2022-2023學(xué)年重慶云陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年重慶云陽(yáng)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(

)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C略2.為了得到函數(shù)y=3cos2x的圖象，只需把函數(shù)y=3sin（2x+）的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專(zhuān)題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由條件根據(jù)誘導(dǎo)公式、函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y=3cos2x=3sin（2x+），把函數(shù)y=3sin（2x+）的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=3sin[2（x+）+]=3sin（2x+）的圖象，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，統(tǒng)一這兩個(gè)三角函數(shù)的名稱(chēng)，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3.已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱(chēng)且f（﹣）=0，如果存在實(shí)數(shù)x0，使得對(duì)任意的x都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+），則ω的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．8參考答案：B【考點(diǎn)】HW：三角函數(shù)的最值；H6：正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性．【分析】由題意直線x=是對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心為（﹣，0），根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可求ω的最小值．【解答】解：函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于x=對(duì)稱(chēng)且f（﹣）=0，∴ω+φ=kπ+…①，﹣ω+φ=kπ…②，ωx0+φ≤+2kπ且（ωx0+φ）≥﹣+2kπ…③由①②解得ω=4，φ=kπ+，（k∈Z）當(dāng)k=0時(shí)，ω=4，φ=，③成立，滿足題意．故得ω的最小值為4．故選B．4.△ABC中，a=，b=3，c=2，則∠A=（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【專(zhuān)題】解三角形．【分析】由余弦定理cosA=，代入數(shù)據(jù)，再由特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算即可得到A．【解答】解：由余弦定理直接得，且A∈（0°，180°），得A=60°，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.若函數(shù)f（x）=（x2﹣x）ex﹣m有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（0，e） B．（﹣，0] C．（e，+∞） D．（﹣，e]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】函數(shù)f（x）=（x2﹣x）ex﹣m有三個(gè)零點(diǎn)，即：方程（x2﹣x）ex=m有三個(gè)根，令g（x）=（x2﹣x）ex，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）單調(diào)性，結(jié)合圖象即可求解．【解答】解：函數(shù)f（x）=（x2﹣x）ex﹣m有三個(gè)零點(diǎn)，即：方程（x2﹣x）ex=m有三個(gè)根，令g（x）=（x2﹣x）ex，∴g′（x）=ex（x2+x﹣）=0，∴x=1或x=﹣，∴當(dāng)x∈（﹣∞，﹣）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（﹣，1）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增；

∴x=﹣時(shí)，g（x）max=g（﹣）=e，x=1時(shí)，g（x）min=g（1）=﹣e﹣1，結(jié)合圖象可得m∈（0，e），故選：A【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本知識(shí)，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查運(yùn)算能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題，6.已知體積為的長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，在這個(gè)長(zhǎng)方體經(jīng)過(guò)同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面中，如果有兩個(gè)面的面積分別為、,那么球的體積等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：設(shè)這兩個(gè)面的邊長(zhǎng)分別為,則不妨設(shè),則,則該長(zhǎng)方體的外接球的直徑,故球的體積為,應(yīng)選A.考點(diǎn)：球與幾何體的外接和體積的計(jì)算.7.設(shè){}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a3＝4，a5＝16，則數(shù)列{}的前5項(xiàng)和為A．41

B．15

C．32

D．31參考答案：D8.（理科）地球北偉45°緯度圈上有A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在東經(jīng)30°處，點(diǎn)B在東經(jīng)120°處，如圖，若地球半徑為R，則A、B兩點(diǎn)在緯度圈上的劣弧長(zhǎng)與A、B兩點(diǎn)的球面距離之比是

（

）

A．4：3

B．

C．

D．參考答案：D略9.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A略10.已知非零向量、，滿足，則函數(shù)是

A.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

B.非奇非偶函數(shù)

C.奇函數(shù)

D.偶函數(shù)參考答案：D因?yàn)?，所以，所以，所以為偶函?shù)，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)，其定義域?yàn)?/p>

。參考答案：答案：

12.數(shù)列{}（n∈N*）的前n項(xiàng)的和Sn=．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和．專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：an==，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．解答：解：an==，∴Sn=…+==．故答案為：．點(diǎn)評(píng)：本題考查了“裂項(xiàng)求和”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)，若且，則的取值范圍

參考答案：

14.已知，，則

.參考答案：15.若關(guān)于的不等式的解集是，則=．參考答案：316..已知兩個(gè)單位向量，滿足，則與的夾角為_(kāi)______參考答案：【分析】通過(guò)平方運(yùn)算將模長(zhǎng)變?yōu)閿?shù)量積運(yùn)算的形式，可構(gòu)造出關(guān)于夾角余弦值的方程，從而求得夾角.【詳解】由題意知：

