數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述

第一章數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述統(tǒng)計描述（statisticaldescription）即利用原始數(shù)據(jù)，選擇適宜的統(tǒng)計指標(biāo)及統(tǒng)計圖表，簡明準(zhǔn)確地探察數(shù)據(jù)的分布類型和數(shù)量特征，以便研究者根據(jù)樣本信息，正確地推論其總體規(guī)律的統(tǒng)計分析方法。統(tǒng)計指標(biāo)（statisticalindex）是表示數(shù)據(jù)分布特征的一個或一組數(shù)值，是統(tǒng)計分析的基本依據(jù).第一節(jié)頻數(shù)分布的概念與應(yīng)用對獲取的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計學(xué)分析之前，了解數(shù)據(jù)的分布特征是至關(guān)重要的。因為很多參數(shù)分析方法都要求樣本數(shù)據(jù)來自某種已知分布的總體，否則，就應(yīng)對數(shù)據(jù)實施合適的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換，或者采用非參數(shù)分析方法。對頻數(shù)表及頻數(shù)圖進行分析是描述性統(tǒng)計學(xué)分析的基本內(nèi)容，也是表達或探索數(shù)據(jù)分布特征的基本手段.一、 頻數(shù)分布頻數(shù)分布（frequencydistribution）的概念頻數(shù)（frequency）是相同觀察值或觀察結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)；分布（distribution）指隨著隨機變量取值的變化，其相應(yīng)的概率變化的規(guī)律性。頻數(shù)分布即觀察值（變量值）按大小分組，各個組段內(nèi)觀察值個數(shù)（頻數(shù)）的分布它是了解數(shù)據(jù)分布形態(tài)特征與規(guī)律的基礎(chǔ).頻數(shù)分布的特征（1）集中趨勢（centraltendency）:指一組變量值的集中傾向或中心位置.（2）離散趨勢（tendencyofdispersion）:指一組變量值的分散傾向。頻數(shù)分布的類型⑴對稱分布：指集中位置居中、左右兩側(cè)的頻數(shù)分布基本對稱的頻數(shù)分布。又可分為正態(tài)分布（normaldistribution）和非正態(tài)分布（non-normaldistribution）.⑵偏態(tài)分布：是集中位置偏倚、兩側(cè)頻數(shù)的分布不對稱的頻數(shù)分布，可分為兩類：①正偏態(tài)：亦稱右偏態(tài)，特點是峰偏左，此時均數(shù)與眾數(shù)之差為正值，長尾向右側(cè)（即觀察值較大一端）伸延；②負(fù)偏態(tài)：亦稱左偏態(tài)，特點為峰偏右，此時均數(shù)與眾數(shù)之差為負(fù)值，長尾向左側(cè)（即觀察值較小一端）伸延。二、 頻數(shù)表和頻數(shù)圖頻數(shù)表（frequencytable）:是頻數(shù)分布表的簡稱，指觀察值及其相應(yīng)的頻數(shù)按一定順序排列的表格。頻數(shù)圖（frequencygraph）:是在頻數(shù)表的基礎(chǔ)上，以直方的面積大小表示頻數(shù)的多少、以直方面積在總面積中的比例表示頻率大小的圖形。數(shù)值變量資料頻數(shù)表的編制例1-1隨機抽取某地120例正常人，測得血清銅的含量如表1-1,試編制頻數(shù)表。⑴找極值即找出最大值（Xmax）與最小值（X"Q.本例Xmax=19.84,xmin=9o23⑵求全距R本例R=19.8*^9.23=10.61 "「 牌、 "’「⑶定組數(shù)k k一般取8-—15,本例k定為11。R1061⑷求組距II= = =1o06181K-111-1⑸劃分組段下限（L）即某一組段的起點。