第三章證明3 1 2平行四邊形

3.1.2平行四邊形(2)學好幾何標志是會“證明”證明命題的一般步驟:索(“5)因”);(1)理解題意:分清命題的條件(已知),結論(求證);(2)根據題意,畫出圖形;(3)結合圖形,用符號語言寫出“已知”和“求證”;(4)分析題意,探索證明思路(由“因”導“果”,執(zhí)“果”依據思路,運用數學符號和數學語言條理清晰地寫出證明過程;(6)檢查表達過程是否正確,完善.回顧與思考1駛向勝利的彼岸駛向勝利的彼岸′

,∴AB=CD,BC=DA.定理:平行四邊形的對角相等.∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠A=∠C,

∠B=∠D.平行四邊形的性質(三種語言)定理:平行四邊形的對邊相等.∵四邊形ABCD是平行四邊形證明后的結論,以后可以直接運用.BDCA回顧與思考2平行四邊形的性質(三種語言)′

∴CO=AO,BO=DO.駛向勝利的彼岸證明后的結論,以后可以直接運用.BDC定理:平行四邊形的對角線互相平分.

A∵四邊形ABCD是平行四邊形O定理:夾在兩條平行線間的平行線段相等.∵

MN∥PQ,AB∥CD,∴AB=CD.BDCAMNPQ回顧與思考3駛向勝利的彼岸等腰梯形的性質(三種語言)定理:等腰梯形同一底上的兩個角相等.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴∠A=∠D,

∠B=∠C.定理:等腰梯形的兩條對角線相等.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AB=DC,∴AC=DB..BDCABDCA證明后的結論,以后可以直接運用.回顧與思考4駛向勝利的彼岸等腰梯形的判定(三種語言)定理:同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵∠A=∠D或∠B=∠C,∴AB=DC.BCA

DDCA定理:兩條對角線相等的梯形是等腰梯形.在梯形ABCD中,AD∥BC,∵AC=DB.∴AB=DC.B證明后的結論,以后可以直接運用.回顧與思考5駛向勝利的彼岸平行四邊形的判定行家看門道1BDCA定理:兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=CD,BC=DA..求證:四邊形ABCD是平行四邊形.證明:連接AC.∵

AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴

△ABC≌△CDA(SSS).∴∠1=∠2,

∠3=∠4.∴AB∥CD,CB∥AD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.分析:要證明四邊形

ABCD是平行四邊形.可轉化證明兩組對邊分

別平行,從而作輔助線,用全等三角形來證明

相應的角相等.1243平行四邊形的判定定理:一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,AB=CD.′求證:四邊形ABCD是平行四邊形.駛向勝利的彼岸議一議2分析:要證明四邊形

ABCD是平行四邊形.可轉化證明兩組對邊分

別相等,從而作輔助線,用全等三角形來證明

相應的邊相等.∴四邊形ABCD是平行四邊形.證明:連接AC.∵

AB∥CD,∴

∠1=∠2.∵AB=CD,AC=CA,∴△ABC≌△CDA(SAS)..∴BC=DA.BDCA12你還有不同的證法嗎?駛向勝利的彼岸平行四邊形的判定定理:對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,對角線隨堂練習3AC,BD相交于點O,CO=AO,BO=DO.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.證明:∵CO=AO,BO=DO,∠1=∠2,∴△AOD≌△COB(SAS).∴∠3=∠4.∴AD∥CB.同理,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.BDCA分析:要證明四邊形ABCD是平行四邊形.可轉化證明兩組對邊分別平行,從而用全等三角形來證明相應的角相等.你還有幾種不同的證法?3O

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2平行四邊形的判定′求證:四邊形ABCD是平行四邊形.駛向勝利的彼岸我思,我進步4定理:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.證明:∵∠A=∠C,∠B=∠D,∠A+∠C+∠B+∠D=3600.∴

2∠A+2∠B=3600.∴∠A+∠B=1800.∴AD∥BC.同理,AB∥CD.∴四邊形ABCD是平行四邊形.DB

C分析:要證明四邊形

ABCD是平行四邊形.可轉化證明兩組對邊分別平行.從而轉化為相關的角關系來證明.A做一做5已知:如圖.求證:四邊形MNOP是平行四邊形.′證明:

(x

-3)2

-

(x

-5)2

=

42.\

x

=

8.\

MN

=

5

=

PO.\

PM

=

3

=

ON.駛向勝利的彼岸分析:這是一道綜合性題目,利用勾股定理,方程和平行四邊形的判定進行計算性推理可獲證.OMNP45x-311-xx-5∴四邊形MNPO是平行四邊形.隨堂練習6已知:如圖,在□

ABCD中,BF=DE.求證:四邊形AFCE是平行四邊形.證明:′

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴DC∥AB,DC=AB.∵

DE=CF,∴CE=AF,∴四邊形AFCE是平行四邊形.駛向勝利的彼岸ACD

EF

B分析:由已知的平行四邊形和BF=DE可知,CE=AF,則轉化為利用一組對邊平行且相等來證明.你還有幾種不同的證法隨堂練習7駛向勝利的彼岸已知:如圖,在□ABCD中,∠ABC的平分線與AD相交于點P.BD

C分析:要證明兩條線段的和等于另一條線段,可以將BC分割為兩部分,來證明相應的線段相等.如將CD平移(過P作CD的平行線)到PE的位置,則可利用等角對等邊來證明PE=BE,從而問題得證.A12P

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E求證:PD+CD=BC.證明:過點P作PE∥CD,交BC于點E.∵四邊形ABCD是平行四邊形,′

∴AB∥CD,AD∥BC.∴PE∥CD∥AB,∴

∠1＝∠3,四邊形PDCE是平行四邊形.∴

PD=EC,PE=CD.∵

∠1＝∠