北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第1章三角形的證明11等腰三角形課件

第一章

三角形的證明1.1

等腰三角形第1課時(shí)

等腰三角形的性質(zhì)1課堂講解全等三角形的性質(zhì)和判定等腰三角形的邊、角性質(zhì)等腰三角形的“三線合一”2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升活動(dòng)：實(shí)踐觀察，認(rèn)識(shí)三角形DACB得到這個(gè)△ABC中AB和AC有什么關(guān)系?

1知識(shí)點(diǎn)全等三角形的性質(zhì)和判定問

題全等三角形的定義是什么？知1－導(dǎo)1.全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.2.全等三角形的判定方法（1）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊邊邊”或

“SSS”）.（2）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“角

邊角”或“ASA”）.（3）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形

全等（簡寫成“角角邊”或“AAS”）.（4）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（簡寫成“邊

角邊”或“SAS”）知1－講知1－講利用全等三角形的判定方法，當(dāng)∠D＝∠B時(shí)，兩個(gè)三角形符合“邊角邊”，△ADF≌△CBE．導(dǎo)引：例1

如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠B

C．AD∥BC D．DF∥BEB總

結(jié)知1－講此題主要考查了全等三角形的判定方法，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．知1－練【2017·懷化】如圖，AC＝DC，BC＝EC，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：_________________________________________，使得△ABC≌△DEC.1DE＝AB或∠ACB＝∠DCE或∠ACD＝∠BCE知1－練【2016·黔西南州】如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是(

)A．AB＝DE

B．AC＝DFC．∠A＝∠D

D．BF＝EC2C知1－練【2017·鄂州】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC＋AD，∠DAC＝45°，E為CD上一點(diǎn)，且∠BAE＝45°，若CD＝4，則△ABE的面積為(

)A.B.C.D.3D2知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的邊、角性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等腰三角形的相關(guān)概念回顧：（來自《教材》）腰腰頂角底角底角底邊知2－導(dǎo)2．議一議(1)還記得我們探索過的等腰三角形的性質(zhì)嗎？(2)請(qǐng)你選擇等腰三角形的一條性質(zhì)進(jìn)行證明，并與

同伴交流.（來自《教材》）歸納知2－導(dǎo)（來自《教材》）定理等腰三角形的兩底角相等.這一定理可以簡述為：等邊對(duì)等角.知2－講例2已知：如圖1-1，在△ABC中，AB＝AC.求證：∠B＝∠C.分析：我們?cè)?jīng)利用折疊的方法說明了這兩個(gè)底角相等(如圖1-2).實(shí)際

上，折痕將等腰三角形分成了兩

個(gè)全等三角形.這啟發(fā)我們，可以

作一條輔助線，把原三角形分成

兩個(gè)全等的三角形，從而證明這

兩個(gè)底角相等.（來自《教材》）圖1-2知2－講證明：如圖1-3，取BC的中點(diǎn)D，連接

AD.∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS).∴∠B＝∠C(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.（來自《教材》）知2－講性質(zhì)：等腰三角形的兩底角相等(簡寫成“等邊對(duì)等角”)．知2－講例3

(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；(2)若等腰三角形的一個(gè)角為70°，求頂角的度數(shù)；(3)若等腰三角形的一個(gè)角為90°，求頂角的度數(shù)．導(dǎo)引：給出的條件中，若底角、頂角已確定，可直接運(yùn)用三

角形的內(nèi)角和定理與等腰三角形的兩底角相等的性質(zhì)

求解；若給出的條件中底角、頂角不確定，則要分兩

種情況求解．解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.知2－講(2)由題意可知，70°的角可以為頂角或底角，當(dāng)?shù)捉?/p>

為70°時(shí)，頂角為180°－70°×2＝40°.因此頂角

為40°或70°.(3)若頂角為90°，底角為

若底角為90°，則三個(gè)內(nèi)角的和大于180°，不符合三角形

內(nèi)角和定理．因此頂角為90°.總

結(jié)知2－講1．在等腰三角形中求角時(shí)，要看給出的角是否確定為頂角或底角．若已確定，則直接利用三角形的內(nèi)角和定理求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內(nèi)角和定理．2．若等腰三角形中給出的一內(nèi)角是直角或鈍角，則此角必為頂角．1在△ABC中，AB＝AC

.(1)若∠A＝50°，則∠C等于多少度？知2－練（來自《教材》）(1)在△ABC中，因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C.因?yàn)椤螦＝40°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＝180°－∠A＝140°.所以∠C＝70°.解：(2)若∠B＝72°，則∠A等于多少度?知2－練（來自《教材》）(2)因?yàn)椤螧＝72°，所以由(1)可知：