上限（U）是某一組段的終點。為計算方便，第一組段的L一般取略小于最小值的方便數(shù),其余各組段依次累加i即可」但最后一個組段必須包含最大值,參見表1—2第1列。（6） 記頻數(shù)通常以劃記的方式歸組，得出各組的頻數(shù)，參見表1-2第⑵、⑶列。（7） 計算累計頻數(shù)（fp與累計頻率（Pc）fc與Pc均為由上向下累加運算而得?fc指小于該組段上限的數(shù)據(jù)個數(shù)。某一組段的fc=該組的f+上一組段的fc，見表1—2的第（5）列。Pc表示小于該組段上限的數(shù)據(jù)個數(shù)占總樣本數(shù)的比例.某一組段的Pc=該組段的P+上一組段的Pc，或Pc=該組段的fc/n,見表1—2的第（6）列。表1-1某地120名正常人血清銅含量（umol/L）

13.8412。5313.7014.8917.5313。1918。8210.1514。5611。2314。7317.4413.9014.1012。2912.6114。7814.409。9315.1814。5914.7118.6219.0410.9513.8110。5318。0616.1815。6013。5611.4813。0716。8817.0417。9812.6710。6216。4314。2611。039。2315。0414。0915.9011.4814.6417。2415。4313.3713。6414.3915。7413.9911。3117.6116。2611.3217。8816.7813。5311.6813。2511.8814.2115。2115.2916.6312。8715.9313.7014。4511.2319.8413.1115.1511。7015。3712.3514。5114。0918.2214。3415。4811.9816.5412。9512。0616.6717.0916。8513。2016。4812.2912。0914。8315.6614。5016。4315。5712。8112。8917。3416。0413.4117.1312.329。2918。4214。1714.3516.1915.7313。7414.9417。2815。1911。9215.4715。33表1—2某地120名正常成年人血漿銅含量（Rmol/L）頻數(shù)表組段⑴劃記⑵頻數(shù)f⑶頻率P(%)⑷累積頻數(shù)fC⑸累積頻率Pc（%）⑹C9。00?下32.532.510。00?止43。375.811。00~正正T1210。01915.812。00~正正下1310.83226.613。00~正正正T1714.24940.814.00?正正正正T2218。37159。115。00?正正正下1815.08974。116.00?正正下1310。810284.917.00~正正一119。211394.118。00?正54.211898.319.00~T21。7120100.0合計120100。02.數(shù)值變量資料頻數(shù)圖的編制等距分組以橫軸表示變量，以縱軸表示頻數(shù)。由表1-2的資料繪制頻數(shù)圖（圖3—1）。不等距分組以橫軸表示變量，但縱軸是每個橫軸單位的頻數(shù)。由表1—3的資料繪制頻數(shù)圖（圖3—2）。表1-3某市某年暑溫患者年齡分布年齡（歲）病人數(shù)每歲病人數(shù)年齡（歲）病人數(shù)每歲病人數(shù)年齡（歲）病人數(shù)每歲病人數(shù)0?335?222210?363.61?336?111120~131.32?997?141430?111.13?11118?8840?40.44?23239?6650?6010。1

