結合實習支教談中學數學思維的培養(yǎng)-畢業(yè)論文設計

引言21世紀中國社會的進步與發(fā)展對中學生的綜合素質提出了更高的要求，《數學課程標準》明確指出要以學生為主體，以培養(yǎng)學生的思維發(fā)展為己任，提高數學教學的質量，擺脫題海戰(zhàn)術，真正減輕學生學習數學的負擔，從而為提高學生的整體素質作出應有的貢獻。本文主要結合日常聽課時對課堂教學手段、方法的觀察，實際的課堂教學效果，教學中的實際例子，積極尋求培養(yǎng)數學思維的有效途徑和具體方法。2思維及數學思維2.1思維在現代心理學中，思維被理解為“受社會所制約的，同言語緊密聯(lián)系的，探索和發(fā)現嶄新事物的心理過程，是對現實進行分析和綜合中間接概括反映現實的過程。思維在實踐活動基礎上由感性認識產生并遠遠超出了感性認識的界限?！币灿腥苏f:“思維是人腦對客觀現實概括的和間接的反映，它反映的是事物的本質與內部規(guī)律性?！卑阉麄兊臄⑹龈爬ㄆ饋?思維包括兩個方面，一是能反映，二是有意識。能反映，在這點上，人和動物是一樣的，反映的僅是事物的個別屬性、個別事物及其外部聯(lián)系，屬于感性認識。有意識，這是指人和動物的一個顯著區(qū)別，人腦可以產生意識(頭腦中已有知識和自覺攝取知識的習性)，而動物沒有意識。用意識裝備起來的頭腦去反映的可以是一類事物共同的、本質的屬性和事物間內在的、必然的聯(lián)系，即這時已超出了感性認識的界線，屬于理性認識。這就是思維的直接本質。思維是對客觀事物的內在聯(lián)系和本質屬性的反映；反映的方式不是直觀的零散的，而是間接的和概括的：①思維要依靠感性認識，但遠遠超脫于感性認識的界限之外，去認識那些沒有直接感知過的或根本無法感知到的事物，以及預見和推知事物發(fā)展的進程，其間接性關鍵在于知識與經驗的作用，它隨著主體知識經驗的豐富而發(fā)展起來的，因此知識和經驗對思維能力有重要影響。②思維之所以能揭示事物的木質和內在規(guī)律性，主要來自抽象和概括的過程，以大量的己知事實為依據，在已有知識經驗的基礎上，舍棄個別事物的個別特征，抽取他們的共同特征，從而得出新的結論。2.2數學思維及發(fā)展數學思維是人腦和數學對象交互作用并按照一般思維規(guī)律認識數學規(guī)律的思維過程。其表現是學生從原有的認知結構出發(fā)，通過觀察、類比、聯(lián)想、猜想等一系列數學思維活動，立體式的展示問題、提出過程，在溫故知新的聯(lián)想過程中產生強烈的求知欲，盡可能的參與概念的形成和結論的發(fā)展過程，并掌握觀察、實驗、歸納、演繹、類比、聯(lián)想、一般化與特殊化等思考問題的方法。數學這門學科本身高度的概括性和抽象性，就決定了數學思維的特征：第一是概括性，第二是間接性。如：人們最熟悉的自然數其實并不“自然”，現實中并不存在，它是概括了不同事物在“數量”方面的特征后的結果；數學中的點、線、面也是概括了現實世界中相應事物的特征以后的理想化結果；數學的邏輯推理規(guī)則、方法也是對人類長期積累的經驗的抽象概括的結果。因此，數學思維是概括之上的概括。再有，數學概念是對數學本質的抽象，這種抽象只保留了事物的數量關系和空間形式，而舍棄了其它自然屬性，而且這種數量關系和空間形式是理想化的，這也就導致了數學這門科學與現實事物間的“天然距離”，從而使數學思維更加間接。數學思維還可根據不同的角度不同的標準進行分類，比較公認的是分為邏輯思維、形象思維和直覺思維三種。其中形象思維具備思維的各種特點，主要心理因素有聯(lián)想、表象、想像和情感。形象思維是非常重要的，創(chuàng)新是數學或其它任何一門自然科學乃至社會科學發(fā)展的根本，它與形象思維的關系非常密切，數學中的形象思維激勵著人們的想象力和創(chuàng)造性，常常導致重要的數學發(fā)現。當然形象思維不是獨立的，它與邏輯思維在數學過程中相互滲透，相互補充，共同完成數學的創(chuàng)新活動。在數學學習中，隨著學習內容的不斷加深，學生的數學思維也逐漸的發(fā)生改變，中學生的數學思維較小學生有了更高的發(fā)展：（1）思維活動有一定的自覺性。