2023屆上海市浦東新區(qū)高三年級上冊學期一模數(shù)學試題

浦東一模高三數(shù)學

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每

題5分.考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分

或5分，否則一律得零分.

1.設(shè)集合A=（-2,2）,5=（-3,1）,則AR.

2.若基函數(shù)'=犬的圖象經(jīng)過點（"J）,則實數(shù).

3,函數(shù)y=i°g2（2—X）定義域為.

4.（*+2）"的二項展開式中/的系數(shù)為

5.若圓錐的軸截面是邊長為1的正三角形.則圓錐的側(cè)面積是.

sinfCL+~=Ttan（a+工］=

6.已知々為銳角，若I5,則I4J

7.已知某射擊愛好者的打靶成績（單位：環(huán)）的莖葉圖如圖所示，其中整數(shù)部分為“莖”，

小數(shù)部分為“葉”，則這組數(shù)據(jù)的方差為.（精確到0.01）

568

62366

734

8.已知拋物線的焦點為尸，在c上有一點「滿足則點p到x軸的

距離為.

9.某醫(yī)院需要從4名男醫(yī)生和3名女醫(yī)生中選出3名醫(yī)生去擔任“中國進博會”三個不同區(qū)域

的核酸檢測服務工作，則選出的3名醫(yī)生中，恰有1名女醫(yī)生的概率是.

10.如圖，在-ABC中，點E是線段BC上兩個動點，且AO+AE=xAB+yAC,,

BDEC

11,已知定義在（一兀,兀）上的函數(shù)“力=處光（抖9）-8皿0<夕<兀）為偶函數(shù)，則

“X）的嚴格遞減區(qū)間為.

12.已知項數(shù)為機的有限數(shù)列｛q｝（〃蚱''"'2）是］,2；3,…，機的一個排列.若

少一!

aa=m+2

I\a1-%cl\-<七\n-a叼S一<-<-\la^--ia與I，且Xi\^-^\,則所有可能的，”值之和為

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案,

考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對

得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分.

13.已知x,丁^口，則“|x+y|=|x|+|y|”是“孫的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

14.虛數(shù)的平方是（）

A.正實數(shù)B.虛數(shù)C.負實數(shù)D.虛數(shù)或

負實數(shù)

15.已知直線/與平面a相交，則下列命題中，正確個數(shù)為（）

①平面a內(nèi)的所有直線均與直線/異面；

②平面a內(nèi)存在與直線/垂直的直線；

③平面a內(nèi)不存在直線與直線/平行；

④平面a內(nèi)所有直線均與直線/相交.

A1B.2C.3D.4

16.已知平面直角坐標系中的直線4：y=3%、4：y=-3x.設(shè)到4、4距離之和為2Pl的點

的軌跡是曲線C1,4、距離平方和為2P2的點的軌跡是曲線其中P-〃2>O4IJC1、

公共點的個數(shù)不可能為（）

A.0個B.4個C.8個D.12個

三.解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相

應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.已知數(shù)列｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=4,且卬，a3,%成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）求當”為何值時，數(shù)列｛4｝前〃項和S“取得最大值.

18.如圖，三棱錐P—ABC中，側(cè)面B4B垂直于底面ABC,PA=PB，底面A8C是斜邊

為AB的直角三角形，且NA5C=30°,記。為A8的中點，E為OC的中點.

（1）求證：PC±AE；

（2）若AB=2,直線PC與底面ABC所成角的大小為60。，求四面體以O(shè)C的體積.

19.在臨港滴水湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖ABCZ）所示.為考慮露營客人娛樂

休閑的需求，在四邊形ABCZ）區(qū)域中，將三角形A3。區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD

區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊A8、BC、CD、D4修建觀賞步道，邊BO修建隔離防護欄，其中

（1）如果燒烤區(qū)是一個占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防

護欄（精確到01米）？

（2）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形A8CD區(qū)域時，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最

大時，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應如何設(shè)計觀賞步道？

v-2

20.已知6、尼分別為橢圓c：］+：/=1的左、右焦點，直線4交橢圓G于A、B兩點.

（1）求焦點6、尸2的坐標與橢圓a的離心率。的值:

（2）若直線4過點尸2且與圓V+y2=i相切，求弦長|AB|的值；

（3）若雙曲線G與橢圓共焦點，離心率為02,滿足02=2勺，過點K作斜率為耳左。（））的

直線，2交G的漸近線于C、。兩點，過C、。的中點M分別作兩條漸近線的平行線交。2于

P、Q兩點，證明：直線PQ平行于人

21.已知定義域為R的函數(shù)y=/（x）.當aeR時，若g⑺=/（⑹一〃“）（x>a）是嚴格

x—a

增函數(shù),則稱“X）是一個“7（a）函數(shù)”.

