第五章-數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用課件

第五章數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)及其應(yīng)用5.1引言5.2二值形態(tài)學(xué)5.3形態(tài)學(xué)的應(yīng)用5.1引言5.1.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本思想是用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去量度和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和所用語(yǔ)言是集合論。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的應(yīng)用可以簡(jiǎn)化圖像數(shù)據(jù)，保持它們基本的形狀特性，并除去不相干的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的算法具有天然的并行實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了形態(tài)學(xué)分析和處理算法的并行，大大提高了圖像分析和處理的速度。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是由一組形態(tài)學(xué)的代數(shù)運(yùn)算子組成的，它的基本運(yùn)算有4個(gè)：膨脹（或擴(kuò)張）、腐蝕（或侵蝕）、開(kāi)啟和閉合，它們?cè)诙祱D像和灰度圖像中各有特點(diǎn)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法利用一個(gè)稱(chēng)作結(jié)構(gòu)元素的“探針”收集圖像的信息，當(dāng)探針在圖像中不斷移動(dòng)時(shí)，便可考察圖像各個(gè)部分之間的相互關(guān)系，從而了解圖像的結(jié)構(gòu)特征。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基于探測(cè)的思想，與人的FOA(FocusOfAttention)的視覺(jué)特點(diǎn)有類(lèi)似之處。作為探針的結(jié)構(gòu)元素，可直接攜帶知識(shí)（形態(tài)、大小、甚至加入灰度和色度信息）來(lái)探測(cè)、研究圖像的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門(mén)建立在嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)上的學(xué)科，其基本思想和方法對(duì)圖像處理的理論和技術(shù)產(chǎn)生了重大影響。事實(shí)上，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)已經(jīng)構(gòu)成一種新的圖像處理方法和理論，成為計(jì)算機(jī)數(shù)字圖像處理的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，并且已經(jīng)應(yīng)用在多門(mén)學(xué)科的數(shù)字圖像分析和處理的過(guò)程中。這門(mén)學(xué)科在計(jì)算機(jī)文字識(shí)別，計(jì)算機(jī)顯微圖像分析(如定量金相分析，顆粒分析)，醫(yī)學(xué)圖像處理（例如細(xì)胞檢測(cè)、心臟的運(yùn)動(dòng)過(guò)程研究、脊椎骨癌圖像自動(dòng)數(shù)量描述），圖像編碼壓縮，工業(yè)檢測(cè)(如食品檢驗(yàn)和印刷電路自動(dòng)檢測(cè))，材料科學(xué)，機(jī)器人視覺(jué)，汽車(chē)運(yùn)動(dòng)情況監(jiān)測(cè)等方面都取得了非常成功的應(yīng)用。另外，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在指紋檢測(cè)、經(jīng)濟(jì)地理、合成音樂(lè)和斷層X(jué)光照像等領(lǐng)域也有良好的應(yīng)用前景。形態(tài)學(xué)方法已成為圖像應(yīng)用領(lǐng)域工程技術(shù)人員的必備工具。目前，有關(guān)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的技術(shù)和應(yīng)用正在不斷地研究和發(fā)展。5.1.2基本符號(hào)和術(shù)語(yǔ)

1.元素和集合在數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中，把一幅圖像稱(chēng)為一個(gè)集合。對(duì)于二值圖像而言，習(xí)慣上認(rèn)為取值為1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于景物中心，用陰影表示，而取值為0的點(diǎn)構(gòu)成背景，用白色表示，這類(lèi)圖像的集合是直接表示的?？紤]所有值為1的點(diǎn)的集合為A，則A與圖像是一一對(duì)應(yīng)的。對(duì)于一幅圖像A，如果點(diǎn)a在A的區(qū)域以內(nèi)，那么就說(shuō)a是A的元素，記為a∈A，否則，記作a∈A，如圖5-1（a）所示。圖5-1元素與集合間的關(guān)系

3.擊中（Hit）與擊不中（Miss）設(shè)有兩幅圖像A和B，如果A∩B≠，那么稱(chēng)B擊中A，記為B↑A，其中是空集合的符號(hào)；否則，如果A∩B=，那么稱(chēng)B擊不中A，如圖5-3所示。圖5-3擊中與擊不中（a）B擊中A；（b）B擊不中A

