河北省邯鄲市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

邯鄲市2022－2023學(xué)年第二學(xué)期質(zhì)量檢測高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法法則計(jì)算出，從而得到虛部.【詳解】，復(fù)數(shù)z的故虛部為.故選：A2.已知兩條不同的直線，與兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若且，則C.若，，則直線與是異面直線D.若，，，則直線與是異面直線【答案】B【解析】【分析】利用線面平行的性質(zhì)定理，面面平行性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理逐個(gè)判斷即可.【詳解】若，，則與平行或異面，A錯(cuò)；若且，則內(nèi)有垂直于的直線，故，B正確；若，，則直線與是相交，平行或異面直線，C錯(cuò)；若，，，則直線與平行或異面，D錯(cuò).故選：B3.已知，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的相關(guān)知識直接列式計(jì)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，在上的投影向量?故選：C4.為了解不同年級男、女學(xué)生對食堂飯菜的滿意程度，某中學(xué)采用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從高一、高二、高三年級的所有學(xué)生中抽取樣本進(jìn)行調(diào)查.該中學(xué)高一、高二、高三年級學(xué)生的比例與高一男、女生人數(shù)如圖所示，若抽取的樣本中有高一男生140人，則樣本容量為（）A.500 B.600 C.700 D.800【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的含義直接計(jì)算求解.【詳解】由柱狀圖可知，高一男生500人，女生400人，總共900人，若抽取的樣本中有高一男生140人，則抽取的高一總?cè)藬?shù)為人，又因?yàn)楦咭徽伎側(cè)藬?shù)比例為36%，則抽取的總?cè)藬?shù)為人，即樣本容量為700.故選：C5.“黃梅時(shí)節(jié)家家雨，青草池塘處處蛙”，黃梅時(shí)節(jié)就是梅雨季節(jié)，每年6月至7月會(huì)出現(xiàn)持續(xù)天陰有雨的天氣，它是一種自然氣候現(xiàn)象.根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，長江中下游某地區(qū)在黃梅時(shí)節(jié)每天下雨的概率為.假設(shè)每天是否下雨互不影響，則該地區(qū)黃梅時(shí)節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率求解.【詳解】解：因?yàn)殚L江中下游某地區(qū)在黃梅時(shí)節(jié)每天下雨的概率為，且每天是否下雨互不影響，所以該地區(qū)黃梅時(shí)節(jié)連續(xù)兩天中至少有一天下雨的概率為：，故選：A6.在中，，，點(diǎn)M，N分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，則的最小值為（）A.0 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出，表達(dá)出，利用三角換元求出最小值.【詳解】以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)?，則，且，故，所以，令，則，則，因?yàn)?，所以，，故，所以的最小值為，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.故選：D7.武靈叢臺位于邯鄲市叢臺公園中心處，為園內(nèi)的主體建筑，是邯鄲古城的象征.某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測量其高度，在地面上共線的三點(diǎn)，，處分別測得點(diǎn)的仰角為，，，且，則武靈叢臺的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.22m B.27m C.30m D.33m【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，兩者相等即可解出答案.【詳解】由題知，設(shè)，則，，，又，所以在中，，①在中，，②聯(lián)立①②，解得.故選：B8.如圖，有質(zhì)地均勻的正四面體、正六面體和正八面體骰子各一個(gè).首先拋擲正六面體骰子，向上的點(diǎn)數(shù)記為.若為奇數(shù)，則再拋擲正四面體骰子；若為偶數(shù)，則再拋擲正八面體骰子，記第二次向下的點(diǎn)數(shù)為.設(shè)事件；事件；事件；事件；事件，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.與為互斥事件 B.與相互獨(dú)立C.與為互斥事件 D.與相互獨(dú)立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、獨(dú)立事件的知識進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】樣本空間為：，；，，.事件A包含的基本事件為：，.事件B包含的基本事件為：，，，，，.事件C包含的基本事件為：，，，，，.事件D包含的基本事件為：，，，，.事件E包含的基本事件為：，，，.與為互斥事件，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，，事件包含的基本事件為：，所以，所以與相互獨(dú)立，B選項(xiàng)正確.與為互斥事件，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，事件包含的基本事件為：，所以，所以與不是相互獨(dú)立事件，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下圖為2022年2月至2023年2月建筑業(yè)和服務(wù)業(yè)的商務(wù)活動(dòng)指數(shù)，該指數(shù)等于反映該行業(yè)經(jīng)濟(jì)與上月比較無變化，大于反映該行業(yè)經(jīng)濟(jì)比上月總體上升，小于反映該行業(yè)經(jīng)濟(jì)比上月總體下降，則下列說法正確的是（）A.2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)下降B.2022年9月至12月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)下降C.2022年5月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最小D.2023年2月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)折線圖對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)服務(wù)業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)下降，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，根據(jù)建筑業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2022年9月至12月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)持續(xù)上升，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，根據(jù)建筑業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2022年5月建筑業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最小，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，根據(jù)服務(wù)業(yè)商務(wù)活動(dòng)指數(shù)圖象可知，2023年2月服務(wù)業(yè)經(jīng)濟(jì)上升幅度最大，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD10.