（1）分別判斷函數(shù)工（力=5%+3、人（x）=2f+x+2是否為T⑴函數(shù)；

（2）是否存在實數(shù)瓦使得函數(shù)〃（x）=[；+]I〉。，是?。ㄒ?）函數(shù)？若存在，求實數(shù)

b取值范圍；否則，證明你的結(jié)論；

（3）已知/（x）=e"（qx2+i）,其中qeR.證明：若J'（x）是R上的嚴格增函數(shù)，則對任

意”eZ,“尤）都是T（〃）函數(shù).

浦東一模高三數(shù)學

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，1-6題每題4分，7-12題每

題5分.考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分

或5分，否則一律得零分.

1.【答案】（一21）

2.【答案】4

3.【答案】（-oo,2）

4【答案】80

7T

5.【答案】一

2

6.【答案】-7

7.【答案】0.36

8.【答案】12

1Q

9.【答案】—

35

10.【答案】8

11.【答案】-7rL和［°微）

12.【答案】9

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案,

考生必須在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，13-14題每題選對

得4分，15-16題每題選對得5分，否則一律得零分.

13.【答案】B

14.【答案】D

15.【答案】B

16.【答案】D

三.解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相

應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.已知數(shù)列｛4,｝是公差不為0的等差數(shù)列，4=4,且％,a3,%成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求當〃為何值時，數(shù)列｛4｝的前〃項和S“取得最大值.

【答案】(1)?！?5-〃；

(2)〃=4或5時，S,取得最大值.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列出關(guān)于公差d的方程，求得乩可得答案；

(2)等差數(shù)列的前〃項和公式求S“，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.

【小問1詳解】

設(shè)數(shù)列｛凡｝的公差為乩dwO，由4,?3-4成等比數(shù)列，得d=4%，即

(4+2d)2=4(4+3d),解得d=-l.

所以數(shù)列｛4｝的通項公式為a”=4+(〃-l)x(-l)=5-〃.

【小問2詳解】

,n(n-\\

由Sn-na[+—^~~-d

汨。,129If9丫81、

得S“=4〃-----=——〃一+—〃=——n—H，HeN，

〃2222<2)8

當〃=4或5時，S“取得最大值，最大值為10.

18.如圖，三棱錐P—ABC中，側(cè)面網(wǎng)8垂直于底面ABC,PA=PB，底面A8C是斜邊

為45的直角三角形，且NA5C=30°,記。為AB的中點，E為OC的中點.

(1)求證：PC±AE；

(2)若AB=2,直線PC與底面ABC所成角的大小為60。，求四面體以O(shè)C的體積.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理證明P01底面A8C,由此證明再證明

AELOC,由線面垂直判定定理證明AE_L平面POC，最后證明PC_LA￡；（2）結(jié)合線

面角的定義可得NPCO=60，結(jié)合錐體體積公式求四面體附。C的體積.

【小問1詳解】

連接PO,因為24=依，所以P0LA8,

側(cè)面垂直于底面ABC,POu平面Q4B，平面？ABc平面A8C=AB,

所以PO1底面ABC,AEu底面ABC,所以POJ_AE,

_A3C是斜邊為A8直角三角形，且NABC=30，所以AC=，A3,

2

又因為。為AB的中點，所以。。=4。=!/18,所以L40。為等邊三角形，

2

又E為OC的中點，所以AE_LOC,

因為POLAE,AELOC,POOC=O,PO,OCuPOC,

所以AE_L平面POC,又PCu平面POC,

所以PC_LAE；

由（1）知P。工底面ABC,所以直線PC與底面ABC所成角為NPCO,因為直線PC與底

面ABC所成角的大小為60，ZPCO=60,

因為AB=2,所以O(shè)C=1，在Rt^POC中，PO=tan6()o=百,

SAoc=glxlxsin60°=q,所以/oc=g*乎x6=；

19.在臨港滴水湖畔擬建造一個四邊形的露營基地，如圖A8C。所示.為考慮露營客人娛樂

休閑的需求，在四邊形ABC。區(qū)域中，將三角形ABO區(qū)域設(shè)立成花卉觀賞區(qū)，三角形BCD

區(qū)域設(shè)立成燒烤區(qū)，邊AB、BC、CD、D4修建觀賞步道，邊8。修建隔離防護欄，其中

（1）如果燒烤區(qū)是一個占地面積為9600平方米的鈍角三角形，那么需要修建多長的隔離防

護欄（精確到0.1米）？

（2）考慮到燒烤區(qū)的安全性，在規(guī)劃四邊形ABCQ區(qū)域時，首先保證燒烤區(qū)的占地面積最

大時，再使得花卉觀賞區(qū)的面積盡可能大，則應如何設(shè)計觀賞步道？

【答案】（1）247.4m

（2）應使得AB=A￡>=100石m，來修建觀賞步道.

