中值定理的推廣-數(shù)學(xué)系

麗水學(xué)院2009屆學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計）麗水學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）（2009屆）題目中值定理的推廣指導(dǎo)教師程麗院系數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系班級學(xué)號姓名二〇〇九年四月十日

總目錄畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書……3畢業(yè)論文（設(shè)計）開題報告………6畢業(yè)論文（設(shè)計）文獻綜述………畢業(yè)論文（設(shè)計）正文目錄………畢業(yè)論文（設(shè)計）正文………外文文獻翻譯（附原文）…………畢業(yè)論文（設(shè)計）中期檢查表……畢業(yè)論文（設(shè)計）指導(dǎo)記錄………畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯資格審查表………………畢業(yè)論文（設(shè)計）成績評分表……畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯成績評分表………………畢業(yè)論文（設(shè)計）所有參考文獻…………………

麗水學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）任務(wù)書（2009屆）題目中值定理的推廣指導(dǎo)教師程麗院系數(shù)理學(xué)院數(shù)學(xué)系專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級學(xué)號姓名2008年9月15日至2009年4月10日共28周論文（設(shè)計）方向：數(shù)學(xué)教育與應(yīng)用數(shù)學(xué)主要參考資料：[1]小堀憲.數(shù)學(xué)史[M].東京：朝倉書店，1956.[2]陳寧.微分中值定理的歷史演變.大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，(4)：96-99.[3]梁宗巨.數(shù)學(xué)家傳略辭典[M].濟南：山東教育出版社，1989.[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.[5]楊萬必，龍鳴.微分中值定理的推廣[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報，2005，23（3）：31-32.[6]陳清明.Rolle中值定理的推廣[J].西南師范大學(xué)學(xué)報，2007，32(1)：140-142.[7]李艷敏，葉佰英.關(guān)于微分中值定理的兩點思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，9（5），50-51.[8]嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析第一冊[M].北京：高等教育出版社，2004：136-137.[9]路世英.關(guān)于微分中值定理中間值的討論[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2006，7(22)：61-62.[10]甘小冰，陳之兵.CAUCHY微分中值定理的推廣[J].數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識2005.5第35卷第5期：233--237.[11]李仕瓊，梁波.積分第一中值定理的證明及推廣[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，8（3）：15-16.[12]吳慧伶.羅爾中值定理的推廣[J].新鄉(xiāng)師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2006，9（5）：21-22.[13]胡付高.Dini導(dǎo)數(shù)意義下的微分中值定理及其應(yīng)用[J].孝感學(xué)院學(xué)報,2001，21(3):10-11.[14]MukherjeaA.RealandFunctionalAnalysisM.NewYork:Mcgraw-Hill,1978.[15]陳玉會.對稱導(dǎo)數(shù)的新形式微分中值定理[J].淮陰工學(xué)院學(xué)報，2007，16(3)：19-20.[16]汪林.數(shù)學(xué)分析問題研究與評注[M].北京:科學(xué)出版社,1995.課題的內(nèi)容和任務(wù)要求：1.內(nèi)容：1微分中值定理產(chǎn)生的背景及國內(nèi)外研究現(xiàn)狀；2導(dǎo)數(shù)的定義與幾何意義；3中值定理及其推廣定理；4比較柯西中值定理與積分第一中值定理的；5Dini導(dǎo)數(shù)及其微分中值定理；6對稱導(dǎo)數(shù)的定義及其微分中值定理。2.任務(wù)要求：通過大量的查閱資料，分類整理，加上自己的觀點和獨到的見解，使得論文具備理論性、科學(xué)性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性。論點明確、論據(jù)充足、論證嚴(yán)密、條理清楚、結(jié)構(gòu)合理、文字簡潔流暢。嚴(yán)格按照論文撰寫格式和要求進行寫作。論文字?jǐn)?shù)8000字以上。嚴(yán)格按照畢業(yè)論文寫作計劃和進度，完成任務(wù)。（6）廣泛查閱和借鑒資料，獨立完成畢業(yè)論文任務(wù)，嚴(yán)禁抄襲拼湊。畢業(yè)論文（設(shè)計）進度安排：起訖日期工作內(nèi)容備注08年9．15——08年9．30查閱資料，選題，編寫《畢業(yè)論文（設(shè)計）任務(wù)書》；08年10．1—12．31做好畢業(yè)設(shè)計（論文）的選題，編寫《開題報告書》；09年1．1–3．8查閱文獻，撰寫文獻綜述；撰寫、完成論文初稿；09年3．9–4．10根據(jù)指導(dǎo)教師意見，修改論文；論文定稿、打印、送審。學(xué)生（簽名）：08年9月26日指導(dǎo)教師（簽名）：08年9月26日系畢業(yè)設(shè)計（論文）工作指導(dǎo)小組意見：組長（簽名）年月日二級學(xué)院（直屬系）畢業(yè)論文工作領(lǐng)導(dǎo)小組審核意見：主管領(lǐng)導(dǎo)（簽名）年月日注：1.指導(dǎo)教師填寫，任務(wù)下達人為指導(dǎo)教師，指導(dǎo)教師和接受任務(wù)的學(xué)生均應(yīng)簽字。2.此任務(wù)書最遲必須在學(xué)生畢業(yè)設(shè)計（論文）開始前下達給學(xué)生。