∠A＝180°－2∠B

＝180°－2×72°

＝36°.解：2如圖，在△ABD中，AC⊥BD，垂足為C，AC＝BC＝CD.(1)求證：△ABD是等腰三角形；知2－練（來自《教材》）(1)在△ACB和△ACD中，所以△ACB≌△ACD(SAS)．所以AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等)．所以△ABD是等腰三角形．證明：A(2)求∠BAD的度數(shù).知2－練（來自《教材》）因?yàn)锳C＝BC，所以∠B＝∠BAC.因?yàn)椤螦CB＝90°，所以∠BAC＝45°.同理∠DAC＝45°，所以∠BAD＝∠BAC＋∠DAC

＝45°＋45°＝90°.解：3知2－練【2017·寧德】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊BC和AC上，若AD＝AE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．∠ADB＝∠ACB＋∠CAD

B．∠ADE＝∠AEDC．∠CDE＝

∠BAD

D．∠AED＝2∠ECDD4知2－練【2017·臺(tái)州】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A．AE＝EC

B．AE＝BEC．∠EBC＝∠BAC

D．∠EBC＝∠ABEC知3－導(dǎo)3知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的“三線合一”想一想在圖1-3中，線段AD還具有怎樣的性質(zhì)？為什么？由此你能得到什么結(jié)論?知2－導(dǎo)歸

納推論

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、

底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）知3－講如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)求證：EF＝ED.∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴∠BAD＝∠CAD.∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC

＝(180°－∠BAC)

＝(180°－50°)＝65°.例4(1)解：知3－講(2)求證：EF＝ED.證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∴ED⊥BC.又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.1知3－練【中考·蘇州】如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∠BAD＝35°，則∠C的度數(shù)為(

)A．35°B．45°C．55°D．60°C2知3－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AD上，那么下列結(jié)論不一定正確的是(

)A．AD⊥BC

B．∠EBC＝∠ECBC．∠ABE＝∠ACE

D．AE＝BED3知3－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，BE＝CF，則下列說法正確的有(

)①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)D4知3－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E在BC上，連接AD，AE，若只添加一個(gè)條件使∠DAB＝∠EAC，則添加的條件不能為(

)A．BD＝CE

B．AD＝AEC．DA＝DE

D．BE＝CDC1．知識(shí)方面：（1）等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角.（2）等腰三角形性質(zhì)的推論：三線合一，即等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.2．思想方法：轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)是證明角相等、邊相等的重要方法.1知識(shí)小結(jié)已知等腰三角形的一個(gè)外角等于110°，這個(gè)等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為(

)A．40°

B．55°C．70°

D．55°或70°易錯(cuò)點(diǎn)：求等腰三角形的角時(shí)易出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤2易錯(cuò)小結(jié)D本題應(yīng)用分類討論思想，分頂角為70°和底角為70°兩種情況，解題時(shí)易丟掉一種情況而漏解．1.1等腰三角形第1課時(shí)

等腰三角形的性質(zhì)第一章

三角形的證明習(xí)題作業(yè)利用全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)求三角形中的角利用全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)證線段倍分關(guān)系利用等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)解邊角關(guān)系利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系(構(gòu)造基本圖形法)123411.【

中考?蘇州】如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O.(1)求證：△AEC≌△BED；(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度數(shù)．∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD＝∠BOE.∵∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2.又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BEO.∴∠AEC＝∠BED.在△AEC和△BED中，∠A＝∠B，AE＝BE，

∠AEC＝∠BED，∴△AEC≌△BED(ASA)．(1)證明：∵△AEC≌△BED，∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，∴∠C＝∠EDC＝69°.∴∠BDE＝∠C＝69°.(2)解：12.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE＝CE.求證：(1)△AEF≌△CEB；(2)AF＝2CD.∵AD⊥BC，∴∠B＋∠BAD＝90°.∵CE⊥AB，∴∠B＋∠BCE＝90°.∴∠EAF＝∠ECB.在△AEF和△CEB中，∠AEF＝∠CEB，AE＝CE，∠EAF＝∠ECB，∴△AEF≌△CEB(ASA)．(1)證明：∵△AEF≌△CEB，∴AF＝BC.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BC＝2CD.∴AF＝2CD.(2)解：13.【

中考?菏澤】如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連接BE.若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°.(1)求證：AD＝BE；(2)求∠AEB的度數(shù)．∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC＝BC，DC＝EC.在△ACD和△BCE中，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE，DC＝EC，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE.(1)證明：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC.∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且∠CDE＝50°，∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°.∴∠BEC＝130°.∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°.(2)解：14.【中考?連云港】如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AD＝AE，連接BE，CD，交于點(diǎn)F.(1)判斷∠ABE與∠ACD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)求證：過點(diǎn)A，F(xiàn)的直線垂直平分線段BC.∠ABE＝∠ACD.

