圖形學(xué)第七章

圖形學(xué)第七章第1頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月27.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

矢量矢量和第2頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月37.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的數(shù)乘矢量的點積性質(zhì)第3頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月47.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矢量的長度單位矢量矢量的夾角矢量的叉積第4頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月57.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)矩陣階矩陣n階方陣零矩陣行向量與列向量單位矩陣矩陣的加法矩陣的數(shù)乘矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的逆第5頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月6矩陣的含義矩陣：由m×n個數(shù)按一定位置排列的一個整體，簡稱m×n矩陣。A=其中，aij稱為矩陣A的第i行第j列元素7.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第6頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月7矩陣運算加法設(shè)A，B為兩個具有相同行和列元素的矩陣A+B=數(shù)乘kA=[k*aij]|i=1...m,j=1,..n7.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第7頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月8乘法設(shè)A為3×2矩陣，B為2×3矩陣

C=A·B=C=Cm×p=Am×n·Bn×pcij=∑aik*bkj單位矩陣在一矩陣中，其主對角線各元素aii=1,其余皆為0的矩陣稱為單位矩陣。n階單位矩陣通常記作In。Am×n=Am×n·Ink=1,n7.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第8頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月9逆矩陣若矩陣A存在A·A-1=A-1·A=I，則稱A-1為A的逆矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A=(aij)m×n的行和列互換而得到的n×m矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT

。

(AT)T=A(A+B)T=AT+BT(aA)T=aAT(A·B)T=BT·AT

當(dāng)A為n階矩陣，且A=AT，則

A是對稱矩陣。7.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第9頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月10矩陣運算的基本性質(zhì)交換律與結(jié)合律師

A+B=B+A;A+(B+C)=(A+B)+C數(shù)乘的分配律及結(jié)合律

a(A+B)=aA+aB;a(A·B)=(aA)·B=A·(aB)(a+b)A=aA+bAa(bA)=(ab)A7.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第10頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月11矩陣乘法的結(jié)合律及分配律

A(B·C)=(A·B)C(A+B)·C=A·C+B·CC·(A+B)=C·A+C·B矩陣的乘法不適合交換律7.1變換的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第11頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月12

所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由n+1維向量表示一個n維向量。如n維向量(P1,P2,…,Pn)表示為（hP1,hP2,hPn,h），其中h稱為啞坐標(biāo)。

1、h可以取不同的值，所以同一點的齊次坐標(biāo)不是唯一的。如普通坐標(biāo)系下的點（2,3）變換為齊次坐標(biāo)可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。

2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對多”由普通坐標(biāo)h→齊次坐標(biāo)由齊次坐標(biāo)÷h→普通坐標(biāo)

3、當(dāng)h=1時產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)”，因為前n個坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的n維坐標(biāo)。齊次坐標(biāo)第12頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月13齊次坐標(biāo)(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為

(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線第13頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月141.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間上的一個點從一個坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。2.便于表示無窮遠點。例如：（xh,yh,h)，令h等于03.齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段，平面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換成多面體。(圖形拓撲關(guān)系保持不變）4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點便于變換合成便于硬件實現(xiàn)齊次坐標(biāo)的作用第14頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月15第七章圖形變換7.1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量、矩陣及運算7.2窗口到視區(qū)的變換7.3圖形幾何變換第15頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月167.2窗口視圖變換

用戶域和窗口區(qū)1．用戶域：程序員用來定義草圖的整個自然空間(WD)a

人們所要描述的圖形均在用戶域中定義。

b

用戶域是一個實數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的。2．

窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域(W)a窗口區(qū)W小于或等于用戶域WDb小于用戶域的窗口區(qū)W叫做用戶域的子域。

c窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口等等

d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，在第I層窗口中可再定義第I+1層窗口等等。

第16頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月17窗口視圖變換1．

屏幕域(DC)：設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。如圖形顯示器分辨率為1024768→DC[0..1023][0..767]2．

視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域

a

視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中

b

窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

c

視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊形等。

d視圖區(qū)也可以嵌套。

第17頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月18窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換設(shè)窗口的四條邊界WXL,WXR,WYB,WYT視圖的四條邊界VXL,VXR,VYB,VYT則用戶坐標(biāo)系下的點（即窗口內(nèi)的一點）(Xw,Yw)對應(yīng)屏幕視圖區(qū)中的點（Xs,Ys），其變換公式為第18頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月19窗口區(qū)和視圖區(qū)的坐標(biāo)變換簡化為：1)