圖3-1某地圖3-1某地L2D例正常成年人血漿酮含呈某市某年目溫患者年散分布第二節(jié)數(shù)值變量資料集中趨勢的描述集中趨勢(centraltendency)是度量由變異導(dǎo)致變量值多樣性的數(shù)量指標(biāo)，其代表值為平均數(shù)。平均數(shù)是一組描述或反映一組數(shù)值變量平均水平的統(tǒng)計指標(biāo)。根據(jù)計算或確定方法的不同，平均數(shù)可分為算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)、幾何平均數(shù)(geometricmean)、中位數(shù)(median)、調(diào)和平均數(shù)(harmonicmean)和眾數(shù)(mode)。一、算術(shù)平均數(shù)定義算術(shù)平均數(shù)簡稱為均數(shù)，是一組觀察值之和與觀察值個數(shù)之商。是數(shù)量上的平均。統(tǒng)計符號r。應(yīng)用條件要求資料服從正態(tài)或近似正態(tài)分布。如生理指標(biāo).計算方法⑴直接法用于觀察值例數(shù)不多的資料。計算公式見公式1—1.⑵加權(quán)法用于觀察值例數(shù)較多或觀察值中相同數(shù)據(jù)較多的資料。計算公式見公式1—2。(公式1-1)(公式1-2)式中希臘字母，為求和的符號。例1—212例腎虛失鈉型哮喘病人甲皺微循環(huán)的管祥長度(^m)分別為125。0、125。0、125。0、187.5、187。5、187。5、187。5、250。0、250。0、250.0、312.5、312.5,求其均數(shù).代入公式1-1得：X=25。0+125.0+125.0+187。5+187。5+187.5+187。5+250。0+250。0+250.0+312。5+312.5)/12=2500/12=208.3(頃)例1—3計算表1—2資料的均數(shù)。(1)列計算表見表1一4。表1—4某地120名正常成年人血漿銅含量(口mol/L)的均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差計算表血漿銅含量(|imol/L)⑴組中值X⑵頻數(shù)f⑶fx(4)=⑵⑶fx2(5)=⑵⑷9。00?9.50828。50270。7510.00?10。51442.00441.0011.00~11。5012138。001587。0012。00?12.5013162。502031。2513.00?13。5017229。503098。25

14。00?14。5022819。004625。5015。00?15.5018279.004324。5016。00?16.5013214.503539。2517.00?17。5011192.503368.7518。00?18。50592.501711。2519.00?19。50239。00760。501201737。0025758。00合計(Zf)(Zfx)(Zfx2)注：表中第⑵欄x為組中值，組中值=(本組段下限十本組段上限)/2,如“9。00~”組段的組中值為(9.00十10。00)/2=9.5,余類推。(2)計算均數(shù)將表1-4第⑶、⑷欄合計數(shù)代入公式1—2得：亍=1737。00/120=14。48(|Jmol/L)二、幾何均數(shù)定義幾何均數(shù)是n個數(shù)值連乘積的n次方根。是比例或倍數(shù)上的平均。統(tǒng)計符號G。應(yīng)用條件等比數(shù)列資料。如抗體滴度。計算方法⑴直接法用于觀察值例數(shù)不多的資料。計算公式見公式1—3.⑵加權(quán)法用于觀察值例數(shù)較多或觀察值中相同數(shù)據(jù)較多的資料。計算公式見公式1-4。G=nHx (公式1—3)注：式中希臘字母n為求積的符號。*flogxG=log—1—*f— (公式1—4)例1-4某醫(yī)院測得8例脾虛納呆患兒的尿液淀粉酶含量(U/10ml)為4,4,8,8,8,16,16,32,試求其均數(shù)。代入公式1-3，得：G=84x4x8x8x8x16x16x32=9.5例1—5某地46例暑溫病人的血凝抑制抗體滴度如表3—8第⑴、⑵欄，試求其平均數(shù)。(1)列計算表見表1-5。表1-5 46例暑溫病人的血凝抑制抗體滴度抗體滴度⑴例數(shù)f⑵滴度的倒數(shù)x⑶logx⑷flogx(5)=⑵⑷f(logx)2(6)=⑵⑷21:201201.30101。30101。69261:405401.60218。010512。83361:8010801。903119。031036.21791:160101602.204122。041048。58071:320113202.505127。556169.03081:64066402。806216.837247.24861:1280112803。