麗水學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文）開題報告（2009屆）題目中值定理的推廣指導(dǎo)教師程麗院系數(shù)理學(xué)院班級學(xué)號姓名二〇〇八年十二月十五日一、選題的背景和意義人們對微分中值定理的認(rèn)識可以追溯到公元前古希臘時代。古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中，得到如下結(jié)論:“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”，這正是拉格朗日定理的特殊情況。希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論，求出拋物弓形的面積。人們對中值定理的研究,大約經(jīng)歷了二百多年的時間。從費馬定理開始，經(jīng)歷了從特殊到一般，從直觀到抽象，從強條件到到弱條件的發(fā)展階段。微分中值定理的形成歷史和發(fā)展過程深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個推陳出新，吐故納新的過程,是一些有力工具和更簡單方法的發(fā)現(xiàn)與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被拋棄的過程,是一個由低級向高級發(fā)展過程，是分析、代數(shù)和幾何統(tǒng)一的過程。二、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀、發(fā)展動態(tài)近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者對微積分學(xué)中值定理的研究興趣與日俱增，他們多方位、多角度、多途徑地對微積分學(xué)中值定理的條件、結(jié)論進行了廣泛的拓展，取得了一系列研究成果。這些研究，既豐富了微積分學(xué)中值定理的內(nèi)容，又完善了微積分學(xué)中值定理的研究體系，同時也給出了一些新的研究方法，促進了微積分學(xué)教學(xué)研究工作的開展，推動了課程教學(xué)改革的深入進行。三、研究的主要內(nèi)容，擬解決的主要問題（闡述的主要觀點）微分中值定理是微分學(xué)的重要定理，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，是溝通函數(shù)及導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁，也是研究函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的整體性質(zhì)的重要工具。就因為這樣，很多專家學(xué)者對微積分學(xué)中值定理進行研究。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文首先介紹微分中值定理的產(chǎn)生背景以及國內(nèi)外狀況，然后從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來研究微分中值定理的一些相關(guān)的結(jié)論，包括羅爾中值定理、Lagrange中值定理以及積分第一中值定理的推廣等，進一步討論微分中值定理中值點的漸進性質(zhì)以及其他一些相關(guān)定理，并特別針對Dini導(dǎo)數(shù)和對稱導(dǎo)數(shù)給出的相關(guān)的微分中值定理的結(jié)論。以便我們更好、更清楚的看到導(dǎo)數(shù)和微分之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及極限和連續(xù)。四、研究（工作）步驟、方法及措施（思路）（一）研究方法：利用網(wǎng)絡(luò)、書籍，雜志等渠道收集與中值定理問題相關(guān)的信息資料,然后對資料加以整理分類，篩選出有用的信息。和老師同學(xué)進行討論，運用已學(xué)的分析方法，對篩選出來的資料加以終結(jié)、歸納，為寫正文作準(zhǔn)備。（二）準(zhǔn)備工作： 中值定理的歷史是淵源的，從古至今，人們從來沒有停止過對微分中值定理的深入研究。每個人都會針對自己所需來研究微分中值定理的推廣。在關(guān)于微分中值定理的推廣的研究上，我采取了先對三個中值定理的定義了解的基礎(chǔ)上，再針對三個定理的條件來研究它們，然后就所有可用資料來完成對這項研究進行全面的認(rèn)識而后集結(jié)成文。這次研究資源的主要取向是圖書館藏書、網(wǎng)上的刊物及博碩士論文，通過對資料的整理、對知識點的理解、掌握，編寫而成。主要思想是在對中值定理的理解基礎(chǔ)上，討論它們之間的關(guān)系，對中值定理的推廣的分析來完成。五、畢業(yè)論文（設(shè)計）提綱1引言1.1微分中值定理產(chǎn)生的背景1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀1.3導(dǎo)數(shù)的定義1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義2中值定理及其推廣定理2.1羅爾中值定理及其推廣2.2函數(shù)的極值點與穩(wěn)定點2.3Lagrange中值定理及其推廣2.4柯西中值定理及其推廣3比較柯西中值定理與積分第一中值定理的4Dini導(dǎo)數(shù)4.1Dini導(dǎo)數(shù)的定義及相關(guān)引理4.2Dini導(dǎo)數(shù)的微分中值定理4.2.1Dini導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型4.2.2Dini導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型4.2.3Dini導(dǎo)數(shù)的柯西中值定理型5對稱導(dǎo)數(shù)5.1對稱導(dǎo)數(shù)的定義5.2對稱導(dǎo)數(shù)的微分中值定理5.2.1對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型5.2.2對稱導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型5.2.3對稱導(dǎo)數(shù)的柯西中值定理型六、主要參考文獻[1]小堀憲.數(shù)學(xué)史[M].東京：朝倉書店，1956.[2]陳寧.微分中值定理的歷史演變.大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，(4)：96-99.[3]梁宗巨.數(shù)學(xué)家傳略辭典[M].濟南：山東教育出版社，1989.[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.[5]楊萬必，龍鳴.微分中值定理的推廣[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報，2005，23（3）：31-32.[6]陳清明.Rolle中值定理的推廣[J].西南師范大學(xué)學(xué)報，2007，32(1)：140-142.[7]李艷敏，葉佰英.關(guān)于微分中值定理的兩點思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，9（5），50-51.[8]嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析第一冊[M].北京：高等教育出版社，2004：136-137.[9]路世英.關(guān)于微分中值定理中間值的討論[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2006，7(22)：61-62.[10]甘小冰，陳之兵.CAUCHY微分中值定理的推廣[J].數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識2005.5第35卷第5期：233--237.[11]李仕瓊，梁波.積分第一中值定理的證明及推廣[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，8（3）：15-16.[12]吳慧伶.羅爾中值定理的推廣[J].新鄉(xiāng)師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2006，9（5）：21-22.[13]胡付高.Dini導(dǎo)數(shù)意義下的微分中值定理及其應(yīng)用[J].孝感學(xué)院學(xué)報,2001，21(3):10-11.[14]MukherjeaA.RealandFunctionalAnalysisM.NewYork:Mcgraw-Hill,1978.[15]陳玉會.對稱導(dǎo)數(shù)的新形式微分中值定理[J].淮陰工學(xué)院學(xué)報，2007，16(3)：19-20.[16]汪林.數(shù)學(xué)分析問題研究與評注[M].北京:科學(xué)出版社,1995.

