2021考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析(全)

2021研熬孕二成優(yōu)林析

2021考研數(shù)學(xué)真題及答案解析

數(shù)學(xué)(三)

一、選擇題(本題共1()小題，每小題5分，共5()分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)

是符合題目要求，把所選選項(xiàng)前的字母堞在答題卡指定位置上.)

⑴當(dāng)XT0時(shí).￡(/-lW是/的

(A)低階無(wú)窮小.(B)等價(jià)無(wú)窮小.(C)高階無(wú)窮(D)同階但非等價(jià)無(wú)窮

【答案】C.小一小?

r優(yōu)衣[中￡(e'-iw]=2x(Z-l)-2x\所以『(/■肋是/高階無(wú)窮小，正

【解析】因?yàn)?x->0時(shí)，

確答案為C.

礦一1

x■X*,在、=0處

"=0

(A)連續(xù)且取極大偵(B)連續(xù)旦取極小值.

(C)可導(dǎo)旦導(dǎo)數(shù)為0.(D)訶導(dǎo)n導(dǎo)數(shù)不為

【答案】D°-

LWWJ12373imj八x)=nm上=1=/(UJ,iW/(x)Ax=U優(yōu)是荻：iUx

31=hm

因?yàn)閔mmJ(u)=i??-1守?。蹚V3尾，正確答U)°

(3)設(shè)函數(shù)/CY)=ai-/>lnx(n>0)有兩個(gè)零點(diǎn).姻二的U叉值范圍是

a

(A)(e.+x).?叱)(DM產(chǎn))

【答案】A【解析】令/(x)=ax-blnx=o,廣(、)二〃修，令，(、)二。有駐點(diǎn)》/

x&f\

2h|=〃-?一?8hi—<0.

從而In->B可得->e>正確答案為A.'?'cia

aa

⑷設(shè)函數(shù)外可微，/(x+l,e*)=.\(.v+1)2,/(.v,.v2)=2.v2ln.r,5l!j#(l-1)=

(A)dv+如(B)dx-dy.(C)(fy?(D)-次

【答案】C.

【解析】/;'(?、+l?b)+g、力(X+1,礦)=(A+1>+2A(.V+1)

?(X.X2)+2lM*(x,x4)=4xInx+2x

2021>>;?研如學(xué)二成。林析

如)+如)=1?片(1,1)+2片(1,1)=2

聯(lián)立可得如)=0,￡'(14)=1,"(1』尸工'(1,1)函+萬(wàn)(1,1)妙?必，故正可答案為C.

(5)-次型，(斗，勺，可)=(可+呵)2+(七+天)2-(*—％)2的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依次為

(A)2,0.(B)l,l.(C)2,l.(D)l,2.

【答案】B

A

(解析］/(X1,X2,XJ)=+X2)2+(X,+.Y3)2-(X3-)2=+2XxX2+2.Y2X3+2xxX3

<011、

所以A=.故特征務(wù)項(xiàng)式為

X-l-1

\AE-A|=-1-2-1=(2+1)(4—3)/1

令上式等］?零,故特征值為7,3,0.故該：次型的1E慣性指數(shù)為1,負(fù)慣性指數(shù)為1.故應(yīng)選B

\\

(6)設(shè),4=(.0］、％。)為4階正交矩陣.若矩陣8=&丁”=1,土表示任意常數(shù)，

-T

則^性方程&［Bx=fl的通解x=

(A)弓十。3

(C)a+a2++ka、.(D)a+a2+a,+ka.

【答案】D.

【解析】因?yàn)榈?01'@,%，久)為4階止交矩陣.所以向量組aapa,.a4是一組標(biāo)準(zhǔn)正交向量

組.則>(3)=3,又BOA=a/a4=0,所以齊次線(xiàn)性方程組Hx=0的通解為ka,?而

B(a+a：+a3)=aT(a,+a、+aj=1=p故線(xiàn)性方程組8x=p的通解

嚴(yán)”［1,

x=a】+a/%+取其中?為任意常數(shù)故應(yīng)選D

r1o-r

(7)己知矩陣」=2-11?若下三角可逆矩陣P和上三角可逆矩陣Q,使P4Q為對(duì)角

-12-5

矩陣，則尸??？梢苑謩e取

2021?;?研數(shù)孕二成優(yōu)林析

100<0n100100

(A)0106i3(B)2-10010

0°L00r-32L0°L

100a0100,12-3、

(C)2-10013(D)01090-12

廠(chǎng)1/

32100L13100?

