紅對(duì)勾高一數(shù)學(xué)第一冊(cè)2021版電子5

第五章三角函數(shù)5．5

三角恒等變換5.5.1

兩角和與差的正弦、余弦和正切公式第4課時(shí)二倍角的正弦、余弦、正切公式[課標(biāo)解讀]能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．[素養(yǎng)目標(biāo)]水平一：1.能通過(guò)兩角和的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式(邏輯推理).2.理解二倍角的正弦、余弦、正切公式的結(jié)構(gòu)形式，并能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)、求值(數(shù)學(xué)運(yùn)算)．水平二：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其變形，并能靈活利用公式解決求值、化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)．課時(shí)作業(yè)要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)典例講解破題型課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一二倍角的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)[填一填].tan2α＝

.上面三組公式，稱為倍角公式．在公式

sin(α＋β)，cos(α＋β)，tan(α＋β)中，令

α＝β

，就可得到相應(yīng)的二倍角的三角函數(shù)公式：sin2α＝

2sinαcosα

.cos2α＝

cos2α－sin2α

＝

2cos2α－1

＝

1－2sin2α

2tanα

1－tan2α[答一答]1．倍角公式中的“倍角”是什么意思？提示：倍角公式不僅可運(yùn)用于2α

是α

的二倍的情況，還α3α

作為3α2

的二倍，α＋β

作為可運(yùn)用于4α

作為2α

的二倍，α

作為2的二倍，α＋β2的二倍等情況．2．你能寫出倍角公式的推導(dǎo)過(guò)程嗎？提示：S2α：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；當(dāng)β＝α

時(shí)，有sin2α＝2sinαcosα；C2α：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，當(dāng)β＝α

時(shí)，有cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；2αT

：tan(α＋β)＝

tanα＋tanβ

，當(dāng)β＝α

時(shí)，有tan2α＝1－tanαtanβ2tanα1－tan2αcos2α或tan2α＝sin2α＝

2sinαcosαcos2α－sin2α1－tan2α＝

2tanα

(cos2α≠0)．知識(shí)點(diǎn)二倍角公式的變形[填一填]1．倍角公式的逆用2α(1)S

：2sinαcosα＝sin2α，sinα＝sin2α，cosαsin2α2cosα

＝2sinα.(2)C2α：cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α.2α(3)T

：2tanα1－tan2α＝tan2α，2tanα＝tan2α(1－tan2α)．2．配方變形

1±sin2α＝sin2α＋cos2α±sin2α＝(sinα±cosα)2.3．因式分解變形cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)．4．升冪公式

1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.5．降冪公式cos2α＝1＋cos2α22；sin

α＝1－cos2α2；1sinαcosα＝2sin2α；tan2α＝1－cos2α1＋cos2α.6．三倍角公式(不要求記憶公式)(1)sin3α＝3sinα－4sin3α；(2)cos3α＝4cos3α－3cosα；(3)tan3α＝3tanα－tan3α1－3tan2α

.[答一答]3．二倍角公式及變形公式的作用是什么？提示：利用上述公式不僅可以促成二倍角與單角的互化，同時(shí)還可以實(shí)現(xiàn)式子次數(shù)的轉(zhuǎn)化．14．判斷正誤．二倍角的正切公式的適用范圍不是任意角．(√)對(duì)于任意的角

α，都有

sin2α＝2sinα

成立．(

×

)存在角α，cos2α＝2cosα

成立．(√)(4)cos3αsin3α＝2sin6α

對(duì)任意的角

α

都成立．(

√

)解析：(1)二倍角的正切公式，要求απ

π≠2＋kπ(k∈Z)且α≠±4＋kπ(k∈Z)，故此說(shuō)法正確．(2)當(dāng)

α＝π時(shí)，sin2α＝si

π＝

36

n3 2

，1而2sinα＝2×2＝1.(3)由cos2α＝2cosα＝2cos2α－1，得cosα＝1－

32時(shí)，cos2α＝2cosα

成立．(4)由二倍角正弦公式可得.典例講解破題型類型一

利用倍角公式求值命題視角

1：給角求值π

5π12(3)1－tan215°tan15°＝

.[思路分析]正用、逆用倍角公式直接求值．1[例

1]

(1)cos12cos12＝

4

；—

3(2)2－cos

15°＝

4

；2

3[解析](1)原式＝cos

π

sin

π12

121

π

π

1

π

11(2)

－2cos215°)1

3＝2×2cos12sin12＝2sin6＝4.原式＝2(1＝－2cos30°＝－

4

.(3)原式＝2tan30°＝2

3.[變式訓(xùn)練

1]