當(dāng)ac時，即x

方向的變化與y方向的變化不同時，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變形。2)

當(dāng)a=c=1，b=d=0則Xs=Xw,Ys=Yw,圖形完全相同。第19頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月20第七章圖形變換7.1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：矢量、矩陣及運算7.2窗口到視區(qū)的變換7.3圖形幾何變換第20頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月21圖形變換是計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。幾何變換，投影變換，視窗變換線性變換，屬性不變，拓撲關(guān)系不變。作用：把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來；可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；可用二維圖形表示三維形體；動態(tài)顯示。7.3圖形變換第21頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月22二維圖形的顯示流程圖從應(yīng)用程序得到圖形的用戶坐標(biāo)對窗口區(qū)進行裁剪窗口區(qū)到視圖區(qū)的規(guī)格化變換視圖區(qū)從規(guī)格化坐標(biāo)系到設(shè)備坐標(biāo)系的變換WCWCNDCDC在圖形設(shè)備上輸出第22頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月23圖形的幾何變換圖形變換：對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形。圖形變換的兩種形式：1.圖形不變，坐標(biāo)系改變；2.圖形改變，坐標(biāo)系不變。第23頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月24二維圖形的幾何變換設(shè)二維圖形變換前坐標(biāo)為(x,y,1),變換后為(x*,y*,1)

1．

二維變換矩陣注意：T2D可看作三個行向量，其中[100]：表示x

軸上的無窮遠點[010]：表示y

軸上的無窮遠點[001]：表示原點

第24頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月25二維圖形的幾何變換從變換功能上可把T2D分為四個子矩陣第25頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月26二維基本變換-平移變換平移變換平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀第26頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月27第27頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月28二維基本變換-旋轉(zhuǎn)變換注意；θ是逆時針旋轉(zhuǎn)角度。αθρ(x,y)(x′,y′)第28頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月30二維基本變換-比例變換以坐標(biāo)原點為放縮參照點當(dāng)Sx=Sy=1時：恒等比例變換當(dāng)Sx=Sy>1時：沿x,y方向等比例放大。當(dāng)Sx=Sy<1時：沿x,y方向等比例縮小當(dāng)SxSy時：沿x,y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。第30頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月31平移、旋轉(zhuǎn)、比例變換具有可加性和可乘性1、平移和旋轉(zhuǎn)變換具有可加性，即2、比例變換具有可乘性，即第31頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月一般情況下，當(dāng)我們需要對一個圖形對象進行較為復(fù)雜的變換時，我們并不直接去計算這個變換，而是首先將分解成多個基本變換，再依次用它們作用于圖形思考：1、關(guān)于任意參照點的旋轉(zhuǎn)變換。2、關(guān)于任意參照點的放縮變換。32第32頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月但在組合變換時，注意變換合成時，矩陣相乘的順序。先作用的變換放在連乘式的右端，后作用的變換放在連乘式的左端。下面舉例來討論連續(xù)調(diào)用幾個變換產(chǎn)生的效果。假設(shè)Translate2D()和Rotate2D()分別是對圖形對象進行二維平移變換和旋轉(zhuǎn)變換的函數(shù)，House()是用來繪制圖形對象的函數(shù)。設(shè)A圖是未經(jīng)變換時調(diào)用函數(shù)所顯示的圖形。其左下角點為P（1，0），在執(zhí)行以下程序后得到圖B33第33頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月34xOyP(1,0)yxB第34頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月Translate2D(1，0)；Rotate2D(45)；House()；依次執(zhí)行程序一中兩個變換得到總的變換矩陣為：程序一：先平移后旋轉(zhuǎn)35第35頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月如果將變換的調(diào)用順序顛倒一下，得到另一個程序：36第36頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月37xyOyxCP(1,0)第37頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月Rotate2D(45)；Translate2D(1，0)；House()；依次執(zhí)行程序二中兩個變換得到總的變換矩陣為：程序二：先旋轉(zhuǎn)后平移38由此可知，變換的次序不同，結(jié)果也不同第38頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月39二維基本變換-對稱變換1、關(guān)于X軸的對稱變換特征（1）：x坐標(biāo)相同（2）：y坐標(biāo)互為負數(shù)當(dāng)Sx=1,Sy=-1時，(x*y*1)=(x-y1)：與x軸對稱的反射變換。矩陣為：第39頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月40二維基本變換-對稱變換2、關(guān)于Y軸的對稱變換特征（1）：y坐標(biāo)相同（2）：x坐標(biāo)互為負數(shù)當(dāng)Sx=-1,Sy=1時，(x*y*1)=(-x

