插值與曲線擬合

插值與曲線擬合第1頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2插值法的基本原理設(shè)函數(shù)y=f(x)定義在區(qū)間[a,b]上,是[a,b]上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值為已知,即若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù),滿足則稱為f(x)的一個(gè)插值函數(shù),f(x)為被插函數(shù),點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn),稱(5.1)式為插值條件,而誤差函數(shù)R(x)=

稱為插值余項(xiàng),區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間,插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插,否則稱外插

(5.1)第2頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月插值函數(shù)在n+1個(gè)互異插值節(jié)點(diǎn)(i=0,1,…,n)處與相等,在其它點(diǎn)x就用的值作為f(x)的近似值。這一過程稱為插值，點(diǎn)x稱為插值點(diǎn)。換句話說,插值就是根據(jù)被插函數(shù)給出的函數(shù)表“插出”所要點(diǎn)的函數(shù)值。用的值作為f(x)的近似值,不僅希望能較好地逼近f(x),而且還希望它計(jì)算簡單。由于代數(shù)多項(xiàng)式具有數(shù)值計(jì)算和理論分析方便的優(yōu)點(diǎn)。所以本章主要介紹代數(shù)插值。即求一個(gè)次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式。第3頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月滿足

則稱P(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式。這種插值法通常稱為代數(shù)插值法。其幾何意義如下圖所示第4頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.1n次代數(shù)插值問題的解是存在且惟一的

證明:設(shè)n次多項(xiàng)式

是函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)(i=0,1,2,…,n)上的插值多項(xiàng)式,則求插值多項(xiàng)式P(x)的問題就歸結(jié)為求它的系數(shù)(i=0,1,2,…,n)。由插值條件:(i=0,1,2,…,n),可得第5頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月這是一個(gè)關(guān)于待定參數(shù)的n+1階線性方程組,其系數(shù)矩陣行列式為

稱為Vandermonde（范德蒙）行列式，因xi≠xj（當(dāng)i≠j），故V≠0。根據(jù)解線性方程組的克萊姆（Gramer）法則，方程組的解存在惟一，從而P(x)被惟一確定。

惟一性說明，不論用何種方法來構(gòu)造，也不論用何種形式來表示插值多項(xiàng)式,只要滿足插值條件(5.1)其結(jié)果都是相互恒等的。

第6頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3拉格朗日（Lagrange）插值

為了構(gòu)造滿足插值條件(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多項(xiàng)式P(x),先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。5.3.1線性插值與拋物插值（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn)，的值，,現(xiàn)要求用線性函數(shù)近似地代替f(x)。選擇參數(shù)a和b,使。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。第7頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月線性插值的幾何意義:用通過點(diǎn)和的直線近似地代替曲線y=f(x)由解析幾何知道,這條直線用點(diǎn)斜式表示為

為了便于推廣，記這是一次函數(shù),且有性質(zhì)第8頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

與稱為線性插值基函數(shù)。且有

于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合例5.1已知,,求解:這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用線性插值

第9頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）

拋物插值

拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式使?jié)M足二次插值條件：這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的拋物線近似代替曲線,如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。

第10頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月P(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，即滿足下面的代數(shù)方程組：

該三元一次方程組的系數(shù)矩陣

的行列式是范德蒙行列式，當(dāng)時(shí)，方程組的解唯一。第11頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月為了與下一節(jié)的Lagrange插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個(gè)特殊的二次插值問題：求二次式,使其滿足條件：

這個(gè)問題容易求解。由上式的后兩個(gè)條件知:是的兩個(gè)零點(diǎn)。于是再由另一條件確定系數(shù)從而導(dǎo)出第12頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項(xiàng)式

及滿足條件：的插值多項(xiàng)式

這樣構(gòu)造出來的稱為拋物插值的基函數(shù)取已知數(shù)據(jù)作為線性組合系數(shù),將基函數(shù)線性組合可得容易看出,P(x)滿足條件第13頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.2拉格朗日插值多項(xiàng)式我們看到,兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式,而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式。插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí),也就是通過n+1個(gè)不同的已知點(diǎn),來構(gòu)造一個(gè)次數(shù)為n的代數(shù)多項(xiàng)式P(x)。與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式的插值問題,使其在各節(jié)點(diǎn)上滿足

即由條件()知,都是n次的零點(diǎn),故可設(shè)第14頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月其中為待定常數(shù)。由條件,可求得

于是代入上式,得稱為關(guān)于基點(diǎn)的n次插值基函數(shù)(i=0,1,…,n)

第15頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月以n+1個(gè)n次基本插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)都是n次值多項(xiàng)式,所以他們的線性組合是次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式,稱形如（5.8）式的插值多項(xiàng)式為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。并記為

（5.8）第16頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.2已知y=f(x)的函數(shù)表