理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠DAC，AD＝AE，∴△ABE≌△ACD.∴∠ABE＝∠ACD.（1）解：連接AF，并延長交BC于G.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB.∴FB＝FC.又∵∠ABE＝∠ACD，AB＝AC，∴△ABF≌△ACF(SAS)．∴∠BAG＝∠CAG.∴過點(diǎn)A，F(xiàn)的直線垂直平分線段BC.(2)證明：第一章

三角形的證明1.1等腰三角形第2課時(shí)

等邊三角形的性質(zhì)1課堂講解等腰三角形中相等的線段等邊三角形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升等腰三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧1．等腰三角形的性質(zhì)：等邊對(duì)等角.2．等腰三角形性質(zhì)的推論：三線合一，即等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合.1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形中相等的線段在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發(fā)現(xiàn)其中一些相等的線段嗎？能證明你的結(jié)論嗎？知1－導(dǎo)（來自《教材》）知1－講例1

證明：等腰三角形兩底角的平分線相等.已知：如圖,在△ABC中，AB=AC,BD和CE是△ABC的角平分線.求證：BD

=CE.（來自《教材》）知1－講（來自《教材》）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB(等邊對(duì)等角）.∵BD,CE分別平分∠ABC

和∠ACB

，∴∠1＝∠2.在△BDC和△CEB中，∠ACB＝∠

ABC,BC=CB,∠1＝∠2,∴△BDC≌△CEB(ASA).∴BD＝CE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.證明：知1－講例2求證：等腰三角形兩腰上的中線相等．導(dǎo)引：先根據(jù)命題分析出題設(shè)和結(jié)論，畫出圖形，寫出已知和求證，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形全等的知識(shí)證明．知1－講解：如圖，在△ABC中，AB＝AC，CE和BD分別是AB和AC上的中線，求證：CE＝BD.∵AB＝AC，CE和BD分別是AB和AC上的中線，∴∠ABC＝∠ACB，BE＝CD.又∵BC＝CB，∴△BEC≌△CDB.∴CE＝BD.證明：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，那么下列說法中不正確的是(

)A．BC邊上的高線和中線互相重合B．AB和AC邊上的中線相等C．頂點(diǎn)B處的角平分線和頂點(diǎn)C處的角平分線相等D．AB，BC邊上的高線相等知1－練D知1－練如圖，在△ABC中，AB＝AC，下列條件中，不能使BD＝CE的是(

)A．BD，CE為AC，AB邊上的高B．BD，CE都為△ABC的角平分線C．∠ABD＝∠ABC，∠ACE＝∠ACBD．∠ABD＝∠BCED知1－練若等腰三角形兩腰上的高相交所成的鈍角為100°，

則頂角的度數(shù)為(

)A．50°B．80°

C．100°D．130°B2知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)1．等邊三角形的定義是什么？2．想一想等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內(nèi)角有什么特征呢?（來自《教材》）歸納知2－導(dǎo)（來自《教材》）定理等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.知2－講已知：如圖,在△ABC中，AB=AC=BC.求證：∠A=∠B

=∠C

=60°.∵AB

=AC，∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角).又∵AC

=BC，∴∠A=∠B(等邊對(duì)等角).∴∠A=∠B

=∠

C.在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∴∠A=∠B=∠C=60°.（來自《教材》）證明：知2－講ABC等邊三角形的定義

三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形(也叫正三角形).等邊三角形是特殊的等腰三角形.知2－講有兩邊相等的三角形是等腰三角形（定義）有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.滿足什么條件的三角形是等邊三角形?滿足什么條件的三角形是等腰三角形?三邊都相等的三角形是等邊三角形（定義）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.方法一：從邊看方法二：從角看方法一：方法二：知2－講如圖，已知△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)分別是三邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，計(jì)算△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)．例3

導(dǎo)引：要計(jì)算出△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，有兩個(gè)途徑，即證△DEF為等邊三角形或直接求各個(gè)角的度數(shù)，由垂直的定義及等邊三角形的性質(zhì)，顯然直接求各個(gè)角的度數(shù)較易．知2－講因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.因?yàn)镈E⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°.所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.即△DEF各個(gè)內(nèi)角的度數(shù)都是60°.解：總

結(jié)知2－講利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)時(shí)，通過利用等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°的性質(zhì)，找出要求角與已知角間的關(guān)系來進(jìn)行相關(guān)計(jì)算；有時(shí)還要結(jié)合全等圖形等知識(shí)來解決．知2－講如圖，已知△ABC，△BDE都是等邊三角形．求證：AE＝CD.例4

導(dǎo)引：要證AE＝CD，可通過證AE，CD所在的兩個(gè)三角形全等來實(shí)現(xiàn)，即證△ABE≌△CBD，條件可從等邊三角形中去尋找．知2－講∵△ABC和△BDE都是等邊三角形，∴AB＝BC，BE＝BD，∠ABC＝∠DBE＝60°.在△ABE與△CBD中，∴△ABE≌△CBD(SAS)．∴AE＝CD.證明：總