指導(dǎo)教師意見：簽名：08年12月25日系畢業(yè)設(shè)計（論文）工作指導(dǎo)小組意見：簽名：年月日二級學(xué)院(直屬系)畢業(yè)設(shè)計（論文）工作領(lǐng)導(dǎo)小組意見：簽名：年月日

畢業(yè)設(shè)計（論文）文獻綜述一、國內(nèi)外狀況微分中值定理是微分學(xué)的基本定理,是構(gòu)成微分學(xué)基礎(chǔ)理論的重要內(nèi)容。近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者對微積分學(xué)中值定理的研究興趣與日俱增，他們多方位、多角度、多途徑地對微積分學(xué)中值定理的條件、結(jié)論進行了廣泛的拓展，取得了一系列研究成果。這些研究，既豐富了微積分學(xué)中值定理的內(nèi)容，又完善了微積分學(xué)中值定理的研究體系，同時也給出了一些新的研究方法，促進了微積分學(xué)教學(xué)研究工作的開展，推動了課程教學(xué)改革的深入進行。二、進展情況人們對中值定理的研究,大約經(jīng)歷了二百多年的時間。從費馬定理開始,經(jīng)歷了從特殊到一般,從直觀到抽象,從強條件到到弱條件的發(fā)展階段。微分中值定理的形成歷史和發(fā)展過程深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個推陳出新，吐故納新的過程,是一些有力工具和更簡單方法的發(fā)現(xiàn)與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被拋棄的過程,是一個由低級向高級發(fā)展過程，是分析、代數(shù)和幾何統(tǒng)一的過程。[2]意大利卡瓦列里在<<不可分量幾何學(xué)>>(1653年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實:“曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦”。1673年,著名法國數(shù)學(xué)家費馬在<<求最大值和最小值的方法>>中給出費馬定理。1691年,法國數(shù)學(xué)家羅爾在<<方程的解法>>一文中給出多項式形式的羅爾定理。1797年,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在<<解析函數(shù)論>>一文中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統(tǒng)研究的是法國數(shù)學(xué)家柯西,他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運動的推動者,他的三部巨著<<分析課程>>,<<無窮小計算教程概論>>(1823年),<<微分計算教程>>(1829年),以嚴(yán)格化為主要目標(biāo),對微分理論進行了重構(gòu)。[3]三、研究方向微分中值定理是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)所具有的性質(zhì)(局部性質(zhì))去研究該函數(shù)本身在區(qū)間上的性質(zhì)(整體性質(zhì))的一個非常有利工具微分中值定理包括Rolle中值定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理,這3個定理的基本關(guān)系是前者是后者的特殊情況,后者是前者的一般形式。[1]由于導(dǎo)數(shù)是微積分重要內(nèi)容之一，是學(xué)好微積分的紐帶。我從導(dǎo)數(shù)開始引入，從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來研究微分中值定理的一些相關(guān)的結(jié)論，包括羅爾中值定理、Lagrange中值定理以及積分第一中值定理的推廣等，進一步討論微分中值定理中值點的漸進性質(zhì)以及其他一些相關(guān)定理，并特別針對Dini導(dǎo)數(shù)和對稱導(dǎo)數(shù)給出的相關(guān)的微分中值定理的結(jié)論。以便我們更好、更清楚的看到導(dǎo)數(shù)和微分之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及極限和連續(xù)在數(shù)學(xué)中的崇高地位。三、存在問題羅爾中值定理作為微分中值定理之一，經(jīng)常用來證明零值點的存在性、最值問題和其他中值定理。看了一些資料，他們把這些推廣大致可分為兩類：一類是將閉區(qū)間推廣為開區(qū)間或無窮區(qū)間；另一類則是把可微性概念加以拓寬或者是增加函數(shù)的個數(shù)，然后推廣微分中值定理。[6]由于定理中的三個條件缺少任何一個,結(jié)論將不一定成立[1]?，F(xiàn)將羅爾中值定理第二個條件放寬到有限點的導(dǎo)數(shù)為或。即：羅爾中值定理推廣定理[4]設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)上除有限個點的導(dǎo)數(shù)為或外,其他點的導(dǎo)數(shù)都存在,且,則至少存在一點,使得。函數(shù)的極值點與穩(wěn)定點在解題過程中經(jīng)常遇到，關(guān)于極值點與穩(wěn)定點的關(guān)系是極值點必是穩(wěn)定點，而函數(shù)的穩(wěn)定點未必是它的極值點。從而給出極值的判別法，區(qū)分極值點與穩(wěn)定點。在Lagrange中值定理及其推廣中，我并不是對定理進行推廣，而是將定理運用到題目中去，可以更加清楚Lagrange中值定理的性質(zhì)。同樣地介紹柯西中值定理的推廣，我覺得這個推廣很實用，在數(shù)分中經(jīng)常用到，即定理2[7]若函數(shù)滿足下列條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)；(iii)對任意，，則在內(nèi)存在唯一的，使得。比較柯西中值定理與積分第一中值定理的，對相應(yīng)的柯西中值定理以及積分中值定理中的作平行的對比，羅爾中值定理和Lagrange中值都是對于一個函數(shù)而言的，而柯西中值定理以及推廣的積分第一中值定理是對于兩個函數(shù)而言的(這里主要針對教材上提出的上述定理)，從而定理的條件也有一定的不同，柯西中值定理要求不同時為零，其得出的結(jié)論是存在，使得，而推廣的積分第一中值定理的敘述如下：（推廣的積分第一中值定理）[8]若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)；（2）在上不變號，則至少存在一點，使得.當(dāng)時，為積分第一中值定理?？梢娫谕茝V的積分第一中值定理中，其的積分可以提到外面來等于某一個的函數(shù)值，這樣對于某些積分的估計是非常有幫助的，推廣的積分第一中值定理的運用非常靈活，Dini導(dǎo)數(shù)和對稱導(dǎo)數(shù)都是與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的，而他們都對應(yīng)存在相關(guān)的微分中值定理，有利于對微分中值定理的理解。四、參考依據(jù)[1]小堀憲．?dāng)?shù)學(xué)史[M]．東京：朝倉書店，1956.[2]陳寧.．微分中值定理的歷史演變．大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，(4)：96-99.[3]梁宗巨．?dāng)?shù)學(xué)家傳略辭典[M]．濟南：山東教育出版社，1989.[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.[5]楊萬必，龍鳴.微分中值定理的推廣[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報，2005，23（3）：31-32.[6]陳清明.Rolle中值定理的推廣[J].西南師范大學(xué)學(xué)報，2007，32(1)：140-142.[7]李艷敏，葉佰英.關(guān)于微分中值定理的兩點思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，9（5），50-51.[8]嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析第一冊[M].北京：高等教育出版社，2004：136-137.[9]路世英.關(guān)于微分中值定理中間值的討論[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2006，7(22)：61-62.[10]甘小冰陳之兵.CAUCHY微分中值定理的推廣[J].數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識2005.5第35卷第5期：233--237.[11]李仕瓊，梁波.積分第一中值定理的證明及推廣[J].重慶文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，8（3）：15-16.[12]吳慧伶.羅爾中值定理的推廣[J].新鄉(xiāng)師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報，2006，9（5）：21-22.[13]胡付高.Dini導(dǎo)數(shù)意義下的微分中值定理及其應(yīng)用[J].孝感學(xué)院學(xué)報,2001，21(3):10-11.[14]MukherjeaA.RealandFunctionalAnalysisM.NewYork:Mcgraw-Hill,1978.[15]陳玉會.對稱導(dǎo)數(shù)的新形式微分中值定理[J].淮陰工學(xué)院學(xué)報，2007，16(3)：19-20.[16]汪林.數(shù)學(xué)分析問題研究與評注[M].北京:科學(xué)出版社,1995.