求線性插值多項(xiàng)式,

并計(jì)算x=1.5的值X13y12解:由線性插值多項(xiàng)式公式得第17頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.3已知x=1,4,9的平方根值,用拋物插值公式,求(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7p2(x)=第18頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.4已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點(diǎn)上滿足

xx0x1x2yy0y1y2

求二次多項(xiàng)式p(x)=a0+a1x+a2x2

使之滿足p(xi)=yi

i=0,1,2解:用待定系數(shù)法,將各節(jié)點(diǎn)值依次代入所求多項(xiàng)式,得解上述方程,將求出的a0,a1,a2

代入p(x)=a0+a1x+a2x2

即得所求二次多項(xiàng)式

第19頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.5求過點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點(diǎn)插值多項(xiàng)式解:由Lagrange插值公式（給定的三個(gè)點(diǎn)在一條直線上）第20頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.6已知f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)

x0124f(x)19233構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式解

四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值多項(xiàng)式:基函數(shù)為

第21頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月Lagrange插值多項(xiàng)式為

為便于上機(jī)計(jì)算,常將拉格朗日插值多項(xiàng)式(5.8)改寫成

第22頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

例5.7已知f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)

x1234f(x)0-5-63構(gòu)造插值多項(xiàng)式

解:四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三次插值多項(xiàng)式,將數(shù)據(jù)代入插值公式，有

這個(gè)例子說明p(x)的項(xiàng)數(shù)不超過n+1項(xiàng)，但可以有缺項(xiàng)。第23頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.3拉格朗日插值算法實(shí)現(xiàn)

第24頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值區(qū)間a,b上用插值多項(xiàng)式p(x)近似代替f(x),除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。若記R(x)=f(x)-p(x)

則R(x)就是用p(x)近似代替f(x)時(shí)的截?cái)嗾`差,或稱插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來估計(jì)它的大小。5.3.4插值多項(xiàng)式的誤差

第25頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.2設(shè)f(x)在a,

b有n+1階導(dǎo)數(shù)，x0,x1,…,xn為a,b上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn),p(x)為滿足p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n

次插值多項(xiàng)式，那么對(duì)于任何xa,b有插值余項(xiàng)其中a<<b

且依賴于x證明(略)第26頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于線性插值，其誤差為對(duì)于拋物插值（二次插值），其誤差為第27頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.8已知=100,=121,用線性插值估計(jì)在x=115時(shí)的截?cái)嗾`差解:由插值余項(xiàng)公式知因?yàn)榈?8頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.9已知x0=100,x1=121,x2=144,當(dāng)用拋物插值求在x=115時(shí)的近似值，估計(jì)其的截?cái)嗾`差

解=∵第29頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.10設(shè)f(x)=x4,用余項(xiàng)定理寫出節(jié)點(diǎn)-1,0,1,2的三次插值多項(xiàng)式

解:根據(jù)余項(xiàng)定理第30頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4牛頓插值多項(xiàng)式拉格朗日插值多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)對(duì)稱，使用方便。但由于是用基函數(shù)構(gòu)成的插值，這樣要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，所有的基函數(shù)必須全部重新計(jì)算，不具備承襲性，還造成計(jì)算量的浪費(fèi)。這就啟發(fā)我們?nèi)?gòu)造一種具有承襲性的插值多項(xiàng)式來克服這個(gè)缺點(diǎn)，也就是說，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只需增加相應(yīng)的一項(xiàng)即可。這就是牛頓插值多項(xiàng)式。

第32頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月由線性代數(shù)知,任何一個(gè)不高于n次的多項(xiàng)式,都可以表示成函數(shù)的線性組合,也就是說,可以把滿足插值條件p(xi)=yi(i=0,1,…,n)的n次插值多項(xiàng)式,寫成如下形式其中ak(k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù),這種形式的插值多項(xiàng)式稱為Newton插值多項(xiàng)式。我們把它記為Nn(x)即（5.12）

第33頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

可見，牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)是插值多項(xiàng)式p(x)的另一種表示形式,與Lagrange多項(xiàng)式相比它不僅克服了“增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)整個(gè)計(jì)算工作重新開始”的缺點(diǎn),且可以節(jié)省乘除法運(yùn)算次數(shù),同時(shí)在Newton插值多項(xiàng)式中用到差分與差商等概念，又與數(shù)值計(jì)算的其他方面有密切的關(guān)系.它滿足其中ak(k=0,1,2,…,n)為待定系數(shù)，形如（5.12）的插值多項(xiàng)式稱為牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式。

第34頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.1差商及其性質(zhì)定義函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[xi

