經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)PPT完整版全套教學(xué)課件

全套PPT課件1.1

區(qū)間及鄰域1.1.1區(qū)間1.1.2鄰域區(qū)間的名稱和記號的引入有限區(qū)間

任何一個變量都有一定的變化范圍．如果變量的變化范圍是連續(xù)的，常用一種特殊的數(shù)集——區(qū)間來表示．1.1.1

區(qū)間圖（c）圖（d）圖（b）圖（a）區(qū)間的名稱和記號的引入在無限區(qū)間中，區(qū)間的端點(diǎn)（如上述的

a,b）可以無限擴(kuò)展，即無限區(qū)間（1）區(qū)間是實(shí)數(shù)集的子集．（2）

和

分別表示“正無窮大”和“負(fù)無窮大”，

它們不是數(shù)，僅僅是一個記號．注意1.1.1

區(qū)間鄰域的引入圖（a）圖（b）1.1.2

鄰域1.2函數(shù)的概念與性質(zhì)1.2.3函數(shù)的性質(zhì)1.2.4反函數(shù)1.2.2函數(shù)的表示法1.2.1函數(shù)的概念定義1注意特別強(qiáng)調(diào)1.2.1

函數(shù)的概念例1解1.2.1

函數(shù)的概念例2解解函數(shù)的兩個要素

如果兩個函數(shù)的定義域、對應(yīng)法則均相同，那么可以認(rèn)為這兩個函數(shù)是同一函數(shù)；反之，如果兩要素中有一個不同，則這兩個函數(shù)就不是同一函數(shù)．函數(shù)對應(yīng)法則定義域例如1.2.1

函數(shù)的概念1.2.2

函數(shù)的表示法函數(shù)可以用至少3種不同的方法來表示，即解析法、表格法、圖示法．解析法（公式法）1

把兩個變量之間的關(guān)系直接用數(shù)學(xué)式子表示出來，必要時還可以注明函數(shù)的定義域、值域，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法．

這在高等數(shù)學(xué)中是最常見的函數(shù)表示法，它有顯式、隱式和參數(shù)式之分，如顯式隱式參數(shù)式

在自變量的不同變化范圍內(nèi)，對應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)．1.2.2

函數(shù)的表示法例3例4例51.2.2

函數(shù)的表示法例6分析1.2.2

函數(shù)的表示法例6解表格法2

表格法是把自變量和因變量的對應(yīng)值用表格形式列出的方法．這種表示法有較強(qiáng)的實(shí)用價值，如三角函數(shù)表、常用對數(shù)表等．3圖示法

圖示法是用某坐標(biāo)系下的一條曲線反映自變量與因變量的對應(yīng)關(guān)系的方法．

這種方法的幾何直觀性強(qiáng)，函數(shù)的基本性態(tài)一目了然，但它不利于理論研究．1.2.2

函數(shù)的表示法單調(diào)性11.2.3函數(shù)的性質(zhì)例如例如單調(diào)區(qū)間1.2.3函數(shù)的性質(zhì)奇偶性2

在定義區(qū)間上都是偶函數(shù).

在定義區(qū)間上都是奇函數(shù)．例如特別強(qiáng)調(diào)偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱．1.2.3函數(shù)的性質(zhì)有界性3例如由此可見，籠統(tǒng)地說某個函數(shù)是有界函數(shù)或無界函數(shù)是不確切的，必須指明其所討論的區(qū)間.1.2.3函數(shù)的性質(zhì)周期性4例如通常所說周期函數(shù)的周期是指它們的最小正周期.1.2.3函數(shù)的性質(zhì)例7解解解1.2.4反函數(shù)定義2注意特別強(qiáng)調(diào)1.2.4反函數(shù)例8求下列函數(shù)的反函數(shù)．解解1.3初等函數(shù)1.3.2復(fù)合函數(shù)1.3.3初等函數(shù)1.3.1基本初等函數(shù)1.3.1基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)1冪函數(shù)21.3.1基本初等函數(shù)指數(shù)函數(shù)31.3.1基本初等函數(shù)對數(shù)函數(shù)41.3.1基本初等函數(shù)三角函數(shù)5余弦函數(shù)y=cosx余切函數(shù)y=cotx余割函數(shù)y=cscx正弦函數(shù)y=sinx正切函數(shù)y=tanx正割函數(shù)y=secx三角函數(shù)有以下幾種1234561.3.1基本初等函數(shù)1.3.1基本初等函數(shù)反三角函數(shù)6反余弦函數(shù)y=arccosx反余切函數(shù)y=arccotx反正弦函數(shù)y=arcsinx反正切函數(shù)y=arctanx反三角函數(shù)有以下幾種12341.3.1基本初等函數(shù)1.3.1基本初等函數(shù)例9求下列反三角函數(shù)的值．（1）（2）（3）（4）（1）因

，且,故（2）因

，故（3）因

，且故（4）因

故解1.3.2復(fù)合函數(shù)引例定義2注意1.3.2復(fù)合函數(shù)注意1.3.2復(fù)合函數(shù)注意例10解例11解1.3.2復(fù)合函數(shù)1.3.2復(fù)合函數(shù)1.3.2復(fù)合函數(shù)例12解1.3.3基本初等函數(shù)定義1例如1.4經(jīng)濟(jì)與商務(wù)中

的常用函數(shù)1.4.3成本函數(shù)1.4.4收益函數(shù)與利潤函數(shù)1.4.2供給函數(shù)1.4.1需求函數(shù)1.4.1需求函數(shù)例131.4.1需求函數(shù)1.4.1需求函數(shù)例14市場上小麥的需求量（每月）如表所示．價格/（千元/t）12345678需求量/t30252015121098畫出需求函數(shù)的曲線如圖所示．由圖可知，小麥的需求量是價格的減函數(shù)，即當(dāng)增加時，

下降．這一性質(zhì)在經(jīng)濟(jì)學(xué)上稱為需求下傾斜規(guī)律，這一規(guī)律適合許多商品.1.4.2需求函數(shù)例15價格

/（千元/t）12345678供給量/t024571016251.4.2需求函數(shù)1.4.3成本函數(shù)成本變動成本固定成本1.4.4收益函數(shù)收益函數(shù)1.4建立函數(shù)關(guān)系式注意例16解建立函數(shù)關(guān)系式注意例17解建立函數(shù)關(guān)系式注意例18解建立函數(shù)關(guān)系式2.1函數(shù)的極限2.1.4兩個重要極限2.1.5無窮小的比較2.1.2函數(shù)的極限2.1.3極限性質(zhì)和運(yùn)算法則2.1.1數(shù)列的極限2.1.1

數(shù)列的極限數(shù)列極限的定義1定義1定義22.1.1

數(shù)列的極限例1解2.1.1

數(shù)列的極限例1解特別強(qiáng)調(diào)

2.1.1

數(shù)列的極限數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則2夾逼準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則2.1.2