結(jié)知2－講運(yùn)用等邊三角形性質(zhì)證明線段相等的方法：把要證的兩條線段放到一個(gè)三角形中證其為等腰或等邊三角形或者放到兩個(gè)三角形中，利用全等三角形的性質(zhì)證明；注意等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等、三條邊相等、三線合一是隱含的已知條件．1求等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù).知2－練（來自《教材》）解：如圖，在等邊三角形ABC中，CE，BF分別是AB，AC邊上的中線，且CE與BF相交于點(diǎn)O，則CE垂直平分AB，BF垂直平分AC，在Rt△ABF中，∵∠A＝60°，∴∠ABF＝30°.在Rt△BEO中，∵∠EBO＝30°，∴∠EOB＝60°，即等邊三角形兩條中線相交所成銳角的度數(shù)為60°.2如圖，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，求∠BAC的度數(shù).知2－練（來自《教材》）解：由題意易知，BD＝DE＝AD，∴∠DBA＝∠BAD.又∵∠DBA＋∠BAD＝∠ADE＝60°，∴∠BAD＝30°.同理可得，∠CAE＝30°，∴∠BAC＝∠BAD＋∠DAE＋∠CAE

＝30°＋60°＋30°＝120°.3下列性質(zhì)中，等邊三角形具有且等腰三角形也具有的是(

)A．三條邊相等B．三個(gè)內(nèi)角相等C．有三條對(duì)稱軸D．是軸對(duì)稱圖形知2－練D4下面關(guān)于等邊三角形的說法正確的有(

)①三個(gè)角都相等；②三條邊都相等；③是一種特殊的等腰三角形；④是一種特殊的直角三角形．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)知2－練C5已知AD是等邊三角形ABC的高，且BD＝1cm，那么BC的長是(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm知2－練B6【2016·內(nèi)江】已知等邊三角形的邊長為3，點(diǎn)P為等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到三邊的距離之和為(

)A.

B.C.

D．不能確定知2－練B7如圖，在等邊三角形ABC中，BD，CE是兩條中線，則∠1的度數(shù)為(

)A．90°B．30°C．120°D．150°知2－練C8【2017·南充】如圖，等邊三角形OAB的邊長為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

)A．(1，1)

B．(，1)

C．(，)

D．(1，)知2－練D如圖，△ABC是等邊三角形，AD是角平分線，△ADE是等邊三角形，下列結(jié)論：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為(

)A．3B．2C．1D．知2－練A9如圖，l∥m，等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾角為20°，則∠α的度數(shù)為(

)A．60°B．45°C．40°D．30°知2－練C10如圖，在等邊三角形ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠APE的度數(shù)是(

)A．45°B．55°C．60°D．75°知2－練C111．等腰三角形的特殊性質(zhì)：(1)等腰三角形兩底角的平分線相等；(2)等腰三角形兩腰上的高相等；(3)等腰三角形兩腰上的中線相等；1知識(shí)小結(jié)2．等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長度相等．已知△ABC是等邊三角形，設(shè)AB，BC，AC邊上的中線交于點(diǎn)G，∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線交于點(diǎn)I，AB，BC，AC邊上的高交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①點(diǎn)G與點(diǎn)I一定重合；②點(diǎn)G與點(diǎn)H一定重合；③點(diǎn)I與點(diǎn)H一定重合；④點(diǎn)G，點(diǎn)I與點(diǎn)H一定重合．其中正確的有(

)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：忽視等邊三角形與等腰三角形的關(guān)系而致錯(cuò)2易錯(cuò)小結(jié)D因?yàn)榈冗吶切蔚娜龡l邊相等，所以等邊三角形每條邊上的中線、高與該邊對(duì)角的平分線互相重合，所以點(diǎn)G，點(diǎn)I與點(diǎn)H一定重合．1.1等腰三角形第2課時(shí)

等邊三角形的性質(zhì)第一章

三角形的證明習(xí)題作業(yè)利用等邊三角形的性質(zhì)求角的度數(shù)利用等邊三角形的性質(zhì)證線段相等(構(gòu)造等邊三角形法)利用等邊三角形的性質(zhì)類比探究邊角關(guān)系12314.【中考?懷化】如圖，四邊形ABCD是正方形，△EBC是等邊三角形．(1)求證：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度數(shù)．∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°.∵△EBC是等邊三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝∠BEC＝60°.∴∠EBA＝∠ECD＝30°.在△ABE和△DCE中，AB＝CD，∠EBA＝∠ECD，EB＝EC.∴△ABE≌△DCE.(1)證明：由(1)可知，AB＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝∠BEA＝75°.