低年級學生做完一道題，往往不易說出自己是怎樣想的，因而很少檢查或驗算結果是否正確；而中年級學生大多清楚甚至能比較完整地說出分析推理過程，有一些學生還能自覺檢查結果，尋找錯誤原因，表現出一定的自覺性。思維獨立性有所增強。到了中年級，學生已能開始獨立地組織自己的思維活動，人云亦云的盲從意識逐漸減弱，獨立思考、獨立鉆研的能力有了明顯的發(fā)展。在課堂中，經過老師啟發(fā)，他們可以展開討論，大膽發(fā)表不同的意見或見解。（3）思維的靈活性開始開展。思維的靈活性在低年級就開始萌芽，如擺小棒可有幾種不同的擺法。到了中年級，由于思維的自覺性和獨立性的增強，重視學生的思維訓練，如一題多解等，推動了思維靈活性的發(fā)展，部分學生開始敢于標新立異，甚至“異想天開”。3數學思維的品質3.1數學思維的深刻性數學思維的深刻性是學生對實際事物中的數學關系進行抽象概括而獲得數學問題，對具體數學材料、數學問題進行分析概括而得出數學模型，選擇恰當的數學方法、用合適的數學計算求出此模型的解或近似解，以及對解的實踐檢驗、對模型的修正等過程中，思考的廣度、深度、難度和嚴謹水平的集中體現。它表現在能深入的地鉆研與思考問題，善于從復雜的事物中把握它的本質，而不是被一些表面現象所迷惑，特別是在學習中克服思維的表面性、絕對化與不求甚解的毛病。首先，通過創(chuàng)設情景讓學生在知識起點做到理解深刻。例如在概念的教學中，通過精心設計，創(chuàng)設思維情境，增加知識的探索與形成過程，以增加學生思考、探索與嘗試的體驗，是幫助學生深刻理解數學概念本質較為成功的一種做法，目的是要讓學生在知識起點就做到深入理解。比如異面直線概念教學，教師讓每個學生拿兩根小竹竿放在桌面上，觀察各種位置關系：除平行和相交外，還存在既不平行也不相交的情況，概括出異面直線概念中不共面的本質屬性，給出定義，進而設計出異面直線概念的肯定例證和否定例證，以鞏固和深化概念，在完善對空間兩條直線位置關系認識的基礎上，形成相應的概念系統(tǒng)。其次，通過數形結合讓學生在數學運用中做到理解深刻。數與形是事物的兩個方面，用形幫助學生構建數的認知結構常能獲得獨到的效果。將數學材料中反映的數與形的關系從具體的材料中抽象出來，概括為特定的一般關系和結構。這樣有利于促進對問題的深刻理解。例1將寬為的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕的長是（）分析這是一道簡單的操作題。許多學生看完題目就能用小紙條做出模型，折紙類題目平時就在練習，而本題的題目及圖形較簡單，許多學生無從下手，如何將這道操作題轉化為數學題呢？平時的試卷都有圖示的虛線，借助輔助線學生不難發(fā)現為等腰三角形，再加上圖中的，為等邊三角形。圖中的紙條寬與的關系的探尋是難點，也是解決本題的關鍵。圖形語言其實是，邊上的高。因此，本題就可由具體的折紙問題抽象概括為這樣一道數學題：已知等邊三角形一邊上的高為，求其邊長。求解這道幾何題的過程需要用符號語言進行描述、推理，將數學材料中反映的數與形的關系從具體的材料中抽象出來。這樣處理，其思維深刻性培養(yǎng)的力度才夠，效果才好，體現了教師對教學的領悟與把握。3.2數學思維的廣闊性思維的廣闊性是指思路廣闊，善于多角度、多層次地進行探求。數學思維廣闊性指是對一個數學問題能從多方面考慮；對一個對象能從多種角度觀察；對一個題目能想出多種不同的解法，即一題多解。數學思維廣闊性的培養(yǎng)具體應從以下幾方面著手：一題多解例2已知，求證：[法1]一條極易想到的思路是移項：，兩邊平方得：；兩邊再平方得：即。[法2]運用基本不等式得，要使上式不產生矛盾，要求中間的“”只能取等號，即當且僅當時等號成立。即有。如果我們對數量關系及結構特征作一細致的分析研究，擺脫過去經驗的束縛，打破常規(guī)，開闊思路，還會發(fā)現：[法3]已知條件表明適合方程。該方程是單位圓上以為切點的切線方程，可是在單位圓上，因而它就是切點，可見，即。（二）一題多種解釋例如對可以理解成的兩倍；也可理解為完成某件事有兩個步驟，完成第一步驟有種方法，完成第二步驟有種步驟，那么完成這件事情可有種方法。