10723。10729。65471:2560225603。40826.816423.2317合計46104。7004248。4906數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述(If) (Aflogx) (，f(logx)(2)計算幾何均數(shù)將表1—5第⑵、⑸欄合計數(shù)代入公式1—4,得：G=log—i(104.7004/46)=log-i2.2761=189三、中位數(shù)定義將一組觀察值按由小到大的順序排列，位次居中的數(shù)值即中位數(shù)。是位次上的平均。統(tǒng)計符號M。應(yīng)用條件不拘分布或分布類型不明的資料；一端或兩端無界的資料.如潛伏期、治愈時間和發(fā)病年齡。計算方法⑴直接法用于觀察值例數(shù)不多的資料。若觀察值為偶數(shù)：m=x(+1)/2。若觀察值為偶數(shù)，位次居中的兩個觀察值的均數(shù)即中位數(shù)。M=(X”2+X(n/2+1))⑵頻數(shù)表法用于觀察值例數(shù)較*的資'料。計算公式見公式1—5.M=L+L[立-Ef] (公式1-5)fI2勺m式中L為M所在組段的下限；i為該組段的組距；七為該組段的f；If為總例數(shù)(f之和)；IfL為小于L的各組段fcO用該式求中位數(shù)時，需先編制頻數(shù)表。 L例1-6某醫(yī)院用大黃粉治療胃熱血瘀型血證病人9例，其大便轉(zhuǎn)陰天數(shù)分別為1,1,2,2,3,4,5,7,10,試求其中位數(shù)。本例觀察值的個數(shù)為奇數(shù)，將9個觀察值按從小到大的順序排列后，位次居中的第五個觀察值“3天”即其中位數(shù)。如果觀察值為10個，第10個數(shù)值為16天，則位次居中的兩個觀察值“3"和“4"的算術(shù)均數(shù)3.5即為M。例1—7某醫(yī)院905例男性銀屑病患者的發(fā)病年齡資料見表1—6第⑴、⑵欄，試求其M。M的累計頻率應(yīng)為50%.由表1—6第(4)欄可知，“20~”組段的累計頻率已大于50%,故M應(yīng)位于該組段內(nèi)。代入公式1—5,得：M=20+(10/346)(905/2—306)=24。23(歲)表1-6 905例男性銀屑病病人的發(fā)病年齡年齡(歲)⑴頻數(shù)f⑵累計頻數(shù)fc⑶累計頻率pc(%)⑷<1054545。9710?252306(IfL)33.8120?(L)346f652L72.0430~12878086。1940?8486495。4750~2989398。6760?589899.23N707905(If)100。00第三節(jié)數(shù)值變量資料的離散趨勢描述離散趨勢指標(biāo)亦稱變異性指標(biāo)，它們是在整體上描述一組同質(zhì)觀察值的變異程度大小的綜合指標(biāo)，常用的變異性指標(biāo)有極差、四分位數(shù)間距、方差、標(biāo)準(zhǔn)差和變異系數(shù)。為了全面描述研究總體的特征，需要在計算集中性指標(biāo)的同時計算離散性指標(biāo).如表1—7的兩組數(shù)據(jù),

數(shù)值變量資料的統(tǒng)計描述A與B兩個學(xué)生五門課程成績的均數(shù)都是80，但各科成績分布情況卻不相同。A較集中，變異較?。欢蛰^分散，變異較大。表1-7變異指標(biāo)示意（兩個學(xué)生五門成績分布）學(xué)生-12科目345X-變異指標(biāo)RS2 SCVA78798081828042。5 1.581.98B607080901008040250 15。8119.76一、極差（range）極差亦稱全距（R）,其計算公式見公式1-2。R與變異程度成正比。其特點是意義明確、計算簡便，但靈敏性和穩(wěn)定性較差。二、百分位數(shù)（percentile）和四分位數(shù)間距（quartilerange）概念百分位數(shù)是把一組觀察值從小到大排列，分為100等份，與x%位次所對應(yīng)的數(shù)值即為第百分之x位數(shù)，以符號Px表示。如稱居于全部觀察值個數(shù)百分之五位置的點值為第百分之五位數(shù)，以符號P5表示。一個Px將全部觀察值分為兩部分，理論上有x%的觀察值比它小，有（100—x）%的觀察值比它大:故百分位數(shù)是一種位置指標(biāo)。中位數(shù)即P5Q.TOC\o"1-5"\h\z四分位數(shù)間距是上四分位數(shù)Qu（P：；）與下四分位數(shù)七（P25）之差，符號為QR。它是中間50%觀察值的極差。 ° 75 ' 25Px==L+-^（nx%~EfL）