函數(shù)的極限2.1.2

函數(shù)的極限2.1.2

函數(shù)的極限引例12.1.2

函數(shù)的極限2.1.2

函數(shù)的極限定義32.1.2

函數(shù)的極限定義4結(jié)論2.1.2

函數(shù)的極限引例2定義52.1.2

函數(shù)的極限左極限右極限結(jié)論定義4例如提示2.1.2

函數(shù)的極限4無窮小量2.1.2

函數(shù)的極限無窮小的如下性質(zhì)：1234例如定義4例如提示2.1.2

函數(shù)的極限4無窮大量2.1.2

函數(shù)的極限無窮小量與無窮大量的關(guān)系：2.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則1函數(shù)的性質(zhì)定理4定理2定理3定理12.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則2極限的運(yùn)算法則定理5提示2.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則例2解例3解2.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則例4解2.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則例5解2.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則例6解2.1.3

極限性質(zhì)和運(yùn)算法則例7解結(jié)論2.1.4

兩個重要極限12.1.4

兩個重要極限2x1010010001000010000010000002.593742.704812.716922.718152.718272.71828x-10-100-1000-10000-100000-10000002.867972.731992.719642.718422.718302.718282.1.4

兩個重要極限例8解2.1.5

無窮小的比較定義8上述定義對變量的其他變化過程同樣成立．例如結(jié)論2.1.5

無窮小的比較定理6推論2.2函數(shù)的連續(xù)性2.2.3初等函數(shù)的連續(xù)性2.2.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)2.2.1連續(xù)函數(shù)的概念2.2.2間斷點(diǎn)2.2.1

連續(xù)函數(shù)

的概念引例例如2.2.1

連續(xù)函數(shù)

的概念定義1結(jié)論2.2.1

連續(xù)函數(shù)

的概念定義22.2.2

間斷點(diǎn)123第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)2.2.3

初等函數(shù)的

連續(xù)性定理4定理2定理3定理12.2.3

初等函數(shù)的

連續(xù)性結(jié)論2.2.4閉區(qū)間上連續(xù)

函數(shù)的性質(zhì)定理7定理6定理5*2.3利息函數(shù)2.3.3連續(xù)復(fù)利計(jì)算2.3.2復(fù)利計(jì)算2.3.1單利計(jì)算

導(dǎo)入2.3.1

區(qū)間單利計(jì)算是指只在本金上計(jì)算利息的計(jì)算方式．2.3.2復(fù)利計(jì)算復(fù)利計(jì)算是指除本金計(jì)算利息外，所生利息也計(jì)算利息的計(jì)算方式．2.3.2復(fù)利計(jì)算單利計(jì)算和復(fù)利計(jì)算的區(qū)別：122.3.3連續(xù)復(fù)利計(jì)算引例時期3個月6個月1年2年3年5年年利率/%2.884.145.225.586.216.662.3.3連續(xù)復(fù)利計(jì)算例2解特別強(qiáng)調(diào)2.3.3連續(xù)復(fù)利計(jì)算例3解3.1

導(dǎo)數(shù)的概念3.1.3導(dǎo)數(shù)的意義3.1.4函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系3.1.5初等基本函數(shù)的求導(dǎo)公式3.1.1兩個例子3.1.2導(dǎo)數(shù)的定義1．變速直線運(yùn)動的瞬時速度在解決實(shí)際問題時，除了需要了解變量之間的函數(shù)關(guān)系以外，還需借助極限工具來研究函數(shù)局部的變化率．這類例子可在許多領(lǐng)域中找到，下面先介紹兩個經(jīng)典例子．3.1.1

兩個例子3.1.1

兩個例子2．切線斜率問題3.1.1

兩個例子3.1.2

導(dǎo)數(shù)的定義定義13.1.2

導(dǎo)數(shù)的定義定義23.1.2

導(dǎo)數(shù)的定義由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的方法可概括為以下3步：例1解3.1.2

導(dǎo)數(shù)的定義例2解例3解3.1.2

導(dǎo)數(shù)的定義3.1.3

導(dǎo)數(shù)的意義例5解3.1.3

導(dǎo)數(shù)的意義3.1.4

函數(shù)可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系例如3.1.5

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式按求導(dǎo)步驟求出的下列基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可作為公式直接使用．132457683.1.5

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1513119161412103.2函數(shù)的求導(dǎo)法則3.2.1函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則3.2.2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.2.3隱函數(shù)求導(dǎo)3.2.4反函數(shù)的求導(dǎo)法則3.2.5高階導(dǎo)數(shù)定理1例如注意3.2.1

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則例1解3.2.1

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則提示例2例3例4解解3.2.1

函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則解定理23.2.2

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例5例6解解3.2.2

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例7例8解解3.2.2

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則3.2.3

隱函數(shù)求導(dǎo)例93.2.3

隱函數(shù)求導(dǎo)解例10解3.2.3

隱函數(shù)求導(dǎo)3.2.4

反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理3例11解3.2.4

反函數(shù)的求導(dǎo)法則例12解3.2.4

反函數(shù)的求導(dǎo)法則例13解3.2.4

反函數(shù)的求導(dǎo)法則例14解例15解3.2.5高階導(dǎo)數(shù)3.2.5高階導(dǎo)數(shù)例16例17解解3.2.5高階導(dǎo)數(shù)例16解3.3微分3.3.1微分的概念3.3.2微分基本公式及其運(yùn)算法則3.3.3微分在商務(wù)計(jì)算中的應(yīng)用3.3.1微分的概念引例1概念23.3.1微分的概念定理13.3.1微分的概念定義13.3.1微分的概念例1例2解解3.3.1微分的概念例3解微分的幾何意義33.3.1微分的概念微分基本公式13.3.2微分基本公式及其運(yùn)算法則132457683.3.2微分基本公式及其運(yùn)算法則1513119161412103.3.2微分基本公式及其運(yùn)算法則2微分四則運(yùn)算法則31423.3.2微分基本公式及其運(yùn)算法則3微分四則運(yùn)算法則例4解3.3.3微分在商務(wù)計(jì)算中的應(yīng)用例5解3.3.3微分在商務(wù)計(jì)算中的應(yīng)用注意例6解3.3.3微分在商務(wù)計(jì)算中的應(yīng)用4.1中值定理和洛必達(dá)法則4.1.1中值定理4.1.2洛必達(dá)法則4.1.1中值定理羅爾（Rolle）中值定理1定理1例如4.1.1中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理2定理2提示4.1.1中值定理柯西（Cauchy）中值定理3定理3提示4.1.1中值定理推論推論4.1.2洛必達(dá)法則定理4例如這種在一定條件下，通過對分子、分母分別求導(dǎo)來計(jì)算未定式極限的方法，稱為洛必達(dá)法則．上述定理對或單側(cè)極限也成立．洛必達(dá)法則也可連續(xù)使用，每次使用時要檢驗(yàn)它是否是未定式；如果不是，則不能再應(yīng)用．4.1.2洛必達(dá)法則例1解例2解4.1.2洛必達(dá)法則例3解例4解4.1.2洛必達(dá)法則例5解例6解4.2函數(shù)的單調(diào)性、

