2022-2023學(xué)年上海滬東外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

2022-2023學(xué)年上海滬東外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.雙曲線的漸近線方程為

（）A、

B、

C、

D、參考答案：D2.我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》用“輾轉(zhuǎn)相除法”求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)是一個(gè)偉大創(chuàng)舉．其程序框圖如圖，當(dāng)輸入a=1995，b=228時(shí)，輸出的（）A．17 B．19 C．27 D．57參考答案：D【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，該程序執(zhí)行的是歐幾里得輾轉(zhuǎn)相除法，求出運(yùn)算結(jié)果即可．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程，如下；a=1995，b=228，執(zhí)行循環(huán)體，r=171，a=228，b=171，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，r=57，a=171，b=57，不滿足退出循環(huán)的條件，執(zhí)行循環(huán)體，r=0，a=57，b=0，滿足退出循環(huán)的條件r=0，退出循環(huán)，輸出a的值為57．故選：D．3.某幾何體的正視圖與側(cè)視圖如圖所示，若該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是（

）

參考答案：D4.函數(shù)f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)＜1 C．a(chǎn)＜2 D．a(chǎn)＜參考答案：A【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)f′（x）=3ax2﹣1＜0恒成立，求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，故f′（x）=3ax2﹣1＜0恒成立，故有3a≤0，求得a≤0，故選：A．5.已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E,F分別為AB,OC的中點(diǎn)，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為（

）(A) (B) (C) (D)參考答案：C6.如圖，在多面體ABC﹣DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AC∥GF，且△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，DEFG是邊長(zhǎng)為4的正方形，M，N分別是AD，BE的中點(diǎn)，則MN=（）A． B．4 C． D．5參考答案：A【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】取BD中點(diǎn)P，連結(jié)MP，NP，利用余弦定理，求出MN．【解答】解：如圖，取BD中點(diǎn)P，連結(jié)MP，NP，則MP∥AB，NP∥DE，，，又∵AC∥GF，∴AC∥NP，∵∠CAB=60°，∴∠MPN=120°，∴．故選A．7.下列三圖中的多邊形均為正多邊形，M、N是所在邊上的中點(diǎn)，雙曲線均以圖中的F1、F2為焦點(diǎn)，設(shè)圖①、②、③的雙曲線的離心率分別為e1，e2，e3，則（

）A．e1＞e2＞e3

B．e1＜e2＜e3

C．e1＝e3＜e2

D．e1＝e3＞e2

參考答案：C略8.閱讀如圖所示的程序框圖，若輸入的k=10，則該算法的功能是（）A．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}的前10項(xiàng)和 B．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}的前9項(xiàng)和C．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}的前10項(xiàng)和 D．計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}的前9項(xiàng)和參考答案：A【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】從賦值框給出的兩個(gè)變量的值開(kāi)始，逐漸分析寫出程序運(yùn)行的每一步，便可得到程序框圖表示的算法的功能．【解答】解：框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i賦值，S=0，i=1；判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2×0=1，i=1+1=2；判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2×1=1+2，i=2+1=3；判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2×（1+2）=1+2+22，i=3+1=4；…判斷i＞10不成立，執(zhí)行S=1+2+22+…+29，i=10+1=11；判斷i＞10成立，輸出S=1+2+22+…+29．算法結(jié)束．故則該算法的功能是計(jì)算數(shù)列{2n﹣1}的前10項(xiàng)和．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，常采用寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，找規(guī)律．9.變量X與Y相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13,5）；變量U與V相對(duì)應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），表示變量Y與X之間的線性相關(guān)系數(shù)，表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則（

）

A.＜＜0

B.0＜＜

C.＜0＜

D.＝參考答案：C10.“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件Ｃ．充要條件

Ｄ．既不充分又不必要條件參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)函數(shù)f（x）=，則函數(shù)f（x）的值域是