,xi+1]上的平均變化率自變量之差和因變量之差之比叫差商

稱為f(x)關(guān)于xi

,xi+1的一階差商,并記為f[xi

,xi+1]二階差商m階差商第35頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月f[xi,xj,xk]是指f[xi,xj,xk]=f[xj,xk]-f[xi,xj]xk-xi一般的,可定義區(qū)間[xi,xi+1,…,xi+n]上的n階差商為5.4.1差商及其性質(zhì)第36頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月差商表xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]………f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0第37頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2,xi+2]002832751256216例5.11求f(xi)=x3在節(jié)點(diǎn)x=0,2,3,5,6上的各階差商值解:計(jì)算得如下表第38頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處各階差商的計(jì)算方法5.4.1差商及其性質(zhì)第39頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月這個(gè)性質(zhì)可用數(shù)學(xué)歸納法證明性質(zhì)1

函數(shù)f(x)的n階差商f

[x0,x1,…,xn]可由函數(shù)值

f(x0),f(x1),…,f(xn)的線性組合表示,且5.4.1差商及其性質(zhì)第40頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月f[x0,x1]=f[x1,x0]f(x1)-f(x0)x1–x0f(x0)-f(x1)x0–x1=性質(zhì)2差商具有對(duì)稱性,即在k階差商中任意交換兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和的次序,其值不變。例如第41頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3

若f[x,x0,x1,…,xk]是x

的m次多項(xiàng)式,則

f[x,x0,x1,…,xk,xk+1]是x的m-1次多項(xiàng)式證：由差商定義

右端分子為m次多項(xiàng)式,且當(dāng)x=xk+1時(shí),分子為0,故分子含有因子xk+1–x，與分母相消后，右端為m-1次多項(xiàng)式。第42頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1差商及其性質(zhì)性質(zhì)4

若f(x)是n次多項(xiàng)式,則f[x,x0,x1,…,xn]恒為0證：f(x)是n次多項(xiàng)式，則f[x,x0]是n-1次多項(xiàng)式,

f[x,x0,x1]是n-2次多項(xiàng)式,依次遞推

…

…，

f[x,x0,x1,…,xn-1]是零次多項(xiàng)式，所以

f[x,x0,x1,…,xn]0第43頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5k階差商和k階導(dǎo)數(shù)之間有下列關(guān)系這個(gè)性質(zhì)可直接用羅爾（Rolle）定理證明第44頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2牛頓插值公式牛頓(Newton)插值多項(xiàng)式

的系數(shù)可根據(jù)插值條件推出,即由

有……這是關(guān)于的下三角方程組,可以求得

第45頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月一般，用數(shù)學(xué)歸納法可證明

所以n次牛頓(Newton)插值公式為其余項(xiàng)

第46頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月為牛頓插值多項(xiàng)式的誤差。由插值多項(xiàng)式的存在惟一性定理知，滿足同一組插值條件的拉格朗日插值多項(xiàng)式P(x)與牛頓插值多項(xiàng)式Nn(x)實(shí)際上是同一個(gè)多項(xiàng)式，僅是同一插值多項(xiàng)式的不同表達(dá)形式而已，因此得到牛頓插值多項(xiàng)式的誤差與拉格朗日插值多項(xiàng)式的誤差也完全相等。故有

可以看出，牛頓插值公式計(jì)算方便，增加一個(gè)插值點(diǎn)，只要多計(jì)算一項(xiàng)，而Nn(x)的各項(xiàng)系數(shù)恰好是各階差商值，很有規(guī)律

第47頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月f[x0,x](x-x0)=f(x)-f(x0)f(x)+f[x0,x](x-x0)=f(x0)f[x1,x0,x](x-x1)=f[x0,x]-f[x1,x0]f[x0,x]+f[x1,x0,x](x-x1)=f[x1,x0]f(x)+(x-x0)f[x1,x0]=f(x0)+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]5.4.2牛頓插值公式(另一種推導(dǎo)方法）第48頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]f[x1,x0,x]=(x-x2)f[x2,x1,x0,x]+f[x2,x1,x0]f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]+(x-x0)(x-x1)f[x2,x1,x0]+(x-x0)(x-x1)(x-x2)f[x2,x1,x0,x]第49頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月Nn(x)Rn(x)如當(dāng)n=1時(shí)，f(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]Nn(x)=f(x0)+(x-x0)f[x1,x0]其中Nn(x)稱為牛頓插值多項(xiàng)式

Rn(x)稱為牛頓插值余項(xiàng)5.4.2牛頓插值公式第50頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]f[xi,xi+1,xi+2]x0f(x0)x1f(x1)f[x0,x1]x2f(x2)f[x1,x2]f[x0,x1,x2]x3f(x3)f[x2,x3]f[x1,x2,x3]f[x0,x1,x2,x3]…………4.4.2牛頓插值公式第51頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月xif[xi]f[xi,xi+1]f[xi,xi+1,xi+2]114293N2(7)=1+(7-1)*0.33333+(7-1)*(7-4)*(-0.01667)=2.69992+(x-x0)(x-x1)f[x1,x0,x]+(x-x0)f[x1,x0]=f(x0)N(x)例5.12已知x=1,4,9的平方根值，求解：第52頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.2牛頓插值余項(xiàng)由建起了差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系用導(dǎo)數(shù)代替牛頓插值多項(xiàng)式中的差商，有差商和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系也可用羅爾定理證出，余項(xiàng)R(x)