目錄摘要…………………16英文摘要…………161引言…………171.1微分中值定理產(chǎn)生的背景………………171.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀……………181.3導(dǎo)數(shù)的定義………………181.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義……………182中值定理及其推廣定理………192.1羅爾中值定理及其推廣………………192.2函數(shù)的極值點與穩(wěn)定點………………212.3Lagrange中值定理及其推廣…………232.4柯西中值定理及其推廣………………243比較柯西中值定理與積分第一中值定理的…………………274Dini導(dǎo)數(shù)………………………294.1Dini導(dǎo)數(shù)的定義及相關(guān)引理……………294.2Dini導(dǎo)數(shù)的微分中值定理………………304.2.1Dini導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型…………304.2.2Dini導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型…………………304.2.3Dini導(dǎo)數(shù)的柯西中值定理型…………315對稱導(dǎo)數(shù)…………315.1對稱導(dǎo)數(shù)的定義…………315.2對稱導(dǎo)數(shù)的微分中值定理………………315.2.1對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型…………325.2.2對稱導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型……335.2.3對稱導(dǎo)數(shù)的柯西中值定理型……………33參考文獻……………33

微分中值定理的推廣摘要：本文主要研究推廣的微分中值定理，包括羅爾中值定理、Lagrange中值定理、柯西中值定理以及積分第一中值定理的推廣，進一步討論微分中值定理中值點的漸進性質(zhì)，特別針對Dini導(dǎo)數(shù)和對稱導(dǎo)數(shù)給出的相關(guān)的微分中值定理。關(guān)鍵詞：微分中值定理；推廣；導(dǎo)數(shù)；中值點；漸進性質(zhì)GeneralizedAnalysisOfDifferentialMeanValueTheoremLiShuiUniversity，collageofMathandPhysmathematicsandappliedmathematics:xiaomingInstructorteacher:ChengLiAbstract:Inthispaper,GeneralizedAnalysisofDifferentialMeanValueTheoremismainlystudied,includingtheTheoremofRoll,Lagrange,CauchyandFirstintegral.Theasymptoticbehaviorof“Interiorpoint”ontheDifferentialMeanValueTheoremisdiscussedfurther;EspeciallytheDini&symmetricderivative,thecorrelativeconclusionofDini&SymmetricDerivativetheoremsaregiven.Keywords:DifferentialMeanValueTheorem;Generalizeanalysis;Derivative;Interiorpoint;asymptoticbehavior

1引言中值定理是微分學(xué)的主要定理。導(dǎo)數(shù)是微積分重要內(nèi)容之一，是學(xué)好微積分的紐帶。它們在理論和實踐中都有著極其重要的作用，而它們的應(yīng)用范圍之廣、價值之高也是有目共睹的。因此，在以后的數(shù)學(xué)發(fā)展史中導(dǎo)數(shù)和微分也一直是人們研究的重點，一些重大的理論成果給后續(xù)的研究打下了基礎(chǔ)。在日漸深入的研究中，被發(fā)現(xiàn)的理論越來越多，研究的方向也越來越細。在前人研究的基礎(chǔ)上，本文首先介紹微分中值定理的產(chǎn)生背景以及國內(nèi)外狀況，然后從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來研究微分中值定理的一些相關(guān)的結(jié)論，包括羅爾中值定理、Lagrange中值定理以及積分第一中值定理的推廣等，進一步討論微分中值定理中值點的漸進性質(zhì)以及其他一些相關(guān)定理，并特別針對Dini導(dǎo)數(shù)和對稱導(dǎo)數(shù)給出的相關(guān)的微分中值定理的結(jié)論。以便我們更好、更清楚的看到導(dǎo)數(shù)和微分之間的聯(lián)系和區(qū)別，以及極限和連續(xù)在數(shù)學(xué)中的崇高地位。1.1微分中值定理產(chǎn)生的背景人們對微分中值定理的認(rèn)識可以追溯到公元前古希臘時代。古希臘數(shù)學(xué)家在幾何研究中,得到如下結(jié)論:“過拋物線弓形的頂點的切線必平行于拋物線弓形的底”,這正是拉格朗日定理的特殊情況。希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德正是巧妙地利用這一結(jié)論,求出拋物弓形的面積[1]。人們對中值定理的研究,大約經(jīng)歷了二百多年的時間。從費馬定理開始,經(jīng)歷了從特殊到一般,從直觀到抽象,從強條件到到弱條件的發(fā)展階段.微分中值定理的形成歷史和發(fā)展過程深刻地揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展是一個推陳出新、吐故納新的過程,是一些有力工具和更簡單方法的發(fā)現(xiàn)與一些陳舊的、復(fù)雜的東西被拋棄的過程,是一個由低級向高級發(fā)展過程，是分析、代數(shù)和幾何統(tǒng)一的過程。[2]意大利卡瓦列里在<<不可分量幾何學(xué)>>(1653年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理,其中引理3基于幾何的觀點也敘述了同樣一個事實:“曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦”。1673年,著名法國數(shù)學(xué)家費馬在<<求最大值和最小值的方法>>中給出費馬定理。1691年,法國數(shù)學(xué)家羅爾在<<方程的解法>>一文中給出多項式形式的羅爾定理。1797年,法國數(shù)學(xué)家拉格朗日在<<解析函數(shù)論>>一文中給出拉格朗日定理,并給出最初的證明。對微分中值定理進行系統(tǒng)研究的是法國數(shù)學(xué)家柯西,他是數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化運動的推動者,他的三部巨著<<分析課程>>,<<無窮小計算教程概論>>(1823年),<<微分計算教程>>(1829年),以嚴(yán)格化為主要目標(biāo),對微分理論進行了重構(gòu)。[3]1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀、發(fā)展動態(tài)近年來，國內(nèi)外專家學(xué)者對微積分學(xué)中值定理的研究興趣與日俱增，他們多方位、多角度、多途徑地對微積分學(xué)中值定理的條件、結(jié)論進行了廣泛的拓展，取得了一系列研究成果。這些研究，既豐富了微積分學(xué)中值定理的內(nèi)容，又完善了微積分學(xué)中值定理的研究體系，同時也給出了一些新的研究方法，促進了微積分學(xué)教學(xué)研究工作的開展，推動了課程教學(xué)改革的深入進行。1.3導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)是微積分重要內(nèi)容之一，是學(xué)好微積分的紐帶。本文先介紹導(dǎo)數(shù)的有關(guān)概念和定義。導(dǎo)數(shù)的概念與物理上的直線運動的瞬時速度密切相關(guān)，下面我們以這個問題為背景引入導(dǎo)數(shù)的概念。