上海市大團(tuán)中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，向該正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域的概率是，則該陰影區(qū)域的面積是（）A．3 B． C． D．2．已知向量，，，則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C．2 D．33．在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中，有這樣一首歌謠，叫浮屠增級(jí)歌：遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增；共燈三百八十一，請(qǐng)問層三幾盞燈．這首古詩(shī)描述的浮屠，現(xiàn)稱寶塔．本浮屠增級(jí)歌意思是：有一座7層寶塔，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，寶塔中共有燈381盞，問這個(gè)寶塔第3層燈的盞數(shù)有()A． B． C． D．4．已知：平面內(nèi)不再同一條直線上的四點(diǎn)、、、滿足，若，則（）A．1 B．2 C． D．5．同時(shí)擲兩枚骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)相等的概率為（）A． B． C． D．6．在中，已知，且，則的值是（）A． B． C． D．7．《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有問題“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．問積幾何？”，意思是：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬丈，長(zhǎng)丈；上棱長(zhǎng)丈，無寬，高丈（如圖）．問它的體積是多少?”這個(gè)問題的答案是（）A．立方丈 B．立方丈C．立方丈 D．立方丈8．某興趣小組合作制作了一個(gè)手工制品，并將其繪制成如圖所示的三視圖，其中側(cè)視圖中的圓的半徑為3，則制作該手工制品表面積為（）A． B． C． D．9．已知，，且，則向量在向量上的投影等于（）A．-4 B．4 C． D．10．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，，則最大時(shí)，n的值為()A．11 B．10 C．9 D．8二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____12．無窮等比數(shù)列的首項(xiàng)是某個(gè)正整數(shù)，公比為單位分?jǐn)?shù)（即形如：的分?jǐn)?shù)，為正整數(shù)），若該數(shù)列的各項(xiàng)和為3，則________.13．若，則_________.14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為______.15．已知向量，，若向量與垂直，則__________．16．已知圓C的方程為，一定點(diǎn)為A(1,2)，要使過A點(diǎn)作圓的切線有兩條，則a的取值范圍是____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在半徑為、圓心角為的扇形的弧上任取一點(diǎn)，作扇形的內(nèi)接矩形，使點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，設(shè)矩形的面積為,（1）按下列要求寫出函數(shù)的關(guān)系式：①設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式，（2）請(qǐng)你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，求出的最大值．18．已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn；（3）在（2）的條件下，記，若對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，求整數(shù)m的最大值．19．某校進(jìn)行學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試，隨機(jī)抽取了名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分分），繪制頻率分布直方圖，成績(jī)不低于分的評(píng)定為“優(yōu)秀”．（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，其數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”的概率；（2）估計(jì)該校數(shù)學(xué)平均分（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．20．已知，函數(shù)，.（1）若在上單調(diào)遞增，求正數(shù)的最大值；（2）若函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.21．求值：（1）一個(gè)扇形的面積為1，周長(zhǎng)為4，求圓心角的弧度數(shù)；（2）已知，計(jì)算.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用幾何概型的意義進(jìn)行模擬試驗(yàn)，即估算不規(guī)則圖形面積的大?。驹斀狻空叫沃须S機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率，，又，.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的意義進(jìn)行模擬試驗(yàn)，計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意豆子落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率與陰影部分面積及正方形面積之間的關(guān)系.2、A【解析】

將向量的坐標(biāo)代入中，利用坐標(biāo)相等，即可得答案.【詳解】∵，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量相等的坐標(biāo)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出首項(xiàng)，再根據(jù)通項(xiàng)公式求解.【詳解】從第1層到塔頂?shù)?層，每層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，公比為，前7項(xiàng)的和為381，則，得第一層，則第三層，故選【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解題意.4、D【解析】

根據(jù)向量的加法原理對(duì)已知表示式轉(zhuǎn)化為所需向量的運(yùn)算對(duì)照向量的系數(shù)求解.【詳解】根據(jù)向量的加法原理得所以，，解得且故選D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

利用古典概型的概率公式即可求解.【詳解】同時(shí)擲兩枚骰子共有種情況，其中向上點(diǎn)數(shù)相同的有種情況，其概率為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是找出基本事件個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由正弦定理邊角互化思想得，由可得出的三邊長(zhǎng)，可判斷出三角形的形狀，由此可得出的值，再利用平面向量數(shù)量積的定義可計(jì)算出的值.【詳解】，，，，，，為等腰直角三角形，.因此，，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理邊角互化思想的應(yīng)用，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積定義的計(jì)算，在求平面向量數(shù)量積的計(jì)算時(shí)，要注意向量的起點(diǎn)要一致，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.7、A【解析】過點(diǎn)分別作平面和平面垂直于底面，所以幾何體的體積分為三部分中間是直三棱柱，兩邊是兩個(gè)一樣的四棱錐，所以立方丈，故選A.8、D【解析】

由三視圖可知，得到該幾何體是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，根據(jù)幾何體的表面積公式，即可求解.【詳解】由三視圖可知，該幾何體是由兩個(gè)圓錐組成的組合體，其中圓錐的底面半徑為3，高為4，所以幾何體的表面為.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及表面積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.9、A【解析】