y1)：與y軸對稱的反射變換。。矩陣為：第40頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月思考1：當(dāng)Sx=-1,Sy=-1時，(x*y*1)=(-x-y1)：與原點對稱的反射變換。矩陣是什么？2：關(guān)于任意軸的對稱變換。以任一直線為對稱軸的對稱變換可以用變換合成的方法怎么建立？步驟是什么？41第41頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月42二維基本變換-錯切變換定義：錯切變換保持圖形上各點的某一坐標(biāo)值不變，而另一坐標(biāo)值關(guān)于該值呈線性變化。坐標(biāo)保持不變的那個坐標(biāo)軸稱為依賴軸，余下的坐標(biāo)軸稱為方向軸第42頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月1)

以Y軸為依賴軸的錯切變換當(dāng)d=0時，(x*y*1)=(x+by

y1)：圖形的y坐標(biāo)不變；當(dāng)b>0：圖形沿+x方向作錯切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)b<0：圖形沿-x方向作錯切位移。ABCD→A2B2C2D2關(guān)于平行于X軸的任意參考軸y=y1的錯切變換，其變換矩陣是什么第43頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月44二維基本變換-錯切變換2)以X軸為依賴軸的錯切變換當(dāng)b=0時，(x*y*1)=(x

dx+y1)圖形的x坐標(biāo)不變；當(dāng)d>0：圖形沿+y方向作錯切位移。ABCD→A1B1C1D1當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯切位移。ABCD→A2B2C2D2第44頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月45二維基本變換-錯切變換3)

當(dāng)b0且d0時，(x*y*1)=(x+by

dx+y1)：圖形沿x,y兩個方向作錯切位移?！噱e切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。第45頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月46復(fù)合變換

復(fù)合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上的幾何變換。注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾類變換。

第46頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月47例1：復(fù)合平移求點P(x,y)經(jīng)第一次平移變換（Tx1,Ty1），第二次平移變換（Tx2,Ty2）后的坐標(biāo)P*（x*,y*）解：設(shè)點P(x,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x

y1)，則經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)∴變換矩陣為Tt=Tt1?Tt2第47頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月48例2：多種復(fù)合組合例:對一線段先放大2倍(即Sx=Sy=2)，再平移Tx=10,Ty=0。

解:設(shè)點(x,y)為線段上的任意一點,點(x′,y′)為點(x,y)放大后的坐標(biāo),點(x′′,y′′)為點(x′,y′)平移后的坐標(biāo),則:

[x′,y′,1]=[x,y,1]S2(2,2)

[x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0) [x′′,y′′,1]=[x′,y′,1]T2(10,0)=[x,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令：M=S2(2,2)T2(10,0)，則M即為組合變換

yx(x,y)yx(x′,y′)yx(x′′,y′′)Tx第48頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月49例3：旋轉(zhuǎn)變換對參考點F(xf,yf)做旋轉(zhuǎn)變換。解：1、把旋轉(zhuǎn)中心F(xf,yf)平移至坐標(biāo)原點，即坐標(biāo)系平移（-xf,-yf），則2、進行旋轉(zhuǎn)變換

第49頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月50例3：旋轉(zhuǎn)變換

將坐標(biāo)系平移回原來的原點因此變換矩陣：

第50頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月51例4：任意反射軸的反射變換任一圖形關(guān)于任意反射軸y=a+bx的反射變換

解：1.