設(shè)一質(zhì)點作直線運動，其運動規(guī)律為，若為某一確定的時刻，為鄰近于的時刻，則是質(zhì)點在時段上的平均速度。若時平均速度的極限存在，則稱極限為質(zhì)點在時刻的瞬時速度。下面給出導(dǎo)數(shù)的定義定義1.1設(shè)函數(shù)在點及其某個鄰域內(nèi)有定義，對應(yīng)于自變量在的改變量，函數(shù)相應(yīng)的改變量，如果當(dāng)時，極限存在，則稱函數(shù)在點可導(dǎo)，并稱此極限值為函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，記作。[4]1.4導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線在點處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程。具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點處的切線的斜率；(2)在已知切點坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為.特別地，如果曲線在點處的切線平行于軸，這時導(dǎo)數(shù)不存在.根據(jù)切線定義，可得切線方程為。[4]。2中值定理及其推廣定理微分中值定理在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)以及曲線的某些性態(tài)中具有十分重要的作用，應(yīng)用這些定理可以解決一些實際問題。本節(jié)內(nèi)容基于微分中值定理的基礎(chǔ)，來做一些推廣，以易于進一步理解微分中值定理。[5]2.1羅爾中值定理及其推廣(羅爾中值定理)[4]若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；(iii)，則在內(nèi)至少存在一點，使得羅爾中值定理的幾何意義是說：在每一點都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條水平切線。[4]定理中要求在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，這一條件應(yīng)該說比較強，若把定理的條件(ii)減弱為在開區(qū)間內(nèi)處處左可導(dǎo)，我們自然會問，在內(nèi)是否存在一點，使得？答案是否定的。例如設(shè)，，顯然在內(nèi)處處左可導(dǎo)，但對任意的，都有。現(xiàn)在我利用左導(dǎo)數(shù)來推廣羅爾中值定理，即定理1。定理1：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)左可導(dǎo)；(iii)，則存在，使得.證：因在上連續(xù)，所以在上取到最大值M和最小值，若，則在上必為常數(shù)，結(jié)論顯然成立；若，則因，使得最大值和最小值至少有一個在內(nèi)某點處取得，設(shè)是的最小值點，于是取，因在上連續(xù)，則存在，使為在上的最大值，從而注：事實上，若Rolle中值定理的條件滿足，則，，由定理1，存在，使得，如果，則結(jié)論顯然成立，如果，則在或上應(yīng)用達布定理，存在，使得。定理2[6]：(i)在閉區(qū)間連續(xù)；(ii)在內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)，則存在，使得證：作函數(shù)，對應(yīng)用推廣定理1即可得。羅爾中值定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的特例，也是三個微分中值定理中條件最苛刻，結(jié)論最簡單的。羅爾中值定理的逆定理似乎應(yīng)該這樣描述：設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若在點處，有，則存在，使得。事實上，上述命題是不成立的。例如：考慮。顯然，在[-a,a]上連續(xù)，在(-a,a)內(nèi)可導(dǎo)，，但是不存在，使得。因此羅爾中值定理的逆定理是不成立的。但是，可以在一定的附加條件下討論微分中值定理的逆定理，即在具有嚴(yán)格單調(diào)導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)光滑曲線上討論洛爾中值定理的“逆定理”。[6]羅爾中值定理作為微分中值定理之一，經(jīng)常用來證明零值點的存在性、最值問題和其他中值定理。由于定理中的三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立[8]?，F(xiàn)將第二個條件放寬到有限點的導(dǎo)數(shù)為或。這個推廣已有，但我給出的證明方法我覺得更易懂。羅爾中值定理推廣定理[12]設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)上除有限個點的導(dǎo)數(shù)為或外，其他點的導(dǎo)數(shù)都存在，且，則至少存在一點，使得。證明因為在[a,b]上連續(xù)，所以有最大值M與最小值M，現(xiàn)分兩種情況來討論。1)若m=M，則在[a,b]上必為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。2)若m<M，則因使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)內(nèi)某點處取得，從而是的極值點。下面證明極值點不可能在導(dǎo)數(shù)為或點取得。設(shè)的情況類似)，且(的情況類似)，即所以存在的鄰域，當(dāng)時，有。當(dāng)時，有。當(dāng)，；當(dāng)，。因而ζ只能在導(dǎo)數(shù)不為或的點處上，那么在其他點上取得，又在其他點上導(dǎo)數(shù)存在，那么由費馬定理有。2.2函數(shù)的極值點與穩(wěn)定點函數(shù)的極值不僅在實際問題中占有重要的地位，而且也是函數(shù)性態(tài)的一個重要特征。而在解題過程中往往會遇到一些問題涉及極值點的判定，它和穩(wěn)定點之間又有什么關(guān)系呢？穩(wěn)定點一定是極值點嗎？本節(jié)內(nèi)容來介紹一下所提的問題。定義2.1[5]若存在點的一個領(lǐng)域，使在中有則稱點為的一個極小點(極大點)，為的極小值(極大值)。極小點和極大點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值。注意，函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的三個條件，那么在內(nèi)至少存在一點，使得.滿足的點為穩(wěn)定點(也稱駐點)，顯然，若可導(dǎo)，則極值點必是穩(wěn)定點，但函數(shù)的穩(wěn)定點未必是它的極值點，例如是的穩(wěn)定點，但顯然不是極值點。那么哪些穩(wěn)定點為函數(shù)的極值點呢？下面給出判別法。引理設(shè)函數(shù)在點連續(xù)，若存在，使當(dāng)時，當(dāng)時，則在點點取極大(極小)值。定理1[5](極大值、極小值判別定理)設(shè)函數(shù)在點兩次可導(dǎo)，且，則當(dāng)時，在點取極小值；當(dāng)時，在點取極大值。證：以的情形為例，，以及極限的保號性，知存在，使得當(dāng)時，由此可見，當(dāng)時，；而當(dāng)時，。按引理，在點取極小值。定理2[8](極值點唯一判別定理)若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo)；(iii),(iv)對任意，，則存在唯一的，使得，即存在唯一的極值點。證：的存在性可以有羅爾中值定理保證，下證唯一性：假設(shè)同時存在，，使得則在上滿足羅爾中值得三個條件，則，使得，這與已知條件矛盾，所以存在唯一的，使得，顯然存在唯一的極值點。2.3Lagrange中值定理及其推廣(拉格朗日lagrange中值定理)若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在內(nèi)至少存在一點，使得顯然，特別當(dāng)時，本定理的結(jié)論即為羅爾定理的結(jié)論。這表明羅爾定理是拉格朗日定理的一個特殊情形。拉格朗日中值定理的幾何意義是：在滿足定理條件曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線。