2021年浙江省寧波市北侖泰河中學高三數學文模擬試題含解析

2021年浙江省寧波市北侖泰河中學高三數學文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.世界華商大會的某分會場有A，B，C，將甲，乙，丙，丁共4名“雙語”志愿者分配到這三個展臺，每個展臺至少1人，其中甲，乙兩人被分配到同一展臺的不同分法的種數（A）12種（B）10種

（C）8種（D）6種i

參考答案：D略2.如圖所示的陰影部分是由x軸，直線x=1及曲線y=ex﹣1圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域OABC內隨機投擲一點，則該點落在陰影部分的概率是（）A． B．C． D．參考答案：D【考點】幾何概型．【分析】求出陰影部分的面積，以面積為測度，即可得出結論．【解答】解：由題意，陰影部分的面積為==e﹣2，∵矩形區(qū)域OABC的面積為e﹣1，∴該點落在陰影部分的概率是．故選D．3.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為()A．8π

B．4π

C．

D．參考答案：A4.設命題p：?x∈[0，+∞），ex≥1，則￢p是（）A．?x0?[0，+∞），＜1

B．?x?[0，+∞），ex＜1C．?x0∈[0，+∞），＜1 D．?x∈[0，+∞），ex＜1參考答案：C【考點】命題的否定．【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題，可以求出￢p．【解答】解：因為命題p是全稱命題，所以利用全稱命題的否定是特稱命題可得：￢p：?x0∈[0，+∞），．故選：C5.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：的左，右焦點，點P是C右支上一點，若，且，則C的離心率為（

）A.5 B.4 C. D.參考答案：A【分析】在直角三角形PF1F2中，表示出PF1，PF2，再根據雙曲線的定義以及離心率的公式可得．【詳解】解：在三角形PF1F2中，因為0，所以∠F1PF2＝90°，∴PF1＝F1F2?cos∠PF1F2＝2c?，PF2＝F1F2?sin∠PF1F2＝2c?，∴2a＝PF1﹣PF2，∴e5．故選：A．【點睛】本題考查了雙曲線的性質，屬于基礎題．6.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，則C的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】橢圓的簡單性質．【分析】由已知條件，利用余弦定理求出|AF|，設F′為橢圓的右焦點，連接BF′，AF′．根據對稱性可得四邊形AFBF′是矩形，由此能求出離心率e．【解答】解：如圖所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，設F′為橢圓的右焦點，連接BF′，AF′．根據對稱性可得四邊形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故選B．【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理、橢圓的對稱性等知識點的合理運用．7.設i為虛數單位，則復數（1+i）2=（）A．0 B．2 C．2i D．2+2i參考答案：C【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】利用復數的運算法則即可得出．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故選：C．8.已知集合則A．B.C.D.參考答案：C9.已知，是平面外的兩條直線，且，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：C10.命題“”的否定是（

）A.

B.C.

D.

參考答案：C知識點：命題的否定解析：根據全稱命題的否定是特稱命題，則命題“”的否定，故選：C．【思路點撥】根據全稱命題的否定是特稱命題即可得到結論．

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在區(qū)間[0,2]上任取兩個實數a,b，則函數f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[-1,1]上有且只有一個零點的概率是.參考答案：【知識點】線性規(guī)劃利用導數研究函數的單調性零點與方程解：因為所以為使函數f(x)=x3+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且只有一個零點，只需，

所以

故答案為：

12.展開式中的系數為__________.參考答案：略13.已知=1，=，·=0，點C在∠AOB內，且∠AOC=30°，設=m+n（m，n∈Ｒ），則=________。參考答案：3因為,所以，以為邊作一個矩形，對角線為.因為∠AOC=30°，所以,所以,所以,即。又,所以，所以如圖。14.a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線AB與a成角時，AB與b成角；②當直線AB與a成角時，AB與b成角；③直線AB與a所成角的最小值為；④直線AB與a所成角的最大值為．其中正確的是________（填寫所有正確結論的編號）參考答案：②③由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設圖中所示正方體邊長為1，故，，斜邊以直線為旋轉軸旋轉，則點保持不變，點的運動軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．以為坐標原點，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系．則，，直線的方向單位向量，．點起始坐標為，直線的方向單位向量，．設點在運動過程中的坐標，其中為與的夾角，．那么在運動過程中的向量，．設與所成夾角為，則．故，所以③正確，④錯誤．設與所成夾角為，.當與夾角為時，即，．∵，∴．∴．∵．∴，此時與夾角為．∴②正確，①錯誤．

