2020-2022年全國新高考導數(shù)說題

轅

目錄

1.本單元在近三年來全國高考新課標I卷中考查情況統(tǒng)計分析:

2.本單元命題材料的來源及新穎性分析；

3.本單元試題特點；

4.本單元明年全國高考新課標I卷預測（重點、新題型）；

5.本單元的典型試題類型及解題方法、策略分析。

一.本單元在近三年來全國高考新課標I卷中考直情況統(tǒng)計分析

題考分傕老布樂鑰點唐在修山素舞睢度

2020年21幽12哥數(shù)的幾何爸義以房利用當教碉教孽油袋、教學迄第、推

究不篝式位成立的向睡。擊雙根或

2021年7題5導教的幾句爸義中

2021年15題5分密色教、色教貴魚以笈利用導教孽這算中

教碉究必敢的展傕

2021年22巡12利用尋敢碉究備莪的單調(diào)傕教孽已算、血妮和.象、雨

修城施理

2022年7題5就對徐莪；tJ就袋.教孽油袋、教學運算推

2022年10題5三漢5敢傳欣教孽迄第、擊觀程寥中

2022年12短5備數(shù)傕場：腐.備敢會.我哥南教的教學油容、教學運算、雄

奇儡傕、對物傕、周期傕、5教擊雙勾￡,修殖施理

求傕

2022年15巡5身莪的兒句卷義人觀想象

2022年22題12雄

-本專題歷年高考數(shù)學全國卷I考查情況分析

2.考查情況統(tǒng)計分析

從選擇題、填空題來分析導數(shù)章節(jié)的難度提高，從知識點上來說導數(shù)的幾

何意義每年必考，導數(shù)與不等式、導數(shù)與零點、導數(shù)與抽象函數(shù)等知識出現(xiàn)的

頻率比較高.

從命題背景看，多以基本初等函數(shù)的和、差、積、商或復合后構成的函數(shù)

為背景，所以為了考查學生的審題能力和應變能力以及數(shù)學抽象等數(shù)學素養(yǎng)，

高考題經(jīng)常在函數(shù)式上進行創(chuàng)新，

二、本單元在全國高考新課標I卷中的地位和作用

導數(shù)是研究函數(shù)的圖象和性質的最有利工具，同時它也是初等數(shù)

學和高等數(shù)學的重要銜接點，所以是高考考查的熱點和重點.從前面的

分析可以看出，導數(shù)及其應用的解答題一般為“壓軸題％具有綜合性

強，難度大，區(qū)分度高等特點，彰顯了高考的選拔功能.

送偵巡分析：

?第一類：導數(shù)的幾何意義

1、（2021年第7題）若過點（外方）可以作曲線有=心的兩條切線，則（）

A.<aB.<bC.0<a<ebD.0<b<ea

本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及利用導數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)圖像，充分體現(xiàn)了

數(shù)學運算和直觀想象兩大學科核心素養(yǎng)，屬于中檔題目。本題母題來自選擇性必

修二的81頁綜合運用第8題

【解析】

法一：在曲線y="上任取一點尸?,，)，對函數(shù)"求導得y=e',

所以，曲線”/在點P處的切線方程為歹--=/(%一),即片/x+(l_)

由題意可知，點(a力)在直線V=eG+(lT)/上,可得

b=ae'+(lT)e'=(a+l7)e'，

令/(%)=(a+lT)e'，則/'(f)=(aT)e’.

當/<a時，/(/)>0,此時函數(shù)/⑺單調(diào)遞增，

當Z>a時，/(/)<0,此時函數(shù)/⑺單調(diào)遞減，

所以，〃兒"(?，

a

由題意可知，直線y=6與曲線歹=/(。的圖象有兩個交點，貝必〈/("max9

當/<a+l時，/(/)>0,當/>a+l時，/(/)<0,作出函數(shù)/?)的圖象如下圖

所示:

法二：

函數(shù)歹=e*是增函數(shù)，V=e，＞0恒成立，

函數(shù)的圖象如圖，＞0,即取得坐標在x軸上方，

如果（“力）在x軸下方，連線的斜率小于0,不成立.