根據(jù)公式，向量在向量上的投影等于，計(jì)算求得結(jié)果.【詳解】向量在向量上的投影等于.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的投影公式，只需記住公式代入即可，屬于基礎(chǔ)題型.10、B【解析】

由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得出，結(jié)合數(shù)列為遞減數(shù)列確定，從而得到最大時(shí)，的值為10.【詳解】由題意可得等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差則數(shù)列為遞減數(shù)列即當(dāng)時(shí)，最大故選B?！军c(diǎn)睛】本題對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和以及通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性確定最大時(shí)，的值為10.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可得到答案?！驹斀狻吭O(shè)抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學(xué)校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。12、【解析】

利用無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)和，可求得，從而，利用首項(xiàng)是某個(gè)自然數(shù)，可求，進(jìn)而可求出.【詳解】無窮等比數(shù)列各項(xiàng)和為3，，是個(gè)自然數(shù)，則，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

利用誘導(dǎo)公式求解即可【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題14、【解析】

令，解得的范圍即為所求的單調(diào)區(qū)間.【詳解】令，，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用整體對(duì)應(yīng)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來進(jìn)行求解.15、【解析】，所以，解得．16、【解析】

使過A點(diǎn)作圓的切線有兩條，定點(diǎn)在圓外，代入圓方程計(jì)算得到答案.【詳解】已知圓C的方程為，要使過A點(diǎn)作圓的切線有兩條即點(diǎn)A(1,2)在圓C外：恒成立.綜上所述：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，通過切線數(shù)量判斷位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（1）①通過求出矩形的邊長(zhǎng)，求出面積的表達(dá)式；②利用三角函數(shù)的關(guān)系，求出矩形的鄰邊，求出面積的表達(dá)式；（2）利用（1）②的表達(dá)式，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值.試題解析：（1）①因?yàn)?，所以，所以，．②?dāng)時(shí)，，則，又，所以，所以，（）．（2）由②得，，當(dāng)時(shí)，取得最大值為．考點(diǎn)：1.三角函數(shù)中的恒等變換；2.兩角和與差的正弦函數(shù).【方法點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)解析式的求法，三角函數(shù)的最值的確定，三角函數(shù)公式的靈活運(yùn)用，計(jì)算能力，屬于中檔題，此題是課本題目的延伸，如果（2）選擇（1）①中的解析式，需要用到導(dǎo)數(shù)求解，麻煩，不是命題者的本意，因此正確的選擇是選擇（1）②中的解析式，化成一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)的范圍確定矩形面積的最大值,此類題目選擇正確的解析式是求解容易與否的關(guān)鍵.18、(1)bn＝3n﹣2，n∈N*．(2)；(3)最大值為1．【解析】

（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）由（2）求得的表達(dá)式，記不等式左邊為，利用差比較法判斷出的單調(diào)性，進(jìn)而求得的最小值，由此列不等式求得的取值范圍，進(jìn)而求得整數(shù)的最大值.【詳解】（1）∵數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，n∈N*．∴①當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝1；②當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn﹣Tn﹣1＝3n﹣2；∴bn＝3n﹣2，n∈N*．（2）由（1）可得：；∴Sn＝c1+c2+…+cn，，，；（3）由（2）可知：n；∴；設(shè)f（n）；則f（n+1）﹣f（n）＝（）﹣（）0；所以f（n+1）＞f（n），故f（n）的最小值為f（1）；∵對(duì)任意正整數(shù)n，不等式恒成立，∴恒成立，即m＜12；故整數(shù)m的最大值為1．【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查裂項(xiàng)求和法，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）；（2）該校數(shù)學(xué)平均分為.【解析】

（1）計(jì)算后兩個(gè)矩形的面積之和，可得出結(jié)果；（2）將每個(gè)矩形底邊中點(diǎn)值乘以相應(yīng)矩形的面積，再將這些積相加可得出該校數(shù)學(xué)平均分.【詳解】（1）從該校隨機(jī)選取一名學(xué)生，成績(jī)不低于分的評(píng)定為“優(yōu)秀”的頻率為，所以，數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)u(píng)定為“優(yōu)秀”的概率為；（2）估計(jì)該校數(shù)學(xué)平均分．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖頻率和平均數(shù)的計(jì)算，解題時(shí)要熟悉頻率和平均數(shù)的計(jì)算原則，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）（2）【解析】

（1）求出的單調(diào)遞增區(qū)間，令，得，可知區(qū)間，即可求出正數(shù)的最大值；（2）令，當(dāng)時(shí)，，可將問題轉(zhuǎn)化為在的零點(diǎn)問題，分類討論即可求出答案.【詳解】解：（1）由，得，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，令，得時(shí)單調(diào)遞增，所以解得，可得正數(shù)的最大值為.（2），設(shè)，當(dāng)時(shí)，.它的圖形如圖所示.又，則，，令，則函數(shù)在內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，可知在內(nèi)最多一個(gè)零點(diǎn).①當(dāng)0為的零點(diǎn)時(shí)，顯然不成立；②當(dāng)為的零點(diǎn)時(shí)，由，得，把代入中，得，解得，，不符合題意.③當(dāng)零點(diǎn)在區(qū)間時(shí)，若，得，此時(shí)零點(diǎn)為1，即，由的圖象可知不符合題意；若，即，設(shè)的兩根分別為，，由，且拋物線的對(duì)稱軸為，則兩根