[答案JC[解析

10-1100rl0-110010-1100

(4￡)=2i100—>0-13-210—>01-32-10

L-l2-500L2-6101000-32L

=(F.P).則尸=2-1

-32

10-1

01—3

000

，則0=013.故應(yīng)選C.

100

(8)設(shè)夕為隨機(jī)怕七f!O<P(B)<l>F列命題中不成立的是

(A)若P(A|B)=P(J),則P(.41B)=P(.4).

(B)lfP(.4W)>P(.4).則P(刁B)>P(l)

(C)gI句>P(AIB),則P(A\B)>P(.4)

(D)若P(A\A(JB)>P(J)>P(B).

【答案】D

PJ)

t解析】p(.mu必帶費(fèi)心''㈤"印)P如心如皿PG)P(JUA)~_P(JUA)~P(J)+P⑸-P(AB)

P(B)-P(AB)

WP(JIJu5)>P(JIJUB),國(guó)

flP(.4)>P(ff)-P(.-L8)f故正確答案為

（9）設(shè)（w,m,（羽，匕），?，（xq：）為來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，令。=四一外，尹=2■支x,,F

Ay;,e=x-F則

?〃I?1u?1

(A)E(q)=".z)(q)=+%?

網(wǎng)射巖封塑蛔部祈曄、瀚0晰'沖陽(yáng)韓(15*50).0呻?咪=4花冊(cè)印0府習(xí)叩汞制￡1)

9=(i-JT(7"r""…’一7"【出楠】

9[Xfi]早加)

9Z,頊甲Xg.中

瞄=1而(~j~*%-g-=rp「J傾】

a乙

-【激新

-nxs

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二叫而倘》一。3水八⑻

CT

尊珥芝群拐國(guó)最辛W洛最辨果￡計(jì)'&§?、，毋,照W9計(jì)隨卓)隔互再、二

>0+[0-70P

VAOTT=A,O=T+T=?7疝瞞tz

:分直3)田9+負(fù)飛沖￡=0)7叫瑾M

曲。+[0-[

七(土)￡(方土)=0)7斡封潟沼【事

到】

V[5KSJ

ZZ8t

?-(a)Y(o)-(a)y(v)

￥用41刊溢部Y西餌。似恒P'【?￡-irP*€-iWilWtz

物貧廿米山取4E={￡=X}J={z=x)</>—=(i=x/^?g-a(oi)

'3如.一g七二Q才)A8_(J)(7+(x)(7=(A_*)a=(?)Q

0=z#VI=(x)y-(x)3=(J-A”)V=(0)0

V

量r我二所那誹[一區(qū)柄'助&董J我二旭衲印坷'AH少罪不我二再.「XXM【出檔】S[?g]

U

'7m=w,次)g

u

飛7—=0)。'。。0)3(。)

U

每孑匚g〃W=(w

勞構(gòu)qyi廠(chǎng)！玖怕金ROM

2021必?研效孕二成推解析

rr=r—sin

【解析】V=時(shí)&$1?)冰=時(shí)〉sWrrxdx

(14)差分方程Ay,=;■的通解為.【答案】y=N?+亍=：尸一9+<7,C為任巷常故.

【解析】>=C,/=—(at+b),(r+1X?(/+1)+!>)-t(ar+I)=r,2ar+a+b=

t.：〃一；，+(?、(?為任意常數(shù).

2x

-1

(15)多項(xiàng)式/(.、)=中二3項(xiàng)的系數(shù)為

【答案】5【解析】

2x

-112-1-1

-1

=r-X-/1-2x11

x3-12-1

-1,v

所以展開(kāi)式中含F(xiàn)項(xiàng)的有-?,-4.v3.即尸項(xiàng)的系數(shù)為.5

(16)甲乙兩個(gè)金子中各裝仃2個(gè)紅球和2個(gè)白球，先從甲危中任取一球，觀察顏色后放入乙盒

中，畫(huà)從乙盒中任球.令X,】?分別表示從甲盒和乙命中收到的紅球個(gè)數(shù)，則X與y的相關(guān)系數(shù)

【答案】二

(0,0)(0,1)(10)(1』)、0101、

F~

【解答】聯(lián)合分布率(X.】2_1_2-,x-11

‘廣

105510i22)<22)

COV(X、F)=T,￡?=八。丫=A，即如

三、解答題(本題共6小題，共70分.清將解答寫(xiě)在答題紙指定位置上，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)

明、證明過(guò)程或演算步驟?)