=f(x)-P(x)R(xi)

=f(xi)-P(xi)=0i=0,1,…,n第53頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月Rn(n)(x)

=f(n)(x)-Pn(n)(x)=f(n)(x)-{f(x0)+(x-x0)f[x0,x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0,x1,x2]+…+(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)f[x0,x1,…,xn]}(n)=f(n)(x)-n!f[x0,x1,…,xn]Rn(xi)=0(i=0,1,..,n)R’n(i)=0(i=0,1,..,n-1)Rn(n)()=0([x0,x1,…,xn])Rn(n)()=0=f(n)()-n!f[x0,x1,…,xn]即R(x)在[x0,xn]有n+1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理R(n)(x)在[x0,xn]有1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，即有Rn(n)()=0第54頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月增加新節(jié)點(diǎn)x，并且f(x)為(n+1)階可導(dǎo)時(shí)，有([x0,x1,…,xn])([x0,x1,…,xn,x])|f(x)(n+1)|Mn+15.4.2牛頓插值余項(xiàng)第55頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1差商及其性質(zhì)例5.13已知x=0,2,3,5對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為y=1,3,2,5,作三次Newton插值多項(xiàng)式。

xif(xi)一階差商二階差商三階差商0123132-1-2/3553/25/63/10∴所求的三次Newton插值多項(xiàng)式為第56頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4.1差商及其性質(zhì)例5.14已知f(x)=x7+x4+3x+1

求f

[20,21,…27

]及f

[20,21,…27,28

]分析：本題f(x)是一個(gè)多項(xiàng)式,故應(yīng)利用差商的性質(zhì)解:由差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系第57頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.15求并估計(jì)其誤差解：作函數(shù)f(x)=取x0=4,x1=9,x2=6.25,建立差商表xf(x)f[xi,xi+1,]f[xi,xi+1,xi+2]42936.252.5N2(7)=2+(7-4)*0.2+(7-4)*(7-9)*(-0.00808)=2.64848第58頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月f3(x)=Rn(x)在區(qū)間[4,9]上，余式近似0.5*10-2,N2(7)=2.64848可舍入為2.65|f(x)(n+1)|Mn+1由第59頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.4等距節(jié)點(diǎn)插值等距節(jié)點(diǎn)xi+1-xi=

h，函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)上的值為y0,

y1,…

,yn，稱yi-1=yi-yi-1為函數(shù)f(x)

在[xi-1,xi]上的一階差分。稱2yi-1=yi-yi-1=

yi+1-2yi

+yi-1為函數(shù)f(x)

在[xi-1,xi+1]上的二階差分。稱kyi-1=k-1yi-k-1yi-1為函數(shù)f(x)

在[xi-1,xi+k-1]上的k階差分。

當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí),被插值函數(shù)的變化率就可用差分來表示,這時(shí)牛頓插值公式的形式更簡單,計(jì)算量更小第60頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月xyy2y3y4yx0y0x1y1x2y2x3y3x4y4y0=y1–y0y1=y2–y1y2=y3–y2y3=y4–y32y0=y1-y02y1=y2-y12y2=y3-y23y0=2y1-2y03y1=2y2-2y14y05.4.4等距節(jié)點(diǎn)插值第61頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.4等距節(jié)點(diǎn)插值y0=y1–y0y1=y2–y1y2=y3–y2=y2–2y1+y02y0=y1-y03y0=2y1-2y0=y3–2y2+y1–(y2–2y1+y0)=y3

–

3y2+3y1–

y02y1=y2-y1=y3–2y2+y1(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a-b)2=a2-2ab+b24y0=3y1-3y0=y4–3y3+3y2–y1-(y3–3y2+3y1–y0)=y4

–

4y2+6y2–4

y1+y0(a-b)4=a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b3結(jié)論：各階差分中函數(shù)值的系數(shù)正好等于(a-b)r展開式中的系數(shù)第62頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月等距節(jié)點(diǎn)情況下xi=x0+ih，用差分表示差商：=y1–y0h=y01!hf[x1,x2]=y2–y1h=y11!hf[x0,x1,x2]=f[x1,x2]-f[x0,x1]x2–x0=y11!h–y01!h2h=y1-y02h2=2y02!h2f[x1,x2,x3]=f[x3,x2]-f[x2,x1]x3–x1=y21!h–y11!h2h=y2-y12!h2=2y12!h2f[x0,x1,x2,x3]=2y12!h2–2y02!h23h=2y1-2y02*3h3=3y03!h3ny0n!hnnNn(x)=常量第63頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.16計(jì)算f(x)