點（凡匕）在x軸或下方時，只有一條切線.

如果（凡））在曲線上，只有一條切線；

（〃/）在曲線上側，沒有切線；

由圖象可知（。,6）在圖象的下方，并且在x軸上方時，有兩條切線，可知

故選：D.

2、(2022?新高考I卷T15)若曲線y=(x+a)ex有兩條過坐標原點的切線，則a

的取值范圍是.

【分析】此題考查導數(shù)的幾何意義，充分體現(xiàn)了數(shù)學運算核心素養(yǎng)，屬于中檔題。

【解析】Vy=(x+a)ex,y'=(x+1+a)ex,

設切點為(/,汽)，則K=(%+a)e“，切線斜率上=(x°+1+a)e*。，

切線方程為：+a)e*=(/+l+a)e、。(x-%o),

???切線過原點，???-(%()+a)e殉=(/+l+a)e*。(—/),

整理得：x1+ax0-a=0,

???切線有兩條，:.A=a?+4a>0,解得a<-4或。>0,

?工。的取值范圍是(-力,-4)U(0,+8),

故答案為：4)U(0,+ao)

3.(2022?新高考I卷T12)已知函數(shù)"X)及其導函數(shù)/'(X)的定義域均為R,記

<3、

g(x)=f\x),若/--2x,g(2+x)均為偶函數(shù),則()

(n

A./(o)=0B.g---oc./(-I)=/(4)D.g(-l)=g(2)

【分析】本題主要考查函數(shù)的對稱性，以及原函數(shù)與導函數(shù)圖像的關系。充分體

現(xiàn)了邏輯推理和只管想象的數(shù)學素養(yǎng)。本題屬于難題，來源于選擇性必修一103

頁第3題。

【解析】因為/g(2+x)均為偶函數(shù),

所以g(2+x)=g(2-x),

k27即41■-

所以/(3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),貝U/(-1)=/(4),故C正確;

3

函數(shù)f(x),g(x)的圖象分別關于直線x=-,x=2對稱,

又g(x)=/'(x),且函數(shù)/(x)可導,

r3、、，、

所以g—=o,g(3-x)=-g(x),

t2)

所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所以g(x+2)=-g(x+l)=g(x)，

ciAr3、

所以g--=g-=0，g(-1)=g(l)=-g(2),故B正確，D錯誤;

IZ)k27

若函數(shù)”x)滿足題設條件，則函數(shù)/(X)+C為常數(shù))也滿足題設條件，所以

無法確定/?(、)的函數(shù)值，故A錯誤.

故選：BC.

變式：已知函數(shù)/(x)及其導函數(shù)/'(%)的定義域均為R,記g。)=/'(/),若

/(3-幻,8以-幻均為奇函數(shù)，貝！J

4/⑶=0.8g(3)=0C/(3=心?！?5)=—g(8)

第二莢：利用導教竭究加故的單調(diào)傳

4.(2020年12題)信息燧是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能

的取值為1,2,...,n,且P(X=i)=p?>0(i=1,2,...,n),￡p『=l,定義X的

1=1

信息嫡”(X)=-￡pJog2p『?()

1=1

A.若”1,則H(X)=0

B.若"=2,則H(X)隨著0的增大而增大

C.若p,」(z=l,2,n),則H(X)隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2加，隨機變量丫所有可能的取值為1,2,加，且

P(y=))=Pj+R2m+irU=l，2，…，加)，則H(X)WHG)

【分析】本題主要考查對數(shù)運算和利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，充分體現(xiàn)了數(shù)學

抽象、數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)，屬于中檔題。

【解析】：/.若〃=1,貝!16=1,故77(x)=-pilog2P1=-1xlog21=0,故/正確;

