數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第二章數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

——楊玲109020002目錄2.1圓弧樣條2.1.1圓弧樣條的構(gòu)造方法2.1.2圓弧樣條的光順處理2.2局部坐標(biāo)下的分段三次樣條2.3B樣條簡介2.3.1B樣條的定義2.3.2B樣條的幾個重要性質(zhì)2.3.3B樣條曲線類型的劃分2.4有理B樣條曲線、曲面2.4.1NURBS曲線與曲面2.4.2NURBS曲線的定義2.4.3權(quán)因子的幾何意義2.4.4非均勻有理B樣條（NURBS）曲面2.5拋物線擬合2.6曲線的2次逼近

2.1圓弧樣條圓弧樣條就是用圓弧這一最簡單的二次多項(xiàng)式模擬樣條，分段組成一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)。圓弧樣條是我國在1977年創(chuàng)造的一種擬合方法，在具有圓弧插補(bǔ)功能的數(shù)控系統(tǒng)中，采用圓弧樣條可以直接輸出圓弧信息，避免了用其他擬合方法還需進(jìn)行二次逼近處理的過程，減少了誤差環(huán)節(jié)。2.1.1圓弧樣條的構(gòu)造方法圓弧樣條是已知型值點(diǎn)Pi（xi,yi）(i=1,2,...,n),過每一個Pi點(diǎn)作一段圓弧，且使相鄰圓弧在相鄰節(jié)點(diǎn)（如Pi和Pi+1）的弦平分線上相交并相切，則使整條曲線在各連接點(diǎn)處達(dá)到位置和切線的連續(xù)。如圖2-1所示，圓弧段分別過點(diǎn)P1,P2,...,Pn-1,Pn，過點(diǎn)P1及P2的兩段圓弧在P1P2弦平分線上相交并相切。這就是圓弧樣條的構(gòu)造方法。2.1.2圓弧樣條的光順處理圓弧樣條擬合時，規(guī)定過每一型值點(diǎn)Pi（i=0,1,...,n）作一段圓弧。當(dāng)曲線轉(zhuǎn)折較大時，如果型值點(diǎn)給得較稀，可能出現(xiàn)型值點(diǎn)處曲率變號情況，這時擬合出的曲線可能出現(xiàn)拐點(diǎn)。為了防止這一現(xiàn)象，通常限制和的比值若超出此范圍，則可在Pi和Pi+1點(diǎn)之間加密一個點(diǎn)。補(bǔ)加點(diǎn)可取在Pi、Pi+1處弦切角和組成的三角形內(nèi)心上，也可取在PiPi+1的中垂線上。插入補(bǔ)加點(diǎn)后，要重排點(diǎn)的次序，重新進(jìn)行計算。下面是補(bǔ)加點(diǎn)在中垂線上時的計算過程。

如圖所示，在局部坐標(biāo)系中，補(bǔ)加點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)PiPi+1與參考坐標(biāo)系中x軸的夾角為時，有在參考坐標(biāo)系中，補(bǔ)加點(diǎn)的坐標(biāo)為2.2局部坐標(biāo)下的分段三次樣條這一擬合方法是在給定的每兩相鄰值點(diǎn)間建立局部坐標(biāo)系內(nèi)的三次曲線方程，通過迭代使每兩個中間型值點(diǎn)左右兩端曲線達(dá)位置及切線連續(xù)，且點(diǎn)點(diǎn)通過型值點(diǎn)。這樣求出來的曲線連續(xù)且與實(shí)際要求的曲線誤差較小。2.3B樣條簡介Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：Bezier曲線或曲面不能作局部修改；Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出的樣條方法,提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優(yōu)點(diǎn)的同時，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。2.3.1B樣條的定義如何理解B-樣條？樣條插值，三對角方程(函數(shù)、參數(shù))給定分劃，所有的B樣條的全體組成一個線性空間，線性空間有基函數(shù)，這就是B樣條基函數(shù)由B樣條基函數(shù)代替Bezier曲線中的Bernstein基函數(shù)，即B樣條曲線。B樣條曲線的方程定義為：

是控制多邊形的頂點(diǎn)

(i=0,1,..,n)稱為k階（k-1次)B樣條基函數(shù)

B樣條基函數(shù)是一個稱為節(jié)點(diǎn)矢量的非遞減的參數(shù)t的序列所決定的k階分段多項(xiàng)式，也即為k階（k-1次)多項(xiàng)式樣條。德布爾和考克斯（deBoor&Cox）遞推定義并約定2.3.2B樣條的幾個重要性質(zhì)

局部性。k階B樣條曲線上參數(shù)為

的一點(diǎn)至多與k個控制頂點(diǎn)