同理，∠CDE＝∠CED＝75°.∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.(2)解：15.如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長BC到D，延長BA到E，并且使AE＝BD，連接EC，ED.求證：EC＝ED.∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，AB＝BC.如圖，以BE為邊，∠B為內(nèi)角作等邊三角形BEF.∴BE＝BF＝EF，∠F＝60°.∴BE－AB＝BF－BC，即AE＝CF.又∵AE＝BD，∴BD＝CF.∴BD－CD＝CF－CD，即BC＝DF.證明：在△ECB和△EDF中，EB＝EF，∠B＝∠F＝60°，BC＝FD，∴△ECB≌△EDF(SAS)．∴EC＝ED.16.【中考?煙臺(tái)】【操作發(fā)現(xiàn)】(1)如圖①，△ABC為等邊三角形，先將三角尺中的60°角與∠ACB重合，再將三角尺繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于30°)．旋轉(zhuǎn)后三角尺的一直角邊與AB交于點(diǎn)D.在三角尺斜邊上取一點(diǎn)F，使CF＝CD，在線段AB上取一點(diǎn)E，使∠DCE＝30°，連接AF，EF.①求∠EAF的度數(shù)；②DE與EF相等嗎？請(qǐng)說明理由．【類比探究】(2)如圖②，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，先將三角尺的90°角與∠ACB重合，再將三角尺繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角大于0°且小于45°)．旋轉(zhuǎn)后三角尺的一直角邊與AB交于點(diǎn)D.在三角尺另一直角邊上取一點(diǎn)F，使CF＝CD，在線段AB上取一點(diǎn)E，使∠DCE＝45°，連接AF，EF.請(qǐng)直接寫出探究結(jié)果：①∠EAF的度數(shù)；②線段AE，ED，DB之間的數(shù)量關(guān)系．(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠FCA＝∠DCB.∵△ABC為等邊三角形，∴AC＝BC，∠B＝∠CAB＝60°.在△CFA和△CDB中，AC＝CB，∠FCA＝∠DCB，CF＝CD，∴△CFA≌△CDB.∴∠FAC＝∠B＝60°.∴∠EAF＝∠FAC＋∠CAE＝60°＋60°＝120°.解：②DE＝EF.理由如下：∵∠DCE＝30°，∠FCD＝60°，∴∠FCE＝∠DCE＝30°.在△FCE和△DCE中，CF＝DC，∠FCE＝∠DCE，CE＝CE，∴△FCE≌△DCE.∴DE＝EF.(2)①∠EAF＝90°.②DB2＋AE2＝ED2.第一章

三角形的證明1.1等腰三角形第3課時(shí)

等腰三角形的判定1課堂講解等腰三角形的判定反證法2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1、等腰三角形是怎樣定義的？有兩條邊相等的三角形,叫做等腰三角形.①等腰三角形是軸對(duì)稱圖形.③等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊

上的高重合(也稱為“三線合一”).②等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡寫成

“等邊對(duì)等角”)

.2、等腰三角形有哪些性質(zhì)？DABC既是性質(zhì)又是判定1知識(shí)點(diǎn)等腰三角形的判定知1－導(dǎo)思考我們知道，如果一個(gè)三角形有兩條邊相等，那么它們所對(duì)的角相等.反過來，如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊有什么關(guān)系？如圖，在△ABC中，∠B=∠C.作△ABC的角平分線AD.在△BAD和△CAD中，∠1=∠2，∠B=∠C，

AD=AD,∴△BAD≌△CAD(AAS).∴AB=AC.知1－導(dǎo)知1－導(dǎo)歸

納由上面推證，我們可以得到等腰三角形的判定方法：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等.那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡寫成“等角對(duì)等邊”).（來自教材

）知1－講1．判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形．(簡稱等角對(duì)等邊)應(yīng)用格式：在△ABC中，∵∠B＝∠C,∴AB＝AC.2．等腰三角形的判定與性質(zhì)的異同相同點(diǎn)：都是在一個(gè)三角形中；區(qū)別：判定是由角到邊，性質(zhì)是由邊到角．即：．知1－講（來自《教材》）例1已知：如圖，AB＝DC，BD＝CA，BD與CA

相交于點(diǎn)E.求證：△AED是等腰三角形.知1－講（來自《教材》）∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA，∴△ABD≌△DCA(SSS).∴∠ADB＝DAC(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).∴AE＝DE(等角對(duì)等邊).∴△AED是等腰三角形.證明：知1－講如圖-，在△ABC中，P是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作BC的垂線，交AB于點(diǎn)Q，交CA的延長線于點(diǎn)R，若AQ＝AR，則△ABC是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由．導(dǎo)引：要說明△ABC為等腰三角形，由圖可知即要說明∠B＝∠C，而∠B，∠C分別在兩個(gè)直角三角形中，因此只要說明∠B，∠C的余角∠BQP，∠R相等即可．例2知1－講解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵AQ＝AR，∴∠R＝∠AQR.又∵∠BQP＝∠AQR，∴∠R＝∠BQP.∵PR是BC的垂線，∴∠BPQ＝∠CPR＝90°.在Rt△QPB和Rt△RPC中，∠B＋∠BQP＝90°，∠C＋∠R＝90°，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.總

結(jié)知1－講本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要證的兩角相等利用等角的余角相等轉(zhuǎn)化為證其余角相等；對(duì)頂角這一隱含條件在推導(dǎo)角的相等關(guān)系中起了關(guān)鍵的橋梁作用．1如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作BC的平分線，交AB于點(diǎn)E，請(qǐng)判斷△BDE的形狀，并說明理由.知1－練（來自《教材》）解：△BDE為等腰三角形．理由如下：因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD＝∠DBC.因?yàn)镈E∥BC，所以∠EDB＝∠DBC.所以∠EBD＝∠EDB.所以EB＝ED.故△BDE為等腰三角形．2在△ABC中，∠A和∠B的度數(shù)如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(