求下列各式的值：(1)cos4π－sin4π；8

8(2)tan75°1－tan275°；(3)cosπco

2

co

4

.7

s7π

s7π2π2π

2π2π解：(1)原式＝cos

8＋sin

8cos

8－sin

8π

2＝cos4＝

2

.1

1(2)原式＝2tan150°＝－2tan30°＝－63.(3)原式＝8si

π

π

2

4

n7cos7cos7πcos7ππ8sin7＝4si

2

2

4πn7πcos7πcos

7π8sin7＝2si

4πco

4πn7

s7π8sin78sin7π8sin7π－sin78sin71＝

π＝

π

＝－8.命題視角2：給值求值π

4

5π

7π

3π[

例

2]

若

cos

4－x

＝－

5

，

4

<x<

4

，且

x≠

2

.

求sin2x－2sin2x1＋tanx的值．[思路分析]4π化簡(jiǎn)所求式，使其出現(xiàn)角(

－x)，整體代入求解．[解]＝sin2x－2sin2x

2sinx(cosx－sinx)cosx1＋tanx

cosx＋sinx＝sin2x(cosx－sinx)

1－tanxcosx＋sinx

1＝sin2x·

＋tanxπ

π

π

＝sin2xtan4－x＝cos2－2xtan4－x

2π－

π

＝2cos

4

x－1tan4－x，5π

7π

3π

π∵

4

<x<

4

，∴－

2

<4－x<－π.

π－

ππ

4

3

3又∵cos4

x＝－5，∴sin4－x＝5，tan4－x＝－4.

316

21∴原式＝2×25－1×－4＝－100.

π－

5

π[變式訓(xùn)練

2]

已知

sin4

x＝13，0<x<4，求cos2xπ4

cos

＋x的值．解：原式＝

πsin2＋2x

πcos4＋x

＝

π

π

2sin4＋xcos4＋x

π

cos4＋xπ

4

＝2sin

＋x.π－

π

5

π

π

π

π∵sin4

x＝cos4＋x＝13，且0<x<4，∴4＋x∈4，2，π＋

∴sin4

x＝2π121－cos

4＋x＝13，∴原式＝212

24×13＝13.類型二 二倍角公式的化簡(jiǎn)、證明問(wèn)題[例3](1)化簡(jiǎn)：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－12cos2αcos2β.(2)證明：1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ.[思路分析]

(1)涉及的角有

α，β，2α，2β，若將

α轉(zhuǎn)化為

2α，則選擇降冪公式，若將

2α

轉(zhuǎn)化為

α，則選擇升冪公式．(2)由于所證等式的左邊為2θ，右邊為θ，且等式右邊結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可從左邊開始，將倍角化為單角．[

解](1)方法一：原式＝

1－cos2α

·

1－cos2β

＋2

2·1＋cos2α

1＋cos2β2

2－1cos2α·cos2β＝1(1＋cos2α·cos2β－cos2α－2

4cos2β)＋121

1

14(1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－

cos2α·cos2β＝4＋41＝2.2方法二：原式＝

sin2α·sin2β

＋cos2α·cos2β

－1

(2cos2α

－11)·(2cos2β－1)＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－21＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－2＝sin2β＋cos2β

1

1

1

1－2＝

－2＝2.方法三：原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋2sinα·sinβ·cosα·cosβ—

1

cos2α·cos2β

＝

cos2(α

＋

β)

＋

1

sin2α·sin2β

－

1

cos2α·cos2β

＝2

2

2cos2(α＋β)－112cos(2α＋2β)＝cos2(α＋β)－22[2cos

(α1＋β)－1]＝2.(2)證明：證法一：左邊＝sin2θ＋(1－cos2θ)sin2θ＋(1＋cos2θ)2＝2sinθcosθ＋2cos

θ＝2sinθcosθ＋2sin2θ

2sinθ(sinθ＋cosθ)2cosθ(cosθ＋sinθ)＝tanθ＝右邊．所以原式成立．證法二：左邊＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＋sin2θ－cos2θsin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ－sin2θ＝2＝2sin2θ＋2sinθcosθ

