蘇北四市2018屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試題

S數(shù)學I試卷第4頁(共13頁)蘇北四市2018屆高三第一次調(diào)研測試數(shù)學試題2018.1參考公式：1.柱體的體積公式：，其中是柱體的底面面積，是高．2.圓錐的側(cè)面積公式：，其中是圓錐底面的周長，是母線長．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置．1．已知集合，，則▲．2．已知復數(shù)（為虛數(shù)單位），則的模為▲．3．函數(shù)的定義域為▲．4．如圖是一個算法的偽代碼，運行后輸出的值為▲．成績/分0.001頻率組距（第5題）（第17題）0.0030.0040.005a（第4題）5．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學生的成績，并根據(jù)這1000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內(nèi)的學生共有▲人．6．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為▲．7．連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子（六個面上分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6的正方體），觀察向上的點數(shù)，則事件“點數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為▲．8．已知正四棱柱的底面邊長為，側(cè)面的對角線長是，則這個正四棱柱的體積是▲．9．若函數(shù)的圖象與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是，，，則實數(shù)的值為▲．10．在平面直角坐標系中，曲線上任意一點到直線的距離的最小值為▲．11．已知等差數(shù)列滿足a1+a3+a5+a7+a9=10，a82-a22=36，則a11的值為▲．12．在平面直角坐標系中，若圓上存在點，且點關于直線的對稱點在圓上，則的取值范圍是▲．13．已知函數(shù)函數(shù)，則不等式的解集為▲．14.如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則EB·EC的值為▲．BB（第14題）ADCE二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或計算步驟．15．(本小題滿分14分)在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且,.⑴求的值；⑵若，求△ABC的面積.16．（本小題滿分14分）如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點.求證：⑴；⑵.（第16（第16題）C（第16題）C（第（第16題）C數(shù)學Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A．[選修4-1：幾何證明選講]（本小題滿分10分）ABCDEF(第21－A題)O.如圖，是圓的直徑，弦ABCDEF(第21－A題)O.求證：B．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣，，若矩陣，求矩陣的逆矩陣．C．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷直線（為參數(shù)）與圓的位置關系．D．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）已知都是正實數(shù)，且，求證:．出文字說明、證明過程或演算步驟．22．（本小題滿分10分）在正三棱柱中，已知，，，，分別是，和的中點．以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（第22題）⑵求二面角的余弦值．23．（本小題滿分10分）在平面直角坐標系xOy中，已知平行于軸的動直線交拋物線于點，點為的焦點．圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設的軌跡為曲線．⑴求曲線的方程；⑵若直線與曲線相切于點，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點，．當線段的長度最小時，求的值．數(shù)學參考答案與評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應位置．1．2．3．4．5．7506．7．8．9．10．11．12．13．14．二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或計算步驟．15．（1）在中，由，得為銳角，所以，所以，………………2分所以.………………4分…………6分（2）在三角形中,由，所以，………………8分由，…………10分由正弦定理,得，………12分所以的面積.…………14分16．（1）證明：取的中點，連結因為分別是的中點，所以且在直三棱柱中，，，又因為是的中點，所以且.…………2分所以四邊形是平行四邊形，所以，………………4分而平面，平面，所以平面.……………………6分（第16題）NMBP（2）（第16題）NMBP又因為面，所以面面，…8分又因為，所以，面面，，所以面，………10分又因為面，所以，即，連結，因為在平行四邊形中，，所以，又因為，且，面，所以面，……………………12分而面，所以.……………14分DθABCOE17．（1）設交于點，過作，垂足為，DθABCOE在中，，，…………2分在中，，…………4分所以，……6分（2）要使側(cè)面積最大，由（1）得：…………8分設則，由得：當時，，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在時取得極大值，也是最大值；所以當時，側(cè)面積取得最大值，…………11分此時等腰三角形的腰長答：側(cè)面積取得最大值時，等腰三角形的腰的長度為．…………14分18．（1）設橢圓方程為，由題意知：……………2分解之得：，所以橢圓方程為：……………4分（2）若，由橢圓對稱性，知，所以，此時直線方程為，……………6分由，得，解得（舍去），…………8分故．…………………10分（3）設，則，直線的方程為，代入橢圓方程，得，因為是該方程的一個解，所以點的橫坐標，…12分又在直線上，所以，同理，點坐標為，，……………14分所以，即存在，使得．………16分19．（1）函數(shù)的定義域為當時，，所以………………2分所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得極小值為，無極大值；…4分（2）設函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同，則所以……6分所以，代入得：………………8分設，則不妨設則當時，，當時，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，……………10分代入可得：設，則對恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又所以當時，即當時,……………12分又當時……14分因此當時，函數(shù)必有零點；即當時，必存在使得成立；即存在使得函數(shù)上點與函數(shù)上點處切線相同．又由得：所以單調(diào)遞減，因此所以實數(shù)的取值范圍是．…………………16分20．（1）證明：若，則當(),所以，即，所以，……………2分又由，，得，，即，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列．……………4分（2）若是等比數(shù)列，設其公比為（），當時，，即，得，①當時，，即，得，②當時，，即，得，③②①，得，③②，得，解得．代入①式，得．…………………8分此時()，所以，是公比為１的等比數(shù)列，故．……………………10分（3）證明：若，由，得，又，解得．…………………12分由，，，，代入得，所以，，成等差數(shù)列，由，得，兩式相減得：即所以相減得：所以所以，……14分因為，所以，即數(shù)列是等差數(shù)列.………………16分數(shù)學Ⅱ(附加題)參考答案與評分標準21．A．證明：連接，因為為圓的直徑，所以，又，則四點共圓，所以．…………5分又△∽△，所以，即，∴．…………10分B．因為，………5分所以．………10分C.把直線方程化為普通方程為．……………3分將圓化為普通方程為，即．………………6分圓心到直線的距離，所以直線與圓相切.…………………10分D．證明：因為，…………5分又，所以．…………10分22．（1）因為，則，所以，，………2分記直線和所成角為，則，所以直線和所成角的余弦值為．………4分（2）設平面的法向量為，因為，，則，取得：……………6分設平面的一個法向量為，因為，，則，取得：………8分根據(jù)圖形可知二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；……10分23．（1）因為拋物線的方程為，所以的坐標為，設，因為圓與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點，則直