．參考答案：（0，1）∪[﹣3，+∞）【考點(diǎn)】34：函數(shù)的值域．【分析】可根據(jù)不等式的性質(zhì)，根據(jù)x的范圍，可以分別求出和﹣x﹣2的范圍，從而求出f（x）的值域．【解答】解：①x＞1時(shí)，f（x）=；∴；即0＜f（x）＜1；②x≤1時(shí)，f（x）=﹣x﹣2；∴﹣x≥﹣1；∴﹣x﹣2≥﹣3；即f（x）≥﹣3；∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?，1）∪[﹣3，+∞）．故答案為：（0，1）∪[﹣3，+∞）．12.已知回歸方程=2x+1，而試驗(yàn)得到一組數(shù)據(jù)是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），則殘差平方和是

．參考答案：0.03【考點(diǎn)】線性回歸方程．【分析】根據(jù)所給的回歸直線方程，代入三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的橫坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)的縱標(biāo)值，把求得的縱標(biāo)和點(diǎn)的原來(lái)的縱標(biāo)做差，求出三個(gè)差的平方和，即得到殘差平方和．【解答】解：當(dāng)x=2時(shí)，y=5，當(dāng)x=3時(shí)，y=7，當(dāng)x=4時(shí)，y=9．∴e1=4.9﹣5=﹣0.1，e2=7.1﹣7=0.1，e3=9.1﹣9=0.1．∴殘差平方和（﹣0.1）2+（0.1）2+（0.1）2=0.03．故答案為：0.03．13.右圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出S的值是________

參考答案：6314.公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在前人的基礎(chǔ)上寫了一部劃時(shí)代的著作《圓錐曲線論》，該書給出了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們所研究的六大軌跡問(wèn)題，其中之一便是“到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于不為1的常數(shù)的軌跡是圓”，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”．用解析幾何方法解決“到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)M軌跡方程是：”，則該“阿氏圓”的圓心坐標(biāo)是______，半徑是_____．參考答案：

2【分析】將圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得結(jié)果.【詳解】由得：圓心坐標(biāo)為：，半徑為：本題正確結(jié)果：；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)圓的方程求解圓心和半徑的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.15.在中，角所對(duì)的邊分別為，給出下列結(jié)論：①若，則；②若，則為等邊三角形；③必存在，使成立；④若，則必有兩解其中，結(jié)論正確的編號(hào)為

（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）參考答案：①④16.已知三棱錐O-ABC，點(diǎn)G是△ABC的重心。設(shè)，，，那么向量用基底{，，}可以表示為

▲

.參考答案：

17.觀察下列式子：1+＜，1++＜，1+++＜，…，則可歸納出

．參考答案：（n∈N*）【考點(diǎn)】歸納推理．【分析】根據(jù)所給的幾個(gè)不等式歸納出左邊、右邊的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律可歸納出第n個(gè)不等式．【解答】解：由題意知，：1+＜，1++＜，1+++＜，…，觀察可得：每個(gè)不等式的左邊是正整數(shù)的倒數(shù)之和，且最后一項(xiàng)的分母是項(xiàng)數(shù)加1，右邊是分?jǐn)?shù)，且分母是項(xiàng)數(shù)加1、分子是以3為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，∴可歸納出第n個(gè)不等式：（n∈N*），故答案為：（n∈N*）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某種零件按質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)分為1，2，3，4，5五個(gè)等級(jí)，現(xiàn)從一批該零件巾隨機(jī)抽取20個(gè)，對(duì)其等級(jí)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下等級(jí)12345頻率0.05m0.150.35n（1）在抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，求m，n；（2）在（1）的條件下，從等級(jí)為3和5的所有零件中，任意抽取2個(gè)，求抽取的2個(gè)零件等級(jí)恰好相同的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；收集數(shù)據(jù)的方法．【分析】（1）通過(guò)頻率分布表得推出m+n=0.45．利用等級(jí)系數(shù)為5的恰有2件，求出n，然后求出m．（2）根據(jù)條件列出滿足條件所有的基本事件總數(shù)，“從x1，x2，x3，y1，y2，這5件日用品中任取兩件，等級(jí)系數(shù)相等”的事件數(shù)，求解即可．【解答】解：（1）由頻率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1，即m+n=0.45．…由抽取的20個(gè)零件中，等級(jí)為5的恰有2個(gè)，得．…所以m=0.45﹣0.1=0.35．…（2）：由（1）得，等級(jí)為3的零件有3個(gè)，記作x1，x2，x3；等級(jí)為5的零件有2個(gè)，記作y1，y2．從x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2個(gè)零件，所有可能的結(jié)果為：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）共計(jì)10種．…記事件A為“從零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等級(jí)相等”．則A包含的基本事件為（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4個(gè)．…故所求概率為．…19.已知，求證：。參考答案：證明：法一（綜合法），