=x3在等距節(jié)點(diǎn)0，1，2，3,4上的各階差分值xyy2y3y0011283274644y17193761218660第64頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.4.4牛頓前插公式取間距為h,等距節(jié)點(diǎn)x0x1…

xn

順序建立牛頓差商公式f[x0,x1]=y01!hf[x0,x1,x2]=2y02!h2f[x0,x1,x2,x3]=3y03!h3Nn(x)=y0+(x-x0)y01!h+(x-x0)(x-x1)2y02!h2+…+(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)ny0n!hn牛頓前插公式第65頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月Nn(x)Rn(x)因,設(shè),則

第66頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月xyy2y3y4yx0y0x1y1y0x2y2y12y0x3y3y22y13y0x4y4y32y23y14y0第67頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月向后差分函數(shù)y=f(x),若記y-1=f(x0-h),y-2=f(x0-2h),…則各階向后差分一階y0=y0-y-1，y1=y1-y0，y2=y2-y1，…二階2y0=y0-y-1=y0-y-1-(y-1-y-2)=y0-2y-1+y-22y1=y1-y0=y1-y0-(y0-y-1)=y1-2y0+y-1

…K階ky0=k-1y0-k-1y-1ky1=k-1y1-k-1y0第68頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣利用向后差分可以得到牛頓向后插值公式其中,公式

稱之為牛頓向后插值公式余項(xiàng)。

第69頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月x-1012y-11311解：建立差分表xyy2y3y-1-10121320211866=-1+1+0+0.375=0.375例5.16按下列數(shù)值表用牛頓前插公式求y(-0.5)的近似值N3(x)第70頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.17估計(jì)用線性插值法計(jì)算lg47時(shí)的誤差限取x0=45,x1=48,=1.671898401解：應(yīng)用n=1的拉格朗日插值公式x424548lgx1.62324931.65321261.6812413第71頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月([45,48])誤差限第72頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

插值公式的唯一性及其應(yīng)用插值公式的唯一性若插值節(jié)點(diǎn)相同，則插值公式是唯一的。

Pn(x)與Qn(x)有相同的插值節(jié)點(diǎn)，令Rn(x)=Pn(x)-Qn(x)對(duì)于x=x0,x1,…xn,Rn(xi)=Pn(xi)-Qn(xi)=0第73頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

許多實(shí)際問題不但要求插值函數(shù)p(x)在插值節(jié)點(diǎn)處與被插函數(shù)f(x)有相同的函數(shù)值p(xi)=f(xi)(i=0,1,2,…,n),而且要求在有些節(jié)點(diǎn)或全部節(jié)點(diǎn)上與f(x)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)值也相等，能滿足這種要求的插值問題就稱為埃爾米特插值(Hermite)5.5埃爾米特(Hermite)插值第74頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

定義已知n+1個(gè)互異點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值,若存在一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式H(x)，滿足

則稱H(x)為f(x)的2n+1次埃爾米特(Hermite)插值

5.5埃爾米特插值上式給出了2n+2個(gè)條件，可惟一確定一個(gè)次數(shù)不超過2n+1的多項(xiàng)式H2n+1(x)，采用類似于求Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)方法求埃爾米特(Hermite)插值多項(xiàng)式H2n+1(x)

第75頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式的形式為：，

H2n+1(x)=H(x),H2n+1(x)=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1由2n+2個(gè)條件來確定2n+2個(gè)系數(shù)a0,a1,a2,…a2n+1顯然非常復(fù)雜,所以要用求Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)的方法,求插值基函數(shù)i(x)及i(x)(i=0,1,2,…,n)共有2n+2個(gè),設(shè)每一個(gè)基函數(shù)為次數(shù)不超過2n+1次的多項(xiàng)式，且滿足條件(i,j=0,1,2,…,n)第76頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月Hermite插值多項(xiàng)式可寫成插值基函數(shù)表示的形式′驗(yàn)證：第77頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)插值條件可求出和H2n+1(x)為滿足條件的2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式。

第78頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.3滿足插值條件的Hermite插值多項(xiàng)式是惟一的。證:設(shè)和都滿足上述插值條件,令則每個(gè)節(jié)點(diǎn)均為的二重根,即有2n+2個(gè)根，但是不高于2n+1次的多項(xiàng)式，所以，即惟一性得證。

第79頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月定理5.4若f(x)在a,b上存在2n+2階導(dǎo)數(shù)，則2n+1次Hermite插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)為

其中定理的證明可仿照Lagrange插值余項(xiàng)的證明方法請(qǐng)同學(xué)們自行證明第80頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)際中使用最廣泛的是三次Hermite插值多項(xiàng)式,即n=1的情況余項(xiàng)第81頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.18已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)據(jù)如下表所示,求次數(shù)不超過三次的Hermite的插值多項(xiàng)式H3(x)使