B.若〃=2,貝！]Pi+P2=1，

lo

〃(切=一(Pllog2Pl+Pllog?P2)=-\P\g2Pl+(1-Pl)log2(l-Pl)]

l

設〃p)=-IP°g2p+。-p)iog2。-P)]，。<p<1，

貝Uf'(P)=~1log2p+J-------log2(\-p)+(1-p)?-——]=-log2，

ln2?p(1-p)lnl1-P

令1(p)<o，解得L<P<1,此時函數(shù)/(p)單調(diào)遞減，

令1(p)>o，解得0<P<；，此時函數(shù)/(P)單調(diào)遞增，故8錯誤；

c.若P,=L(i=1,2,…，〃)，貝!J"(x)=-〃?L/og2L=，0g2〃，

nnn

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，H(x)隨著〃的增大而增大，故C正確；

D.依題意知，P(y=l)=Pi+P2m，P"=2)=02+02*1，

尸(？=3)=。3+P2*2，…，尸(Y=m)=Rm+Pm+1，

+10

"(F)=-[(Pl+P2m)l°g2(Pl+P2m)+5r2m-1)g2(P2+PzmQ

+…+(Pm+Pm+l)10g2(Pm+Pm+1)]，

lolo

又"(X)=-(P1log2Pl+02log2P2+…+Pmg2Pm+…+P2mg2Pim)?

H(Y)-"(X)=p.log1—拉——+p2log1--------------+...+Pz/ogz―勺—

Pl+PimPl+Plm-XPl+Pim

又------<1,---------------<1,...,———<1,

Pl+Pin.Pl+P2m-1P\+P2M

H(Y)-H(X)<0,>H(Y),故。錯誤.故選：AC

5.(2022年第7題)設a=0.1e°i,b=-,c=-ln0.9,則()

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【分析】：本題主要考查指數(shù)不等式、對數(shù)不等式和利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,

充分體現(xiàn)了數(shù)學抽象、數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)。屬于難題。來源于課本必修一

133頁例3.

【解析】：三個實數(shù)分別以指數(shù)式、分數(shù)、對數(shù)式形式出現(xiàn)，其中［為分數(shù)形式

9

最為簡單。在注意到敏感數(shù)字0.1,故將三個數(shù)用0.1來表示得：

b=-=—!—=-0'1-,C=-In0.9=-ln(l-0.1).

910-11-0.1

法一：構造函數(shù)/(%)=xe*,g(x)=」一,〃(x)=-ln(l-x)兩兩作差，通過函數(shù)的單

1—X

調(diào)性，來比較三個數(shù)的大小。

法二：由不等式1之工+1(%<0)得a=0.1e°」=卑<旦一=1=方，即a<b.

e-011-0.19

接下來比較a與c的大小。構造函數(shù)

m(x)=/(x)-//(x)=xex+ln(1-x),xe(0,0.1),

由不等式e1>x+1(0<x<0.1),得

m(x)=xe，+ln(l—x)>x(x+1)+ln(x+1)

，,、0,1x(l-2x)八

m(x)>2x+1----------=------------------->0,

1-x1-x

m(x)在(0,0.1)上單調(diào)遞增，所以m(0.1)>m(0)

即a-c>0,得a>c.

綜上，b>a>c.

變式：設a=2比1.01,b=ln\.Q2,c=VL04-1,貝!f()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【解析】:va=2/M1,01=/wl.0201,b=lnl.02,:.a>bf

令f(x)-2/〃Q+x)-(Jl+4x-1),0<x<1,

令Jl+4x=t,貝［|1<f<指x=--—,

*+3

g(Z)=2ln(---)一/+1=2ln(t2+3)-t+1-21n4,

4

??.gv)=&-1=*工3=_a：}”>0,.g(/)在(i,⑹上單調(diào)遞增，

g(t)>g(1)=2加4-1+2加4=0，/(x)>0,:.a>cf

同理令h(x)=Zw(l+2x)-(Jl+4x-1),

再令Jl+4x=t,貝！11cze不x=--—,

尸+1、

/.(p(t)=Zw(----)-/+1=Zw(/2+1)-/+1-ln2,

夕'(Z)=￡-1=二(㈢:<0,(pQ)在(1,5上單調(diào)遞減，

/+1t+1

/.(p(t}<(p(1)=ln2-1+1-ln2=0,h(x)<0,:.c>b,a>c>b.故選：B.