4.平移和反射設(shè)A是一幅數(shù)字圖像（見(jiàn)圖5-4(a)），b是一個(gè)點(diǎn)（見(jiàn)圖5-4(b)），那么定義A被b平移后的結(jié)果為A＋b＝{a＋b|a∈A}，即取出A中的每個(gè)點(diǎn)a的坐標(biāo)值，將其與點(diǎn)b的坐標(biāo)值相加，得到一個(gè)新的點(diǎn)的坐標(biāo)值a+b，所有這些新點(diǎn)所構(gòu)成的圖像就是A被b平移的結(jié)果，記為A+b，如圖5-4（c）所示。A關(guān)于圖像原點(diǎn)的反射結(jié)果Av={a|-a∈A}，即將A中的每個(gè)點(diǎn)取相反數(shù)所得的新圖像，如圖5-4（d）所示。圖5-4平移與反射

5.目標(biāo)和結(jié)構(gòu)元素被處理的圖像稱(chēng)為目標(biāo)圖像，一般用大寫(xiě)英文字母表示。為了確定目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)，必須逐個(gè)考察圖像各部分之間的關(guān)系，并且進(jìn)行檢驗(yàn)，最后得到一個(gè)各部分之間關(guān)系的集合。在考察目標(biāo)圖像各部分之間的關(guān)系時(shí)，需要設(shè)計(jì)一種收集信息的“探針”，稱(chēng)為“結(jié)構(gòu)元素”。“結(jié)構(gòu)元素”一般用大寫(xiě)英文字母表示，例如用S表示。在圖像中不斷移動(dòng)結(jié)構(gòu)元素，就可以考察圖像之間各部分的關(guān)系。一般，結(jié)構(gòu)元素的尺寸要明顯小于目標(biāo)圖像的尺寸。5.2二值形態(tài)學(xué)二值形態(tài)學(xué)中的運(yùn)算對(duì)象是集合。設(shè)A為圖像集合，S為結(jié)構(gòu)元素，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是用S對(duì)A進(jìn)行操作。對(duì)每個(gè)結(jié)構(gòu)元素可以指定一個(gè)原點(diǎn)，它是結(jié)構(gòu)元素參與形態(tài)學(xué)運(yùn)算的參考點(diǎn)。以下用陰影代表值為1的區(qū)域，白色代表值為0的區(qū)域，運(yùn)算是對(duì)值為1的區(qū)域進(jìn)行的。二值形態(tài)學(xué)中兩個(gè)最基本的運(yùn)算——腐蝕與膨脹，如圖5-5所示。圖5-5腐蝕與膨脹示意圖5.2.1腐蝕腐蝕是最基本的一種數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算。對(duì)一個(gè)給定的目標(biāo)圖像X和一個(gè)結(jié)構(gòu)元素S，想象一下將S在圖像上移動(dòng)。在每一個(gè)當(dāng)前位置x，S+x只有三種可能的狀態(tài)（見(jiàn)圖5-6）：(1)S+xX；(2)S+xXC；(3)S+x∩X與S+x∩XC均不為空。（5-1）圖5-6S+x的三種可能的狀態(tài)第一種情形說(shuō)明S+x與X相關(guān)最大，第二種情形說(shuō)明S+x與X不相關(guān)，而第三種情形說(shuō)明S+x與X只是部分相關(guān)。因而滿足式(5-1)的點(diǎn)x的全體構(gòu)成結(jié)構(gòu)元素與圖像最大相關(guān)點(diǎn)集，這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為S對(duì)X的腐蝕(簡(jiǎn)稱(chēng)腐蝕，有時(shí)也稱(chēng)X用S腐蝕)，記為XS。腐蝕也可以用集合的方式定義，即式(5-2)表明，X用S腐蝕的結(jié)果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。換句話說(shuō)，用S來(lái)腐蝕X得到的集合是S完全包括在X中時(shí)S的原點(diǎn)位置的集合。上式也可以幫助我們借助相關(guān)概念來(lái)理解腐蝕操作。（5-2）式(5-2)表明，X用S腐蝕的結(jié)果是所有使S平移x后仍在X中的x的集合。換句話說(shuō)，用S來(lái)腐蝕X得到的集合是S完全包括在X中時(shí)S的原點(diǎn)位置的集合。上式也可以幫助我們借助相關(guān)概念來(lái)理解腐蝕操作。腐蝕在數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中的作用是消除物體邊界點(diǎn)。如果結(jié)構(gòu)元素取3×3的像素塊，腐蝕將使物體的邊界沿周邊減少一個(gè)像素。腐蝕可以把小于結(jié)構(gòu)元素的物體(毛刺、小凸起)去除，這樣選取不同大小的結(jié)構(gòu)元素，就可以在原圖像中去掉不同大小的物體。如果兩個(gè)物體之間有細(xì)小的連通，那么當(dāng)結(jié)構(gòu)元素足夠大時(shí)，通過(guò)腐蝕運(yùn)算可以將兩個(gè)物體分開(kāi)。