H3(xi)=yi(i=0,1,2)H′3(xi)=y′i

解所求三次Hermite的插值多項(xiàng)式為第82頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月解所求三次Hermite的插值多項(xiàng)式為由插值條件得到以下方程組解上述方程組故得第83頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月另解由題意知：x=0是H3(x)的二重零點(diǎn)，故可令

H3(x)=x2(ax+b)由H3(-1)=-1H3(-1)=1知

b-a=-1a+b=1解之得a=1b=0故有H3(x)=x3微分和積分、差分、差商與求和這幾種矛盾相互轉(zhuǎn)化的運(yùn)算規(guī)律如有圖所示，表示近似表示互為逆運(yùn)算。至于如何實(shí)現(xiàn)這些基本運(yùn)算之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，途徑是多種多樣的，結(jié)果是豐富多彩的，魅力是無群無盡的第84頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.6分段線性插值5.6.1高次插值的龍格現(xiàn)象

插值多項(xiàng)式余項(xiàng)公式說明插值節(jié)點(diǎn)越多，一般說來誤差越小，函數(shù)逼近越好，但這也不是絕對(duì)的，因?yàn)橛囗?xiàng)的大小既與插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)有關(guān)，也與函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)。換句話說，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，有可能提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確程度，但并非插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高越好。當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，不能保證非節(jié)點(diǎn)處的插值精度得到改善，有時(shí)反而誤差更大。考察函數(shù)

第85頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月考察函數(shù)

右圖給出了和的圖像,當(dāng)n增大時(shí),在兩端會(huì)發(fā)出激烈的振蕩,這就是所謂龍格現(xiàn)象。該現(xiàn)象表明,在大范圍內(nèi)使用高次插值,逼近的效果往往是不理想的

第86頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

另外，從舍入誤差來看，高次插值誤差的傳播也較為嚴(yán)重，在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上產(chǎn)生的舍入誤差會(huì)在計(jì)算中不斷擴(kuò)大，并傳播到其它節(jié)點(diǎn)上。因此，次數(shù)太高的高次插值多項(xiàng)式并不實(shí)用，因?yàn)楣?jié)點(diǎn)數(shù)增加時(shí)，計(jì)算量增大了，但插值函數(shù)的精度并未提高。為克服在區(qū)間上進(jìn)行高次插值所造成的龍格現(xiàn)象，采用分段插值的方法，將插值區(qū)間分成若干個(gè)小的區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間進(jìn)行線性插值，然后相互連接，用連接相鄰節(jié)點(diǎn)的折線逼近被插函數(shù)，這種把插值區(qū)間分段的方法就是分段線性插值法。

第87頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.6.2分段線性插值

分段線性插值就是通過插值節(jié)點(diǎn)用折線段連接起來逼近f(x)。

設(shè)f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值為,在每個(gè)小區(qū)間(k=0,1,…，n）上作線性插值，得第88頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月在幾何上就是用折線替代曲線,如右圖所示若用插值基函數(shù)表示,則在a,b上

其中第89頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，是分段線性連續(xù)函數(shù)，且

稱S(x)為f(x)的分段線性插值函數(shù)。由線性插值的余項(xiàng)估計(jì)式知,f(x)在每個(gè)子段上有誤差估計(jì)式其中第90頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.19已知f(x)在四個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值如下表所示

304560901求f(x)在區(qū)間30,90上的分段連續(xù)線性插值函數(shù)S(x)

解將插值區(qū)間30,90分成連續(xù)的三個(gè)小區(qū)間

30,45,45,60,60,90則S(x)在區(qū)間30,45上的線性插值為

第91頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月S(x)在區(qū)間45,60上的線性插值為

S(x)在區(qū)間60,90上的線性插值為第92頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月將各小區(qū)間的線性插值函數(shù)連接在一起，得

第93頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.7三次樣條插值*高次插值不僅計(jì)算復(fù)雜,而且可能出現(xiàn)Runge現(xiàn)象.采用分段插值雖然計(jì)算簡單、也有一致收斂性,但不能保證整條曲線在連接點(diǎn)處的光滑性:如分段線性插值,其圖形是鋸齒形的折線,雖然連續(xù),但插值節(jié)點(diǎn)處都是“尖點(diǎn)”,因而一階導(dǎo)數(shù)都不存在,這在實(shí)用上,往往不能滿足某些工程技術(shù)的高精度要求。生產(chǎn)中〔如船體、飛機(jī)等外形曲線的設(shè)計(jì)中〕不僅要求曲線連續(xù),而且要有二階光滑度,即有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。這就要求分段插值函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。第94頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.7.1三次樣條函數(shù)定義5.4.設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間a,b上，給定n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)和一組與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，若函數(shù)滿足:（1）在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上滿足S(xi)=f(xi)(i=0,1,…,n)（2）在a,b上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)（3）在每個(gè)小區(qū)間xi,xi+1(i=0,1,…,n-1)