第三至：利用當教的究備教的展色

6.(2021年第15題).函數(shù)/(x)=|2x-1|-2/加的最小值為—

【分析】本題主要考查分段函數(shù)的定義，函數(shù)的最值以及利用導數(shù)研

究函數(shù)的最值，充分體現(xiàn)了數(shù)學運算素養(yǎng)。此題屬于中檔題。

【解析】：函數(shù)f(x)=\2x-l\-2lnx的定義域為(0,+功.

當0cx時，f(x)2x-11-2lnx--2x+1-2lnx,

此時函數(shù)/(x)在(0,自上為減函數(shù)，

所以/(x)kg)=—2X；+1—2加;=2勿2；

當x>；時，/(x)=|2A:-11-2lnx=2x-1—2lnx,

貝！I八x)=2—2=生出，

XX

當xwg,1)時，r(X)<0,/(x)單調(diào)遞減，

當xe(L+oo)時，f'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

.?.當x=l時/(刈取得最小值為/(1)=2x1-1-2歷11.

2ln2=歷4>Ine=1,

函數(shù)f(x)=\2x-]\-2lnx的最小值為1.

故答案為：1.

第四米：利用尋教弱究三唬徐敢的傳屈

7.(2022年第10題)已知函數(shù)/(x)=d—x+1,則()

A./㈤有兩個極值點B,/㈤有三個零點

C.點(0,1)是曲線y=/(x)的對稱中心D.直線y=2x是曲線、=/(%)的切線

【分析】本次主要考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點，函

數(shù)極值點的定義以及三次函數(shù)的對稱性。充分體現(xiàn)了數(shù)

學運算素養(yǎng)，屬于中檔題。

【解析】由題，/'（x）=3x2-1,令/，（x）>0得x>乎或x<-乎，

令廣（x）<0得-邁<x<邁，

33

所以/（X）在（_卓，乎）上單調(diào)遞減，在（_00,_乎），（乎，+8）上單調(diào)遞增，

所以x=士五是極值點，故A正確；

3

因/（一§=1+0,/（乎）=I_0,/（-2）=-5<0,

所以，函數(shù)/0）在-8,一興）上有一個零點，

當x2李時，/@）2/［乎）>0,即函數(shù)/（x）在（乎，+8上無零點，

綜一上所述，函數(shù)了⑺有一個零點，故B錯誤；

令方（x）=l_x,該函數(shù)的定義域為R,A（-X）=（-X）3-（-x）=-x1+x=-/i（x）,

則A（x）是奇函數(shù)，（0,0）是〃（x）的對稱中心，

將人（x）的圖象向一匕移動一個單位得到“工）的圖象，

所以點（0,1）是曲線y=/（X）的對稱中心，故C正確；

令尸（x）=3x2_1=2,可得》=±1,又/Q）=/（-i）=i,

當切點為（1/）時，切線方程為V=2x-1,當切點為（-1,1）時，切線方程為P=2x+3

故D錯誤.

故選：AC

2020年高考數(shù)學一卷21題

(12分)已知函數(shù)/(1)=a/-I-Inx+In<7

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積;

(2)若f(x)N1,求a的取值范圍.

2021年新高考1卷：《

22.已知函數(shù)/(x)=Wl一碗)；

(1)討論/(“)的單調(diào)性；白!