15.設θ為第二象限角，若則sinθ＋cosθ＝

．參考答案：略16.由曲線y＝，直線y＝x－2及y軸所圍成的圖形的面積為

．參考答案：【知識點】定積分B13【答案解析】解析：解：如圖所示：聯(lián)立解得，∴M（4，2）．由曲線y=，直線y=x﹣2及y軸所圍成的圖形的面積S===．故答案為．

【思路點撥】利用微積分基本定理即可求出17.曲線y=x(3lnx+1)在點處的切線方程為_____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分）已知函數.（1）若曲線在處的切線為，求的值；（2）設，，證明：當時，的圖象始終在的圖象的下方；（3）當時，設，（為自然對數的底數），表示導函數，求證：對于曲線上的不同兩點，，，存在唯一的，使直線的斜率等于．參考答案：【知識點】導數,導數應用B11

B12（1）（2）略(3)略解析：(1)，此時，又，所以曲線在點處的切線方程為，由題意得，，.

………3分（2）則在單調遞減，且當時，即，當時，的圖像始終在的圖象的下方.

……………

7分（3）由題得，，，∵，∴，∴，即， ………9分設,則是關于的一次函數，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在區(qū)間上滿足.下面證明之：，，為了判斷的符號，可以分別將看作自變量得到兩個新函數，討論他們的最值：，將看作自變量求導得，是的增函數，∵，∴；………..11分同理：，將看作自變量求導得，是的增函數，∵，∴；∴，

∴函數在內有零點，……………..13分又，函數在是增函數，∴函數在內有唯一零點，從而命題成立.

……14分【思路點撥】（1）由題意直接求解即可；（2）要證當時，的圖象始終在的圖象的下方，就是證明當時，；令，由導數易得在單調遞減，且當時，即得證.（3），，∵，得，設,則是關于的一次函數，故要在區(qū)間證明存在唯一性，只需證明在區(qū)間上滿足.19.求一切實數p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三個根均為正整數．參考答案：解：x=1是方程的一個根．于是只要考慮二次方程

5x2－5px+66p－1=0的兩個根為正整數即可．設此二正整數根為u、v．則由韋達定理知，

消去p，得5uv－66(u+v)=－1．同乘以5：52uv－5×66u－5×66v=－5．∴(5u－66)(5v－66)=662－5=4351=19×229．由于u、v均為整數，故5u－66、5v－66為整數．∴

∴其中使u、v為正整數的，只有u=17，v=59這一組值．此時p=76．20.已知函數．（1）求不等式的解集；（2）若對任意都存在，使得成立，求實數a的取值范圍.參考答案：（1）（2）【分析】(1)由題意求解絕對值不等式可得不等式的解集；(2)將原問題轉化為函數值域之間的包含關系問題，然后分類討論可得實數a的取值范圍.【詳解】（1）由得，∴，∴，∴，∴不等式的解集為.（2）設函數的值域為，函數的值域為，∵對任意都存在，使得成立，.∴，∵，∴，①當時，，此時，不合題意；②當時，，此時，∵，∴，解得；③當時，，此時，∵，∴，解得.綜上所述，實數的取值范圍為.【點睛】絕對值不等式的解法：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現(xiàn)了函數與方程的思想．21.

已知，f1（x）=f′0（x），

f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n﹣1（x）（n∈N*）．（Ⅰ）請寫出fn（x）的表達式（不需證明）；（Ⅱ）設fn（x）的極小值點為Pn（xn，yn），求yn；（Ⅲ）設，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，試求a﹣b的最小值．參考答案：解：（Ⅰ）（n∈N*）．（Ⅱ）∵，∴當x＞﹣（n+1）時，；當x＜﹣（n+1）時，．∴當x=﹣（n+1）時，fn（x）取得極小值，即（n∈N*）．（Ⅲ）解法一：∵，所以．又，∴a﹣b=（n﹣3）2+e﹣（n+1），令h（x）=（x﹣3）2+e﹣（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x﹣3）﹣e﹣（x+1）．∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，∴h'（x）≥h'（0）=﹣6﹣e﹣1，∵h'（3）=﹣e﹣4＜0，h'（4）=2﹣e﹣5＞0，∴存在x0∈（3，4）使得h'（x0）=0．∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，∴當0≤x＜x0時，h'（x0）＜0；當x＞x0時，h'（x0）＞0，即h（x）在[x0，+∞）單調遞增，在[0，x0）單調遞減，∴（h（x