數(shù)學物理方程的解法

數(shù)學物理方程的解法第1頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/132

課程特點：

數(shù)學物理方法是物理學類、電子信息科學類和通信科學類的重要公共基礎課和工具。主要特色在于數(shù)學和物理的緊密結合，將數(shù)學用于實際的物理和交叉科學的實際問題的分析中，通過物理過程建立數(shù)學模型，通過求解和分析模型，對具體物理過程的深入理解。提高分析解決實際問題的能力。第2頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/133

課程內容：第一章：微分幾何（4）第二章：線性空間（4）第三章：漸近方法（5）第四章：格林函數(shù)法（5）第五章：積分方程的解法（5）第3頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/134

課程學習目標：1、掌握微分幾何、線性空間的相關定義和本征函數(shù)集的應用；2、掌握數(shù)學物理方程常規(guī)解法的技巧，以及特殊函數(shù)的應用；3、掌握格林函數(shù)在數(shù)學物理方法求解中的應用，掌握積分方程的數(shù)值求解方法，學習數(shù)值漸近方法。4、學習和提高編程分析實際問題的能力。第4頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/135

學習要求：按時到課，完成作業(yè)，及時復習?？己朔椒ǎ?0%平時+70%期末（閉卷）推薦用書：《數(shù)學物理方法》王一平主編，電子工業(yè)出版社《微分幾何的理論和習題》利普舒茨著，上?？茖W技術出版社《微分幾何》梅向明黃敬之編，高等教育出版社《物理學中的數(shù)學方法》拜倫著，1982年，科學出版社第5頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/136第一章微分幾何

微分幾何的產生和發(fā)展是與數(shù)學分析密切相連的，在這方面做出突出貢獻的有瑞士數(shù)學家歐拉，法國的蒙日，德國的高斯、克萊因等。

在波的輻射、傳播、散射、反射等應用領域常遇到對物體幾何形狀的分析，而微分幾何所闡明的概念和方法，在這一方面成為有力的工具。經(jīng)近300年的發(fā)展，已逐漸成為數(shù)學上獨具特色，應用廣泛的學科。第6頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/137第一章微分幾何

微分幾何是采用微積分的方法研究幾何圖形的學科。本章重點討論曲面理論的基本原理。

微分幾何中，由于運用數(shù)學分析的理論，就可以在無限小的范圍內略去高階無窮小，一些復雜的依賴關系可以變成線性的，不均勻的過程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。

學習本章的重點是掌握微分幾何基本概念理解空間曲面的定義、定理及重要幾何量的計算方法。第7頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13第一章微分幾何

微分幾何涉及用微積分方法了解空間形狀及其性質。

微分幾何解決問題的一般思路是：

參數(shù)方程定義幾何體求導

從微積分導出能說明幾何學某些性質的幾何量給定某些微分量求解

確定幾何體幾何量滿足的條件（微分方程）微分方程的解集即幾何體8第8頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/139第一章微分幾何1、三維空間中的曲線；2、三維空間中的曲面；3、曲面的第一、二基本形式；4、曲面的曲率；5、測地線；6、張量簡述。第9頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1310：推薦用書：《數(shù)學物理方法》王一平主編，電子工業(yè)出版社《微分幾何的理論和習題》利普舒茨著，上?？茖W技術出版社《微分幾何講義》陳省身陳維恒著，北京大學出版社《微分幾何》梅向明黃敬之編，高等教育出版社第一章微分幾何第10頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1311§1.1三維空間中的曲線

在E3

中Descartes直角坐標系O-xyz

下運動質點的位置為其中為單位正交基向量．空間曲線定義：區(qū)間(a,b)上點t在映射：t(x(t),y(t),z(t))下像的集合曲線C的表示：

§

1.1.1曲線的表示式中t

稱為C

的參數(shù)C

可用向量形式的參數(shù)方程表示為或寫為分量形式的參數(shù)方程一、曲線的表示第11頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1312§1.1三維空間中的曲線