[5]看清楚這點，可以用幾何解釋進行思考解題，例題如下：例：設(shè)是可微函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)遞增，若，試證：對一切，有（不得直接用凸函數(shù)的性質(zhì)）。分析：任意取一點，要證，如圖作弦AC，BC.圖（1）應(yīng)用Lagrange中值定理，，，使得導(dǎo)數(shù)分別等于AC，BC弦的斜率，但因嚴(yán)增，所以。這就得到（AC弦的斜率）<（BC弦的斜率）：這便得到函數(shù)的不等式，注意到，移項即得2.4柯西中值定理及其推廣（柯西中值定理）若函數(shù)滿足：(i)在上連續(xù)；(ii)在內(nèi)可導(dǎo)；(iii)，則在內(nèi)至少存在一點，使關(guān)于柯西中值定理我們有如下定理：定理1[9]若函數(shù)在上滿足柯西中值定理條件，函數(shù)在點存在階導(dǎo)數(shù)，且,或，但，如柯西中值定理所取，則為證明此定理，先證明以下引理：引理：若函數(shù)在點存在階導(dǎo)數(shù),且，或，但（n2），則證明：當(dāng)n=1時，由導(dǎo)數(shù)定義得，得===，當(dāng)n2時，連續(xù)使用n-1次洛必達法則，得=，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義得:.證畢。定理1的證明：考慮函數(shù)，根據(jù)柯西中值定理得，，因為函數(shù)在上符合引理條件，而又介于a和x之間，所以，另一方面，，根據(jù)洛必達法則，再根據(jù)引理，導(dǎo)數(shù)定義以及在a點連續(xù)(根據(jù)已知條件能夠保證在a點連續(xù)且，得由,式，再考慮到得即證畢。可見Lagrange中值定理柯西中值定理當(dāng)時的特例。[9]在定理1中，令，可得以下推論：推論若在上連續(xù)，在點存在階導(dǎo)數(shù)，且或而，如Lagrange中值定理所取，則。至此，對極限討論已經(jīng)結(jié)束，現(xiàn)討論在一定條件下“中值點”的唯一性：定理2[9]若函數(shù)滿足下列條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)；(iii)對任意，，則在內(nèi)存在唯一的，使得證明：由Lagrange中值定理知，點是存在的，下面證明點的唯一性（反證法）假設(shè)存在，使，由于函數(shù)在區(qū)間[]上滿足羅爾定理的條件，所以至少存在一點，使，這與題設(shè)相矛盾，所以結(jié)論成立。經(jīng)過以上微分中值定理的敘述以及進一步的了解，我們可以得出羅爾中值定理，Lagrang中值定理，柯西中值定理三個定理的關(guān)系如下：三個定理中的條件都是充分但非必要。以Rolle定理為例，三個條件缺一不可。(1）不可導(dǎo)，不一定存在；(2）不連續(xù)，不一定存在；(3），不一定存在?！安灰欢ù嬖凇币馕吨话闱闆r如下：Rolle定理不再成立。但仍可知有的情形發(fā)生。如，x[-1,1]不滿足Rolle定理的任何條件，但存在無限多個(-1,1)，使得。（4）Lagrang定理中涉及的公式：稱為“中值公式”。這個定理也稱為微分基本定理。中值公式有不同形式：（ⅰ），(a,b)；（ⅱ），0<<1；（ⅲ），0<<1.此處，中值公式對a<b，a>b均成立。此時在a，b之間；（ⅱ）、（ⅲ）的好處在于無論a，b如何變化，易于控制。[10]3比較柯西中值定理與積分第一中值定理的現(xiàn)對相應(yīng)的柯西中值定理以及積分中值定理中的作平行的對比，羅爾中值定理和Lagrange中值都是對于一個函數(shù)而言的，而柯西中值定理以及推廣的積分第一中值定理是對于兩個函數(shù)而言的(這里主要針對教材上提出的上述定理)，從而定理的條件也有一定的不同，柯西中值定理要求不同時為零，其得出的結(jié)論是存在，使得，而推廣的積分第一中值定理的敘述如下：（推廣的積分第一中值定理）[11]若函數(shù)滿足：（1）在上連續(xù)；（2）在上不變號，則至少存在一點，使得.當(dāng)時，為積分第一中值定理?？梢娫谕茝V的積分第一中值定理中，其的積分可以提到外面來等于某一個的函數(shù)值，這樣對于某些積分的估計是非常有幫助的，推廣的積分第一中值定理的運用非常靈活，見例題。例：若，，求證：證明：記=，，。根據(jù)推廣的積分第一中值定理，，而0<.現(xiàn)考慮，且,則.設(shè)，，當(dāng)時，有；.則有.所以有。證畢。4Dini導(dǎo)數(shù)本文在前面已經(jīng)介紹了導(dǎo)數(shù)的概念，，從而得出了很多結(jié)論，在這里將介紹一下與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概念—Dini導(dǎo)數(shù)。它的思路與導(dǎo)數(shù)大致相同，可推廣其相應(yīng)到中值定理。4.1Dini導(dǎo)數(shù)的定義及相關(guān)引理定義1設(shè)是有限閉區(qū)間，是實函數(shù)，如，我們稱為函數(shù)在點的右上導(dǎo)數(shù)。類似地定義右下導(dǎo)數(shù)、左上導(dǎo)數(shù)、左下導(dǎo)數(shù)：這些就是Dini導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然左上和左下導(dǎo)數(shù)需設(shè)函數(shù)在點的左領(lǐng)域。引理1[13]，.由引理1知，對與可以轉(zhuǎn)化為與的討論，因此，下面各結(jié)論中關(guān)于與分別換成與后仍然成立。引理2[14]設(shè)是上的實值函數(shù)，存在，則有i)；ii).引理3[13]設(shè)函數(shù)在極值點處的Dini導(dǎo)數(shù)與均有界，則存在，使得。證：不妨設(shè)是極大值，存在，當(dāng)時有：因此當(dāng)時，有所以；同理可證；若，取，結(jié)論成立；若,令，則時，。4.2Dini導(dǎo)數(shù)的微分中值定理4.2.1Dini導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)與均有界，且，則至少存在一點以及，使得。證：因為在上連續(xù)，所以存在最大值和最小值，則存在極值點不妨設(shè)為，根據(jù)引理3得證。[13]4.2.2Dini導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)與均有界，且，則至少存在一點以及，使得證：作函數(shù)，由引理2可得，，則滿足Dini導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型中所以條件，從而存在以及，使，整理此式既得結(jié)論。[13]4.2.3Dini導(dǎo)數(shù)的柯西中值定理型設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)與均有界，而在內(nèi)可導(dǎo)，并且，則至少存在一點以及，使得證：首先可以肯定，作函數(shù)，并運用Dini導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型立即得證。[13]5對稱導(dǎo)數(shù)本文在前面已經(jīng)介紹了導(dǎo)數(shù)的概念，，從而得出了很多結(jié)論，在這里將介紹一下與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概念—對稱導(dǎo)數(shù)。它的思路與導(dǎo)數(shù)大致相同，可推廣其相應(yīng)到中值定理。5.1對稱導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)函數(shù)是定義在開區(qū)間上的函數(shù)，是的閉子區(qū)間，。若極限存在，則稱此極限為在點的對稱導(dǎo)數(shù)，記做。若，則稱為中心差商極限。[15]5.2對稱導(dǎo)數(shù)的微分中值定理[16]5.2.1對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型引理設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，，（或），函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點對稱可導(dǎo)，則存在，使得，（或）。