將坐標(biāo)原點平移到(0,a)處第51頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月52例4：任意的反射軸的反射變換2.將反射軸（已平移后的直線）按順時針方向旋轉(zhuǎn)θ角，使之與x軸重合

3.圖形關(guān)于x軸的反射變換

4.將反射軸逆時針旋轉(zhuǎn)θ角第52頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月53例4：任意的反射軸的反射變換5.恢復(fù)反射軸的原始位置因此

第53頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月54平移物體使固定點與坐標(biāo)原點重合對于坐標(biāo)原點縮放用步驟1的反向平移將物體移回原始位置例5：通用固定點縮放第54頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月55例6（通用定向縮放）比例變換中的比例因子Sx,Sy只能在x軸方向或y軸方向起作用。實際圖形變換中，不僅是在x,y方向變換，往往要求在任意方向進行比例變換。通過旋轉(zhuǎn)變換和比例變換的組合，可以實現(xiàn)任意方向的比例變換。解：定義比例因子S1和S2。1.

使S1和S2旋轉(zhuǎn)θ角后分別與x軸和y軸重合。2.

進行比例變換。3.使S1和S2旋轉(zhuǎn)-θ角，返回原始位置。

第55頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月56通用定向縮放如：圖(a)為一單位正方形，對由(0,0)和(1,1)兩點構(gòu)成的對角線方向?qū)嵤┍壤儞Q（2，1）第56頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月57三維幾何變換三維齊次坐標(biāo)(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為標(biāo)準齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)右手坐標(biāo)系

XZY第57頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月58三維幾何變換變換矩陣第58頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月59三維幾何變換平移變換第59頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月60三維幾何變換比例變換關(guān)于空間任一參照點的比例變換第60頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月61三維變換矩陣-對稱變換在二維變換下，對稱變換是以線和點為基準，在三維變換下，對稱變換則是以面、線、點為基準的。對稱于XOY平面

[x'y'z'1]=[xy-z1]=[xyz1]對稱于YOZ平面

[x'y'z'1]=[-xyz1]=[xyz1]對稱于XOZ平面[x'y'z'1]=[x-yz1]=[xyz1]思考：關(guān)于空間任一坐標(biāo)平面的對稱變換？通過變換合成怎么建立？第61頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月62三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換繞X軸變換空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各點的X坐標(biāo)不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。

x'=xy'=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz'=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθXYZ(y,z)(y'z')θθYZαOO(y'z')(y,z)Z第62頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月63三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示為：遵循右手法則，即若θ>0，大拇指指向軸的方向，其它手指指的方向為旋轉(zhuǎn)方向。第63頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月64三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換繞Y軸旋轉(zhuǎn)

此時，Y坐標(biāo)不變，X，Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。

x'

=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy'=yz'=ρcos(α+θ)=z*cosθ-x*sinθXYZ(x,z)(x'z')θXZαOOZ第64頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月65三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示為第65頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月66三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換繞Z軸旋轉(zhuǎn)此時，Z坐標(biāo)不變，X，Y坐標(biāo)相應(yīng)變化。

x'=ρcos(α+θ)=x*cosθ-y*sinθy'=ρsin(α+θ)=x*sinθ+y*cosθz'=zXYZ(x,y)(x'y')θXYαOO第66頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月67三維變換矩陣-旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示為：第67頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月68繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換基本思想：因任意軸不是坐標(biāo)軸，應(yīng)設(shè)法旋轉(zhuǎn)該軸，使之與某一坐標(biāo)軸重合，然后進行旋轉(zhuǎn)θ角的變換，最后按逆過程，恢復(fù)該軸的原始位置。第68頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月69繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換（1）將空間直線平移，使之通過坐標(biāo)原點T=01000010-X1-Y1-Z111000（2）繞x軸旋轉(zhuǎn)〆角使之位于XOZ平面內(nèi)第69頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月70

直線段L在YOZ平面上的投影L’L’2=B2+C2

Sin〆=B/L’cos〆=C/L’zxyBCA〆L’L?PQD繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換第70頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月710cos〆

sin〆

00-sin〆cos〆

000011000Rx=(3)繞y軸順時針旋轉(zhuǎn)?角(使之與Z軸重合)

由于繞x軸旋轉(zhuǎn)時，x坐標(biāo)不變AL’L?Sin?=A/Lcos?=L’/LL2-A2=B2+C2=L’2繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換第71頁，課件共76頁，創(chuàng)作于2023年2月720100