極值和最值4.2.3函數(shù)的最大值與最小值4.2.4最值的應(yīng)用4.2.2函數(shù)的極值及判別法4.2.1函數(shù)的單調(diào)性及判別法4.2.1函數(shù)的單調(diào)性

及判別法4.2.1函數(shù)的單調(diào)性

及判別法定理1注意例7解4.2.1函數(shù)的單調(diào)性

及判別法例8解4.2.1函數(shù)的單調(diào)性

及判別法4.2.2函數(shù)的極值

及判別法定義1極值的定義14.2.2函數(shù)的極值

及判別法注意4.2.2函數(shù)的極值

及判別法極值的判別法2定理2證明4.2.2函數(shù)的極值

及判別法注意4.2.2函數(shù)的極值

及判別法定理34.2.2函數(shù)的極值

及判別法4.2.2函數(shù)的極值

及判別法例9解4.2.2函數(shù)的極值

及判別法例10解4.2.2函數(shù)的極值

及判別法定理4注意4.2.2函數(shù)的極值

及判別法例11解4.2.3函數(shù)的最大值

與最小值4.2.3函數(shù)的最大值

與最小值例12解4.2.4最值的應(yīng)用4.2.4最值的應(yīng)用例13解4.2.4最值的應(yīng)用例14解4.2.4最值的應(yīng)用例15解4.2.4最值的應(yīng)用例16解4.3函數(shù)曲線的

凹凸性與拐點(diǎn)4.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)4.3.2凹凸性和拐點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)與商務(wù)中的應(yīng)用4.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)引例曲線的凹凸性14.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義1定理14.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)定義22曲線的拐點(diǎn)4.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)例17解4.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)4.3.1曲線的凹凸性與拐點(diǎn)例18解4.3.2凹凸性和拐點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)與商務(wù)中的應(yīng)用步驟1步驟24.3.2凹凸性和拐點(diǎn)在經(jīng)濟(jì)與商務(wù)中的應(yīng)用步驟3步驟4上圖可以驗(yàn)證經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要原理：最小平均成本總是出現(xiàn)在平均成本與邊際成本相等情形中．4.4函數(shù)圖像的描繪4.4.2函數(shù)圖像的描繪4.4.1曲線的漸近線4.4.1曲線的漸近線定義1例19解4.4.2函數(shù)圖像的描繪4.4.2函數(shù)圖像的描繪例20解注意這個鈴狀的函數(shù)曲線是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的曲線，稱為高斯曲線．4.5經(jīng)濟(jì)與商務(wù)中的邊

際函數(shù)與彈性函數(shù)4.5.3需求彈性與供給彈性4.5.4邊際收益與需求彈性的關(guān)系4.5.2彈性函數(shù)4.5.1邊際函數(shù)4.5.1邊際函數(shù)例如4.5.1邊際函數(shù)例如4.5.1邊際函數(shù)例21解4.5.1邊際函數(shù)例22解4.5.2彈性函數(shù)在經(jīng)濟(jì)與商務(wù)活動中，僅注意絕對改變量與絕對變化率是不夠的．例如，某股市中介向人們推薦兩種股票，簡稱A股和B股．A股在今后三個月內(nèi)每股可能上漲1元，B股在今后三個月內(nèi)每股可能上漲2元．要買哪種股票呢？如果僅知道每股漲價的絕對值顯然是不夠的．為了確定買哪種股票，還要看一下每股漲價的相對增加率．設(shè)A股每股為10元，B股每股為40元，則A股在今后三個月內(nèi)股價將提高10%，而B股的股價僅提高5%．顯然，如果該中介推薦情況屬實(shí)，則應(yīng)該購買A股而不是B股．因此，研究函數(shù)的相對變化率非常重要．定義14.5.2彈性函數(shù)4.2.2函數(shù)的極值

及判別法提示例23解4.2.2函數(shù)的極值

及判別法例24解4.5.3需求彈性與

供給彈性需求彈性1例25解說明4.5.3需求彈性與

供給彈性4.5.3需求彈性與

供給彈性例26解4.5.3需求彈性與

供給彈性供給彈性2例27解4.5.4邊際收益與

需求彈性的關(guān)系5.1

不定積分5.1.1不定積分的概念與性質(zhì)5.1.2基本不定積分公式5.1.3不定積分的幾何意義5.1.1

不定積分不定積分的概念1定義1例如5.1.1

不定積分定義25.1.1

不定積分例1解5.1.1

不定積分不定積分的性質(zhì)25.1.2

基本不定積分公式由導(dǎo)數(shù)的基本公式對應(yīng)地可以得到下面的基本不定積分公式．132457685.1.2

基本不定積分公式131191210例1解5.1.2

基本不定積分公式例2解注意例3解5.1.2

基本不定積分公式例4解5.1.3

不定積分的幾何意義5.1.3

不定積分的幾何意義例3解5.2不定積分的換元法和分部積分法5.2.1不定積分的換元積分法5.2.2不定積分的分部積分法5.2.1

不定積分的換元積分法第一類換元積分法1例1解5.2.1

不定積分的換元積分法5.2.1

不定積分的換元積分法例2解例3解5.2.1

不定積分的換元積分法例4解例5解5.2.1

不定積分的換元積分法例6解例7解5.2.1

不定積分的換元積分法例8解例9解第二類換元積分法25.2.1

不定積分的換元積分法5.2.1

不定積分的換元積分法例10解例11解5.2.1

不定積分的換元積分法5.2.1

不定積分的換元積分法例12解5.2.2不定積分的分部積分法5.2.2不定積分的分部積分法例13解例14解5.2.2不定積分的分部積分法例15解例16解5.3定積分的概念與性質(zhì)5.3.1引例5.3.2定積分的概念5.3.3定積分的基本性質(zhì)5.3.1引例面積問題1例125.3.1引例5.3.1引例注意成本問題25.3.1引例例145.3.1引例定義15.3.2定積分的概念5.3.2定積分的概念5.3.2定積分的概念5.3.2定積分的概念5.3.3定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)5性質(zhì)6性質(zhì)75.3.3定積分的基本性質(zhì)5.3.3定積分的基本性質(zhì)5.3.3定積分的基本性質(zhì)例3解5.4微積分基本定理5.4.2微積分學(xué)基本定理5.4.1基本思路5.4.1基本思路5.4.1基本思路5.4.1基本思路5.4.2微積分學(xué)基本定理定理1例1解例2解5.4.2微積分學(xué)基本定理例3解5.4.2微積分學(xué)基本定理例4解5.4.2微積分學(xué)基本定理5.5定積分的換元積分法與分部積分法5.5.1定積分的換元積分法5.5.2定積分的分部積分法例1解5.5.1定積分的換元積分法定理1注意5.5.1定積分的換元積分法例2解5.5.2定積分的分部積分法5.5.2定積分的分部積分法例3解例4解例5解5.6定積分在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用例1解例2解例3解例4解例5解5.7定積分在面積計(jì)算中的應(yīng)用注意例1解例2解6.1行列式6.1.3克萊姆法則6.1.4應(yīng)用克萊姆法則討論齊次線性方程組的解6.1.2行列式的性質(zhì)6.1.1行列式的概念6.1.1行列式的概念二階行列式1例16.1.1行列式的概念定義16.1.1行列式的概念定義1三階行列式26.1.1行列式的概念定義2