有關(guān)，與其它控制頂點(diǎn)無關(guān)；移動該曲線的第i個控制頂點(diǎn)Pi至多影響到定義在區(qū)間

上那部分曲線的形狀，對曲線的其余部分不發(fā)生影響。

局部支承性連續(xù)性

P(t)在r重節(jié)點(diǎn)處的連續(xù)階不低于k-1-r。

凸包性

P(t)在區(qū)間上的部分位于k個點(diǎn)的凸包內(nèi)，整條曲線則位于各凸包的并集之內(nèi)。

權(quán)性分段參數(shù)多項(xiàng)式

P(t)在每一區(qū)間上都是次數(shù)不高于k-1的參數(shù)t的多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)公式微分公式2.3.3B樣條曲線類型的劃分B樣條曲線類型的劃分曲線按其首末端點(diǎn)是否重合，區(qū)分為閉曲線和開曲線。B樣條曲線按其節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)的分布情況，可劃分為四種類型。均勻B樣條曲線

節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)為沿參數(shù)軸均勻或等距分布，所有節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度為常數(shù)。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了均勻的B樣條基。準(zhǔn)均勻B樣條與均勻B樣條曲線的差別在于兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了準(zhǔn)均勻的B樣條基。均勻B樣條曲線沒有保留Bezier曲線端點(diǎn)的幾何性質(zhì)，即樣條曲線的首末端點(diǎn)不再是控制多邊形的首末端點(diǎn)。采用準(zhǔn)均勻的B樣條曲線解決了這個問題分段Bezier曲線節(jié)點(diǎn)矢量中兩端節(jié)點(diǎn)具有重復(fù)度k，所有內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度為k-1，這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了分段的Bernstein基。B樣條曲線用分段Bezier曲線表示后，各曲線段就具有了相對的獨(dú)立性，移動曲線段內(nèi)的一個控制頂點(diǎn)只影響該曲線段的形狀，對其它曲線段的形狀沒有影響。并且Bezier曲線一整套簡單有效的算法都可以原封不動地采用。缺點(diǎn)是增加了定義曲線的數(shù)據(jù)，控制頂點(diǎn)數(shù)及節(jié)點(diǎn)數(shù)。非均勻B樣條曲線

任意分布的節(jié)點(diǎn)矢量 ，只要在數(shù)學(xué)上成立（節(jié)點(diǎn)序列非遞減，兩端節(jié)點(diǎn)重復(fù)度≤k，內(nèi)節(jié)點(diǎn)重復(fù)度≤k-1）都可選取。這樣的節(jié)點(diǎn)矢量定義了非均勻B樣條基。2.4有理B樣條曲線、曲面給定參數(shù)軸u和v的節(jié)點(diǎn)矢量

p×q階B樣條曲面定義如下

構(gòu)成一張控制網(wǎng)格，稱為B樣條曲面的特征網(wǎng)格。和是B樣條基，分別由節(jié)點(diǎn)矢量U和V按deBoor-Cox遞推公式?jīng)Q定。2.4.1NURBS曲線與曲面B樣條曲線包括其特例的Bezier曲線都不能精確表示出拋物線外的二次曲線，B樣條曲面包括其特例的Bezier曲面都不能精確表示出拋物面外的二次曲面，而只能給出近似表示。提出NURBS方法，即非均勻有理B樣條方法主要是為了找到與描述自由型曲線曲面的B樣條方法既相統(tǒng)一、又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法。NURBS方法的主要優(yōu)點(diǎn) 既為標(biāo)準(zhǔn)解析形狀(即前面提到的初等曲線曲面)，又為自由型曲線曲面的精確表示與設(shè)計提供了一個公共的數(shù)學(xué)形式修改控制頂點(diǎn)和權(quán)因子，為各種形狀設(shè)計提供了充分的靈活性。具有明顯的幾何解釋和強(qiáng)有力的幾何配套技術(shù)對幾何變換和投影變換具有不變性。非有理B樣條、有理與非有理Bezier方法是其特例。應(yīng)用NURBS中還有一些難以解決的問題：比傳統(tǒng)的曲線曲面定義方法需要更多的存儲空間權(quán)因子選擇不當(dāng)會引起畸變對搭接、重疊形狀的處理很麻煩。反求曲線曲面上點(diǎn)的參數(shù)值的算法，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題(MAF方法)

2.4.2NURBS曲線的定義

NURBS曲線是由分段有理B樣條多項(xiàng)式基函數(shù)定義的

Ri,k(t)具有k階B樣條基函數(shù)類似的性質(zhì)：局部支承性：Ri,k(t)=0，t[ti,ti+k]權(quán)性：可微性：如果分母不為零，在節(jié)點(diǎn)區(qū)間內(nèi)是無限次連續(xù)可微的，在節(jié)點(diǎn)處(k-1-r)次連續(xù)可導(dǎo)，r是該節(jié)點(diǎn)的重復(fù)度。若i=0，則Ri,k(t)=0；若i=+，則Ri,k(t)=1；NURBS曲線與B樣條曲線具有類似的幾何性質(zhì)：局部性質(zhì)。變差減小性質(zhì)。凸包性。在仿射與透射變換下的不變性。在曲線定義域內(nèi)有與有理基函數(shù)同樣的可微性。如果某個權(quán)因子為零，那么相應(yīng)控制頂點(diǎn)對曲線沒有影響。若，則當(dāng)時，非有理與有理Bezier曲線和非有理B樣條曲線是NURBS曲線的特殊情況2.4.3權(quán)因子的幾何意義如果固定曲線的參數(shù)t，而使變化，則NURBS曲線方程變成以