2<-+-<e

(2)設明方為兩個不相等的正數(shù)，且bbia-alnb=a-b,證明：ab.<；

(2022年22題)已知函數(shù)/(x)=D--和g(x)=?-lux有相同的最小值.8

⑴求a；Q

(2)證明：存在直線了=如其與兩條曲線P=/(K)和y=g(x)共有三個不同的交

點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.小

縱觀新高考1卷導數(shù)解答題近三年的考查，2020年出現(xiàn)在第21題，考查

切線、不等式慎成立求參數(shù)范圍；2021年作為最后一題22題，考查函數(shù)的單

調(diào)性，極值點偏移等；2022年作為最后一題壓軸出現(xiàn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，最

值，零點，圖像交點個數(shù)等,通觀三年的導數(shù)解答考查，考查內(nèi)容都是平時所授

內(nèi)容，但是里面蘊藏著構造、轉化、數(shù)學結合、分類討論等思想，難度較大，

體現(xiàn)了數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).e

2020年高考數(shù)學一卷21題

(12分)己知函數(shù)/(x)=a-Inx+In。

(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)21,求a的取值范圍.

方法一：利用兩個課本中的不等式解答高考試題，通過例題，學習的重點是利用這兩個不等式進

行放縮，去解決證明求參問題。利用解答這類不等式的經(jīng)驗和技巧，下面的解答思路水到渠成！

解：因為a>0,,33x,所以a,'"-Inx+lna之a(chǎn)xTnx+lna,所以若f(x)21,則有ax之Inx-lna+1,設

J_=乂〃=1

y=lnxTna+l的過原點的切線的切點為(丫，y),則有《vy解得|丫0=1所以要使f(x)

?/vuJQ人0人0?vu

=1

乂=比居一出〃+1[yQ

21成立的a的取值范圍是[1,+s).

方法二：利用公切線確定參數(shù)范圍。掌握了該種題型的解答策略，本題可以使用公切線法確定參

數(shù)范圍！

解：f(x)21Oae'-i-lNln耳二]照,令m(x)=ae'T+]Ra，n(x)=]nx+l,根據(jù)兩函數(shù)的凹凸性,當兩個函數(shù)

--[i

有公切點時，設切點為(X。，％)，則有，Xo解得《]。二=所以要使f(x)21成立的a

屋x『+lni=lnxo+1C

的取值范圍是[1,+00).

方法三：反函數(shù)問題，對課本中比較邊角的知識點反函數(shù)性質的應用列舉了比較深刻的三個例題，

如果使用該題型模式解答本題，就更漂亮了：

解：f(x)2]Oae'_i21nx-lna+l,因為y=ag'"與丫=]券-1。@+1互為反函數(shù),故此二函數(shù)圖像關于y=x

對稱；要使a。'"21nxTna+l,只需a/Tex,因為a>0,所以aei^xoei2工，確定過(°，°)的

y=—為i切線時的a=l,所以a21

a

方法四：在《高考數(shù)學核心題型與解題技巧》一書中，有題型總結：利用同構秒殺高考試題魅力

無限，闡述了同構的解題思路，有函數(shù)題，有導數(shù)題，有解析幾何題，是比較系統(tǒng)的一個專題，利

用同構思想獲得該題的秒解：

解：將f(x)21按照左右結構相同、變量移至一邊的原則進行變形：

由/(工)=。e'l一Inx+hia21移項得：api+lna21nx+1即「“"'T+lnaNhix+1

兩邊同時加x-1,得*-1+x+lnaT21nx+x,即(x+lna-1)Zlnx+J1'.

V>MVVVVV\</VVZVV<^AA/

設g(x)=x+￡,則e(x)=l+e、>0,所以g(x)單調(diào)遞增，所以lna+x-121nx，即xTnx+lnaT20

設h(x)=^m域+lna-l,則力(x)=l-1,所以h(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,+oo)單調(diào)遞增，

所以"(X)=h(l)=lnaT20,所以a21

\'min

本題來源于教材導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)研究函數(shù)的最值、函數(shù)的大小比較問題?？疾炝藢W