)A．∠A＝50°，∠B＝70°B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°D．∠A＝80°，∠B＝60°知1－練B3如圖，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，則圖中的等腰三角形有(

)A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)知1－練D4【2016·甘孜州】如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，ED∥BC，已知AB＝3，AD＝1，則△AED的周長為(

)A．2B．3C．4D．5知1－練C5如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC邊上的高，CE是AB邊上的高，它們相交于點(diǎn)O，則圖中除△ABC外一定是等腰三角形的是(

)A．△ABD

B．△ACE

C．△OBC

D．△OCD知1－練C6【2017·海南】已知△ABC的三邊長分別為4，4，6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(

)A．3條B．4條C．5條D．6條知1－練B7【2017·玉林】如圖，一艘輪船在A處測(cè)得燈塔P位于其北偏東60°方向上，輪船沿正東方向航行30nmile到達(dá)B處后，此時(shí)測(cè)得燈塔P位于其北偏東30°方向上，此時(shí)輪船與燈塔P的距離是(

)A．15nmileB．30nmileC．45nmileD．30nmile知1－練B8在下列三角形中，若AB＝AC，則不能被一條直線分成兩個(gè)小等腰三角形的是(

)知1－練B9【2016·武漢】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(2，2)，B(4，0)．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是(

)A．5B．6C．7D．8知1－練B2知識(shí)點(diǎn)反證法知2－導(dǎo)想一想小明認(rèn)為，在一個(gè)三角形中，如果兩個(gè)角不相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也不相等.你認(rèn)為小明這個(gè)結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？（來自《教材》）知2－導(dǎo)（來自《教材》）小明是這樣想的：如圖，在△ABC中，已知∠B≠∠C,此時(shí)AB與AC要么相等，要么不相等.假設(shè)AB＝AC那么根據(jù)“等邊對(duì)等角”定理可得∠C＝∠B，

這與已知條件∠B≠∠C相矛盾，因此

AB≠AC．你能理解他的推理過程嗎？歸納知2－導(dǎo)小明在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.知2－講1．定義在證明時(shí)，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱為反證法．2．利用反證法證明命題的一般步驟(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．知2－講3．適宜用反證法證明的命題反證法主要用于直接證明比較困難的命題，例如下面幾種常見類型的命題就適宜用反證法：(1)結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，如鈍角三角形中不能有兩個(gè)鈍角；(2)唯一性命題，如兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn)；(3)命題的結(jié)論以“至多”“至少”等形式敘述的命題，如一個(gè)凸多邊形中至多有3個(gè)銳角．知2－講用反證法證明命題“等腰三角形的兩底角是銳角”時(shí)，第一步為_____________________________________．導(dǎo)引：反證法的第一步是假設(shè)“命題的結(jié)論不成立”，就是“命題結(jié)論的反面是正確的”，理解了命題的結(jié)論和命題結(jié)論的反面，問題即可解決．例3假設(shè)等腰三角形的兩底角是直角或鈍角知2－講用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.已知：△ABC.求證：∠A、∠B、∠C中不能有兩個(gè)角是直角.例4

證明：假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.于是∠A＋∠B＋∠C=90°＋90°＋∠C>180°.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假設(shè)不成立.所以，一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角.1已知五個(gè)正數(shù)的和為1，用反證法證明：這五個(gè)正數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于.知2－練（來自《教材》）解：假設(shè)這五個(gè)數(shù)均小于

，不妨設(shè)則有即這與已知矛盾，所以假設(shè)不成立，原命題成立.即已知五個(gè)正數(shù)的和等于1，則這五個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)大于或等于2用反證法證明“一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，應(yīng)假設(shè)(

)A．一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)鈍角B．一個(gè)三角形中至多有一個(gè)鈍角C．一個(gè)三角形中至少有一個(gè)鈍角D．一個(gè)三角形中沒有鈍角知2－練A3下列命題中，宜用反證法證明的是(

)A．等腰三角形兩腰上的高相等B．有一個(gè)外角是120°的等腰三角形是等邊三

角形C．兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條

直線互相平行D．全等三角形的面積相等知2－練C1．等腰三角形的判定是把角相等轉(zhuǎn)化為邊相等，但前提是在同一個(gè)三角形內(nèi)．2．利用反證法解題的一般步驟：(1)假設(shè)；(2)歸謬：從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證得出與已知、定理、公理等相矛盾的結(jié)果；(3)結(jié)論：肯定命題結(jié)論正確.1知識(shí)小結(jié)如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，求證：∠DAB是一個(gè)銳角．易錯(cuò)點(diǎn)：反證法中易假設(shè)結(jié)論的反面不全面而致錯(cuò)2易錯(cuò)小結(jié)假設(shè)∠DAB是一個(gè)直角或鈍角，則∠DAB≥90°，∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，∴∠DAC＝∠DAB≥90°.則∠BAC＝∠DAB＋∠DAC≥90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠C＋∠BAC>180°.這與三角形內(nèi)角和為180°矛盾，∴∠DAB是一個(gè)直角或鈍角的假設(shè)不成立．∴∠DAB是一個(gè)銳角．證明：1.1等腰三角形第3課時(shí)

