專題11 立體幾何垂直歸類2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊）（原卷版）

專題11立體幾何垂直歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】線線垂直 1【題型二】線面垂直 2【題型三】面面垂直 3【題型四】翻折1：線線垂直 5【題型五】翻折2：線面垂直 5【題型六】翻折3： 6【題型七】垂直探索性型 7【題型八】垂直應(yīng)用1：線面角 8【題型九】垂直應(yīng)用2：二面角 9【題型十】垂直應(yīng)用3：點(diǎn)到面的距離 10培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 11培優(yōu)第二階——能力提升練 13培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 14【題型一】線線垂直【典例分析】如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF=．求證：AD⊥BC．【提分秘籍】基本規(guī)律線線垂直方法1：利用平行關(guān)系，把兩條要證的直線平移在一個平面內(nèi)，計算勾股定理證明垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直。證明一條線垂直于另外一條線所在的某個平面?！咀兪接?xùn)練】1.如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，且平面(1)證明：；(2)若，求三棱柱的高.2.如圖，已知正方體.（1）求與所成角的大??；（2）若E，F(xiàn)分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，求證：.【題型二】線面垂直【典例分析】如圖所示，在直三棱柱中，，平面，D為AC的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面；【提分秘籍】基本規(guī)律線面垂直定義法：證明一條直線垂直于一個平面的兩條相交直線。面面垂直性質(zhì)法：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直【變式訓(xùn)練】1.如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)D到平面ABE的距離．2.如圖，在直三棱柱中，，，，D為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．(1)求證：BE⊥平面；(2)求三棱錐B-DEF的體積．【題型三】面面垂直【典例分析】如圖，在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F(xiàn)，G分別是CD，DA，AC的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面BGD．【提分秘籍】基本規(guī)律面面垂直證明：定義法：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．【變式訓(xùn)練】1.如圖，在四棱錐中，，平面平面ABCD，E，F(xiàn)分別為棱PD，AD的中點(diǎn)，．(1)求證：平面平面PAD；(2)若，求幾何體PABCEF的體積．2.如圖，在四棱錐中，，，，平面底面，，和分別是和的中點(diǎn)．求證：(1)底面；(2)平面平面.【題型四】翻折1：線線垂直【典例分析】在中，，，過點(diǎn)A作，交線段BC于點(diǎn)D（如圖1），沿AD將折起，使（如圖2）點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求三棱錐的體積最大值.【變式訓(xùn)練】1.在中，，，過點(diǎn)A作，交線段BC于點(diǎn)D（如圖1），沿AD將折起，使（如圖2），點(diǎn)E、M分別為棱BC、AC的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)在圖2中，當(dāng)三棱錐A-BCD的體積取最大值時，求三棱錐A-MDE的體積．2.如圖所示，在直角三角形中，，將沿折起到的位置，使平面平面，點(diǎn)滿足.(1)證明：；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【題型五】翻折2：線面垂直【典例分析】在平行四邊形中，，，，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖①；將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖②．證明：直線平面；【變式訓(xùn)練】1.如圖（），已知邊長為的菱形中，，沿對角線將其翻折，使，設(shè)此時的中點(diǎn)為，如圖（）．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．2.如圖（1），在邊長為的正三角形ABC中，D，E分別為AB，AC中點(diǎn)，將沿DE折起，使二面角為直二面角，如圖（2），連接AB，AC．(1)求四棱錐的體積；(2)在圖（2）中，過點(diǎn)E作平面EFG與平面ABD平行，分別交BC，AC于F，G．求證：平面ABC．【題型六】翻折3：面面垂直【典例分析】已知為等邊三角形，其邊長為4，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，并且⊥，將沿折起到.(1)證明：平面平面；(2)在棱上取一點(diǎn)P，使，求.【變式訓(xùn)練】1.如圖1，由正方形與正三角形組成的平面圖形，其中，將其沿，折起使得，恰好重合于點(diǎn)，如圖2.(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)是線段上，且，求三棱錐的體積.2.如圖1，在直角梯形中，，點(diǎn)，分別是邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿邊折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖2所示），且.(1)求證：平面平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【題型七】垂直探索性型【典例分析】如圖，在直三棱柱中，，，，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，為棱上靠近的三等分點(diǎn).(1)證明：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)D，使得面?若存在，求出的大小并證明；若不存在，說明理由.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，底面是直角梯形，，，且，，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【題型八】垂直應(yīng)用1：線面角【典例分析】已知三棱柱中，平面平面，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成線面角的正弦值.【提分秘籍】基本規(guī)律線面角：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.【變式訓(xùn)練】如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，是線段上的動點(diǎn)．(1)若是線段中點(diǎn)時，證明：平面；(2)若直線與底面所成角的正弦值為，且三棱錐的體積為，請確定點(diǎn)的位置，并說明理由．【題型九】垂直應(yīng)用2：二面角【典例分析】.如圖，在直角梯形中，，，，為的中點(diǎn)，沿將折起，使得點(diǎn)到點(diǎn)的位置，且，為的中點(diǎn)，是上的動點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合）．(1)證明：平面平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得二面角的正切值為？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，請說明理由．【提分秘籍】基本規(guī)律計算二面角，常用方法向量法：二面角的大小為(),2.定義法：在棱上任一點(diǎn)，分別在兩個半平面內(nèi)做棱的垂線，兩垂線所成的角即為二面角的平面角3.垂面法：做與棱垂直的平面，交二面角兩個半平面，兩條交線所成的角即為二面角的平面角【變式訓(xùn)練】如圖，棱柱中，底面是平行四邊形，側(cè)棱底面，過的截面與上底面交于，且點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，且，，.（1）求證：；（2）若二面角的平面角的余弦值為，求側(cè)棱的長.【題型十】垂直應(yīng)用3：點(diǎn)到面的距離【典例分析】如圖1，為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，將沿折起到的位置，使得平面平面，為的中點(diǎn)，如圖2．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【變式訓(xùn)練】如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長線上一點(diǎn)，平面是中點(diǎn).(1)證明：；(2)若，三棱錐的體積為，求點(diǎn)到平面的距離.分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，在四棱錐中，平面底面，，，，．證明：2．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點(diǎn)．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．3．如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點(diǎn)，平面，，為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)證明：平面平面.4．如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.5．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA(1)求證：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．培優(yōu)第二階——能力提升練1．如圖，在四棱錐中，，，，平面平面.(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求三棱錐的體積.2．如圖，邊長為4的正方形中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．將分別沿折起，使三點(diǎn)重合于點(diǎn)P．(1)求證：；(2)求三棱錐的體積；(3)求二面角的余弦值．3．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)面⊥底面，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面⊥平面；(3)求直線與平面所成角的大?。?．如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面ABCD，且，，8，.(1)求證：；(2)求二面角的余弦值.5．邊長為4的菱形中，滿足，點(diǎn)，分別是邊和的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，沿將△翻折到△的位置，使平面⊥平面，連接，，，得到如圖所示的五棱錐．求證：⊥.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過程中，(1)求證：平面；(2)若二面角，求與面所成角的正弦值.2．如圖，四面體ABCD的頂點(diǎn)都在以AB為直徑的球面上，底面BCD是邊長為的等邊三角