生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，對學生數(shù)學能力的考查很高，需要學

生對函數(shù)、導數(shù)部分的內(nèi)容融會貫通。

該四種解法都體現(xiàn)了方法上的優(yōu)勢，導數(shù)解答題的解決，思路不同，方法難易迥異，解答此題,

我們務必揣測出題者的意圖，找準意圖，選對方法，問題迎刃而解。

2021年新高考1卷：小

22.已知函數(shù)0

(1)討論/(“)的單調(diào)性；《

2C<—1?—1ve

(2)設，，6為兩個不相等的正數(shù)，且bbia-agb=a-b,證明：ab

命題立意：本小題以不等式證明為載體.考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、最值、

不等式等基礎知識和函數(shù)同構與極值點偏移。雖然題型較老，但老中見新，給人以

新的啟迪。本題考查邏輯推理能力、直觀想象能力、運算求解能力、創(chuàng)新能力等，

考察函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、分類與整合思想等；考查

邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性與創(chuàng)新性，

【思路分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后結合導函數(shù)的符號即可確定函數(shù)的單調(diào)性；G

(2)利用引〃4-。/〃6二。-6同構關系，將--通過將換元，將原問題轉化為極值點偏移的問題,

構造對稱差函數(shù)分別證明左右兩側的不等式即可.《

【解析】⑴欣)的定義域為(0,+8).

由/(x)=x(\—Ina;)得,/'(c)=—In%.

函數(shù)/(.V)來自于2019年人教A

當i=1時，/'3)=0；當16(0,1)時/'(%)>0;

版選擇性必修二第81頁第4題

當(1,+8)時，/3)V0.

故/(G在區(qū)間(0,1］內(nèi)為增函數(shù),在區(qū)間［1,+8)內(nèi)為減函數(shù).

(2)證法1

由b\na—aln6=a—b

得~~(1—=](l-In】)，

7

Q\ab'b，

即/?)=/")?

由QWb,得工W4--

ab

由⑴不妨設--6(0,1),€(l,4-oo),

則，吟)>。，從而小佶)>。，得十W(l'e)?

令g3)=f(2-x)-f(x),

則g'3)=一/'(2-x)-f(x)

=ln(2—x)+Inx=ln(2x-x~)=ln[l—(x—I)2].

當出W(0,1)時，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為減函數(shù),

g3)>g(i)=。，

構造齊次差函數(shù),典型

從而f(2—x)>f(x),的極值點偏移問題~

所以『(2-!)>/?)=/?)，

由(1)得2—

即2<小+看

令九3)=x+f(x),

則h!(x)=1+/'(c)=1—Inx,

當1￡(l,e)時Jir(x)>O,/t(x)在區(qū)間(l,e)內(nèi)為增函數(shù),

h(x)<Zi(e)=e,

從而x+/(i)<e,

-+A-)

所以1+/(1)Ve*通過構造熟悉函數(shù)h(x)飛tf(x),得到中間量bb,利用

-,/(-),/(-)大小比較和等量代換得出結論，

aab

1,、

又由—W(0,1),

可得!〈融―吟)=/?)=/("

…所以！++<4)+?e.

圻Iz'29—4-—O

證法2：&

再證m4-n<e.

因為m(l—Inm)=n(l—Inn)>7n,

所以n(l—Inn)-+-n<e=>m-l-n<e.

先放縮，利用/(，〃)=/(〃)對求證

令h(x)=x(l—lux)+xxE(l,e).

y進行變形，構造新函數(shù)得證〃

所以所(①)=1—Inx>0,故h(x)在區(qū)間(l,e)內(nèi)單調(diào)遞增.

所以h(x)</t(e)=e,故h(n)<e,即m+nVe.

綜合可知2V5+/Ve.

證法3

證明工+1>2,同證法2.

ab

以下證明;E]+x-2<e.

不妨設x2=txi，則2=&>1,記g(s)=+s),s€(0,4-co),

Xi

s

由21(1—1113；!)=工2(1—Ing),

z、-ln(l4-s)

tint則g'?)二手，

得1)(1—liiX1)=txi[l-ln(ta；i)],liix=

1t-1,

記h(s)=不*-ln(l+s),

要證4-x2<e,

則加⑸二島廠擊vs

只需證(1+t)rci<e,

兩邊取對數(shù)得hi(l+t)+lnx)<1,所以，h(s)在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞減.