(6-1)6.1.1行列式的概念定義2

(6-1)n階行列式3定義3注意6.1.1行列式的概念特殊行列式4(1）對角行列式定義36.1.1行列式的概念(2）上三角和下三角行列式定義36.1.1行列式的概念推論1性質(zhì)1性質(zhì)26.1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)3性質(zhì)4推論26.1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)5推論3推論46.1.2行列式的性質(zhì)6.1.2行列式的性質(zhì)性質(zhì)6例2解6.1.3克萊姆法則定理16.1.3克萊姆法則例3解6.1.4應(yīng)用克萊姆法則討論齊次線性方程組的解定理3定理26.1.4應(yīng)用克萊姆法則討論齊次線性方程組的解例4解6.2矩陣6.2.3逆矩陣6.2.4矩陣的初等變換6.2.2矩陣的運(yùn)算6.2.1矩陣的概念6.2.1矩陣的概念引例6.2.1矩陣的概念定義16.2.1矩陣的概念6.2.1矩陣的概念6.2.1矩陣的概念6.2.1矩陣的概念例如6.2.1矩陣的概念例如6.2.2矩陣的運(yùn)算矩陣的加減法1定義26.2.2矩陣的運(yùn)算數(shù)與矩陣相乘（數(shù)乘矩陣）2定義2例5解6.2.2矩陣的運(yùn)算例6解6.2.2矩陣的運(yùn)算3矩陣與矩陣相乘（矩陣乘法）定義4注意例如6.2.2矩陣的運(yùn)算例7解例8解6.2.2矩陣的運(yùn)算6.2.2矩陣的運(yùn)算4方陣的冪定義56.2.2矩陣的運(yùn)算5矩陣的轉(zhuǎn)置定義66.2.2矩陣的運(yùn)算例9解6.2.2矩陣的運(yùn)算6方陣的行列式定義76.2.2矩陣的運(yùn)算例10解6.2.3逆矩陣1方陣的行列式定義8例11解6.2.3逆矩陣2逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4性質(zhì)56.2.3逆矩陣3逆矩陣的求法定理1定義9定理26.2.3逆矩陣?yán)?2解定義106.2.3逆矩陣定理3例13解6.2.4矩陣的初等變換1矩陣初等變換的概念定義116.2.4矩陣的初等變換2用矩陣的初等變換求逆矩陣定理4例14解6.2.4矩陣的初等變換3用矩陣的初等變換求矩陣的秩定義12定義13例如特別規(guī)定6.2.4矩陣的初等變換定理5例15解6.3線性方程組6.3.2線性方程組的一般解法6.3.1n元線性方程組

(6-2)6.3.1n元線性方程組6.3.1n元線性方程組

(6-2)6.3.1n元線性方程組(6–3)同解方程組16.3.2線性方程組

的一般解法例16線性方程組增廣矩陣6.3.2線性方程組

的一般解法例16線性方程組增廣矩陣6.3.2線性方程組

的一般解法例16線性方程組增廣矩陣非齊次線性方程組的解法26.3.2線性方程組

的一般解法例17解6.3.2線性方程組

的一般解法例17解6.3.2線性方程組

的一般解法例18解6.3.2線性方程組

的一般解法例19解6.3.2線性方程組

的一般解法例19解6.3.2線性方程組

的一般解法

(6-2)定理2

(6-2)

(6-2)

(6-2)

(6-2)6.3.2線性方程組

的一般解法例20解6.3.2線性方程組

的一般解法例20解6.3.2線性方程組

的一般解法定理3齊次線性方程組的解法3(6–2)(6–3)(6–3)(6–3)(6–3)6.3.2線性方程組

的一般解法例21解6.3.2線性方程組

的一般解法4逆矩陣法解線性方程組提示6.3.2線性方程組

的一般解法例22解6.4線性規(guī)劃初步6.4.2線性規(guī)劃問題的圖解法6.4.1線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型6.4.1線性規(guī)劃問題

的數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃是進(jìn)行科學(xué)管理的一種重要的數(shù)學(xué)方法，它廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、工農(nóng)業(yè)、軍事、社會科學(xué)等各個領(lǐng)域．科學(xué)管理是在對具有多種可行方案問題的研究中，找出一種最佳方式，使得在分配或利用有限資源（如勞動力、原材料、運(yùn)輸設(shè)備、資金等）時，達(dá)到費(fèi)用最省或利潤最大．這類問題大部分可以用線性規(guī)劃來解決．本節(jié)主要通過舉例闡述線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和基本概念．6.4.1線性規(guī)劃問題

的數(shù)學(xué)模型例23解6.4.1線性規(guī)劃問題

的數(shù)學(xué)模型例24解6.4.1線性規(guī)劃問題

的數(shù)學(xué)模型例24解6.4.1線性規(guī)劃問題

的數(shù)學(xué)模型(6–4)6.4.1線性規(guī)劃問題

的數(shù)學(xué)模型(6–4)例25解6.4.2線性規(guī)劃問題

的圖解法例25解6.4.2線性規(guī)劃問題

的圖解法例26解6.4.2線性規(guī)劃問題

的圖解法例26解6.4.2線性規(guī)劃問題

的圖解法例27解6.4.2線性規(guī)劃問題

的圖解法例27解6.4.2線性規(guī)劃問題

的圖解法7.1隨機(jī)事件7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件引例1

在相同的條件下拋擲同一枚硬幣，其結(jié)果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且事先無法肯定拋擲的結(jié)果是什么．引例2

在400m短跑比賽中，如果有多條跑道，運(yùn)動員通過抽簽決定自己的跑道，而且每次比賽抽簽前都無法預(yù)測自己可能抽到哪條跑道．引例3

如果問“蘋果從樹上脫離，會往地上落嗎？”，會得到肯定的回答．引例4

擲一枚骰子，問“能否出現(xiàn)7點(diǎn)？”，會得到回答“不能”．在自然界、生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，人們觀察到的現(xiàn)象一般可分為確定性現(xiàn)象和隨機(jī)現(xiàn)象兩大類．概念在一定條件下，必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象（必然現(xiàn)象）。在一定條件下，事先不能斷定會出現(xiàn)哪種結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象（偶然現(xiàn)象）。如果在相同條件下進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)現(xiàn)象也會呈現(xiàn)其規(guī)律性．例如，在相同的條件下多次拋擲一枚均勻硬幣，正、反面朝上的機(jī)會分別約占一半．這種規(guī)律稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律．概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的科學(xué)．為了尋求隨機(jī)現(xiàn)象的內(nèi)在規(guī)律性，就要對其進(jìn)行大量重復(fù)觀察．把一次觀察稱為一次隨機(jī)試驗(yàn)，簡稱試驗(yàn)．7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件1在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；2試驗(yàn)中一切可能的結(jié)果都必須是明確的，每次試驗(yàn)必有且僅有一種結(jié)果出現(xiàn)；3每次試驗(yàn)的結(jié)果事前無法預(yù)知．試驗(yàn)具有以下3個特點(diǎn)：7.1.1隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件定義1在隨機(jī)試驗(yàn)中，一次試驗(yàn)可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，而在大量重復(fù)試驗(yàn)中卻具有某種規(guī)律性的試驗(yàn)結(jié)果，稱為這些隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件，簡稱事件．隨機(jī)事件通常用大寫英文字母A，B，C，

