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一、定積分問題舉例二、定積分的概念三、定積分的性質(zhì)5.1

定積分的概念及性質(zhì)

第5章定積分及其應(yīng)用一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積由連續(xù)曲線及兩直線所圍成的圖形稱為曲邊梯形。如何求其面積A？、x軸、abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）解決步驟:1)分割.在區(qū)間[a,b]中任意添加

n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;把[a,b]分成n個小區(qū)間長度依次為：曲邊梯形的面積每個小曲邊梯形的面積為在第i個小曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)小曲邊梯形面積得2)取近似.3)求和.4)取極限.令則曲邊梯形面積將n個小矩形的面積之和作為所求曲邊梯形面積的近似值2.變速直線運動的路程設(shè)某物體作直線運動,且求在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.解決步驟:1)分割.在第i個小段上物體經(jīng)2)取近似.得已知速度將[T1,T2]它分成n個小段過的路程為i0T1＝t0t1tn=

T2ttiti–13)求和.4)取極限.上述兩個問題的共性:

所求量為同一類和式極限:特殊乘積和式的極限二、定積分的概念在a,b之間任意添加分點任取即記作此時也稱f(x)在[a,b]上可積

.若極限存在，且唯一在區(qū)間上的定積分,則稱之為函數(shù)1.定積分的定義積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和（1）定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),而與積分變量用什么字母表示無關(guān),即（2）規(guī)定2.定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)值各部分面積的代數(shù)和y=f(x)a

0bxyf(x)>00xbf(x)<0a

yy=f(x)定理.定理.且只有有限個間斷點3、可積的充分條件:(證明略)例2.利用定積分的幾何意義計算（1）（2）例1.

利用定義計算定積分三、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)(k為常數(shù))1.方向性3.線性4.線性5.可加性6.保號性若在[a,b]上則推論1.（保序性）若在[a,b]上則推論2.(絕對可積性）7.估值定理：若則8.積分中值定理則至少存在一點使

積分中值定理的幾何意義-------稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值例3：比較和例4：估計的值1.定積分定義2.定積分的幾何意義3.可積的充分條件4.定積分的性質(zhì)小結(jié)：定積分的概念及性質(zhì)(k為常數(shù))1.方向性3.線性4.線性定積分的性質(zhì)6.保號性若在[a,b]上則推論1.（保序性）若在[a,b]上則5.可加性推論2.(絕對

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