即ln(l+t)+l-智h(s)<h(0)=0,則g'(s)<0,

t—1

即證嗎旦<巖.所以g(s)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞減.

tt-1

，由(1,+8)得，-1W(0,+8),

統(tǒng)一變量*所以g(t)Vg(t-1),即ln(\+A)<嚴p.

tc—1

證法4(利用切線不等崗)

—./(x)作點(0?0)處的切線方程為

/i(x)=r-x.

令夕(E)=/{?)-A(x)=2x-xlai-r.xe(0,e),

則0=1-hu>0.

所以M”)作(O.C上隼謝遞增.

所以奴x)<Se>=m

所以*￡《o#時JU)<A(x).

不妨設“x,)=/!%)=，?

則f=Ax?)=，-3

所以，+..：<,

Xf=.?X1)=X|(I-I呷)?.T1?(0J),

所以,=S(I-InX])>xr

即xt+Xj<r>x,<e.

【歸納總結】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究極值點偏移問題，等價轉化的

學思想，同構的數(shù)學思想等知識，屬于中等題.《

(2022年22題)已知函數(shù)/(x)=e'-?v和g(x)="-Ex有相同的最小值.d

⑴求JJ

(2)證明：存在直線P=b,其與兩條曲線."=/(')和1=8(工)共有三個不同的交

點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.~IMH

本題第一問考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值，通過構造函數(shù),

研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得到參數(shù)值.d

對于比較難的題目可以采用拆分的方式進行分步得分，分別求解函數(shù)

f(x)=ex-ax,g(*)=ax-lnx的最小值，而函數(shù)/(x)與函數(shù)g(x)就是來自于

2019年人教A版選擇性必修二第95頁例7?

給定函數(shù)/(x)=(x+l)e'.Q

(1)判斷函數(shù)〃工)的單調(diào)性，并求出函數(shù)/(x)的極值；8

(2)畫出函數(shù)的大致圖像；e

(3)求出方程f(x)=a(aeR)的解的個數(shù).H

通過該題需要聯(lián)想到導數(shù)中常見的八大函數(shù)的單調(diào)性，八大函數(shù)分別為:

x

f(x)=x±ey;/(x)=x±lnx;f(x)=xex;/(x)=xliix;f(x)=^;/(x)=-^-;/(x)=—;

eliixx

人工）=也.如果在教學中明確要求學生掌握這八個函數(shù)及其變式的單調(diào)性等知

X

識，該題的第一問會比較輕松的得到解答

利用已有知識，可以大體判斷出第一問。的值

下面對于第一間拆解成三問求解,使得問題比較輕松地解答.分別求解函數(shù)/(.V)

與函數(shù)g(x)的最小值，然后再求兩個函數(shù)的最小值相等時，求得參數(shù)值.G

【拆解1】求函數(shù)/(X)二6的最小值.

【解析】/(x)=e'-方的定義域為K,而解析)=3-4,1

若4W0,則/。)>0,所以函數(shù)f(x)單增,此時/&)無最小值,1

當〃〉0時，當xvln〃時，/(.V)<0,故小)在(-8,山。)上為減函數(shù),

當x>ln。時，/(x)>0,故f(x)在(ln?+8)上為增函數(shù)，j

故/(x)皿=/(山

【拆解2】求函數(shù)g(x)二公-lux的最小值

【解析】g(x)二仆-lnx的定義域為(0,+8),而g(x)=〃-'二竺匚.

XX

若h0,則g(x)＜0,所以函數(shù)g(x)單減，此時g(x)無最小值,?