為參數(shù)的直線方程，即NURBS曲線上t值相同的點(diǎn)都位于同一直線上。

分別是

對應(yīng)曲線上的點(diǎn)，即N，Bi可表示為：(Pi，Bi，N，B)四點(diǎn)的交比（1）若i增大或減小，則也增大或減小，所以曲線被拉向或推離開Pi點(diǎn)；（2）若j增大或減小，曲線被推離或拉向Pj（ji）。2.4.4非均勻有理B樣條（NURBS）曲面NURBS曲面的定義規(guī)定四角點(diǎn)處用正權(quán)因子，即

，其余。NURBS曲面的性質(zhì)與非有理B樣條基函數(shù)相類似的性質(zhì)：局部支承性質(zhì)權(quán)性可微性.在重復(fù)度為r的u節(jié)點(diǎn)處沿u向是p-r-1次連續(xù)可微，在重復(fù)度為r的v節(jié)點(diǎn)處沿v向是q-r-1次連續(xù)可微極值.若p，q>1，恒有一個極大值存在是雙變量B樣條基函數(shù)的推廣2.5拋物線擬合拋物線擬合是美國福特汽車公司奧維豪瑟在1986年發(fā)表的一種方法，用于配有一般2次曲線插補(bǔ)裝置的數(shù)控設(shè)備。對于給定的型值點(diǎn)和端點(diǎn)條件，一般樣條采用整體擬合法，建立方程組，然后解出各節(jié)點(diǎn)的連續(xù)條件，得出整條曲線的分段函數(shù)。拋物線擬合法是一種局部方法，被擬合曲線可以逐段延伸，不斷給出數(shù)據(jù)，便于修改和進(jìn)行計算機(jī)交互圖形設(shè)計。2.6曲線的2次逼近采用以上方法擬合曲線，可以稱之為一次擬合，而數(shù)控機(jī)床及繪圖機(jī)上，一般具有直線插補(bǔ)或圓弧插補(bǔ)功能；加工時輸出結(jié)果是以直線或圓弧形式給出的，因此需進(jìn)行曲線的2次逼近。直線逼近

用直線去逼近曲線，其逼近誤差直接影響加工精度，必須根據(jù)工程上的需要，將誤差控制在允許的范圍內(nèi)。雙圓弧逼近在數(shù)控加工中，用兩段圓弧去逼近所要形成的3次曲線，稱之為雙圓弧逼近，即在每兩相鄰型值點(diǎn)之間，利用已知樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)斜率，作兩端相切的圓弧來代替原來的一段樣條曲線。

謝謝！謝謝觀看/歡迎下載BYFAITHIMEANAVISIONOFGOODONECHERISHESANDTHEENTHUSIASMTHATPUSHESONETOSEEKITSFULFILLMENTREGARDLESSOFOBSTACLES.BYFAITHIBYFAITH最易遭老板“炒”的15種員工廣東韋邦集團(tuán)李雙華有人在工作中出了問題，于是首先想到的是換一家企業(yè)去工作，考慮的只是換一個環(huán)境而已，根本沒有反思自身的問題?？墒牵瑩Q了工作環(huán)境問題卻依然存在??！老板雖然換了，但他們考慮“炒魷魚”的因素是一致的。那么，老板眼中什么樣的人會被炒掉呢？這類對象一般是剛剛參加工作不久的職場新鮮人，對突發(fā)事件往往措手不及，結(jié)果行動常過分急躁，更甚者每次遇事每次如此，給老板留下不可調(diào)教的印象。01：不夠穩(wěn)重沉著喜歡夸夸其談，一旦需要實(shí)際操作時，往往發(fā)生許多困難，卻又找不出原因何在。02：理論與實(shí)際不能配合不能具體地評斷工作價值，往往分不清工作的目的是什么，是為了賺錢？還是為了立名？或是為了樂趣。給老板一種整個人渾渾噩噩的感覺。03：不夠成熟一旦出現(xiàn)失誤就無法釋懷，更無法從中領(lǐng)悟出正確的方法。04：對所犯的錯誤耿耿于懷只看重眼前區(qū)區(qū)小事，無法透過現(xiàn)象去把握實(shí)質(zhì)，沒有主次之分，往往怡誤很多機(jī)會。05：斤斤計較，分不清主次自信有很好的工作能力，但稍微涉及工作以外的其他方面，就極度缺乏自信心。06：過高評估自己的能力對工作匆忙做出決定，但朝令夕改，例如今天