假定所研究的曲線至少是t

的一階連續(xù)可微函數(shù)。

§

1.1.1曲線的表示二、正則定義：如果給定參數(shù)曲線C:,t(a,b)．若，則稱t

t0

的對應點為C

的一個正則點．若，則稱t

t0

的對應點為C

的一個奇點；若曲線上所有點正則，則稱C

為正則曲線，并稱參數(shù)t

為正則參數(shù)．幾何意義：視參數(shù)曲線為動點軌跡，正則點的幾何意義則是當參數(shù)在該點處作微小變動時動點的位置同時作真正的變動．第12頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1313§1.1三維空間中的曲線§

1.1.1曲線的表示例1若參數(shù)曲線C:,tR，則其幾何圖形僅僅表示一點，而不是正常的曲線，此時所有的參數(shù)值對應于圖形實體的同一點．這是非正則曲線的極端例子．例2半徑為a，螺距為2πv的圓柱螺線，如視為動點的軌跡，表示為

(t)(acos(w

t),asin(w

t),v

t),tR，其中三個常數(shù)a

0,w

0和v

0分別為動點運動的圓周半徑、角速率和向上速率．此時(t)(awsin(wt),awcos(wt),v)0，說明該參數(shù)化使之成為正則曲線?；蛘叻Q該曲線是（－,）上的正則曲線。第13頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1314§1.1三維空間中的曲線§

1.1.1曲線的表示例3半立方拋物線光滑曲線(t)(t3,t2,0),tR，則(t)(3t2,2t,0)，故此時其奇點有且僅有一個：r(0)．該曲線是（－,0）和（0,）上的正則曲線。同一條曲線可有不同的參數(shù)表示。如果曲線C為

(t)，用t＝t

(t1)引入新參量t1，則

(t)(t

(t1))

＝1

(t1)，為保障t,

t1一一對應且為使t,

t1增加的方向均相應于曲線正向，要求三、同一曲線的不同參數(shù)表示曲線C上一點如取參數(shù)t時為正則點，則在取t1表示時也為正則點第14頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1315§1.1三維空間中的曲線§

1.1.1曲線的表示

可以選取弧長作為曲線的參數(shù)并能夠方便地確定曲線的切線．是曲線切矢量的長度。注意：弧長是代數(shù)量；弧長只依賴于曲線上所選取的始末點，而與參數(shù)的選擇無關；對正則曲線可選取弧長s作為表示曲線的新參數(shù)，這時切矢量為一單位矢量。四、正則曲線的意義設曲線C:(t),t(a,b)正則，則曲線從參數(shù)t0到t處的弧長為其中第15頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1316§1.1三維空間中的曲線§

1.1.1曲線的表示選取弧長作為參數(shù)的曲線稱為單位速率曲線。單位速率曲線的意義類比：空間曲線——質點在空間的運動軌跡參數(shù)t——時間

——質點的運動速度

——質點經(jīng)歷的路程選取弧長作為曲線的參數(shù)的好處是曲線上每一點的切向量都是單位向量。第16頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1317§1.1三維空間中的曲線§

1.1.1曲線的表示

t為正則參數(shù)，且有

ds

=

|r￠(t)|

dt

=

a2w2

+

v2

dt

s(t)

-

s(t0)

=

òtt0

|r￠(u)|du

=

òtt0

a2w2

+

v2du

=

a2w2

+

v2(t

-

t0)．點(a,0,0)對應于參數(shù)t＝0，故從點(a,0,0)計起的弧長參數(shù)

s(t)s(0)=tsqrt(a2w2+v2)故一個螺紋對應于參數(shù)t取值區(qū)間為[t0，t0+|2π/ω|]的長度為s(2π/ω)s(0)=|2π/ω|sqrt(a2w2+v2)例4圓柱螺線參數(shù)化為(t)(acos(wt),asin(wt),vt),tR，其中三個常數(shù)a>0,w