表示．有時也用表示，其中大括號內(nèi)用文字或式子表述事件的內(nèi)容．隨機(jī)事件又分為基本事件和復(fù)合事件．

作為隨機(jī)事件的極端情形（特例），又有必然事件和不可能事件．

必然事件和不可能事件都屬于確定性現(xiàn)象，但為了研究問題的方便，仍然把它們當(dāng)做隨機(jī)事件，視為隨機(jī)事件的特殊情形．例1隨機(jī)試驗(yàn)E：10件產(chǎn)品中有8件正品、2件次品，無放回地任意從中抽取2件，并且1次抽取1件，觀察正品、次品出現(xiàn)的情況．請寫出這次試驗(yàn)的所有基本事件，并用大寫英文字母表示．解所有基本事件如下：

{正品，正品}，{正品，次品}，{次品，正品}，{次品，次品}．7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算研究隨機(jī)試驗(yàn)產(chǎn)生的隨機(jī)事件，常常涉及許多的事件，而這些事件之間往往是有關(guān)系的．我們可以用集合的觀點(diǎn)來討論事件之間的關(guān)系和運(yùn)算．為直觀起見，有時可借助圖形（文氏圖）來理解事件之間的關(guān)系．隨機(jī)事件實(shí)際上是一種特殊的集合，必然事件Ω相當(dāng)于全集Ω，每一個事件A都是Ω的子集，不可能事件相當(dāng)于空集．引例5

在檢驗(yàn)一批圓柱形產(chǎn)品時，需要產(chǎn)品的長度和直徑都合格才算合格．考察以下事件：A1={產(chǎn)品合格}，

A2={產(chǎn)品不合格}，

A3={長度合格}，A4={長度不合格}，

A5={直徑合格}，

A6={直徑不合格}，A7={長度合格而直徑不合格}，

A8={長度不合格而直徑合格}．7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算1事件的包含與相等注意7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算2事件的和（并）注意7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算3事件的積（交）注意7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算4事件的差注意事件A發(fā)生，而事件B不發(fā)生，這一事件稱為事件A與事件B的差，記作A-B．它也是一個事件．A-B是由屬于A但不屬于B的基本事件構(gòu)成的．A-B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生而B不發(fā)生．如引例5中，A7=A3-A5，即{長度合格而直徑不合格}={長度合格}7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算5互不相容事件（互斥事件）注意7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算6對立事件（互逆事件）注意7.1.2事件間的關(guān)系與運(yùn)算如同集合運(yùn)算規(guī)律一樣，事件間的運(yùn)算同樣滿足下列規(guī)律：交換律：分配律：反演律：例2甲、乙兩炮手同時向一架敵機(jī)炮擊，各打一發(fā)炮彈，設(shè)A1={甲擊中敵機(jī)}，

A2={乙擊中敵機(jī)}．試用A1，A2及它們的運(yùn)算表示下列各事件：（1）{敵機(jī)被擊中}；

（2）{甲、乙都擊中敵機(jī)}；（3）{甲、乙都未擊中敵機(jī)}；

（4）{只有一人擊中敵機(jī)}．解（1）；

（2）；（3）；

（4）．7.2隨機(jī)事件的概率及運(yùn)算7.2.4事件的獨(dú)立性7.2.6全概率與貝葉斯公式7.2.3條件概率7.2.5獨(dú)立試驗(yàn)概型7.2.1預(yù)備知識7.2.2概率的定義7.2.1預(yù)備知識加法原理1若進(jìn)行A1過程有n1種方法，進(jìn)行A2過程有n2種方法，假定A1過程與A2過程是并行的，則進(jìn)行A1過程或進(jìn)行A2過程的方法共有n1+n2種．這種原理稱為加法原理．例如，從甲地到乙地有1條鐵路、2條公路，則乘火車或汽車從甲地到乙地共有1+2=3種走法．乘法原理2若進(jìn)行A1過程有n1種方法，進(jìn)行A2過程有n2種方法，則進(jìn)行A1過程后再進(jìn)行A2過程共有n1×n2種方法．這種原理稱為乘法原理．例如，從甲地到乙地共有2種走法，從乙地到丙地共有3種走法，則從甲地到丙地共有2×3=6種不同的走法．7.2.1預(yù)備知識排列3從含有n個元素的集合中取出r個元素進(jìn)行排列，這時既要區(qū)別不同的元素又要考慮取出元素的順序．我們稱從n個元素中有放回地取出r個元素所組成的排列為有重復(fù)的排列．由于每次選取都是在全體n個元素中進(jìn)行的（有n種不同的取法），同一元素可以被重復(fù)選中，故其總數(shù)共有nγ種．對于不放回的情形，這時一個元素一旦被取出便立刻從該集合中除去，因此每個元素至多被選中一次．我們稱從n個元素中不放回地取出r個元素所組成的排列為選排列，其總數(shù)為特別地，當(dāng)n=r時，為全排列，總數(shù)為n!（注意0!=1）．組

合4從含有n個元素的集合中取出r個元素而不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為7.2.2概率的定義概率的古典定義1最初的概率概念是對古典概型給出的．所謂古典概型，是指具有下述特征的隨機(jī)試驗(yàn)：有限性試驗(yàn)的一切基本事件是有限個，即基本事件空間為有限集合.等可能性每個基本事件的發(fā)生是等可能的，即每個基本事件發(fā)生的可能性都一樣．由于古典概型比較簡單，因此它是概率論初期研究的重要對象．7.2.2概率的定義定義1對古典概型，設(shè)，即試驗(yàn)的基本事件空間含有n個基本事件，若事件A包含m(m≤n)個不同的基本事件，則定義事件A的概率為古典概型具有如下性質(zhì)：1非負(fù)性：對于任何事件A，有

；2規(guī)范性：必然事件的概率等于1，即3可加性：如果事件A與B互斥，則．7.2.2概率的定義例1盒中有10只晶體管，其中有3只是次品，分別有放回和無放回地從中抽取2次，每次1只，試求下列事件的概率：（1）取到的兩只都是正品；（2）取到的兩只，一只是正品，一只是次品；（3）取到的兩只至少有一只次品．解7.2.2概率的定義解7.2.2概率的定義概率的統(tǒng)計(jì)定義2概念如果事件A在N次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生了n次，則稱n為事件A發(fā)生的頻數(shù)，稱為事件A發(fā)生的頻率，記作

