第三節(jié)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

一.無(wú)偏性則稱是的無(wú)偏估計(jì)量.第3節(jié)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量是隨機(jī)變量，對(duì)于不同的樣本值會(huì)得到不同的估計(jì)值。如果希望估計(jì)值在未知參數(shù)真值附近擺動(dòng)，而它的期望值等于未知參數(shù)的真值。這就引出無(wú)偏性這個(gè)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)。定義：設(shè)是的估計(jì)量，若存在且對(duì)任意的有：注:在科學(xué)技術(shù)中稱為以作為的估計(jì)的系統(tǒng)誤差。則無(wú)偏估計(jì)即無(wú)系統(tǒng)誤差。無(wú)偏性的實(shí)際意義是指沒(méi)有系統(tǒng)性的偏差。它是用數(shù)學(xué)期望衡量其靠近真值的程度。用樣本均值作為總體均值的估計(jì)時(shí)，雖無(wú)法說(shuō)明一次估計(jì)所產(chǎn)生的偏差，但這種偏差隨機(jī)地在“0〞的周圍波動(dòng)，對(duì)同一統(tǒng)計(jì)問(wèn)題大量重復(fù)使用不會(huì)產(chǎn)生系統(tǒng)偏差。

例如：例1.設(shè)總體X的均值,方差都存在，若證明:的兩個(gè)估計(jì)量前者是有偏的，后者是無(wú)偏的。證明:是有偏的.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（樣本方差）是無(wú)偏的。結(jié)論:樣本均值、樣本方差作為總體均值、總體方差的估計(jì)量是無(wú)偏的，它要比矩估計(jì)法，極大似然估計(jì)法出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量更接近于真值。所以：一般可取樣本均值與方差作為總體均值與方差的估計(jì)量。二.有效性注意到，一個(gè)參數(shù)往往有不止一個(gè)無(wú)偏估計(jì),若和都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，又由于，這就引出有效

性這個(gè)評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)。較和的大小來(lái)決定二者誰(shuí)則可通過(guò)比更優(yōu)。定義：的估計(jì)，且兩個(gè)樣本的容量相等。若：設(shè)與都是的無(wú)偏則稱較

有效。注:有效性指的是在同是的無(wú)偏估計(jì)量的前提下,希望估計(jì)值與真值的偏離程度越小越好。一般稱方差愈小的估計(jì)量愈有效。例2.求:與哪個(gè)作為的無(wú)偏估計(jì)更有效？解:且顯然，若總體X的均值為方差，但均為未知，現(xiàn)有兩個(gè)的無(wú)偏估計(jì)量：用作為的估計(jì)量更有效。

三.一致性(相合性)注意到，前面介紹的無(wú)偏性和有效性都是在樣本容量n固定的前提下提出的。當(dāng)樣本容量n增大時(shí)自然希望估計(jì)量對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)更精確；

再注意到，在無(wú)偏估計(jì)類中所討論的是以估計(jì)量的方差的大小作為衡量估計(jì)量為“最優(yōu)〞的準(zhǔn)那么。但是無(wú)偏估計(jì)類中方差為最小或較小的估計(jì)量不一定比某個(gè)有偏的估計(jì)量的方差來(lái)的??；另外，有偏與無(wú)偏是反映估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望是否等于被估計(jì)的參數(shù)的真值；方差的大小是反映估計(jì)量的觀測(cè)值與被估計(jì)的參數(shù)的真值的離散程度。如果希望在偏差性與離散性兩者兼顧的原那么下建立估計(jì)量為“最優(yōu)〞的準(zhǔn)那么，這就引出相合性的概念。則稱為的一致估計(jì)量(相合估計(jì)量)注:一般，一致性〔相合性〕是要在樣本容量相當(dāng)大時(shí)才能顯示出其優(yōu)越性。但這在實(shí)際中很難做到。因此在工程中經(jīng)常使用的是無(wú)偏性和有效性這兩條衡量估計(jì)量為“最優(yōu)〞的準(zhǔn)那么。定義：設(shè)為參數(shù)的估計(jì)量，若對(duì)于任意的當(dāng)時(shí)依概率收斂于但值得指出的是：假設(shè)估計(jì)量不具有相合性，那么不管將樣本容量n取的多大，都不能使得待估計(jì)量估計(jì)的足夠準(zhǔn)確。即：似然函數(shù)為