定理設(shè)在上連續(xù)，，若函數(shù)在內(nèi)每一點對稱可導(dǎo)，則存在，.證：因為在上連續(xù)，,(i)若，則對，有；(ii)若，不妨設(shè)，由引理知在上，存在，使得，在上，存在，使得。綜上所述，存在，。5.2.2對稱導(dǎo)數(shù)的Lagrange中值定理型若函數(shù)滿足如下條件：(i)在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)在開區(qū)間上有對稱導(dǎo)數(shù)，則存在，使得.證：作輔助函數(shù)顯然，且有，在上滿足對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型的另外兩個條件，根據(jù)對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型，存在，使得，即；綜上所述存在，使得。5.2.3對稱導(dǎo)數(shù)的柯西中值定理型若函數(shù)滿足如下條件：(i)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)；(ii)函數(shù)，在開區(qū)間上有對稱導(dǎo)數(shù)；(iii)在上，，則存在，使得.證：作輔助函數(shù)顯然，且有，在上滿足對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型的另外兩個條件，根據(jù)對稱導(dǎo)數(shù)的羅爾中值定理型，存在，使得，即；綜上所述存在，使得。[12]本文主要對微分中值定理進行了一些推廣，從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)來研究微分中值定理的一些相關(guān)的結(jié)論，包括羅爾中值定理、Lagrange中值定理以及柯西中值定理的推廣等，其中特別對羅爾中值定理深入了解得到了一些定理，并對已有的定理的證明進行整理。進一步討論微分中值定理中值點的漸進性質(zhì)以及其他一些相關(guān)定理，并特別針對與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的Dini導(dǎo)數(shù)和對稱導(dǎo)數(shù)，給出其相應(yīng)的微分中值定理的結(jié)論。使我們更好、更清楚的看到導(dǎo)數(shù)和微分之間的聯(lián)系。參考文獻：[1]小堀憲.數(shù)學(xué)史[M].東京：朝倉書店，1956.[2]陳寧.微分中值定理的歷史演變.大學(xué)數(shù)學(xué)，2003，(4)：96-99.[3]梁宗巨.數(shù)學(xué)家傳略辭典[M].濟南：山東教育出版社，1989.[4]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊[M].北京：高等教育出版社，2004：87-88，119-125.[5]楊萬必，龍鳴.微分中值定理的推廣[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報，2005，23（3）：31-32.[6]陳清明.Rolle中值定理的推廣[J].西南師范大學(xué)學(xué)報，2007，32(1)：140-142.[7]李艷敏，葉佰英.關(guān)于微分中值定理的兩點思考[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005，9（5），50-51.[8]嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然.數(shù)學(xué)分析第一冊[M].北京：高等教育出版社，2004：136-137.[9]路世英.關(guān)于微分中值定理中間值的討論[J].吉林省教育學(xué)院學(xué)報，2006，7(22)：61-62.[10]甘小冰，陳之兵.CAUCHY微分中值定理的推廣[J].數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-增生算子的性質(zhì)及其在變分包含中的應(yīng)用張旭，葉志強（西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計數(shù)學(xué)院，重慶400715；重慶師范大學(xué)初等教育學(xué)院，重慶400700）摘要：建立了算子是-增生算子的充分和必要條件，并討論了Banach空間中的一類新的含有H-增生算子的廣義變分包含問題。關(guān)鍵字：-增生算子；預(yù)解算子；廣義集值擬分包含在2004年的第一期中介紹了一類廣義的增生算子命名為H-增生算子。本文中，假設(shè)是一個連續(xù)單值的強增生，我們首先證明如果當(dāng)且僅當(dāng)是m-增生時，多階的增生算子是-增生。其次，我們證明與預(yù)解算子的Lipschitz連續(xù)的一個強增生算子，估計它的Lipschitz常數(shù)。然后，我們介紹并學(xué)習(xí)Banach空間中的一類新的含有-增生算子的廣義變分包含問題。我們總結(jié)了很多一直的相應(yīng)結(jié)果。1強H-增生算子的性質(zhì)我們假設(shè)是一個真Banach空間和對偶空間，(兩維,）是（全部非空子集）這家族的所有非空有界閉子集。沃爾夫拉姆表示對偶映射到，定義為，那么表示廣義對偶配對。引理1.是光滑Banach空間，若是m-增生，對任一,若圖形，成立。那么當(dāng)有Graph。證明.假設(shè)存在，有（1）當(dāng)，我們有。從M是m-增生，得到.當(dāng)存在,使得，也就是。在（1）中取，有。從而有，當(dāng)且僅當(dāng)。當(dāng)，，我們得到與假設(shè)矛盾。即得證。引理2.是光滑Banach空間，若是m-增生多階算子，是連續(xù)單值強增生。對任意,有，方程有唯一解。證明.可參照第二期的命題2.1中易證。定理1.是光滑Banach空間，若是強的嚴(yán)格單值算子，有一個多階算子是m-增生當(dāng)且僅當(dāng)是-增生。證明.充分性：假設(shè)不是m-增生，若符合引理1，即存在，使得，（2）當(dāng)是-增生,我們有，那么存在，有，也就是，（3）令符合（2）的條件，有，（4）（3）（4）隱含了。當(dāng)是嚴(yán)格，我們有（當(dāng)是取“=”）。有上述知，我們有，當(dāng)且僅當(dāng)。必要性：當(dāng)是連續(xù)單值強增生，且是m-增生多階算子，符合引理2，即，從-增生證明中（見第一期中的證明2.1），我們有是-增生。使H是連續(xù)的強增生且M是強H-增生。接下來證明Lipschitz預(yù)解算子連續(xù)聯(lián)系強H-增生并且估算它的Lipschitz常數(shù)。（格式不對?。┒ɡ?.是光滑Banach空間，若是連續(xù)單值的-強增生，是強-增生，常數(shù)，預(yù)解算子是Lipschitz連續(xù)，存在常數(shù)，使得。證明.令是任給的點。符合的定義（見[1]的定義3）有和。定義和。當(dāng)M是強-增生，常數(shù)，有=，有因此。2變分包含在續(xù)論中，除非另有說明，我們通常假設(shè)是光滑Banach空間是集值映射，和是單值映射，令是-增生算子。我們考慮廣義的集值準(zhǔn)變分包含問題：找，有（5）注釋選擇適合映射,容易看出問題（5）包括很多變分不等式（包含）和作為特殊例子互補問題；見[3-7]涉及其中。針對問題（5），我們考慮一下廣義的解決方程問題；找，使得當(dāng),是一個恒等算子，是預(yù)解算子，常數(shù)，有（6）方程（6）被稱為廣義解算子。接下來我們建立問題（5）和（6）的等價性。命題1.當(dāng)。（7）問題（5）有解，且，當(dāng)且僅當(dāng)問題（6）有解且。證明.直接證明和的定義。我們現(xiàn)在條用命題1來提出在Banach空間中解決下面問題（5）的算法。算法1.對任給，從（7）中，有令。由，Nadler’s定理易得到，如果存在有其中是上的Hausdorff空間。令和。重復(fù)Nadler’s定理，存在，有連續(xù)這種算法，我們可以得到以下：對任給，計算序列，迭代格式如下。定理3.是光滑Banach空間，是-單值Lipschitz常數(shù)和-強增生，是-強的H-增生映射，是分別為常數(shù)的-Lipschitz映射，令是-強增生和Lipschitz連續(xù)且有常數(shù)。