0和v

0．試求其從點(a,0,0)計起的弧長參數(shù)，并確定其一個螺紋的長度．解：因第17頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1318§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量一、曲線的曲率考慮單位切向及其方向相對于弧長的變化率．定義：曲率曲率和曲率矢量的定義不依賴于正則參數(shù)的選?。实囊饬x——表征了曲線的切向量相對于弧長的轉動速度。其值的大小代表了曲線的彎曲程度。第18頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1319§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量定義

曲率半徑；曲率矢量．其中，是與正交的單位矢。且指向曲線的凹向。曲率——曲率半徑——曲率矢量——第19頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1320§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量一、曲線的曲率密切面方程——如果密切面上的點用定義

密切平面——曲線

(s)在s點的所構成的平面

表示，則位于密切面內，即命為曲線在s處的從法向單位矢，它是密切面的法線。第20頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1321§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量從切面曲線

(s)在s點的描述曲線密切面方向變化引入撓率密切面所構成的平面法平面二、曲線的撓率由上式所確定的函數(shù)稱為曲線在s點的撓率

撓率的絕對值表示了曲線的密切面（或從法矢量）隨s的旋轉速率第21頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1322§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量1）當曲線以弧長為參數(shù)表示時，即三、曲線的曲率撓率的計算公式曲率撓率2）當曲線以一般參數(shù)t表示曲率撓率第22頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1323§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量例5對曲率非零的曲線C

而言，C

為平面曲線的充要條件是其撓率函數(shù)恒等于零．證明：只要證明“從法向量恒等于常向量”等價于“撓率函數(shù)恒等于零”，而這由(s)

，即可得證．如果曲線的撓率恒為零，則(s)常矢量。于是

由此得設s0是曲線上任一點，則由上式得可見(s)位于通過s0，法線為的平面上，即其是一平面曲線。還可類似證明曲率恒為零的曲線為直線。

第23頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1324§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量

物理意義：撓率是刻劃曲線彎曲狀況的又一個重要的幾何量，因而又可稱之為曲線的第二曲率；由于撓率體現(xiàn)了密切平面的扭轉狀況，通常說它表示了曲線的扭曲程度．當撓率非零時，稱其倒數(shù)為撓率半徑第24頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1325§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量

曲率、撓率的意義：沿曲線的變化告訴我們曲線自身在空間中是如何旋轉彎曲的的變化又由微分決定。由的定義所以曲率描述了方向的變化。因為是三維空間R3中三個相互垂直的單位向量。故R3中任一向量都是它們的線性組合，如果，如能確定a,b,c則也就確定了第25頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1326§1.1三維空間中的曲線§

1.1.2空間曲線的重要幾何量同理的表達式中僅剩一個非零系數(shù)，既然不能用已知量刻畫它，就把它定義為撓率。因為所以由為零因為所以定義為曲線的撓率，則第26頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1327§1.1三維空間中的曲線§

1.1.3曲線在一點鄰近的性質一、Frenet標架在曲線上與自身幾何屬性密切相關的標架場．Frenet標架——

按照標架運動的一般規(guī)律，對于無逗留點的曲線r

，其Frenet標架關于曲線弧長s

的運動公式（作微小位移時的變換公式）為這組公式稱為Frenet

公式（曲線論基本方程），它包含了曲線幾何的最基本信息：弧長，曲率，撓率第27頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1328§1.1三維空間中的曲線二、曲線在一點鄰近的性質在明確了Frenet公式之后，F(xiàn)renet標架關于弧長的各階導向量在Frenet標架下的分量就都可以用曲率、撓率以及它們的各階導數(shù)等幾何量具體表示出來。一階近似二階近似三階近似(Frenet

近似)意義：如果撓率正，隨s的增加曲線沿法線的正方向穿過密切面，反之則反向穿過；該曲線段近似于一段圓柱螺線，撓率正，右螺旋，負，左螺旋§

1.1.3曲線在一點鄰近的性質第28頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1329§1.2三維空間中的曲面一、曲面參數(shù)u,v在二維區(qū)域D內變化時，依賴于兩個參數(shù)的矢量設端點的軌跡確定出的曲面可表為是D中任一固定點§