1(

當〃〉0時，當0＜工＜一時，g'(x)＜0,故g(x)在0,-上為減函數(shù)，＜-

a\a)

1(1)

當X>—時，g'(x)>0,故g(x)在一,+8上為增函數(shù)，Q

aJ

1y

故故X)nin

=g3-

【拆解3]已知函數(shù)/(x)二，-仁和g(x)二行-lux有相同的最小值，求盤

分析：已知兩個函數(shù)的最小值相等，轉化為一個關于參數(shù)。的方程，然后構造

函數(shù)，通過其單調(diào)性，得到〃的值____________

【解析】由拆解1、2知，當〃>0時，函數(shù)/⑶與g(x)才有最小值-I警

若/(x)=e'-公和g?)二公TnK有相同的最小值，e

1「-l

故1一111一二。一aln〃，整理得到-a--二lna,其中a>0,G

a1+。

a—]t/\21-—ci"-1€

設g(。)=:ITna,a>0,則g(。)二;■)--^一匚二^---

1+4(1+a)°a(l+a)

故g(a)為(0，+°°)上的減函數(shù)，而g⑴=0,G三

故g(a)=0的唯一解為。=1,故L*=Ina的解為a=1?

1+a

綜上，<?=1.<-*

對于第二問跟例7的第(3)問相似，雖然拿滿分難，但是拿到合適的分數(shù)還是

比較輕松的，根據(jù)第(1)可得當時，直線P=b與兩條曲線y=/(x)和

才可能有三個不同的交點，從而也就解決了存在性問題，然后再去證明

三個不同的交點滿足等差數(shù)列.。

此時再拆分成四回金別去求解，使得題目順利拿到分數(shù),?

注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩

類根之間的關系,*

【拆解4］已知函數(shù)/&)=，—工，證明：若b>l,直線y二辦與曲線.y=/(”)有

兩個不同的交點.e

【解析】由(1)可得升I=e'-X的最下值為1.二

當力(1時，直線y=b與曲線y=/(x)最多有一個不同的交點，：二

當Z>>1時，考慮e'-x二，的解的個數(shù)而s(—?=J>0,S(b)=eb-2b,0

設S(x)=e'_.丫—辦，S'(.r)=e—1,G設〃(?二犬一2辦，其中6>1,則〃'傳)=e'—2>0,《

當x<0時，S'(x)<0,當x〉0時，S，(x)>0,3故〃9)在(L+S)上為增函數(shù)，故〃0)>"l)=e—2>()，

故S(x)在(-s,0)上為減函數(shù)，在(0,+8)上為增函數(shù)，故S僅)>0,故S(x)=ex-xd有兩個不同的零點,G

即e'-x=5的解的個數(shù)為2.&

所以S(x)1ml=S(0)=l-Z>v0,y

【拆解5］已知函數(shù)g(x)=x-lux,證明：若方>1,直線."二，與曲y=g(x)共

有兩個不同的交點.1

【解析】由(1)可得鼠x)=xTnx的最小值為==

當方41時，直線y=辦與曲線y=g(x)最多有兩個不同的交點~

當方>1時，考慮x—In%二人的解的個數(shù)

設T(x)=x-lnx-6，F(xiàn)(x)=-~,小

X

當0cx<1時，r(x)<o,當x>i時，r(x)>o,d

故7(幼在(0,1)上為減函數(shù),在(L+8)上為增函數(shù)，H

所以7(%)皿=T⑴T—辦〈°，“

而T(e-。=e”>0,r(eb)=eb-2b>0,d

T(x)=x—In.Z)有兩個不同的零點即x-ln/Z)的解的個數(shù)為2”

【拆解6］已知函數(shù)/(x)="—x和g(x)='-hi%,證明：若〃>1,直線V二方

其與兩條曲線y=fM和y=g(.v)共有三個不同的交點.1

【解析】由前面分析可知，若存在直線y=D與曲線y=/(x)、y=g(x)有三個

不同的交點，則，>1.1

設萬(x)=e'+lux-2x,其中x>0,故方'(x)=e'+9-2,~

X

設s(x)=e'-x-l,x>0,則s'(x)=e'-1>0,~

故s(x)在(0,+oo)上為增函數(shù),故s(x)>s(O)=O即/>x+l,音

所以〃(x)>x+L-l32-1>0,所以。(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，1

X

iflj砥1)—G-2>0,=e?7—3—y<e—