還可以理解為在平面上有條縱線，條橫線，則它們相交構成的方格數有個。又例如函數式可以作以下幾種解釋：自由落體公式；動能公式；熱能公式等等。思維的廣闊性要求從多方面考慮問題，這對于開闊思路有益。3.3數學思維的靈活性數學思維的靈活性主要是指能夠根據客觀事物的發(fā)展與變化，及時的調整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新的解決問題的方法。數學思維的主要體現在隨新的條件而迅速確定解題方向；表現為以一種解題途徑轉向另一種途徑的靈活性；也表現為從已知數學關系中看出新的數學關系，從隱蔽的形式中分清實質的能力。在教學中應從以下幾方面入手去培養(yǎng)學生的思維靈活性:培養(yǎng)善于觀察的能力。數學題都包含一定的數學條件和關系。要想解決它，就必須依據題目的具體特征，對題目進行深入的、細致的、透徹的觀察，然后認真思考，透過表面現象看其本質，這樣才能確定解題的思路，找到解題方法。例如求和。這是個分數相加，通分很困難。觀察它的具體特征：每項都是兩相鄰自然數的積的倒數，且，這樣原式就等于，問題很快就解決了。（二）培養(yǎng)善于聯(lián)想的能力。稍具有難度的問題和基礎知識之間的聯(lián)系都是不明顯的、復雜的。因此怎樣解題，解題的速度如何，取決于能否由觀察到的特征，靈活運用有關知識，作出相應的聯(lián)想，將問題打開缺口，不斷深入。例3當為何值時，直線被曲線所截得的線段之長為？本題的特點是：曲線是圓，圓的半徑；直線被圓截得的弦長為，聯(lián)想即為該圓的直徑長。于是必須通過圓心。所以。思維靈活性的反面是思維的呆板性，或稱心里惰性，其表現是思維定勢。因此教師應幫助學生克服思維呆板性的消極一面，及時引導學生在新的情況下尋找新的解題途徑。3.4數學思維的獨創(chuàng)性數學思維的創(chuàng)新性是人類思維的高級形態(tài)，它是在新異的問題情境中，在一定目標的指引下，調動一切已知信息，獨特、新穎且有價值地解決問題的過程中表現出來的智力品質；數學思維的獨創(chuàng)性品質也可以從用新穎、獨特的方法解決熟悉問題的過程中表現出來。下面則列舉了教學中遇到的一些體現數學思維獨創(chuàng)性的典型例題。例4水池有甲、乙、丙、丁四根進水管，甲、乙、丙三管同時打開，分鐘可注滿水池；乙、丙、丁三管同時打開，分鐘可注滿水池；甲、丁兩管同時打開，分鐘可注滿水池。如果四管同時打開，需要多少時間注滿水池？分析一般學生都習慣設未知數，列出方程去求解。其實此問題還有更簡潔的方法：由已知兩個甲管、兩個乙管、兩個丙管、兩個丁管同時打開一分鐘，可注滿水池的，所以讓甲、乙、丙、丁四管同時打開一分鐘可注滿水池的。因此注滿水池需分鐘。這個解法跳出了常規(guī)的列方程解應用題的模式，根據題中的隱含條件，使得解題過程簡捷、明快、易懂，可以認為是獨創(chuàng)思維的結果。例5解方程。分析這道題目編制的主要意圖是利用代換，將原方程變形為，這樣既復習了無理方程轉化為有理方程的思想，同時復習了換元法、求根公式和根式運算等知識。然而有一位學生并未按“常規(guī)”的解法去做，卻提出了一個“非常規(guī)”的簡捷解法：如果，則方程兩邊就相等。由此可知滿足這個條件。而時，不滿足要求；當時，也不滿足條件。從而得出除了外，原方程沒有其他解。這里幾乎是通過觀察方程的特征而直接獲得的，是通過簡縮的運算過程和推理過程獲得的。所以這位學生“非常規(guī)”的解法可以認為是思維獨創(chuàng)性的表現。3.5數學思維的批判性數學思維的批判性是指思維能動地對資料、信息及自我思維過程的正確性、真理性進行嚴密審查和剔除謬誤的一種品質，對中學生主要表現在：對已有的數學表述能提出自己的看法，不盲從附和；能嚴密地全面地利用已知條件，在關鍵之處能及時、迅速地自我反饋；有能力評價解題思路是否正確。下面的這個命題習慣性的被視作假命題，但很少有人去質疑、論證。例6一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形。