對于非零復(fù)數(shù)，，下列結(jié)論正確的是（）A.若和互為共軛復(fù)數(shù)，則為實(shí)數(shù) B.若為純虛數(shù)，則C.若，則 D.若，則的最大值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可判斷A；根據(jù)純虛數(shù)的定義結(jié)合復(fù)數(shù)的模和乘法運(yùn)算即可判斷B；舉出反例即可判斷C；先求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡方程，進(jìn)而可判斷D.【詳解】設(shè)且不同時(shí)為，對于A，若和互為共軛復(fù)數(shù)，則，故為實(shí)數(shù)，故A正確；對于B，若為純虛數(shù)，則，，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)且不同時(shí)為，則，所以，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，原點(diǎn)到圓心的距離為，所以點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為，即的最大值為，故D正確.故選：AD.11.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則下列說法正確的是（）A.若，則有兩組解B.若，則有兩組解C.若為銳角三角形，則D.若為等腰三角形，則或【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)三角形的構(gòu)成，可判斷三角形有幾個(gè)解所要滿足的條件，結(jié)合正余弦定理及三角形形狀判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】A選項(xiàng)，∵，∴有一解，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，∵，∴有兩解,故B正確；C選項(xiàng)，∵為銳角三角形，∴，即，故C正確；D選項(xiàng)，∵為等腰三角形，則或或，當(dāng)，則故得；當(dāng)，則故，得，綜上，或或，故D錯(cuò)誤.故選：BC12.在棱長為4的正方體中，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.線段長度的最小值為B.三棱錐的體積為定值C.異面直線與所成角正弦值的取值范圍為D.若動(dòng)點(diǎn)在線段上，則線段長度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于,利用面面平行，確定點(diǎn)在線段在線段上，當(dāng)時(shí)，線段長度的最??；對于,三棱柱體積轉(zhuǎn)化為，根據(jù)線面平行可知，點(diǎn)到平面的距離為定值，即可判斷；對于,點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線與所成角為，可排除；對于，線段長度可轉(zhuǎn)化為直線與之間的距離，在轉(zhuǎn)化為線面距，即可求解.【詳解】對于,如下圖所示，連接,易得平面,所以平面,同理，平面,又所以平面平面,又平面平面,故可知?jiǎng)狱c(diǎn)在線段上，則時(shí)，線段長度的最小，此時(shí)是的中點(diǎn)，易求所以正確；對于,平面，故點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積也為定值，則為定值，即三棱錐的體積為定值，所以正確；對于因?yàn)橹本€與所成角即為異面直線與所成角，又為等邊三角形，當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，，即直線與所成角為，其正弦值為故錯(cuò)誤；對于,由題意，異面直線與之間的距離，即為線段長度的最小值，連接平面,故平面,則異面直線與之間的距離即為到平面距離，即點(diǎn)到平面距離，設(shè)為又即即則正確.故選：三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得角C，再利用正弦定理，建立方程，可得答案.【詳解】由三角形內(nèi)角和定理，可得，由正弦定理，可得，解得.故答案為：.14.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直得到，求出，再利用夾角公式求出答案.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，所以，因?yàn)?，所?故答案為：15.已知某圓臺的高為4，母線長為5，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為_________.【答案】【解析】【分析】先求出圓臺的上下底面半徑，然后由體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓臺上下底面圓的半徑分別為.則母線，高，構(gòu)成一個(gè)直角三角形，母線為斜邊，高為直角邊，由勾股定理得到，即.圓臺的側(cè)面積公式，所以，，所以圓臺的體積為：.故答案為：.16.在中，，為的中點(diǎn)，，沿將折起.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球半徑為_________；當(dāng)，且時(shí)，過點(diǎn)作三棱錐外接球的截面，則截面圓的面積的最小值為_________.【答案】①.②.【解析】【分析】先證明平面，當(dāng)時(shí)，易得為等邊三角形，再確定外接球的球心，再利用勾股定理即可求得半徑，當(dāng)，且時(shí)，易得為等腰直角三角形，確定外接球的球心，再利用勾股定理即可求得半徑，當(dāng)點(diǎn)為截面圓的圓心時(shí)，截面圓的半徑最小，進(jìn)而可得出答案.