例5-1腐蝕運(yùn)算圖解。圖5-7給出腐蝕運(yùn)算的一個(gè)簡(jiǎn)單示例。其中，圖5-7(a)中的陰影部分為集合X，圖5-7(b)中的陰影部分為結(jié)構(gòu)元素S，而圖(c)中黑色部分給出了XS的結(jié)果。由圖可見(jiàn)，腐蝕將圖像（區(qū)域）收縮小了。圖5-7腐蝕運(yùn)算示例如果S包含了原點(diǎn)，即O∈S，那么XS將是X的一個(gè)收縮，即XSX（當(dāng)O∈S時(shí)）；如果S不包含原點(diǎn)，那么XSX未必成立。如果結(jié)構(gòu)元素S關(guān)于原點(diǎn)O是對(duì)稱(chēng)的，那么S=SV，因此XS=XSV,但是，如果S關(guān)于原點(diǎn)O不是對(duì)稱(chēng)的，那么X被S腐蝕的結(jié)果與X被SV腐蝕的結(jié)果是不同的。圖5-8用3×3的結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行腐蝕(a)原始二值圖像；(b)腐蝕結(jié)果(a)(b)5.2.2膨脹腐蝕可以看作是將圖像X中每一與結(jié)構(gòu)元素S全等的子集S+x收縮為點(diǎn)x。反之，也可以將X中的每一個(gè)點(diǎn)x擴(kuò)大為S+x，這就是膨脹運(yùn)算，記為XS。若用集合語(yǔ)言，它的定義為XS={x|S+x∪x≠}（5-3）5.2.3開(kāi)、閉運(yùn)算如果結(jié)構(gòu)元素為一個(gè)圓盤(pán)，那么，膨脹可填充圖像中的小孔(比結(jié)構(gòu)元素小的孔洞)及圖像邊緣處的小凹陷部分，而腐蝕可以消除圖像邊緣小的成分，并將圖像縮小，從而使其補(bǔ)集擴(kuò)大。但是，膨脹和腐蝕并不互為逆運(yùn)算，因此它們可以級(jí)連結(jié)合使用。在腐蝕和膨脹兩個(gè)基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上，可以構(gòu)造出形態(tài)學(xué)運(yùn)算族，它由膨脹和腐蝕兩個(gè)運(yùn)算的復(fù)合與集合操作（并、交、補(bǔ)等）組合成的所有運(yùn)算構(gòu)成。例如，可先對(duì)圖像進(jìn)行腐蝕然后膨脹其結(jié)果，或先對(duì)圖像進(jìn)行膨脹然后腐蝕其結(jié)果（這里使用同一個(gè)結(jié)構(gòu)元素）。前一種運(yùn)算稱(chēng)為開(kāi)運(yùn)算（或開(kāi)啟），后一種運(yùn)算稱(chēng)為閉運(yùn)算（閉合）。開(kāi)運(yùn)算和閉運(yùn)算是形態(tài)學(xué)運(yùn)算族中兩個(gè)最為重要的組合運(yùn)算。

對(duì)圖像X及結(jié)構(gòu)元素S，用符號(hào)X○S表示S對(duì)圖像X作開(kāi)運(yùn)算，用符號(hào)X●S表示S對(duì)圖像X作閉運(yùn)算，它們的定義為X○S=(XS)S

X●S=(XS)S

由式(5-4)和式(5-5)可知，X○S可視為對(duì)腐蝕圖像XS用膨脹來(lái)進(jìn)行恢復(fù)，而X●S可看作是對(duì)膨脹圖像XS用腐蝕來(lái)進(jìn)行恢復(fù)。不過(guò)這一恢復(fù)不是信息無(wú)損的，即它們通常不等于原始圖像X。（5-4）（5-5）圖5-9給出了兩個(gè)開(kāi)運(yùn)算的例子，其中圖5-9（a）是結(jié)構(gòu)元素S1和S2，圖5-9（b）是用S1對(duì)X進(jìn)行開(kāi)運(yùn)算的結(jié)果，圖5-9（c）是用S2對(duì)X進(jìn)行開(kāi)運(yùn)算的結(jié)果。當(dāng)使用圓盤(pán)結(jié)構(gòu)元素時(shí)，開(kāi)運(yùn)算對(duì)邊界進(jìn)行了平滑，去掉了凸角；當(dāng)使用線段結(jié)構(gòu)元素時(shí)，沿線段方向?qū)挾容^大的部分才能夠被保留下來(lái)，而較小的凸部將被剔除。而X－X○S給出的是圖像的凸出特征。可見(jiàn)，不同的結(jié)構(gòu)元素的選擇導(dǎo)致了不同的分割，即提取出不同的特征。圖5-9開(kāi)運(yùn)算去掉了凸角(a)結(jié)構(gòu)元素S1和S2；(b)X○S1；(c)X○S2