等腰三角形的判定第一章

三角形的證明習(xí)題作業(yè)利用等腰三角形求角度利用等腰三角形證兩線平行利用等腰三角形證線段相等(平行線構(gòu)造法)利用等腰三角形證線段和差關(guān)系(軸對(duì)稱構(gòu)造法)123412.【中考?常州】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD與CE相交于點(diǎn)O.(1)求證：OB＝OC；(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度數(shù)．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE是△ABC的兩條高線，∴∠BDC＝∠CEB＝90°，即∠DBC＋∠DCB＝∠ECB＋∠CBE＝90°.∴∠DBC＝∠ECB.∴OB＝OC.（1）證明：∵∠CEB＝90°，∠ABC＝50°，∴∠BCE＝180°－90°－50°＝40°.∴∠DBC＝40°.∴∠BOC＝180°－40°－40°＝100°.（2）解：13.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為CA的延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)F

作FG⊥BC于G點(diǎn)，并交AB于E點(diǎn)，試說明下列結(jié)論成立的理由：(1)AD∥FG；(2)△AEF為等腰三角形．(1)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC.又∵FG⊥BC，∴AD∥FG.(2)∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴∠BAD＝∠CAD.∵AD∥FG，∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.∴∠F＝∠AEF.∴AF＝AE，即△AEF為等腰三角形．解：14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于點(diǎn)E，交AC的延長線于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，且BE＝CF.求證：DE＝DF.如圖，過點(diǎn)E作EG∥AC交BC于點(diǎn)G，∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B(等邊對(duì)等角)．∴∠B＝∠EGB.∴BE＝EG(等角對(duì)等邊)．∵BE＝CF，∴EG＝CF.證明：在△EGD和△FCD中，∠EDG＝∠FDC，∠DEG＝∠F，EG＝FC，∴△EGD≌△FCD(AAS)．∴DE＝DF.本題既用到了等腰三角形的性質(zhì)，又用到了等腰三角形的判定．同一個(gè)題中同時(shí)用到等腰三角形的性質(zhì)和判定時(shí)，應(yīng)注意它們的區(qū)別與聯(lián)系．本題還可以過點(diǎn)F作FH∥AB交BC的延長線于點(diǎn)H，由已知條件推得△DBE≌△DHF.15．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E.(1)若∠A＝100°，求證：BC＝BE＋AE.(2)探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪兩條線段長的和呢？試說明理由．在BC上截取BD＝BE，連接DE(如圖)．∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－100°)÷2＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝20°.又∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED＝(180°－20°)÷2＝80°.又∵∠BDE＝∠C＋∠CED，∠C＝40°，∴∠CED＝40°＝∠C.∴DE＝DC.（1）證明：過點(diǎn)E分別作EM⊥BA交BA的延長線于點(diǎn)M，EN⊥BC于點(diǎn)N.∴∠BME＝∠BNE＝90°.又∵∠MBE＝∠NBE，BE＝BE，∴△BME≌△BNE.∴EM＝EN.∵∠BAC＝100°，∴∠CAM＝180°－100°＝80°.在Rt△EMA和Rt△END中，∠EAM＝∠EDN＝80°，∠AME＝∠DNE＝90°，EM＝EN，∴Rt△EMA≌Rt△END(AAS)．∴EA＝ED.又∵DE＝DC，∴EA＝DC.∴BC＝BD＋DC＝BE＋AE.BC＝CE＋AB.理由如下：在CB上截取CP＝CE，連接PE(如圖)．∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－108°)÷2＝36°.∴∠CPE＝(180°－36°)÷2＝72°.∴∠BPE＝180°－72°＝108°.∴∠BPE＝∠A.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠PBE.（2）解：在△ABE和△PBE中，∠A＝∠BPE，∠ABE＝∠PBE，BE＝BE，∴△ABE≌△PBE(AAS)．∴AB＝PB.∴BC＝CP＋PB＝CE＋AB.第一章

三角形的證明1.1等腰三角形第4課時(shí)

等邊三角形的判定1課堂講解等邊三角形的判定含30°角的直角三角形的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升等邊三角形有哪些性質(zhì)？復(fù)習(xí)回顧歸納等邊三角形的性質(zhì)：(1)等邊三角形的三邊都相等；(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°；(3)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，分別為三邊的垂直平分線；(4)各邊上的高、中線、對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長度相等．1知識(shí)點(diǎn)等邊三角形的判定一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形？請(qǐng)證明自己的結(jié)論，并與同伴交流.知1－導(dǎo)（來自《教材》）總