1.2三維空間中的曲面固定讓在D中變動得曲線曲線參數(shù)曲線網(wǎng)如果即點處u曲線的切向量與v曲線的切向量不平行，則稱該點為曲面上的正則點。反之為奇點。由正則點所構成的曲面稱為正則曲面。第29頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1330二、正則坐標網(wǎng)對正則曲面，在點(u0,v0)處若根據(jù)ru和rv

的連續(xù)性，則存在該點的一個鄰域，使得在此鄰域內§

1.2三維空間中的曲面于是在這塊曲面上每一點有惟一的一條u曲線和一條v曲線，且這兩條曲線不相切。這樣的兩族曲線構成正則坐標網(wǎng)。例6球面方程可表示為因為故當且僅當時為零。即除球面上南北極外，球面上的經(jīng)線(等于常數(shù))和緯線(等于常數(shù))構成正則曲線網(wǎng)?！?.2三維空間中的曲面第30頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1331一、切平面曲面在某點處所構成的平面為曲面在該點的切平面的切平面上的點，則如果用§

1.2.1曲面的切平面與法向量上式即切平面方程。表示曲面§1.2三維空間中的曲面第31頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1332二、法向量曲面的切平面的法線稱為曲面在切點處的法線。曲面的單位法向量為§

1.2.1曲面的切平面與法向量正負號取決于法線正方向的選取。在電磁理論與天線工程中研究反射面或波面時，總取其正向指向波源。曲面法向量也滿足參數(shù)變換下的不變性。如果在一種參數(shù)描述下某點為正則點，則在另一種參數(shù)描述下一定也是正則的?！?.2三維空間中的曲面第32頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1333一、一些常見的曲面1)橢圓錐面§

1.2.2曲面舉例2)橢圓拋物面3)橢球面4)雙曲拋物面5)單葉雙曲面6)雙葉雙曲面§1.2三維空間中的曲面第33頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13341)橢圓錐面§

1.2.2曲面舉例§1.2三維空間中的曲面programtuo_yuan_zhuiusemsimsl integeri,j real*8x,y,z,theta1,theta2,f open(10,file="1橢圓錐面.txt") write(10,*)"x","y","z" write(*,*)"請輸入兩個張角(用角度表示)：" read(*,*)theta1,theta2 theta1=theta1*3.1415926535897932384626433832795/180. theta2=theta2*3.1415926535897932384626433832795/180. doi=0,50 doj=0,360,5 f=j*3.1415926535897932384626433832795/180. z=i*(5./50.) x=z*dcos(f)*dtan(theta1)y=z*dsin(f)*dtan(theta2) write(10,11)x,y,z enddo enddo11format(1x,3(f9.5,5x))end第34頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1335§

1.2.2曲面舉例2)橢圓拋物面§1.2三維空間中的曲面a=2,b=3x=-15:0.1:15;y=-20:0.1:20;[X,Y]=meshgrid(x,y);Z=(X./2).^2+(Y./3).^2;surfc(X,Y,Z);shadinginterp;%hiddenonxlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');colormapdefault;title('橢圓拋物面');axisequal;第35頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1336§

1.2.2曲面舉例3)橢球面§1.2三維空間中的曲面xc=0;yc=0;zc=0;xr=5;yr=4;zr=3;[X,Y,Z]=ellipsoid(xc,yc,zc,xr,yr,zr,100);surf(X,Y,Z);shadinginterp;colormapcopper;title('橢球面');axisequal;第36頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1337§

1.2.2曲面舉例§1.2三維空間中的曲面4)雙曲拋物面X=-10:0.1:10;Y=-15:0.1:15;[x,y]=meshgrid(x,y);Z=(x./2).^2-(y./3).^2;Surfc(x,y,z);Shadinginterp;Xlabel(‘X’);ylabel(‘y’);ylabel(‘z’);Colormapjet;a=2,b=3第37頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1338§