fmQR=QPx==L+-^（nx%~EfL）

fmQR=Q—Q=P—P仍以例1—7資料為例，求其P25、P75和涼?！?75 25首先按Pc（%）找出P25所在的組段。。據(jù)表1-6可知，“10?”組段的Pc已達33.81%,可見P25應(yīng)在該組（公式1—6）（公式1-7）內(nèi)。用公式3—7，得：P2：=10+（10/252）X（905X0.25—54）=16.84（歲） *同理，“30~”組段的S：已達86.19%,可見P75應(yīng)在該組內(nèi)。P75=30+（10/128）X（905X0.75—652）=32.09（歲） ° 75 75QR=P75—P25=32.09—16.84=15.25（歲）主要用途25⑴與中位數(shù)一起描述偏態(tài)分布資料的分布特征由于四分位數(shù)間距較極差穩(wěn)定，與中位數(shù)一起描述偏態(tài)分布資料的分布特征時，簡寫為M（QR）。⑵表示參考值范圍百分位數(shù)的另一個重要用途是表示偏態(tài)分布資料的參考值范圍。三、方差定義方差（variance）即離均差平方和（sumofsquaresofdeviationsfrommean,SS）的均值.總體方差的符號為。2,樣本方差的符號為S2。特點由于SS利用了每個個體觀察值的信息，因而S2反映一批數(shù)據(jù)的變異程度時優(yōu)于極差和四分位數(shù)間距，穩(wěn)定性和精確性較好，故能綜合反映一組觀察值的變異情況。但是，由于在運算時需將各個離均差平方，使得觀察值的原度量單位變成平方單位，不便于進行比較，故主要用于假設(shè)檢驗中的方差分析。應(yīng)用條件要求資料服從正態(tài)或近似正態(tài)分布。計算方法見公式1-8。S2=eG二x力 （公式1-8）式中￡°-元?為離均差平方和（SS）；n-1為自由度，符號為V。由于方差近似等于SS的算術(shù)均數(shù)，亦稱均方（meansquare,MS）。四、標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）1.定義標(biāo)準(zhǔn)差即方差的平方根?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差的符號為。，樣本標(biāo)準(zhǔn)差的符號為s；英文縮寫為SD。定義公式見公式1—9。s=乙偵* （公式1—9）\n-1特點標(biāo)準(zhǔn)差除了具有方差的優(yōu)點外，還克服了度量單位被平方的不足，運用較方便，是常用的離散性指標(biāo).它與觀察值的變異程度正比，即標(biāo)準(zhǔn)差越大，表示各觀察值的變異程度越大，其均數(shù)的代表性較差。應(yīng)用條件要求資料服從正態(tài)或近似正態(tài)分布。計算方法⑴直接法用于小樣本資料（nV30=，計算公式見公式1-10.Lx2 s=| 」 （公式1—10）|：n-1例1-8測得7例外感風(fēng)寒女性病人的體溫值（°C）為37。8,38。0,38。1,38.2,38.3,38.5,39.4。試求其標(biāo)準(zhǔn)差。本例n=7；Zx=37o8十38.0十38。1十38。2十38。3十38。5十39。4=268。33x2=37.82十38。02十38.12十38。22十38。32十38。52十39。42=10285。19代入公式1—10得：■10285.19-268^S=?「 7_7-1（公式1一11）（公式1一11）S\ ZfT例1-9求表1-4資料的標(biāo)準(zhǔn)差。由該表第⑶、⑷、⑸欄合計:，f=120,3fx=1737.00,3fx2=25758.00,代入公式1-11，得:〔25758.00-竺膽s= 120—=2.27（頃。1/1_）