假設(shè)是Lipschitz連續(xù)且有常數(shù)，是Lipschitz連續(xù)，在第一論證方面到且有常數(shù)和第二論證方面到且有常數(shù).若（8）存在適合問題（5）和產(chǎn)生于算法1的迭代序列分別強收斂于中的。證明.當(dāng)是-Lipschitz連續(xù)和-強增生，從[8]中的引理1有，對任給,我們得到隱含有（9）從算法1和定理1，得到（10）當(dāng)是-Lipschitz連續(xù)和是-Lipschitz連續(xù),我們有（11）當(dāng)用Lipschitz連續(xù)于在第一論證方面到和第二論證方面到，其中分別有常數(shù)。有（12）當(dāng)是是Lipschitz連續(xù)，對于常數(shù)，得到(13)從（11）-（13），（10）可以寫成（14）于是由（9）和（14），令當(dāng)時有。由（8）。有。當(dāng)我們因此有是上的Cauchy序列。當(dāng)是光滑Banach空間，存在，使得當(dāng)有因此是上的Cauchy序列。于是存在使得?，F(xiàn)在，通過這種連續(xù)用算法1有算子然后我們證明，事實上，從和有隱含。當(dāng)，有。同樣地，我們也可以證明。然后從命題1中可以得到結(jié)論。參考文獻：[1]FangYa-ping,HuangNan-jing.H-AccretiveOperatorsandRresolventOperatorTechniqueforSlovingVariationalInclusionsinBanachSpace[J].AppliedMathematics,2004,17:647-653.[2]Moraled.TheMannProcessforPerturbedm-AccretiveOperatorsinBanachSpace[J].NonlinearAnalysis,2001,46:231-243.[3]ChangSS,ChoYJ,LeeBS,JungIH.GeneralizedSet-ValuedImplicitVariationalInclusionsinBanachSpace[J].JMathAnalAppl,2000,246:409-422.[4]HuangNan-jing.ANewClassofGeneralizedSet-ValuedVariationalInclusionsinBanachSpacewithanApplications[J].ComputMathAppl,2005,41(7/8):937-943.[5]AhamaadR,AnsariQH,Irfanss.GeneralClassofVariationalInclusionsandGeneralizedResolventEquationsinBanachSpace[J].ComputMathAppl,2005,49:1825-1835.[6]HuangNan-jing.ANewCompletelyGeneralClassofVariationalInclusionswithNoncompactValuedMappings[J].ComputMathAppl,1998,35(10):9-14.[7]FangYa-ping,HuangNan-jing.H-MonotoneOperatorsandRresolventOperatorTechniqueforVariationalInclusions[J].ApplMathComput,2003,145:795-803.[8]JongSooJung.IterativeApproachestoCommonFixedPointsofNonexpansiveMappingsinBanachSpace[J].JMathAnalAppl,2005,302:509-520.[9]NoorMA.GeneralizedSet-ValuedVariationalInclusionsandResolventEquatings[J].JMathAnalAppl,1998,228:206-220.

帶有對稱函數(shù)的實四數(shù)矩陣的廣義數(shù)值半徑 夏鐵成張鴻慶（大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，遼寧大連116024）（錦州師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧錦州121000）摘要：本文定義了帶有對稱函數(shù)的實四無數(shù)矩陣的廣義數(shù)值半徑并得到了它們所滿足的不等式.關(guān)鍵詞：數(shù)值半徑；廣義數(shù)值半徑；對稱函數(shù)1.介紹讓分別定義為實復(fù)合領(lǐng)域并令為實四元數(shù)體有基｝。令，定義是的共軛，當(dāng)且僅當(dāng)，然后當(dāng)，。同時已知是范數(shù)，容易驗證以下：當(dāng)且僅當(dāng)(1)(2)我們用是酉矩陣的集合。是上的維距離。有，令，和是階初等對稱，分別為完全對稱函數(shù)，從而由(1)和(2)有(3)(4)當(dāng)表示的所有嚴(yán)增長序列的所有正整數(shù)。如果適合其中被認(rèn)為是上的可以推廣的雙重矩陣(［1］)。定理1如果，是廣義雙重矩陣［1］。定理2［2］令，，有其中代表弱優(yōu)化(可見［6］)?！?.主要結(jié)果及其證明令是對角衲安元素的向量。相應(yīng)到復(fù)雜領(lǐng)域上的廣義數(shù)值半徑和對稱函數(shù)(［2］),我們可以定義四元數(shù)體上的廣義數(shù)值半徑如下(5)(6)也介紹了(7)相應(yīng)到(5)(6)和(7)，定義(8)(9)(10)如果，有（11）（12）（13）(11)，(12)和(13)分別是復(fù)雜領(lǐng)域上的數(shù)值半徑和維數(shù)值半徑，和在［3］中研究的一樣，他們僅僅是數(shù)值半徑的特殊情況。如果讀者想進一步了解它，可見第［4］,［5］頁。以下證明是主要結(jié)果定理假設(shè)，有代表的單值。令是正實數(shù)的集合。有證明對任意，，令，有。根據(jù)定理1,是雙重隨機矩陣。利用的奇分解，存在得到?？梢钥吹?14)令。和都是酉矩陣，有因此(14)成立.我們可以從(3)中進一步計算得到（15）令，不失一般性，假設(shè)，對任給，令，有。因此對任意，有（16）(16)隱含。符合定理1.2和(15)。。我們討論的與(4)的注意點一樣,即成立。§3.若干開放題通過這些結(jié)果有下面兩個有趣的開放題：:（i）通過以上定理,能使變成嗎？(ⅱ)對于，哪些滿足不等式或是精確值？參考文獻:［1］LIUJan-zhou.Majorizationtheoryofquaternionfield［J］.ActaMathSinica1992,2:379-383.［2］LEITG.Onthegeneralizedcongruencenumericalrangewiththecompletelysymmetricfunction［J］.LinearandMultilinearAlgebra1995,40:47-59.［3］XIATie-cheng.Onthenumericalradiusofrealquaternionmatrices［J］.ChineseQuarterlyJofMath,1999,14(4):50-55.［4］CAOCG.Thenumericalradiusofrealquaternionmatrix［J］.JofXinjiangUniv,1990,2:35-39.(AlsoseeMR.89k15031)［5］ZHANGFu-zhen.Quaternion’sandquaternionmatrices［J］.LinearAlgebraAppl,［6］MARSHALL,OLKIN.Inequalities:Theoryofmemorizationanditsapplications［M］.NewYork:AcademicPress,1997.Receiveddate:2000-02-29目錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章總論 1第一節(jié)項目背景 1第二節(jié)項目概況 2第二章項目建設(shè)必要性 5第三章市場分析與建設(shè)規(guī)模 7第一節(jié)汽車市場需求分析 7第二節(jié)市場預(yù)測 12第三節(jié)項目產(chǎn)品市場分析 13第四節(jié)建設(shè)規(guī)模 16第四章場址選擇