1.2.2曲面舉例5)單葉雙曲面§1.2三維空間中的曲面programdan_ye_shuang_qu_mianusemsimsl integeri,j realx,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file="5單葉雙曲面.txt") write(10,*)"x","y","z" write(*,*)"請輸入三個參量：(a,b,c)" read(*,*)a,b,c !a=2.d0 !b=2.d0 !c=2.0 dou=-2,2,0.1 doj=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*cosh(u)*cos(fai) y=b*cosh(u)*sin(fai) z=c*sinh(u) write(10,11)x,y,z enddo enddo11format(1x,3(f9.5,5x))End第38頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1339§

1.2.2曲面舉例6)雙葉雙曲面§1.2三維空間中的曲面這里取programshuang_ye_shuang_qu_mianusemsimsl integeri,j realx,y,z,theta,fai,a,b,u open(10,file="6雙葉雙曲面.txt") write(10,*)"x","y","z" !write(*,*)"請輸入二個參量：(a,b,c)" !read(*,*)a,b,c a=2.d0 b=2.d0 c=2.0 dou=1,3,0.1 doj=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*sinh(u)*cos(fai) y=b*sinh(u)*sin(fai) z=c*cosh(u) write(10,11)x,y,z enddo enddo c=-2 dou=1,3,0.1 doj=1,360,5 fai=j*3.1415926535897932384626433832795/180. x=a*sinh(u)*cos(fai) y=b*sinh(u)*sin(fai) z=c*cosh(u) write(10,11)x,y,z enddo enddo11format(1x,3(f9.5,5x))End第39頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1340二、旋轉曲面將xoz平面上的曲線§

1.2.2曲面舉例繞z軸旋轉一周，該曲線掃過的軌跡為旋轉曲面其參數(shù)方程為因為§1.2三維空間中的曲面第40頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1341一、曲面第一基本形式設C：§

1.3曲面的第一二基本形式為曲面上一條曲線，即若用s表示C的弧長，則則曲面第一基本形式它們是曲面上點的函數(shù)對給定點為常數(shù)。但與曲面參數(shù)選取有關。第一基本量§1.3曲面的基本形式第41頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/13421)計算弧長

§

1.3曲面的第一二基本形式P為曲面上任一點，2)確定曲面上兩曲線的夾角

PC2C1二、曲面第一基本形式的應用曲面上相交于P的兩條曲線切向量分別為則C1,C2在P點處的夾角為§1.3曲面的基本形式第42頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1343§

1.3曲面的第一二基本形式二、曲面第一基本形式的應用曲線C1,C2在P點處正交的充要條件為如果曲線C1,C2分別為曲面上的u曲線和v曲線，則為兩參數(shù)曲線夾角的公式。3)確定曲面塊的面積

設給定曲面曲面塊的面積為§1.3曲面的基本形式第43頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1344§

1.3曲面的第一二基本形式例7寫出平面、旋轉曲面的第一基本形式。解：對平面第一基本形式為

對旋轉面第一基本形式為§1.3曲面的基本形式第44頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1345§

1.3曲面的第一二基本形式曲面的第二基本形式L,M,N是曲面上點的函數(shù)。在給定點是常數(shù)。但與參數(shù)的選取有關。三、曲面第二基本形式§1.3曲面的基本形式第45頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1346§

1.3曲面的第一二基本形式例8求旋轉曲面的第二基本量。解：故第二基本量為

對旋轉面因為§1.3曲面的基本形式第46頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1347§1.4曲面的曲率§

1.4曲面的曲率對給定點，Ⅰ、Ⅱ為已知。曲線的曲率k僅取決于它在P點的切線方向（du：dv）及曲線的主法線與曲面法線的夾角。設P(u,v)是曲面上一給定點。C是該曲面上過P點的任一曲線。C在P點的切矢量和曲率矢量為一、曲面上曲線的曲率設是曲面在P點的法向量，則在方向上的投影為第47頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1348§

1.4曲面的曲率考慮曲面經(jīng)過P點沿某固定切線方向的曲線的曲率。把曲面上曲線在某點的曲率矢在曲面法向量上的投影稱為曲線在該點的法曲率若用曲線C的密切面去截曲面，則截線是一平面曲線，由于曲面上過給定點的任意兩條曲線只要在該點具有相同的切線方向和主法線方向，則曲率相同，因此該曲線與曲線C曲率相同，即研究曲面上的曲率可轉化為研究平面曲線的曲率。二、曲面的法曲率也稱為曲面沿方向du：dv的法曲率§1.4曲面的曲率第48頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1349§