本題正確結(jié)果：17.若，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．參考答案：672【分析】先由微積分基本定理求出，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?；所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，令，則，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查微積分基本定理和二項(xiàng)式定理，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（12分）（2014?嘉興二模）已知a∈R，函數(shù)m（x）=x2，n（x）=aln（x+2）．（Ⅰ）令f（x）=，若函數(shù)f（x）的圖象上存在兩點(diǎn)A、B滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），且線段AB的中點(diǎn)在y軸上，求a的取值集合；（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=m（x）+n（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，求g（x1）+g（x2）的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】：數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專(zhuān)題】：綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】：（Ⅰ）不妨設(shè)A（t，aln（t+2）），B（﹣t，t2），利用OA⊥OB，再分離參數(shù)，即可求a的取值集合；（Ⅱ）函數(shù)g（x）=m（x）+n（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，g′（x）=0，即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）上存在兩個(gè)不等的實(shí)根，可得0＜a＜2，x1+x2=﹣2，x1x2=，表示出g（x1）+g（x2），確定其單調(diào)性，即可求g（x1）+g（x2）的取值范圍．解：（Ⅰ）由題意，不妨設(shè)A（t，aln（t+2）），B（﹣t，t2）（t＞0）∴OA⊥OB，∴﹣t2+at2ln（t+2）=0，∴a=，∵ln（t+2）∈（ln2，+∞），∴a的取值集合為（0，）；（Ⅱ）g（x）=m（x）+n（x）=x2+aln（x+2），∴g′（x）=，∵函數(shù)g（x）=m（x）+n（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，∴g′（x）=0，即2x2+4x+a=0在（﹣2，+∞）上存在兩個(gè)不等的實(shí)根，令p（x）=2x2+4x+a，∴△=16﹣8a＞0且p（﹣2）＞0，∴0＜a＜2，∵x1+x2=﹣2，x1x2=，∴g（x1）+g（x2）=x12+aln（x1+2）+x22+aln（x2+2）=（x1+x2）2﹣2x1x2+aln[x1x2+2（x1+x2）+4]=aln﹣a+4令q（x）=xln﹣x+4，x∈（0，2），∴q′（x）=ln＜0，∴q（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，∴2＜aln﹣a+4＜4∴g（x1）+g（x2）的取值范圍是（2，4）．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．19.（本小題滿分13分）已知公差的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．參考答案：（1）設(shè)公差為d.由已知得………3分解得，所以………6分（2），…………9分對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立

又∴的最小值為……………13分20.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明EF∥平面A1CD；（Ⅱ）若三棱柱ABC﹣A1B1C1為直棱柱，求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定．【分析】（I）連接DE，通過(guò)證明四邊形A1DEF是平行四邊形得出EF∥A1D，從而EF∥平面A1CD；（II）過(guò)B作BM⊥A1D交延長(zhǎng)線于M，連接CM，則可證BM⊥平面A1CD，即∠BCM為所求線面角，設(shè)三棱柱棱長(zhǎng)為1，利用三角形相似求出BM即可得出sin∠BCM=．【解答】證明：（I）連接DE，∵D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，∴DEAC，∵F是A1C1的中點(diǎn)，∴A1F=A1C1，又ACA1C1，∴A1FDE，∴四邊形A1DEF是平行四邊形，∴EF∥A1D，又EF?平面A1CD，A1D?平面A1CD，∴EF∥平面A1CD．（II）過(guò)B作BM⊥A1D交延長(zhǎng)線于M，連接CM，∵ABC是等邊三角形，∴CD⊥AB，又A1A⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴A1A⊥CD，∴CD⊥平面ABCD，又BM?平面ABCD，∴CD⊥BM，又CD?平面A1CD，A1D?平面A1CD，CD∩A1D=D，∴BM⊥平面A1CD，∴∠BCM為直線BC與平面A1CD所成的角，設(shè)直三棱柱棱長(zhǎng)為1，則BM=，∴sin∠BCM==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．21.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB=．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．參考答案：【考點(diǎn)】HR：余弦定理；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；HP：正弦定理．【分析】（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將b與cosB的值代入，利用完全平方公式變形，求出acb的值，與a+c的值聯(lián)立即可求出a與c的值即可；（2）先由cosB的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，進(jìn)而求出cosA的值，所求式子利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將各自的值代入計(jì)算即可求出值．【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2a