．頻率具有下列性質(zhì)：1非負(fù)性：2規(guī)范性：,.3可加性：如果事件A與B互斥，則．7.2.2概率的定義定義2在相同條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)，如果隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率FN(A)穩(wěn)定在某一常數(shù)p附近（所謂穩(wěn)定，即隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，波動逐漸減小），則稱p為隨機(jī)事件A的概率，記作P(A)=p．7.2.2概率的定義定義3設(shè)Ω是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，對于每一隨機(jī)事件A，賦予一個實(shí)數(shù)P(A)，如果實(shí)數(shù)P(A)滿足如下三個條件：非負(fù)性：對任何事件A，有P(A)≥0；規(guī)范性：P(Ω)=1；可加性：對于兩兩互斥事件A1,A2,...，即對于，有

則稱P(A)為事件A的概率．7.2.2概率的定義利用定義3，可以證明概率具有如下性質(zhì)：1對任一事件A，有

；2對任意事件A,B，有3若

，則

．如果一個事件的概率不易求得，而其對立事件的概率相對容易求得時，便可先求出其對立事件的概率，然后利用性質(zhì)（1），求出這一事件的概率．性質(zhì)（2）稱為概率的加法公式，在求一些較為復(fù)雜的事件的概率時，利用它常常會使問題得以簡單化．7.2.2概率的定義例2解7.2.3條件概率條件概率的定義1定義47.2.3條件概率例3解某個盒子中有4只次品晶體管和6只正品晶體管，在其中任取兩只，每次取一只做不放回抽樣，在發(fā)現(xiàn)第一只是正品的條件下，求第二只是正品的概率．7.2.3條件概率條件概率的性質(zhì)2（1）將條件概率的公式以另一種形式寫出，就是概率的乘法公式．即設(shè)，則有將A，B的位置對換，則得到乘法公式的另一種形式：（2）條件概率滿足的3條公理：（3）條件概率滿足概率的其他性質(zhì)．只需將無條件概率P(B)替換為條件概率P(B︱A)，即可類比套用概率的其他性質(zhì)．7.2.3條件概率例4解已知某廠產(chǎn)品的合格率為98%，而合格品中的一等品率為75%，試求該廠產(chǎn)品的一等品率．定義57.2.4事件的獨(dú)立性7.2.4事件的獨(dú)立性例5某科研項(xiàng)目由3個小組獨(dú)立研究，3個小組成功完成該項(xiàng)目的概率分別為0.25,0.3,0.4，求該項(xiàng)目被研究成功的概率．解7.2.5獨(dú)立試驗(yàn)概型定義6如果在相同條件下進(jìn)行一系列試驗(yàn)，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果相互獨(dú)立，則稱這一系列試驗(yàn)為一個獨(dú)立試驗(yàn)序列．定義7如果在相同條件下重復(fù)進(jìn)行

次試驗(yàn)，且滿足（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立；（2）每次試驗(yàn)中，有且僅有兩個可能的結(jié)果：①事件A發(fā)生（“成功”）；②事件A不發(fā)生（“不成功”），則稱上述試驗(yàn)為n重伯努利概型．7.2.5獨(dú)立試驗(yàn)概型7.2.5獨(dú)立試驗(yàn)概型例6某人看管10臺同種類型的機(jī)器，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知一臺機(jī)器出故障的概率為0.06，求：（1）恰有兩臺機(jī)器出故障的概率；（2）至少有兩臺機(jī)器出故障的概率．解7.2.5獨(dú)立試驗(yàn)概型例7一大批某型號的電子管，已知其一級品率為0.3，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取20只，問其中有一級品的概率是多少？由于這批電子管的總量很大，而抽取的只數(shù)（20只）相對很小，故可將抽查20只電子管近似看做有放回抽樣，將“抽查1只”作為一次試驗(yàn)，則“抽查20只”為20重伯努利概型．設(shè){其中有一級品}，由二項(xiàng)概率公式并利用互逆事件關(guān)系得在本例中，所抽20只電子管中不含一級品的概率不到萬分之八．實(shí)踐表明，這種“概率很小的事件在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生”，這一事實(shí)稱為小概率事件的實(shí)際不可能原理，它是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的主要依據(jù)．解7.2.6全概率與貝葉斯公式1全概率公式全概率公式：例8解設(shè)某廠從兩個不同供應(yīng)商處購買零件，該工廠有65%的零件由供應(yīng)商1提供，其余35%由供應(yīng)商2提供．供應(yīng)商1提供零件質(zhì)量保證為95%，供應(yīng)商2提供零件質(zhì)量保證為90%．現(xiàn)從中任抽一個零件，其質(zhì)量保證為多少？7.2.6全概率與貝葉斯公式例9解設(shè)倉庫有10箱相同規(guī)格產(chǎn)品，已知其中有5箱、3箱、2箱依次是甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)，且甲、乙、丙工廠生產(chǎn)該種產(chǎn)品的次品率依次為，從這10箱中任取一箱，再從取得的這箱中任取一產(chǎn)品，求取得正品的概率．2貝葉斯公式7.2.6全概率與貝葉斯公式貝葉斯公式：例10解在例8中，如果從這批零件中隨機(jī)抽取一件發(fā)現(xiàn)是合格品，求這件合格品是由供應(yīng)商1提供的概率．7.3隨機(jī)變量及其分布7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布7.3.1隨機(jī)變量的概念7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度7.3.1隨機(jī)變量的概念引例1拋擲一枚硬幣，可能出現(xiàn){國徽朝上}和{國徽朝下}兩種結(jié)果．如果記“國徽朝上”為數(shù)字“1”，記“國徽朝下”為數(shù)字“0”，用一個變量X表示拋擲硬幣的結(jié)果，則X的取值是隨機(jī)的．顯然就是事件{國徽朝上}，就是事件{國徽朝下}，且，。引例2在10件同類型產(chǎn)品中，有3件是次品，現(xiàn)任取2件，用X表示“這2件中的次品數(shù)”，X的取值是隨機(jī)的，可能的取值有0，1，2．顯然就是事件{取出2件中沒有次品}．由此類推，{取出2件中恰有1件次品}；{取出2件中有2件次品}．同時也可由古典概率求得上面2個引例中的變量X具有下列特征：（1）取值是隨機(jī)的，事先并不知道取到哪一個值；（2）所取的每一個值都對應(yīng)于某一隨機(jī)事件；（3）所取的每一個值都有確定的概率．7.3.1隨機(jī)變量的概念定義1對于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能的結(jié)果，都有唯一的實(shí)數(shù)X與之對應(yīng)，則稱X是一個隨機(jī)變量．對于具體的隨機(jī)變量，通常分為兩大類來討論：如果一個隨機(jī)變量可能的取值是可數(shù)的，則稱這樣的隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量；其他的我們稱為非離散型隨機(jī)變量．對于非離散型隨機(jī)變量，其范圍很廣，其中最重要的也是實(shí)際中常常用到的是連續(xù)型隨機(jī)變量．注意7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布定義2設(shè)X是一個隨機(jī)變量，如果X的所有可能取值是可數(shù)的，則稱X為離散型隨機(jī)變量．定義3離散型隨機(jī)變量X的概率分布也可以用如下表所示的形式來表示．XP7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布1兩點(diǎn)分布（又稱0–1分布）引例3一批產(chǎn)品共100件，其中有3件次品．從這批產(chǎn)品中任取一件，考察取出的產(chǎn)品是正品還是次品，試用隨機(jī)變量描述試驗(yàn)的結(jié)果，并寫出其概率分布．7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．X01P1-pp其中0＜p＜1，則稱隨機(jī)變量X服從以p為參數(shù)的兩點(diǎn)分布（又稱0–1分布），記作X～(0,1)．兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)情形有很多，只要其結(jié)果只有兩個，就可以用兩點(diǎn)分布來描述．例如，擲硬幣的“反面”與“正面”、電路是“通路”還是“斷路”等，其結(jié)果均服從兩點(diǎn)分布．7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布2二項(xiàng)分布X～B(n,p)如果設(shè)X為n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的可能取值為，在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為顯然，且．如果隨機(jī)變量X的概率分布為，其中，，則稱X服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作．因?yàn)槭嵌?xiàng)式的展開式中的一般項(xiàng)，所以稱式（7–1）為二項(xiàng)分布．特別地，當(dāng)時的二項(xiàng)分布就是0–1分布．（7–1）7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布例1解某射手射擊一次，命中靶心的概率為0.7，現(xiàn)該射手向靶心射擊5次，試求：（1）命中靶心的概率；

