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宣威市第二中學(xué)函數(shù)的基本性質(zhì):?jiǎn)握{(diào)性與最值2020年11月16教學(xué)目標(biāo):知識(shí)教學(xué)目標(biāo):1.理解函數(shù)的單調(diào)性概念及求函數(shù)的最大(小)值;2.會(huì)判定函數(shù)的單調(diào)性和會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值。能力訓(xùn)練目標(biāo):1.培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷、推理、靈活應(yīng)用的能力.2.加強(qiáng)化歸轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練.情感滲透目標(biāo):1.通過(guò)新概念的引進(jìn)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生探索問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納概括的能力.2.培養(yǎng)學(xué)生辨證思維、求異思維等能力.重點(diǎn):1.函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義;2.函數(shù)的最大(?。┲导捌鋷缀我饬x
。難點(diǎn)
:利用函數(shù)的單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性及求最值.過(guò)程與方法
:?jiǎn)l(fā)引導(dǎo),充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用
.觀察下列函數(shù)圖象,體會(huì)它們的特點(diǎn):引入新課②③①xoy②
在上面的四幅函數(shù)圖象中,有的圖象由左至右是上升的;有的圖象是下降的;還有的圖象有的部分是下降的,有的部分是上升的.函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)——單調(diào)性.如何描述函數(shù)圖象的“上升”“下降”呢?以二次函數(shù)f(x)=x2
為例,列出x,y的對(duì)應(yīng)值表:x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…對(duì)比左圖和上表,可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?圖象在y軸左側(cè)“下降”,也就是,在區(qū)間(-∞,0]上隨著x的增大,相應(yīng)的f(x)反而隨著減小;圖象在y軸右側(cè)“上升”,也就是,在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,相應(yīng)的f(x)也隨著增大.思考
如何利用函數(shù)解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大,相應(yīng)的f(x)反而隨著減小.”“隨著x的增大,相應(yīng)的f(x)也隨著增大.”?有同學(xué)認(rèn)為可以這樣描述:
在區(qū)間(0,+∞)上,x1<x2時(shí),有f(x1)<f(x2).他并且畫(huà)出了如下示意圖,你認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎?
對(duì)于二次函數(shù)f(x)=x2,我們可以這樣來(lái)描述“在區(qū)間(0,+∞)上隨著x的增大,相應(yīng)的f(x)也隨著增大.”:
你能仿照這樣的描述,說(shuō)明函數(shù)f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù)嗎?試一試:一、函數(shù)單調(diào)性的定義:如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)).區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)>f(x2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是(減函數(shù))區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。注意比較這兩句話的不同之處和共同之處.想一想為了說(shuō)明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù),我們應(yīng)該重點(diǎn)說(shuō)明哪些要素?1.如圖所示,函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間有________,遞減區(qū)間有________.解析:結(jié)合圖象可知,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,-2],[0,1]上是減函數(shù),在[-2,0]及[1,+∞)上是增函數(shù).答案:
[-2,0],[1,+∞)
(-∞,-2],[0,1]引例:2.函數(shù)y=-x2的單調(diào)增區(qū)間為(
)A.(-∞,0]
B.[0,+∞)C.(0,+∞) D.(-∞,+∞)解析:
畫(huà)出y=-x2的圖象,可知函數(shù)在(-∞,0]上單調(diào)遞增.答案:
A用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例3、證明:函數(shù)
在(0,+∞)上是減函數(shù)。第一步:取值第二步:作差變形第三步:定號(hào)第四步:判斷下結(jié)論證明:
設(shè)x1,x2是(0+∞)上任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2則f(x1)-f(x2)=由于x1,x2,得x1x2>0,又由x1<x2,得x2-x1>0,所以f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2).
因此f(x)=1/x在(0,+∞)上是減函數(shù).例2證明函數(shù)在R上是增函數(shù).證明:設(shè)是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且
則:在R上是增函數(shù).
1.任取x1,x2∈A,且x1<x2;2.作差f(x1)-f(x2);3.變形(通常是因式分解和配方);4.定號(hào)(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負(fù));5.下結(jié)論(即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).
利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟:
4、如圖為函數(shù)y=f(x),x∈[-3,8]的圖象,指出它的單調(diào)區(qū)間.
練習(xí):解析:結(jié)合圖象可知,函數(shù)y=f(x)
的單調(diào)增區(qū)間為[-1,2],[5,7].
單調(diào)減區(qū)間為[-3,-1],[2,5],[7,8].[解題過(guò)程]
觀察函數(shù)圖象可以知道,圖象上位置最高的點(diǎn)是(2,3),最低的點(diǎn)是(-1,-3),所以函數(shù)y=f(x)當(dāng)x=2時(shí),取得最大值,最大值是3,當(dāng)x=-1.5時(shí),取得最小值,最小值是-3..探究新知
1、指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),并說(shuō)明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征?問(wèn)題:
2、你能根據(jù)以上問(wèn)題給出最大值、最小值的概念嗎?趕快開(kāi)動(dòng)腦筋,想一想!二、函數(shù)最值的定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值同樣的可以給出最小值的定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)對(duì)于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值二、函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I,都有
②存在x0∈I,使得
①對(duì)于任意x∈I,都有②存在x0∈I,使得
結(jié)論M為最大值M為最小值f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M1.從函數(shù)f(x)=x2的圖象上還可看出,當(dāng)x=0時(shí),y=0是所有函數(shù)_______.而對(duì)于f(x)=-x2來(lái)說(shuō),x=0時(shí),y=0是所有函數(shù)值中_______.最小值最大值引例:C引例:答案:C1.函數(shù)f(x)(-2≤x≤2)的圖象如圖所示,則函數(shù)的最大值、最小值分別為(
)
A.f(2),f(-2)
B.f(12),f(-1)
C.f(12),f(-32)
D.f(12),f(0)
練一練·當(dāng)堂檢測(cè)、目標(biāo)達(dá)成落實(shí)處練習(xí):對(duì)于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1x21-1x22=x22-x21x21x22=(x2-x1)(x2+x1)x21x22.
∵x1<x2<0,
∴x2-x1>0,x1+x2<0,x21x22>0.
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
∴函數(shù)f(x)=1x2在(-∞,0)上是增函數(shù).
2、判斷函數(shù)
f(x)=1x2在(-∞,0)上是增函數(shù)還是減函數(shù),并證明你的結(jié)論是增函數(shù),證明如下:上解:
f(x)=1x2在(-∞,0)練習(xí):1.利用函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間、比較大小、解不等式、求變量的取值是歷年高考考查的熱點(diǎn).2.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,及利用它們求參數(shù)取值范圍問(wèn)題是重點(diǎn),也是難點(diǎn).3.題型以選擇題和填空題為主,與導(dǎo)數(shù)交匯命題則會(huì)以解答題的形式出現(xiàn).怎么考?走向高考賽場(chǎng):
對(duì)于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x),若對(duì)于D上的任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)<(>)f(x2),則稱f(x)是D上的增(減)函數(shù),區(qū)間D稱為f(x)的增(減)區(qū)間。1、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么?小結(jié):1、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么?2、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么?
證明函數(shù)單調(diào)性應(yīng)該按下列步驟進(jìn)行:第一步:取值第二步:作差變形第三步:定號(hào)第四步:判斷下結(jié)論小結(jié):1、函數(shù)單調(diào)性的定義是什么?2、證明函數(shù)單調(diào)性的步驟是什么?
小結(jié):一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:(1)
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