2sinθ(sinθ＋cosθ)2cos

θ＋2sinθcosθ

2cosθ(cosθ＋sinθ)＝tanθ＝右邊．所以原式成立．證法三：左邊＝(1＋sin2θ)－cos2θ(1＋sin2θ)＋cos2θ(sinθ＋cosθ)2－(cos2θ－sin2θ)＝(sinθ＋cosθ)2＋(cos2θ－sin2θ)(sinθ＋cosθ)2－(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)＝(sinθ＋cosθ)2＋(cosθ－sinθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ－cosθ＋sinθ)＝(sinθ＋cosθ)(sinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝2sinθ＝tanθ＝右邊．2cosθ所以原式成立．2．對(duì)于無(wú)條件的恒等式證明，常采用的方法有化繁為簡(jiǎn)和左右歸一，關(guān)鍵是分析等式兩邊三角函數(shù)式的特點(diǎn)、角度和函數(shù)關(guān)系，找出差異，尋找突破口；有條件的等式證明，常先觀察條件及式中左右兩邊三角函數(shù)式的區(qū)別與聯(lián)系，靈活使用．另外，需注意二倍角公式本身是“升冪公式”，其變形是“降冪公式”，在證明中應(yīng)靈活選擇．[變式訓(xùn)練3](1)化簡(jiǎn)：cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋90°)·cos(90°－θ)；(2)求證：(sinθ＋cosθ－1)(sinθ－cosθ＋1)θ＝tan2.解：(1)原式＝sin2θ1＋cos(2θ＋30°)2＋1－cos(2θ－30°)2＋cosθsinθ2＝

1

＋

1

(cos2θcos30°

－

sin2θsin30°

－

cos2θ·cos30°

－sin2θsin30°)＋112sin2θ＝1－sin2θsin30°＋2sin2θ＝1.(2)證明：左邊＝[sinθ＋(cosθ－1)][sinθ－(cosθ－1)]sin2θ＝sin2θ－(cosθ－1)2sin2θ＝sin2θ－cos2θ＋2cosθ－1sin2θ＝＝－2cos2θ＋2cosθ

1－cosθ2sinθcosθ

sinθ2sin2θθ

θ2sin2cos2

2

＝

＝θtan2＝右邊．故原式得證．類型三

倍角公式與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用3sinωxsin(ωx＋2π)(ω>0)的[例

4]

已知函數(shù)

f(x)＝sin2ωx＋最小正周期為π.(1)求ω

的值；2π(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0，3

上的取值范圍．[思路分析]

(1)已知函數(shù)解析式是含有二次的三角函數(shù)式，可利用二倍角公式降冪，化為

y＝Asin(ωx＋φ)＋b

的形式．由給2π出的函數(shù)的最小正周期為π，可利用T＝

ω

確定出ω

的值．

2π(2)由區(qū)間0，3

求f(x)的取值范圍，一定要先確定ωx＋φ的范圍，再求f(x)的取值范圍．[解](1)f(x)＝1－cos2ωx23＋

2

sin2ωx＝

3

112

sin2ωx－2cos2ωx＋2

π1＝sin2ωx－6＋2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的最小正周期為π，且ω>0，2ω所以2π＝π.解得ω＝1.

π1(2)由(1)得f(x)＝sin2x－6＋2.2π因?yàn)?≤x≤3

，π

π

7π所以－6≤2x－6≤6

，1

π所以－2≤sin2x－6≤1.

π1

3所以0≤sin2x－6＋2≤2，2π

3即f(x)在區(qū)間0，3

上的取值范圍為0，2.

π

[變式訓(xùn)練

4]

已知函數(shù)

f(x)＝sin2－xsinx－23cos

x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

π2π(2)討論f(x)在6，3

上的單調(diào)性．

π

解：(1)f(x)＝sin2－xsinx－2

33cos

x＝cosxsinx－

2

(1＋cos2xπ1

3

3

3＝2sin2x－2

cos2x－2

＝sin2x－3－2

，因此f(x)的最小正周期為π，最大值為2－

32.

π2π

π(2)當(dāng)x∈6，3

時(shí)，0≤2x－3≤π，從而π

π

π

5π當(dāng)0≤2x－3≤2，即6≤x≤12時(shí)，f(x)單調(diào)遞增；π

π

5π

2π當(dāng)2≤2x－3≤π，即12≤x≤3

時(shí)，f(x)單調(diào)遞減．

π5π

5π

2π綜上可知，f(x)在6，12上單調(diào)遞增；在12，3

上單調(diào)遞減.課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1.sin20°cos20°cos2155°－sin2155°的值是(A．121B．—2C．32D．—321

1

12sin40°

2sin40°

2sin40°1解析：原式＝cos310°＝

cos50°＝

sin40°＝2.A

)π－

3

π2．已知

sin4

x＝5，則

cos2－2x的值為()BA．19

1625

．25C．2514

7D．25π－

3

π解析：因?yàn)?/p>

sin4

x＝5，所以

cos2－2x

4＝cos2

－x

＝1－2sin2π

π

4725－x

＝

.D3πA．4，

4

π

πB．2，πππC．－4，4

πD．0，2

解析：∵y＝2cos2x＝1＋cos2x，∴函數(shù)在π，π上單調(diào)遞增．故選B．2

3．函數(shù)

y＝2cos2x

的一個(gè)