微積分習(xí)題講解與答案

習(xí)題講解與答案D(1)x(1)x(y)22yy+xy=0x2yxy+y=0+p=sin29d9x121212意常數(shù))(5)(x2y)y=2xy,x2xy+y2=C(C為任意常數(shù))(xyx)y+xy2+yy2y=0,y=ln(xy)解(1)是，左=xxcosxsinx+sinx=cosx=右xx(2)是，左=(1x2)Cx+x(2+C1x2)=2x=右(4)是，左=x2y(5)是，左=(x2y)2xy=2xy=x2y=(xyx)2xy2xy32xy+xy2+=(xyx)2xy2xy32xy+xy2+yy2y(xyx)2(xyx)2(xyx)2=(xyx)2(xyx)2(xyx)2=右(1)dy=2;(2)dxd2y=cosx;dx2ydxydyy=(1+即14.曲線y=f(x)經(jīng)過原點，并且它在點(x,y)處的切線解33(1)y,=4xy(2)yxy(4)y1111，解得1111，解得5C=6=dxxytanytanxtanytanx1整理得2323y|y|=111511523236y|y|=0x=02xyp=ylnyxdyx+yy2+x2dy=xydydxdxx(x+2y)ypy2=0,y|=1解(1)令u=y，代入方程得xdyy=dyy=+dxxu=xu=x2dydydx=1-yxu=xxu=xu=xu=x2arctany-ln(x2+y2)=Cx(3)原式可u=xu=x即u=xu=x化為dy=(|y|2-y+1dxxxu=xu=x即y回代，即得原方程通解y回代，即得原方程通解u=xy2dydyy2xy(x2-xy)dydyy2xxdxu-1(6)原式可dyy2xxy，代入方程得u=y，代入方程得x即y回代，即得原方程通解y回代，即得原方程通解u=x將代入得C=21化為x(2)xy,+y=x2+3x+2yy=e-xx2+1)y,+2xy=4x2(4)(5)ylnydx+(x-lny)dy=0(6)(2x-y2)y,=2y程得得得P(x)=1,Q(x)=x+3+2xxdyylndyylnyy得得得PxQ(x)=(5)原式可化為(5)原式可化為dxx1(6)原式可化為dxxydyy2dyy2P(y)=ylny,Q(y)P(y)=-1,Q(y)=-yy2 Id IdXaeXaeIdI當(dāng)I=0時，X=X，求函數(shù)X=X(I)的表達(dá)式。0d Xd-X=aeI又當(dāng)I=0時，X=X，得C=X00那么原方程解為X=eI[aI+X]0ds假設(shè)商品價格P是時間t的函數(shù)，初始價格0Q-QQ-Qdsdsa-bP=-c+dP，得P=Pdtdsdtds價格P(0)=P，代入得C=PP，于是00e2.某種商品的需求價格彈性為=pep1，其中pQ解設(shè)需求關(guān)系式為Q=Q(p)，那么由題設(shè)知即為3.設(shè)某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，隨產(chǎn)量的增加，其分方程，得把初始條件y|=1代入解得C=3x=0于是總本錢函數(shù)為 3得解得y=Cet將初始條件y|=5代入上式，得C=5于是y=5ety,=sinxy,(y,)2=0y,=2(x2+1)y,2xy,=01121112(3)令y,=p,y,=p,，原方程降階為即(4)令y,=p,y,=p,，原方程降階為即那么3，由知單調(diào)增加，于是3得通解由得即 (5-x)1y(0)=0得C=02為(1)y,-2y,-3y=0(2)yyy(4)(1)y,-2y,-3y=0為1212為212yy為1212(4)y,+y,+y=0為解得兩個共軛虛根入=1+3i,入=13i，所求方程122222122.求方程y,+2y,+3y=0滿足初始條件y|=1,y,|=1的xx=0特解為12由初始條件y|=1,y,|=1得C=1xx1又由于是滿足初始條件的特解為3.求微分方程y,2y,3y=3x+1的一個特解解f(x)=3x+1=(3x+1)e0x，其中n=1,=0不是特征方*為所給方程的一個特解，直接將代入原方程，*yy得a=1,a=1,b=3所以1即為所求特解yx3y2yy2y+y=12xex*直接將代入原方程，得*解得a=2,b=0，因此y*=2x3ex為所給方程的一個特解，從而所求方程通解為125.求方程y+4y+4y=cos2x的通解應(yīng)齊次方程為通解為解得a=1,b=0，因此y*=1sin2x為所給方程的一個特88為向市場，t時刻的銷量為x(t)，由于產(chǎn)品良好性能，每個產(chǎn)品都是一個宣dt統(tǒng)計說明dx與尚未購置該產(chǎn)品的潛在顧客的數(shù)dt解由dt當(dāng)x(t*)N時，有dx>0，即銷量x(t)單調(diào)增加；當(dāng)dtx(t*)=N時，d2x=0；當(dāng)x(t*)>N時，d2x0；當(dāng)x(t*)N2dt22dt22時，d2x>0；即當(dāng)銷量到達(dá)最大需求量N的一半價格P的變化率與過剩需求QS成正比，比例系0，得由P=2，代入得C=304于是P=5+3e8t44y=f(n)=n2.3nnnnn解nnn+1nn+1n〔3〕yn+1+2yn=3.2n〔4〕yn+1+5yn=1a=1a=1y=C.1n=Cy*y*(n)=an2+an01比擬系數(shù)得15，所以15a,a1=2y*(n)=2n2+2ny=C.2ny*y*(n)=an2+an+a012故有y*(n)=2n24n5又f(n)=3.2n，即b=3,d=2，且a+d=