【解析】

247

【分析】（1）由三角形面積公式求出sinC=一，得到cosC=-一，利用余弦定理求出

2525

80*247.4m；

（2）解法一：先得到燒烤區(qū)占地面積最大時，BD=100>/5m,C=,設(shè)NA50=a,

利用正弦定理得到AD=-V15sin?,AB=V15sin[g兀-a）,由面積公式得到

結(jié)合兀），得到面積的最大值，及

q^2^flCOS

°ABD3(2+2a—7i

4B=AO=100V^m，得到答案.

解法二：先得到燒烤區(qū)的占地面積最大時，BD=100V5m,C=5,設(shè)=

由余弦定理得到BD=100>/5，結(jié)合基本不等式求出50000>孫，

5ABD=1^sinA<12500>/3,此時AB=AO=100逐，得到結(jié)論?

【小問1詳解】

SKCn=-BCCD-sinC=-xlOOx200sinC=9600,

BCD22

24

解得：sinC=—,

25

7

因為C是鈍角，所以cosC=—k.

25

由余弦定理得：BD=7BC*23+CZ)2-2BC-CD-cosC

=Jl0()2+2(X)2-2xl00x200x||?247.4,

VI25J

故需要修建247.4m的隔離防護欄；

【小問2詳解】

解法一：SBCD^-BCCD-sinC<-BCCD=10000,

兀(2

當且僅達C=5時取到等號，止匕時60=100岔m,設(shè)NABO=a,兀

故s'皿AB.sinA=50000后sinasin2

-Tt-a

AI5D3

3

2500073(1<2

------------+cos2a——7i

3(2I3

222、

因為aG所以2￡一］兀€一二■兀，二■兀，

33J

2即兀時,cosJa-gTt）取的最大值為1,

故當2a——n=0a='

33

S.?^^X[+1]=125006

JJ

當且僅當a=y時取到等號，此時A8=A0=10075

答：修建觀賞步道時應使得AB=A0=1006根，ZC=y.

解法二：S=-BCCDsinC<-BCCD=10000,

BCD22

當且僅達。=四時取到等號，此時5。=100店，

2

設(shè)A8=x,A。=y.則由余弦定理，

22

BD=y/AB+AD-2AB-AD-cosA=+y2_2xy.L^10075,

故由平均值不等式，50000=x2+y2-xy>Ay,

從而SAM=g孫sinA<12500V3，

等號成立當且僅當x=y=1（）（）石.

答：修建觀賞步道時應使得AB=AD=100?m，ZC=y.

V-2

20.已知耳、尸2分別為橢圓。|：］+尸=1的左、右焦點，直線4交橢圓C1于48兩點.

（1）求焦點￡、F2的坐標與橢圓C,的離心率e,的值；

（2）若直線4過點心且與圓V+y2=i相切，求弦長|A目的值；

⑶若雙曲線G與橢圓共焦點，離心率為02,滿足02=2“，過點心作斜率為左小?！悖┑?/p>

直線4交G的漸近線于C、。兩點，過C、。的中點”分別作兩條漸近線的平行線交G于

P、Q兩點，證明：直線PQ平行于幾

【答案】（1）左焦點后卜/,。）、右焦點尼（G，o），離心率弓=￡=除；

（2）2；（3）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)橢圓方程求。，仇c,結(jié)合焦點坐標和離心率的定義求解；（2）由直線與圓相

切列方程求切線斜率，再利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長公式求解，（3）由條件利用待定系數(shù)法求

雙曲線方程，聯(lián)立方程組求交點G。，求出M的坐標，再求MRMQ方程，聯(lián)立求P,Q坐

標，求直線尸。斜率，由此證明直線PQ平行于4.

【小問1詳解】

設(shè)橢圓的長半軸長為“，短半軸長為〃，半焦距為C,因為橢圓G的方程為土+y2=l,所

4-

以a=2,6=l,c=\Ja2-b2=g>

所以左焦點G的坐標為卜月,0）、右焦點B的坐標為（百，°），離心率4=￡=乎.