【詳解】在中，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，則為等邊三角形，如圖，設(shè)為的中點(diǎn)，為外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在線段上，且，且平面，由題意得，又平面，所以平面，故，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，即三棱錐的外接球半徑為，當(dāng)，則，所以，所以為等腰直角三角形，則外接圓的圓心為的中點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)，則，設(shè)為三棱錐的外接球的球心，則平面，故，，則三棱錐外接球的半徑為，由，得，在中，由余弦定理得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，當(dāng)點(diǎn)為截面圓的圓心時(shí)，截面圓的半徑最小，此時(shí)截面圓的半徑，所以截面圓面積的最小值為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.為了推進(jìn)共同富裕，國家選擇在某省建設(shè)共同富裕示范區(qū)，為全國推動(dòng)共同富裕提供范例.為了了解共同富裕示范區(qū)的建設(shè)成果，某統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)調(diào)查了該省某示范區(qū)100位居民2022年整年的可支配收入，整理后得到如下頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100位居民可支配收入的眾數(shù)和分位數(shù)；（2）居民人均可支配收入的中位數(shù)和平均數(shù)的比值是衡量收入分配的指標(biāo)之一，比值越大收入分配越公平.已知2022年全國居民的人均可支配收入為36883元，人均可支配收入的中位數(shù)是平均數(shù)的.請根據(jù)頻率分布直方圖說明該示范區(qū)是否起到了示范的作用（利用平均數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)的比值進(jìn)行說明）.【答案】（1）5,9（2）該示范區(qū)起到了示范作用【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率直方圖估計(jì)眾數(shù)和分位數(shù)即可.（2）首先根據(jù)頻率直方圖估計(jì)中位數(shù)和平均數(shù)，在結(jié)合平均數(shù)和中位數(shù)求解即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可得，人數(shù)最多的為，所以眾數(shù)為.的人數(shù)占比為，的人數(shù)占比為，的人數(shù)占比為，所以該示范區(qū)100位居民可支配收入的分位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，設(shè)該示范區(qū)100位居民可支配收入的分位數(shù)為，則，解得，故該示范區(qū)100位居民可支配收入的分位數(shù)為9.【小問2詳解】該示范區(qū)居民可支配收入的平均數(shù)為（萬元元.設(shè)該示范區(qū)100位居民可支配收入的中位數(shù)為，則，解得（萬元）.，所以該示范區(qū)起到了示范作用.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，證明平面，即可找到與平面所成角，解三角形即可求得答案.【小問1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，由于底面為正方形，故點(diǎn)O為中點(diǎn)，在中，分別為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，由可得，所以.因?yàn)榈酌?，底面，故，因?yàn)椋矫?，所以平面，平面，所?又因?yàn)槠矫?，所以平?因此，即為與平面所成角.設(shè)，則，，所以，所以與平面所成角的正切值為.19.在中，.（1）若，用表示；（2），線段交于點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得到，再將代入求解；（2）根據(jù)C，G，D三點(diǎn)共線，得到，再由E，G，B三點(diǎn)共線，得到，利用待定系數(shù)法求解.【小問1詳解】如圖所示，因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所?【小問2詳解】如圖所示，因?yàn)镃，G，D三點(diǎn)共線，所以.因?yàn)镋，G，B三點(diǎn)共線，所以所以解得所以，，所以.20.在中，角A，B，C對邊分別為a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，角的平分線與交于點(diǎn)，，求的面積.【答案】（1）2（2）3【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，結(jié)合正弦和角公式即可得到答案；（2）根據(jù)面積法求得，，再在兩個(gè)三角形中分別運(yùn)用余弦定理，結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡計(jì)算得到，，再根據(jù)余弦定理計(jì)算得到，進(jìn)而得到，最后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，由正弦定理得，，所以，由正弦定理得，【小?詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以?在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，將，代入，得，即，又因?yàn)椋?，，得，代入上式得，，，所以，因?yàn)?，所以，所?21.五行，指金、木、水、火、土五個(gè)元素.五行學(xué)說用五行之間的生、克關(guān)系來闡釋事物之間的相互關(guān)系，是中國文化的重要組成部分，五行之間相生相克的關(guān)系如圖所示.現(xiàn)有一個(gè)不透明的盒子，盒子中有5個(gè)完全相同的小球，5個(gè)小球上分別標(biāo)有“金、木、水、火、土”5個(gè)字，代表5個(gè)元素.現(xiàn)在甲、乙兩人各從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)球：①若甲抽到的元素克乙抽取的元素，則甲分；②若甲抽到的元素生乙抽取的元素，則甲分；③若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，則甲分；④若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，則甲分；⑤若甲抽到的元素與乙抽取的元素相同，則甲不計(jì)分.現(xiàn)有兩個(gè)游戲方案可供甲選擇：方案一,乙先從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)元素后放回，然后甲再從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)元素；方案二,乙先從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)元素不放回，然后甲再從盒子中隨機(jī)抽取一個(gè)元素.每次積完分后把所有小球放回盒子再進(jìn)行下次游戲.（1）若按方案一進(jìn)行兩次游戲，求兩次游戲后甲的積分之和為1分的概率；（2）現(xiàn)在要從方案一或方案二中選一個(gè)方案進(jìn)行兩次游戲，若兩次游戲后甲的積分之和超過1分，則甲獲得勝利.為了盡可能獲勝，甲應(yīng)該選擇哪個(gè)方案，請說明理由.【答案】（1）（2）甲應(yīng)該選擇方案二，理由見解析【解析】【分析】（1）先由題意得出樣本空間及滿足條件的樣本點(diǎn)，由古典概型計(jì)算概率即可；（2）記兩次游