上是一個(gè)三次多項(xiàng)式。則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。

第95頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月其中四個(gè)待定系數(shù)為,子區(qū)間共有n個(gè)所以要確定S(x)需要4n個(gè)待定系數(shù)。另一方面,要求分段三次多項(xiàng)式S(x)及其導(dǎo)數(shù)和在整個(gè)插值區(qū)間a,b上連續(xù),則要求它們?cè)诟鱾€(gè)子區(qū)間的連接點(diǎn)上連續(xù)，即滿足條件

由樣條函數(shù)的定義可知,三次樣條插值函數(shù)S(x)是一個(gè)分段三次多項(xiàng)式,要求出S(x),在每個(gè)小區(qū)間xi,xi+1上要確定4個(gè)待定參數(shù),若用Si(x)表示它在第i個(gè)子區(qū)間xi,xi+1上的表達(dá)式，則第96頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）

插值條件

(5.29)（2）

連接條件

(5.30)式(5.29),(5.30)共給出了4n-2個(gè)條件,而待定系數(shù)有4n個(gè),因此還需要2個(gè)條件才能確定S(x),通常在區(qū)間端點(diǎn)上各加一個(gè)條件,稱為邊界條件,常用邊界條件有三種類型。第97頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月第一種類型：給定兩端點(diǎn)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)值：

第二種類型：給定兩端點(diǎn)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)值：

作為特例,稱為自然邊界條件。

滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。

第三種類型：當(dāng)f(x)是以為周期的函數(shù)時(shí)，則要求S(x)也是周期函數(shù),這時(shí)邊界條件應(yīng)滿足當(dāng)時(shí)，第98頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月由上給定的任一種邊界條件加上插值條件和連接條件，就能得出4n個(gè)方程，可以惟一確定4n個(gè)系數(shù)。從而得到三次樣條插值函數(shù)S(x)在各個(gè)子區(qū)間xi,xi+1上的表達(dá)式S(xi）(i=1,2,…,)。但是，這種做法當(dāng)n較大時(shí)，計(jì)算工作很大，不便于實(shí)際應(yīng)用。因此我們希望找到一種簡單的構(gòu)造方法。

第99頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.7.2三次樣條插值函數(shù)的求法設(shè)S(x)在節(jié)點(diǎn)xi處的二階導(dǎo)數(shù)為因?yàn)樵谧訁^(qū)間xi-1,xi上是三次多項(xiàng)式,所以在此小區(qū)間上是x的線性函數(shù),且因?yàn)?用線性插值,可知其表達(dá)式為記，則有第100頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月其中,Ai,Bi為積分常數(shù),可利用插值條件確定,即要求Ai,Bi滿足并記，則得連續(xù)兩次積分得(5.31)將其代入（5.31）即得

第101頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月（5.32）

由上討論可知,只要確定這n+1個(gè)值,就可定出三樣條插值函數(shù)S(x)。為了求出,利用一階導(dǎo)數(shù)在子區(qū)間連接點(diǎn)上連續(xù)的條件對(duì)式(5.32)求導(dǎo)一次,得在區(qū)間xi-1,xi上的表達(dá)式為

（5.33）

第102頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月也就是在右端點(diǎn)xi上有

在左端點(diǎn)xi-1上有

將上式中的i-1改為i,即得在子區(qū)間xi,xi+1上的表達(dá)式,并由此得

利用在內(nèi)接點(diǎn)的連續(xù)性,即就可得到關(guān)于參數(shù)的一個(gè)方程第103頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月（5.34）

上式兩邊同乘以,即得方程

若記

（5.35）

第104頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月則所得方程可簡寫成（5.36）

即

這是一個(gè)含有n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線性方程組.要完全確定的值還需要補(bǔ)充兩個(gè)條件,這兩個(gè)條件通常根據(jù)實(shí)際問題的需要，根據(jù)插值區(qū)間a,b的兩個(gè)端點(diǎn)處的邊界條件來補(bǔ)充。邊界條件的種類很多，常見的有以下3種：第105頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月第一種邊界條件：即已知插值區(qū)間兩端的一階導(dǎo)數(shù)值：則可得到包含Mi的兩個(gè)線性方程,由(5.33)知,S(x)在子區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)為由條件得即(5.37)同理,由條件得第106頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月(5.38)

將式（5.36）和式（5.37）以及式（5.38）合在一起即得確定的線性方程組(5.39)其中第107頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月第二種邊界條件:即已知插值區(qū)間兩端的二階導(dǎo)數(shù)值:,由于在區(qū)間端點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)

，所以方程（5.36）中實(shí)際上只包含有n-1個(gè)未知數(shù)，從而得方程組(5.40)