（2）有3次命中靶心的概率．7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義4連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：123對于任意實(shí)數(shù)a，有；47.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度1均勻分布7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度2正態(tài)分布7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（1）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算其幾何意義是圖7-4中陰影部分的面積．易知，如圖7-5所示．圖7-4圖7-57.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表時，有以下幾種情況：7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例2解7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度（2）一般正態(tài)分布的概率計(jì)算7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例3解已知某車間的工人完成某道工序的時間X服從正態(tài)分布N(10,32)，求：①從該車間的工人中任選一人，其完成該道工序的時間至少為7min的概率；②為了保證生產(chǎn)連續(xù)進(jìn)行，要求以95%的概率保證工序上工人的工作時間不超過15min，這一要求能否得到保證？7.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.4.5常用分布的期望與方差7.4.4方差7.4.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)7.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望7.4.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望7.4.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望引例1甲、乙兩個學(xué)生10次數(shù)學(xué)考試的成績情況如下表所示．分?jǐn)?shù)

次數(shù)學(xué)生708090甲253乙325試問哪個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好些？要比較兩個學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好壞，不能單看某一次數(shù)學(xué)考試成績，可以通過分別計(jì)算甲、乙兩個學(xué)生10次考試的平均成績進(jìn)行比較．甲學(xué)生的平均成績乙學(xué)生的平均成績7.4.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義1例如，觀察下表中的兩點(diǎn)分布．X01P1-pp不難得出兩點(diǎn)分布的數(shù)學(xué)期望為同樣可以算出，若X～B(n,p)，則二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望為E(x)=np.7.4.1離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1解甲、乙兩臺機(jī)床的日生產(chǎn)能力相當(dāng)，一天生產(chǎn)廢品件數(shù)的概率分布如表所示，問哪一臺機(jī)床的性能好些？甲機(jī)床乙機(jī)床X10123X20123P0.30.50.20P0.30.30.20.2甲機(jī)床日產(chǎn)廢品的平均數(shù)為0.9件，少于乙機(jī)床日產(chǎn)廢品的平均數(shù)1.3件，故甲機(jī)床的性能好些．7.4.2連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1均勻分布的數(shù)學(xué)期望定義22正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望7.4.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)7.4.4方差引例2由甲、乙兩顯像管廠生產(chǎn)同一種規(guī)格的顯像管，其使用壽命（h）的概率分布如表7-6和7-7所示（X表示甲廠生產(chǎn)的顯像管的使用壽命，Y表示乙廠生產(chǎn)的顯像管的使用壽命）．表7-6X80009000100001100012000P0.10.20.40.20.1表7-7X80009000100001100012000P0.20.20.20.20.2試比較甲、乙兩廠顯像管的質(zhì)量．結(jié)果表明，甲、乙兩廠顯像管的平均使用壽命相等．那么這兩個廠顯像管的質(zhì)量是否完全相同？通過進(jìn)一步分析題設(shè)數(shù)據(jù)會發(fā)現(xiàn)：甲廠40%的顯像管的使用壽命為10000h，使用壽命在9000～11000h的占了80%，使用壽命與均值偏離較小，質(zhì)量比較穩(wěn)定；而乙廠僅20%的顯像管使用壽命為10000h，使用壽命在9000～11000h的僅占了60%，使用壽命分布比較分散，與均值偏離較大，質(zhì)量不夠穩(wěn)定．7.4.4方差定義3下面利用方差公式計(jì)算引例2的方差．?dāng)?shù)學(xué)期望（均值）刻畫了隨機(jī)變量的平均取值狀況，而方差則描述了隨機(jī)變量取值的分散程度．這兩個量反映了隨機(jī)變量的重要概率特征，稱為隨機(jī)變量的數(shù)字特征．7.4.4方差對于隨機(jī)變量的方差，也可以用下列公式來計(jì)算：盡管方差定義本身給出了求方差的一種方法，但利用上述公式計(jì)算方差要簡便一些．方差具有下列性質(zhì)：7.4.5常用分布的期望與方差常用分布的期望與方差如表7-8所示．8.1

總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量8.1.1總體、個體和樣本8.1.2統(tǒng)計(jì)量8.1.3幾種常用統(tǒng)計(jì)量的分布8.1.1總體、個體和樣本例1要了解某城市居民2002年的收入情況，一般不會花費(fèi)很多人力物力去一一調(diào)

查，而是采取抽樣調(diào)查方法，即抽查該城市一小部分居民的收入情況，如抽取1000個人，統(tǒng)計(jì)他們2002年的收入，由此推論該城市居民的年收入狀況．例2測試某品牌電視機(jī)的開箱合格率，從一批產(chǎn)品中任意抽取3箱，進(jìn)行開箱測試．例3某電器公司開發(fā)出一種使用新型燈絲的燈泡，為了解新型燈絲燈泡的使用壽命，可抽取200只新型燈絲燈泡，測試其使用壽命．定義定義1在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，所研究對象的全體稱為總體，用隨機(jī)變量X表示．定義2組成總體的每個基本單元稱為個體，用表示．定義3從總體中抽取n個個體，稱為總體的一個樣本，樣本所含個體的數(shù)目n稱為樣本容量，一個樣本的n個觀察值稱為樣本值．若樣本

相互獨(dú)立，且與總體X同分布，則稱此樣本為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本．8.1.2統(tǒng)計(jì)量定義4定48.1.3幾種常用統(tǒng)計(jì)量的分布u

統(tǒng)計(jì)量1定義5α分位點(diǎn)8.1.3幾種常用統(tǒng)計(jì)量的分布t統(tǒng)計(jì)量2定義6雙側(cè)α

分位點(diǎn)8.1.3幾種常用統(tǒng)計(jì)量的分布χ2

統(tǒng)計(jì)量3定義7雙側(cè)α

分位點(diǎn)8.2

點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)8.2.2區(qū)間估計(jì)8.2.1點(diǎn)估計(jì)8.2.1點(diǎn)估計(jì)例1

