y=-工過點（0,4）和（4,8）,將其代入得：

8

f4=c3

，拋物線G的函數(shù)解析式為：y=-lz+1^4；

82

（2）設(shè)運動員運動的水平距離為0米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米，依題意得:

-—m+—z?A4-(--工研1)=1,

82126

整理得：（m-12）（7^4）=0,

解得：如=12,加2=-4（舍去）,

故運動員運動的水平距離為12米時，運動員與小山坡的豎直距離為1米;

(3)G：尸-JL_/+工;rH=-J_(x-7)

1261212

當x=7時，運動員到達坡頂,

即-AX72+7ZH-4>3+.^1,

812

解得：z,>35.

24

【點評】本題考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，并能將實際問題與二

次函數(shù)模型相結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

12.某跳水運動員在一次跳水訓(xùn)練時的跳水曲線為如圖所示的拋物線一段.已知跳水板AB長為2m,跳水板

距水面CD的高BC為3m.為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時跳水曲線應(yīng)在離起跳點A處水平距hm(h2l)時

達到距水面最大高度4m.規(guī)定：以CD為橫軸，BC為縱軸建立直角坐標系.

(1)當h=l時，求跳水曲線所在的拋物線方程；

(2)若跳水運動員在區(qū)域EF內(nèi)入水時才能達到比較好的訓(xùn)練效果，求此時h的取值范圍.

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型.

專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：(1)由題意知最高點為(2+h,4),h2l.設(shè)拋物線方程為y=a[x-(2+h)『+4,當h=l時，最高點為(3,

4),方程為y=a(x-3)2+4,由此能求出結(jié)果.

(2)將點A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4?得ah~=-l,由題意，方程a[x-(2+h)]。+4=0在區(qū)間[5,

6]內(nèi)有一解，由此入手能求出達到較好的訓(xùn)練效果時h的取值范圍.

解答：解：(1)由題意知最高點為(2+h,4),h2l.

設(shè)拋物線方程為y=a[x-(2+h)]、4,

當h=l時，最高點為(3,4),方程為y=a(x-3)2+4,

將A(2,3)代入，得3=a(2-3)2+4,

解得a=-1,

...當h=l時，跳水曲線所在的拋物線方程為產(chǎn)-(x-3)2+4.

(2)將點A(2,3)代入y=a[x-(2+h)]2+4,

得ah2=-1,①

由題意,方程a[x-(2+h)]~+4=0在區(qū)間[5,6]內(nèi)有一解，

令f(x)=a[x-(2+h)]2+4=-[x-(2+h)]2+4,

則f(5)=-±(3-h)2+420,且f(6)=-±(4-h)、4W0.

h2h2

解得iwh《W.

3

故達到較好的訓(xùn)練效果時h的取值范圍是［i,』］.

3

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注

意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.

13.如圖，河上有一座拋物線橋洞，已知橋下的水面離橋拱頂部3m時，水面寬AB為6m,當水位上升0.5m

時：

(1)求水面的寬度CD為多少米？

(2)有一艘游船，它的左右兩邊緣最寬處有一個長方體形狀的遮陽棚，此船正對著橋洞在上述河流中航

行.

①若游船寬(指船的最大寬度)為2m,從水面到棚頂?shù)母叨葹?.8m,問這艘游船能否從橋洞下通過？

②若從水面到棚頂?shù)母叨葹镮m的游船剛好能從橋洞下通過，則這艘游船的最大寬度是多少米？

4

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用.

專題：壓軸題.

分析：(1)根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，CD=C點橫坐標的兩倍，由C點縱坐標為0.5所以需先求解析式后再求對應(yīng)的

橫坐標；

(2)若船寬2米，根據(jù)對稱性，對應(yīng)圖象上的點的橫坐標為1,代入關(guān)系式求縱坐標即為距離水面的高

度，與1.8比較后得出結(jié)論；由題意知最大寬度為第一象限對應(yīng)點的橫坐標的2倍.

解答：解：(1)設(shè)拋物線形橋洞的函數(shù)關(guān)系式為y=ax、c,

?.?點A(3,0)和E(0,3)在函數(shù)圖象上

.［9a+c=0

c=3

「