1.4曲面的曲率曲面上給定點處的法曲率一般與du：dv有關。定義：如果曲面上某點沿各個方向的法曲率均相等，則稱此點為臍點。三、主曲率和主方向曲面上某點為臍點的充要條件是曲面在該點處的第一、二基本量成比例。定義：對于曲面上的非臍點，稱法曲率的極值為曲面在該點的主曲率。是法曲率取極值的方向稱為主方向。對于臍點，一切方向共同的法曲率可以稱為主曲率，任一方向可視為主方向。§1.4曲面的曲率第49頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1350§

1.4曲面的曲率定理2：曲面上兩個非臍點的主方向是正交的。定理1：對于曲面上的非臍點，有兩個主曲率，兩個主方向。如果曲面上某條曲線，它的每一點的切線方向都是曲面在該點的一個主方向，則稱這條曲線為曲率線。證明：F=M=0是參數(shù)曲線為曲率線的充分必要條件。若參數(shù)曲線是曲率線，則四、曲率線應滿足曲率線方程由于曲率線正交，而參數(shù)曲線又是曲率線，故F=0,從而M=0反之亦可得證。§1.4曲面的曲率第50頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1351§

1.4曲面的曲率解：例9求曲面上的曲率線。所以§1.4曲面的曲率第51頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1352§

1.4曲面的曲率將EFGLMN代入曲率線方程再用去除等式兩邊，得由此得或其解代表一族同心圓。代表過原點的直線族。uv平面上的這兩族曲線在所討論曲面上的像就是曲面上的曲率線原點處為臍點。§1.4曲面的曲率第52頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1353§

1.4曲面的曲率如果選擇曲面上的曲率線網(wǎng)作為新參數(shù)的參數(shù)曲線網(wǎng)。則F=M=0,u曲線和v曲線均為曲率線。曲面上任一點的法曲率設k1，k2分別對應于主方向dv＝0和du＝0的主曲率，則k1＝L/Ek2=N/Gdu:dv方向上的法曲率寫為矢量形式即五、法曲率隨方向的變換規(guī)律設此方向與u曲線切線方向的夾角為§1.4曲面的曲率第53頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1354§

1.4曲面的曲率于是由法曲率的表達式可得上式為法曲率隨方向變化的公式，如果k1<k2，則這表明主曲率是法曲率的最大值和最小值?！?.4曲面的曲率第54頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1355§

1.4曲面的曲率主曲率與高斯曲率與平均曲率之間的關系為六、高斯曲率與平均曲率定義：曲面上任一點的兩個主曲率之積定義為該點的高斯曲率。定義：兩個主曲率的代數(shù)平均值稱為平均曲率。分別用kG和kM表示§1.4曲面的曲率第55頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1356§

1.4曲面的曲率根據(jù)高斯曲率對曲面上的點進行分類：

1)kG>0,橢圓點兩個主曲率同號。法截線朝同向彎曲，即曲面在該點鄰近的點位于切平面同側。

2)kG<0,雙曲點兩個主曲率異號。兩條法截線中一條朝法向量方向彎曲，另一條朝法向量反方向彎曲。即曲面在該點附近曲面處于切平面的兩側。

3)kG=0拋物點

兩主曲率中至少有一個為零。如果另一主曲率也為零，這樣的點為平點。如果另一主曲率大于零，則除一個方向外，一切法截線都朝切平面同側彎曲。

§1.4曲面的曲率第56頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1357§

1.4曲面的曲率§1.4曲面的曲率例

求旋轉曲面的高斯曲率和平均曲率。解：第57頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/1358§

1.4曲面的曲率§1.4曲面的曲率若取xoz平面上最初的曲線為,即取坐標z作為最初的曲線的參數(shù)，則有于是第58頁，課件共66頁，創(chuàng)作于2