某品牌冰淇淋店在某市有多家分店，為了解該品牌冰淇淋的銷售情況，營銷人員挑選一家具有代表性的分店，記錄某月冰淇淋的售杯數(shù)，如表所示．日期12345678910111213141516售杯數(shù)x20252827303235303229282735362829日期171819202122232425262728293031售杯數(shù)x2528273837222528293035382927268.2.2區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)以點(diǎn)估計(jì)值為中心加減一個被稱為邊際誤差的值來建立一個包含上下限的區(qū)間，即點(diǎn)估計(jì)值邊際誤差，并指出區(qū)間的可信程度．這種方法稱為區(qū)間估計(jì)．定義78.2.2區(qū)間估計(jì)1正態(tài)總體均值μ的區(qū)間估計(jì)（1）總體方差σ2已知時，μ的1-α置信區(qū)間8.2.2區(qū)間估計(jì)例2以例1為例，設(shè)總體服從正態(tài)分布，若根據(jù)以往銷售數(shù)字總體標(biāo)準(zhǔn)差為3.5，利用點(diǎn)估計(jì)方法抽出一個樣本，容量為31，計(jì)算出，取置信度為95%，該店每天銷售杯數(shù)的區(qū)間估計(jì)為多少？解8.2.2區(qū)間估計(jì)（2）總體方差σ2未知時，μ的1-α置信區(qū)間例3例1中，若總體方差未知，求在置信度95%時，該店每天銷售杯數(shù)估計(jì)為多少？8.2.2區(qū)間估計(jì)2正態(tài)總體方差σ2的區(qū)間估計(jì)8.2.2區(qū)間估計(jì)例4例1中，若總體方差未知，求在置信度95%時，該店每天銷售杯數(shù)估計(jì)為多少？8.2.2區(qū)間估計(jì)單個正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間如下表所示（置信水平為α）．待估參數(shù)條件統(tǒng)計(jì)量服從分布置信區(qū)間均值

σ2已知均值

σ2未知方差

8.3假設(shè)檢驗(yàn)8.3.2兩類錯誤8.3.1假設(shè)檢驗(yàn)概念8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)8.3.1假設(shè)檢驗(yàn)概念例1設(shè)計(jì)一條產(chǎn)品生產(chǎn)線用于包裝洗滌劑．要求每瓶重量為500g．定期選取一部分樣品稱其重量，以便發(fā)現(xiàn)分量是否不足或超重．若樣本數(shù)據(jù)表明分量不足或超重就得停產(chǎn)調(diào)整生產(chǎn)線．例2某種蜂膠產(chǎn)品制造商為了推銷產(chǎn)品，聲明該產(chǎn)品黃酮含量為每升4800mg．如何檢測其聲明的真實(shí)性？例3某超市要選購某品牌酒，要求酒瓶中平均酒精濃度不超過15度，若超過15度，禁止進(jìn)貨．該超市質(zhì)檢人員要如何檢測？建立兩個假設(shè)：零假設(shè)（以H0表示）與備假設(shè)（H1以表示）對例1來說：對例2來說：對例3來說：假設(shè)檢驗(yàn)形式可分為以下3類：雙側(cè)檢驗(yàn)：左側(cè)檢驗(yàn)：右側(cè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)的原理是，小概率事件在一次隨機(jī)試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的．8.3.2兩類錯誤在檢驗(yàn)中有兩類錯誤可能發(fā)生，這兩類錯誤為型1和型2錯誤．零假設(shè)和備假設(shè)是關(guān)于總體參數(shù)的兩個對立的解釋．要么H0真，要么H1真，兩者不可能同時為真．理想的假設(shè)檢驗(yàn)過程應(yīng)當(dāng)是H0為真時接受H0，H0為假時拒絕H0．但是得出的結(jié)論不可能總是正確的，因?yàn)榧僭O(shè)檢驗(yàn)是基于樣本信息得到的，所以必須考慮發(fā)生誤差的概率．下表為假設(shè)檢驗(yàn)中可能發(fā)生的兩類錯誤．

總體情況結(jié)論

H0為真H1為真接受H0結(jié)論正確型2錯誤拒絕H1型1錯誤結(jié)論正確8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)1u檢驗(yàn)例4解

某超市進(jìn)一批某品牌味精，每包凈重500g，假設(shè)每包味精重量服從正態(tài)分布．為檢驗(yàn)其分量是否符合標(biāo)準(zhǔn)，抽查9包，重量分別為（單位為g）499，501，501.5，499.5，498，501，498.5，500，499.5，且根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)知這批味精的標(biāo)準(zhǔn)差為σ=0.9，問能否接收這批味精？（α=0.05）8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)1提出零假設(shè)H0:μ=μ0．總結(jié)以上過程，可以得到總體方差σ2已知的正態(tài)總體均值的u檢驗(yàn)步驟如下：2選取樣本統(tǒng)計(jì)量.3根據(jù)給定的顯著性水平α查附表Ⅱ確定臨界值點(diǎn)

．4根據(jù)樣本計(jì)算u統(tǒng)計(jì)量并與臨界值

比較．5根據(jù)

下結(jié)論：若

，拒絕H0

；若，接受H0

．8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)例5解某婦女報報道：某地婦女每年用于購買衣物的花費(fèi)為人均8020元．某研究所為檢驗(yàn)這項(xiàng)報道的真實(shí)性隨機(jī)調(diào)查了20名婦女，了解她們每年在這方面的花費(fèi)，調(diào)查結(jié)果如下：11000，8500，7000，10200，9800，9000，7500，9500，9000，9500，5000，8800，8900，10000，9050，8020，7200，9000，13000，8040．假設(shè)根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)該項(xiàng)花費(fèi)服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為1000，請驗(yàn)證該報道的真實(shí)性．（α取0.01）8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)2t檢驗(yàn)例6解若例4中σ2未知，則所提出的問題就是一個未知方差的正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問題．8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)總體方差未知的正態(tài)總體均值的t檢驗(yàn)步驟如下：1提出零假設(shè)H0:μ=μ0．2選取樣本統(tǒng)計(jì)量.3根據(jù)給定的顯著性水平α查附表Ⅲ確定臨界值點(diǎn)

．4根據(jù)樣本計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量并與臨界值

比較.5根據(jù)

下結(jié)論：若

，拒絕H0

；若，接受H0

．8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)3χ2

檢驗(yàn)例7解若例4中允許的標(biāo)準(zhǔn)差不能超過0.8，能否接收這批味精？8.3.3單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)正態(tài)總體方差的檢驗(yàn)步驟如下：1提出零假設(shè)，2選取樣本統(tǒng)計(jì)量.3根據(jù)給定的顯著性水平α查附表Ⅳ確定臨界值點(diǎn)

．4根據(jù)樣本計(jì)算χ2統(tǒng)計(jì)量并與臨界值

比較.5根據(jù)