第108頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月第三種邊界條件:由與，可得

和

(5.41)(5.42)(5.43)其中第109頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月將式(5.36),(5.41),(5.42)合在一起，即得關(guān)于的線性方程組。

(5.44)

利用線性代數(shù)知識(shí),可以證明方程組（5.39）,（5.40）和（5.44）的系數(shù)矩陣都是非奇異的，因此有惟一解。第110頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.20已知的函數(shù)值如下：x1245f(x)1342在區(qū)間1,5上求三次樣條插值函數(shù)S(x),使它滿足邊界條件

解:這是在第二種邊界條件下的插值問題，故確定的方程組形如（5.40）所示，由已知邊界條件,有則得求解的方程組為第111頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)給定數(shù)據(jù)和邊界條件算出與

則得方程組第112頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月解得

又

即得S(x)在各子區(qū)間上的表達(dá)式,由式（5.32）知,S(x)在上的表達(dá)式為代入式(5.32)將代入上式化簡后得

同理S(x)在上的表達(dá)式為

第113頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月S(x)在上的表達(dá)式為故所求的三次樣條插值函數(shù)S(x)在區(qū)間上的表達(dá)式為

第114頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月用三次樣條函數(shù)S(x)逼近f(x)是收斂的,并且也是數(shù)值穩(wěn)定的，但其誤差估計(jì)與收斂定理的證明都比較復(fù)雜，這里只給出結(jié)論。

定理5.5設(shè)f(x)是a,b上二次連續(xù)可微函數(shù),在a,b上,以為節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足，其中證明

（略）第115頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月用三次樣條繪制的曲線不僅有很好的光滑度，而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)逐漸加密時(shí)，其函數(shù)值在整體上能很好地逼近被插函數(shù)，相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也收斂于被插函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，不會(huì)發(fā)生龍格現(xiàn)象。因此三次樣條在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)中有廣泛的應(yīng)用。第116頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月5.8.曲線擬合的最小二乘法

如果已知函數(shù)f(x)在若干點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據(jù)插值原理來建立插值多項(xiàng)式作為f(x)的近似。但在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，往往會(huì)遇到這樣一種情況，即節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值并不是很精確的，這些函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)，不可避免地帶有測(cè)量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無誤地通過所有的點(diǎn)(xi,yi),就會(huì)使曲線保留著一切測(cè)試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí),插值效果顯然是不理想的。此外,由實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多,如果用插值法,勢(shì)必得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，這樣計(jì)算起來很煩瑣。第117頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月為此,我們希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù),不要求函數(shù)完全通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，如圖5-7所示。圖5-7曲線擬合示意圖

換句話說:求一條曲線,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處,所求的曲線稱為擬合曲線,它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布,又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng),更能反映被逼近函數(shù)的特性,使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來說其偏差按某種方法度量達(dá)到最小,這就是最小二乘法。第118頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

與函數(shù)插值問題不同,曲線擬合不要求曲線通過所有已知點(diǎn),而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系。在某種意義上,曲線擬合更有實(shí)用價(jià)值。在對(duì)給出的實(shí)驗(yàn)(或觀測(cè))數(shù)據(jù)作曲線擬合時(shí),怎樣才算擬合得最好呢？一般希望各實(shí)驗(yàn)(或觀測(cè))數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小,這就是最小二乘原理。

兩種逼近概念:

插值:在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同.

擬合:在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小第119頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)插值是插值函數(shù)P(x)與被插函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同,即而曲線擬合函數(shù)不要求嚴(yán)格地通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn),也就是說擬合函數(shù)在xi處的偏差(亦稱殘差）

不都嚴(yán)格地等于零。但是,為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢(shì),要求按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小。若記向量,即要求向量的某種范數(shù)最小,如的1-范數(shù)或∞-范數(shù)即第120頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月或

最小。為了便于計(jì)算、分析與應(yīng)用，通常要求的2-范數(shù)即為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。第121頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月

（1）直線擬合設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn),分布大致為一條直線。作擬合直線,該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是使偏差平方和為最小，其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)取和使有極小值，故和應(yīng)滿足下列條件：第122頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月即得如下正規(guī)方程組

(5.45)例5.21設(shè)有某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963

用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)解:把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上,將會(huì)看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可以用一條直線來近似地描述,設(shè)所求的

第123頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月擬合直線為記x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16.844,y3=18.475,y4=20.963則正規(guī)方程組為

其中將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組,得解得

即得擬合直線第124頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）多項(xiàng)式擬合有時(shí)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線,這時(shí)仍用直線擬合顯然是不合適的,可用多項(xiàng)式擬合。對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù)尋求次數(shù)不超過m(m<<N)的多項(xiàng)式，來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的平方和為最小第125頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月由于Q可以看作是關(guān)于(j=0,1,2,…,m)的多元函數(shù),故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令得

即有

第126頁，課件共145頁，創(chuàng)作于2023年2月這是關(guān)于