開(kāi)、閉變換也是一對(duì)對(duì)偶變換，因此，閉運(yùn)算的幾何意義可以由補(bǔ)集的開(kāi)運(yùn)算的幾何意義導(dǎo)出。圖5-10給出了兩個(gè)閉運(yùn)算的例子，其中，圖5-10（a）是結(jié)構(gòu)元素S1和S2，圖5-10（b）是用S1對(duì)X進(jìn)行閉運(yùn)算的結(jié)果，圖5-10（c）是用S2對(duì)X進(jìn)行閉運(yùn)算的結(jié)果。可見(jiàn)，閉運(yùn)算通過(guò)填充圖像的凹角來(lái)平滑圖像，而X●S－X給出的是圖像的凹入特征。圖5-10閉運(yùn)算填充了凹角(a)結(jié)構(gòu)元素S1和S2；(b)X●S1；(c)X●S2圖5-11開(kāi)、閉運(yùn)算示例(a)原圖像；(b)結(jié)構(gòu)元素S；(c)結(jié)構(gòu)元素S腐蝕圖像X；(d)結(jié)構(gòu)元素S腐蝕X的結(jié)果；(e)對(duì)腐蝕的結(jié)構(gòu)再膨脹；(f)再膨脹（開(kāi)運(yùn)算）的結(jié)果X○S；(g)結(jié)構(gòu)元素S膨脹X；(h)結(jié)構(gòu)元素S膨脹X的結(jié)果XS；(i)對(duì)膨脹的結(jié)果再腐蝕；(j)再腐蝕的結(jié)果（閉運(yùn)算）X●S圖5-11給出了結(jié)構(gòu)元素對(duì)一幅圖像分別進(jìn)行開(kāi)、閉運(yùn)算的過(guò)程和結(jié)果。圖5-12開(kāi)、閉運(yùn)算效果示意圖(a)原始圖像；(b)開(kāi)運(yùn)算的結(jié)果；(c)閉運(yùn)算的結(jié)果

(a)(b)(c)圖5-12是用3*3的結(jié)果元素對(duì)文字圖像的開(kāi)、閉運(yùn)算的結(jié)果。5.3形態(tài)學(xué)的應(yīng)用5.3.1形態(tài)學(xué)濾波由于開(kāi)、閉運(yùn)算所處理的信息分別與圖像的凸、凹處相關(guān)，因此，它們本身都是單邊算子，可以利用開(kāi)、閉運(yùn)算去除圖像的噪聲、恢復(fù)圖像，也可交替使用開(kāi)、閉運(yùn)算以達(dá)到雙邊濾波目的。一般，可以將開(kāi)、閉運(yùn)算結(jié)合起來(lái)構(gòu)成形態(tài)學(xué)噪聲濾波器，例如(X○S)●S或(X●S)○S等。圖5-23給出消除噪聲的一個(gè)圖例。圖5-23(a)包括一個(gè)長(zhǎng)方形的目標(biāo)X，由于噪聲的影響在目標(biāo)內(nèi)部有一些噪聲孔而在目標(biāo)周?chē)幸恍┰肼晧K?，F(xiàn)在用圖5-23(b)所示的結(jié)構(gòu)元素S通過(guò)形態(tài)學(xué)操作來(lái)濾除噪聲，這里的結(jié)構(gòu)元素應(yīng)當(dāng)比所有的噪聲孔和塊都要大。先用S對(duì)X進(jìn)行腐蝕得到圖5-23(c)，再用S對(duì)腐蝕結(jié)果進(jìn)行膨脹得到圖5-23(d)，這兩個(gè)操作的串行結(jié)合就是開(kāi)運(yùn)算，它將目標(biāo)周?chē)脑肼晧K消除掉了。再用S對(duì)圖5-23(d)進(jìn)行一次膨脹得到圖5-23(e)，然后用S對(duì)膨脹結(jié)果進(jìn)行腐蝕得到圖5-23(f)，這兩個(gè)操作的串行結(jié)合就是閉運(yùn)算，它將目標(biāo)內(nèi)部的噪聲孔消除掉了。整個(gè)過(guò)程是先做開(kāi)運(yùn)算再做閉運(yùn)算，可以寫(xiě)為●（5-7）圖5-13形態(tài)學(xué)濾波示意圖