(17)(本小題滿(mǎn)分10分)

1±

己liin[oarctan—+(1+存在.求”的ttl.>,\

【答案】a=l(i-e).

7Te

【解析】.要想極限存在，則左右極限相等：又由J皿aarctan-+(1+|.\j)x

2021?;?研效孕二成優(yōu)林析

limtzaictan-1(1+卜時(shí)

a(e)

從而注+…強(qiáng)*即4r

(18)(本小題滿(mǎn)分12分)求函數(shù)/(x,y)=21n|.x|*'A~A/r的極值.

【答案】(-L0)處取極小值2：(1,0)處取極小(fil-21n2.

【解析】

2七一1—)

產(chǎn)e—廣即2—2ly=

小a。0

得駐點(diǎn)G1.0),(-,0)

/_(4A+l)A-3(2x24-x-l-r)

x'

-2y

a.

x5

(3)花點(diǎn)(-1.0)處，A=3,B=0.C=l.JC-B2=3>0,J>0故/(x,y)在(TO)處取極小值2；

駐點(diǎn)(j,0)處.A=24,B=0.C=4.AC-B2=3>0,A>0

故/(匚j?)在(；，0)處取極小值；?21112

(19)(本小題滿(mǎn)分12分)

設(shè)有界區(qū)域。是X2+y2=1和直線(xiàn)丫=乂以及：V軸在第一象限國(guó)城的部分，計(jì)算二重枳分肛

〃(>丁)她.

D

【答案】le2-ie+1.

848

「V)如二?J,cos2街可y55：r*二：信。S泌就

二信。320倒”"55/湖

\j^—!F(COS8+sinOT*b?E,3)dwcos0+sin?》

Jo(cosO+smo)o

:-----------------rIredt

(cos8+sin0)Jo

_\}_____r_I]

(cos8+sina).(cos0+sin8)'

6

2021?;?研敗學(xué)二成推慌析

??上式女點(diǎn)幺已5“擴(kuò)滿(mǎn)渦

其中(*認(rèn),)-排[廣-廣.x?&?=#-，+f

.原式=匕-士+L=Le:-Le+L.

842人848

(20)(本小題滿(mǎn)分12分)

設(shè)〃為正整跖y=>;⑴是微分方程個(gè)，'一(〃+1)心0滿(mǎn)足條件以⑴二一一的解.〃伽+1)

⑴求〉；(V)：

(2)求級(jí)數(shù)？>；(、)的收斂域及和函數(shù)

?■!

【答案】(1)>;(.!)=]!—廣；⑵收斂域[T[],5(.*)=[°—')蜒1一”)+、心(-〃).n(w+l)[l,x

⑴y_O+i)y=0得j=cjL=b,將)“)二----帶入，有c=-----xn(n+1)

n(w+1)

(2)￡---------X*的收斂域?yàn)閇一1,1]

n(n+1)

設(shè)----￡土=Q—x)ln(lr)+x,"(Tl)n?lz，(+1)wl〃wl〃+1

乂因?yàn)镾(A)在卜14|if續(xù).所以S(l)=limS(.r)=1.

x-#r

所以S(x)=「7L\

l>x=l

(21)(本小題滿(mǎn)分12分)

21O,

設(shè)電陣」=120僅有兩個(gè)不同的特征俱一若義相似于對(duì)角炬陣，求々，。的值.并求可

、1ab

逆矩陣p.W為對(duì)角矩陣.

A-2-1

【解析】FU|A￡-j|=-1A-2=(A-b)(人?3)(人-1)=0

-1-ak-b

當(dāng)b=3時(shí)，由.4相似對(duì)角化可知，.爪根所對(duì)應(yīng)特征值至:少存在兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向砍，則

'1-10、

(3￡-J)=-l10知，H=-l,

-1-。0,

2021?；?研勉孕二試。M析

此時(shí).*二石=3所對(duì)應(yīng)特征向雖為/