結(jié)知1－導(dǎo)定理三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.定理有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形.知1－講1．判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；判定定理2：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形．2．應(yīng)用注意事項(xiàng)：判定定理1在任意三角形中都適用，判定定理2適用的前提是等腰三角形；因此要結(jié)合題目的條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?－講如圖，在等邊三角形ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，OB，OC的垂直平分線分別交BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接OE，OF.求證：△OEF是等邊三角形．（來自《教材》）例1導(dǎo)引：從題中條件看，利用三角形的外角性質(zhì)易求∠OEF＝∠OFE＝60°，從而證明△OEF是等邊三角形．知1－講∵E，F(xiàn)分別是線段OB，OC的垂直平分線上的點(diǎn)，∴OE＝BE，OF＝CF.∴∠OBE＝∠BOE，∠OCF＝∠COF.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.又∵BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBE＝∠BOE＝∠OCF＝∠COF＝30°.∴∠OEF＝∠OFE＝60°.∴∠EOF＝180°－2×60°＝60°.∴△OEF是等邊三角形．證明：總

結(jié)知1－講證明一個(gè)三角形是等邊三角形的方法：(1)若已知三邊關(guān)系，則選用等邊三角形定義來判定；(2)若已知三角關(guān)系，則選用“三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形”來判定；(3)若已知是等腰三角形，則選用“有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形”來判定．等腰三角形補(bǔ)充下列條件后，仍不一定成為等邊三角形的是(

)A．有一個(gè)內(nèi)角是60°B．有一個(gè)外角是120°C．有兩個(gè)角相等D．腰與底邊相等知1－練C2知1－練如圖，△ABC是等邊三角形，D，E，F(xiàn)為各邊中點(diǎn)，則圖中共有等邊三角形(

)A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)D知1－練3下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°的三角形；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外角(每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角)都相等的三角形；④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形．其中是等邊三角形的有(

)A．①②③

B．①②④C．①③

D．①②③④D知1－練4

(2016?河北)如圖，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若點(diǎn)M，N分別在OA，OB上，且△PMN為等邊三角形，則滿足上述條件的△PMN有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)C．3個(gè)D．3個(gè)以上D知1－練5

如圖，木工師傅從邊長為90cm的正三角形木板上鋸出一正六邊形木板，那么正六邊形木板的邊長為(

)A．34cm

B．32cmC．30cmD．28cmC2知識(shí)點(diǎn)含30°角的直角三角形的性質(zhì)知2－導(dǎo)做一做用兩個(gè)含30°角的全等的三角尺，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？能拼出一個(gè)等邊三角形嗎？由此你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？說說你的理由.（來自《教材》）歸納知2－導(dǎo)定理在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.知2－導(dǎo)已知：如圖(1)，

△ABC是直角三角形，∠C

＝90°，∠A＝30°求證：BC＝AB.（來自《教材》）知2－導(dǎo)（來自《教材》）證明：如圖(2)，延長BC至點(diǎn)D，使CD＝BC，連接AD.∵∠ACB

＝90°，∠BAC＝30°.∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.∴AC

＝AC,∴△ABC≌△ADC(SAS).∴AB＝AD(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.∴△ABD是等邊三角形（有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形）∴

BC＝

BD＝

AB.性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，

那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．要點(diǎn)精析：(1)適用條件——含30°角的直角三角形，(2)揭示的關(guān)系——30°角所對(duì)的直角邊與斜邊的關(guān)

系．知2－講知2－講求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長的一半.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B＝15°，CD是腰AB上的高.求證：CD＝AB（來自《教材》）例2

知2－講在△ABC中，∵AB＝AC，∠B＝15°

∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對(duì)等角).∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°.∴CD是腰AB上的高，∴∠ADC＝90°.∴CD＝

AC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等

于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).∴CD=AB.證明：知2－講例3

〈溫州〉如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，DE∥AB，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù)；(2)若CD＝2，求DF的長．導(dǎo)引：(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解．知2－講(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°.又∵∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形．∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.解：總

結(jié)知2－講利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵要有兩個(gè)要素：一是含30°的角；二是直角三角形．

根據(jù)這兩個(gè)要素可建立直角三角形中斜邊與直角邊之間的關(guān)系．1知2－練（來自《教材》）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，且BD＝1，求AD的長.因?yàn)镃D是△ABC的高，所以∠BDC＝90°.又因?yàn)椤螧＝60°，所以∠BCD＝30°.所以BC＝2BD＝2.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠A＝30°.所以AB＝2BC＝4.所以AD＝AB－BD＝4－1＝3.解：(2016?百色)如圖，在△ABC中，∠C＝90°，

∠A＝30°，AB＝12，則BC＝(

)A．6

B．

C．

D．12知2－練A知2－練3如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，則下列關(guān)系式正確的為(

)A．BD＝CD

B．BD＝2CDC．BD＝3CD

D．BD＝4CDB知2－練如圖，AC＝BC＝10cm，∠B＝15°，AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，則AD的長為(

)A．3cmB．4cmC．5cmD．6cmC4知2－練如圖是某商場(chǎng)一樓與二樓之間的手扶電梯示意圖，其