展開(kāi)并移項(xiàng)得：法二（分析法）要證，，故只要證即證，也就是證，而此式顯然成立，由于以上相應(yīng)各步均可逆，∴原不等式成立。法三：，法四：

，∴由三式相加得：兩邊同時(shí)加上得：，

∴.20.已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），且與圓B：（x﹣2）2+y2=4相內(nèi)切（B為圓心）．（1）求動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)B且斜率為2的直線與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，求△APQ的周長(zhǎng)．參考答案：（1）動(dòng)圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），且與圓B：（x﹣2）2+y2=4相內(nèi)切（B為圓心），可得|MA|=|MT|，|MB|=|MT|﹣|BT|=|MA|﹣2，|MA|﹣|MB|=2＜|AB|=4，由雙曲線的定義可得，M的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且c=2，a=1，b=，即有動(dòng)圓的圓心M的軌跡C的方程為x2﹣=1（x＞0）；

5分（2）過(guò)點(diǎn)B且斜率為2的直線方程為y=2x﹣4，

6分代入雙曲線的方程x2﹣=1，可得x2﹣16x+19=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=16，x1x2=19，則|PQ|=?=?=30，

10分則△APQ的周長(zhǎng)為|AP|+|PB|+|BQ|+|AQ|=2a+2|PB|+2|BQ|+2a=4a+2|PQ|=4+60=64．

12分21.（12分）已知雙曲線C：2x2﹣y2=2與點(diǎn)P（1，2）．（1）求過(guò)點(diǎn)P（1，2）的直線l的斜率k的取值范圍，使l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）是否存在過(guò)點(diǎn)P的弦AB，使AB的中點(diǎn)為P？參考答案：【考點(diǎn)】：直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1，與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0，然后進(jìn)行分類討論，把直線與雙曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，歸結(jié)為方程組解的問(wèn)題進(jìn)行求解．（2）假設(shè)以Q為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2兩式相減得．2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），再由點(diǎn)差法進(jìn)行求出直線AB的斜率，繼而的得到直線方程，再和曲線構(gòu)造方程組，判斷方程組是否有兩個(gè)解，問(wèn)題得以解決．解：（1）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=1，與曲線C有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y﹣2=k（x﹣1），代入C的方程，并整理得（2﹣k2）x2+2（k2﹣2k）x﹣k2+4k﹣6=0（*）（?。┊?dāng)2﹣k2=0，即k=±時(shí)，方程（*）有一個(gè)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)（ⅱ）當(dāng)2﹣k2≠0，即k≠±時(shí)△=[2（k2﹣2k）]2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）=16（3﹣2k）①當(dāng)△=0，即3﹣2k=0，k=時(shí)，方程（*）有一個(gè)實(shí)根，l與C有一個(gè)交點(diǎn)．綜上知：當(dāng)k=±，或k=，或k不存在時(shí)，l與C只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）假設(shè)以P為中點(diǎn)的弦存在，設(shè)為AB，且A（x1，y1），B（x2，y2），則2x12﹣y12=2，2x22﹣y22=2，兩式相減得2（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2）又∵x1+x2=2，y1+y2=4，∴2（x1﹣x2）=4（y1﹣y2）

即kAB==，∴直線AB的方程為y﹣2=（x﹣1），代入雙曲線方程2x2﹣y2=2，可得，15y2﹣48y+34=0，由于判別式為482﹣4×15×34＞0，則該直線AB存在．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線的方程和運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求中點(diǎn)問(wèn)題，注意檢驗(yàn)判別式的符號(hào)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題和易錯(cuò)題22.設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（1，﹣2）處的切線方程；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，2]上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）先確定函數(shù)f（x）的定義域，然后對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出f′（1）=﹣1，