【小問2詳解】

圓了2+）/=1圓心為原點，半徑為1,

當直線AB的斜率不存在時，因為直線AB過點6（6,0）,所以其方程為x=G，圓

無2+,2=1的圓心到直線％=6的距離為G，直線與圓f+y2=i不相切，與條

件矛盾，故直線A8斜率存在，因而設(shè)直線方程為y=&'（x-6）,則

1一百H1

1=\^>k,2=~.

J⑹"2

聯(lián)列方程：

?，：以二園工11+4的2卜2_8+/）2*+]2化）2_4=0,化簡得

x4-4y-=4L」

3/_4瓜+2=0,方程3/一46X+2=0的判別式A=（T百丫—4X3X2=24>0,

設(shè)A（X],y）,8（無2,%），則王+々=g，

2

所以MM=~Jl+k'\xt-X2|=Jl+Z'2J（X]+%2）2_4為/=Jl+g?—=2,

即弦長|A@的值為2；

【小問3詳解】

設(shè)雙曲線的實半軸長為"？，虛半軸長為〃，因為雙曲線C?與橢圓共焦點，所以雙曲線的

左焦點的坐標為卜、右焦點的坐標為卜

K6,0）F2（6,0

由題可知％=2q=百，所以——=-73>n2=3—nr,故〃2,

~m

因而雙曲線方程：x2-^=l,雙曲線5=1的漸近線方程為y=±JLr,

設(shè)"（X。,兀），直線CD:y=&（x_6卜

y=kx-\/3k辰瓜k

聯(lián)立，

y=y[2x

y=kx-G%下k-\/6k

同理，1

y=-41x='D=E，-k+O

一出內(nèi)-2幣k

所以毛=后2=v=X+%1

2-k2,y0~2=2-k2

設(shè)P（七，%）,。（王，M）

則，化簡得2&x（y0_0x0）=_（）心及xJ-2,

因而

,_y3-yA_V2(x3-x0)+y0+V2(x4-x0)-^0_V2(x3+x4-2xa)_2x0_

KpQ—————K

七一七%3-％4七-5％

因而直線CD〃直線PQ.

【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：

(1)注意觀察應用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；

(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、

弦長、斜率、三角形的面積等問題.

21.已知定義域為R的函數(shù)y=/(x).當aeR時，若g(x)="九)一"“)(x>a)是嚴格

X-CL

增函數(shù)，則稱“X)是一個“7(a)函數(shù)”.

(1)分別判斷函數(shù)/(x)=5x+3、人(x)=2f+%+2是否為T⑴函數(shù)；

(2)是否存在實數(shù)b,使得函數(shù)〃(x)=[；+]x〉0，是T(T)函數(shù)？若存在，求實數(shù)b

的取值范圍；否則，證明你的結(jié)論；

(3)已知J(x)=e'(qx2+[),其中qcR.證明：若J'(x)是R上的嚴格增函數(shù)，則對任

意”eZ,“力都是?、撕瘮?shù).

【答案】⑴工(%)不是，力(x)是；

(2)存在，。>1一廠；

(3)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，得到以"一工⑴=5,力O.⑴=2x+3,根據(jù)單調(diào)性得

X—1X—1

到結(jié)論;

(2)令“(x)二〃("””(x〉T)

，分一l<x<0與xNO兩種情況，先得到一l<x<0

時，”(x)嚴格增，根據(jù)XNO時，要想"(x)=b++：嚴格增,得到6〉1—e，

驗證后得到函數(shù)為7(-1)函數(shù);

⑶根據(jù)J'(x)是R上的嚴格增函數(shù)求出0,1,再證明qe0,1時，得到x>〃時

小)―/(叫>0,從而“X)為T(〃)函數(shù).

Ix-〃)

【小問1詳解】

當x>l時，g[x)=X(X)二&⑴=5X+3—8=5不是嚴格增函數(shù),

故工(x)不是T⑴函數(shù)；

當x>l時，g,(x)=.(」—、(l)=2x-+x+2_5=2x+3,是嚴格增函數(shù)，

n'x-\x-\

故后(x)是7⑴函數(shù);

【小問2詳解】

令"(力=〃(力m)(x〉—i),

當T<x<0時，由H(x)=e'-e],得“，(力=衿*,

x+\(x+1)

令〃(x)=e*x+eT,-1<x<0.

則/(x)=e'(x+1)>0在一1<%<0上恒成立，故a(x)=e*x+b在T<x<