分析這不是平行四邊形的判定定理，但它到底是真命題還是假命題呢？如圖已知四邊形是平行四邊形,作的外接圓,在圓上找一點，又有,則四邊形滿足上述的條件，但很明顯它不是平行四邊形。小結數學的核心問題是分析問題和解決問題，通過以上例題，可以看出，數學思維的特性在解決數學問題中的重要作用，能靈活運用以上特性能使我們在解題中即使遇到困難，甚至已山窮水盡疑無路時，仍能尋找到柳暗花明又一春的美好境界。4數學思維的培養(yǎng)數學教學的核心是發(fā)展學生的數學思維能力。因此數學教學不能僅僅停留在傳授知識上，而應進一步圍繞數學思維能力的基本特征，認真對學生的數學思維進行培養(yǎng)，大力提高學生的思維水平。如何對學生的數學思維進行培養(yǎng)呢？數學思維的培養(yǎng)方法和措施多種多樣，尤其是中國發(fā)達地區(qū)，可以積極利用多種多樣的教具，以及現代化的多媒體設備。但是對于一些偏遠山區(qū)和貧困地區(qū)的孩子來說，他們所擁有的或許只是一塊黑板和一位老師。所以，培養(yǎng)他們的數學思維能力，主要靠數學教學和解題的過程。因此作為老師，就應該把數學教學的過程設法變?yōu)閿祵W思維過程的學習。要善于利用數學自身的美，把理論跟實際聯(lián)系起來，分析概念、結論的形成過程，讓學生感受到學數學的樂趣，主動參與學習，而且能夠把學到的數學知識和技能運用到實際生活當中，變被動為主動。為此，要做好以下幾方面的工作：4.1實驗演示，啟迪思維“實驗演示”指的是學生在教師設計的情境下進行實驗，通過直觀形象自己發(fā)現真理和論證思路。訓練學生從實驗的教學中啟迪思維，并迅速抓住對象的共同屬性，同時加以抽象形成概念、定理或歸納出規(guī)律。例如勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。我們根據圖形面積的性質，運用“面積分割、移補、拼湊”的實驗，直觀地顯現三邊所存在的一種特殊的數量關系。把四個直角邊為和，斜邊為的全等三角形（如圖甲）放到邊長為的正方形(見圖乙）；再將四個全等的直角三角形換個方法放在這個邊長為的正方形中（見圖丙）。（甲）（乙）（丙）通過上面實驗的圖形顯示，請同學們仍思考下面幾個問題：（1）你能證明圖乙中圍成的四邊形是正方形嗎？（2）觀察圖乙，請同學們研究，如何利用面積計算公式，通過面積的加減計算探求出三者間的關系。比較一下乙、丙兩個圖形，你發(fā)現之間有什么關系？你能證得嗎？學生通過做上述實驗，較容易地完成第一問。解答第二問時，從觀察中發(fā)現：正方形的面積是由正方形和四個直角三角形的面積所組成，這就啟迪了證明方法的思路。第三問，通過比較圖乙和圖丙，很快就證明得。又例如教學“三角形的三邊關系”一課時可先讓學生動手實驗，讓學生拿出課前準備好的三根鐵絲（長度分別為、、），用這三條“線段”都能“首尾順次連結”構成一個三角形嗎？然而讓學生把最短的邊剪去，教師再繼續(xù)提出三個問題：①三條“線段”長度各是多少？②是否還能“首尾順次連結”組成一個三角形？③最短邊再剪去一小段，是否能“首尾順次連結”組成一個三角形？學生通過實驗后正確回答，教師再次提問：是否具有任何長度的三條線段都能“首尾順次連結”構成三角形？

在此案例中，教師引導學生動手操作、思考、討論，通過多種感官去感知事物，去獲取感性知識，去嘗試、比較、分析，從而自主探索出“三角形的三邊關系定理”。

加強實驗，使學生通過感知和想象，對抽象的東西，在頭腦中建立起鮮明而確定的形象。實驗的直覺性，是為了促進學生的自覺思維，啟發(fā)學生經過邏輯思維，逐步揭示事物的本質屬性和內在聯(lián)系，從而達到抽象思維，即深刻理解。加強直觀性教學，有利于調動學生的學習的興趣，對提高學生的思維能力效果極佳。4.2觀察聯(lián)想，活躍思維在解數學題的過程中，觀察是對題目以及解題過程進行有目的、有選擇的積極主動的信息收集活動；聯(lián)想是把觀察得到的信息與我們已有的知識與經驗聯(lián)系起來進行思考．觀察和聯(lián)想是發(fā)現解題途徑，引導解題決策，以便迅速正確地解決問題的重要的思維方法．具有不同的知識、經驗、水平的人去觀察同一個題目，觀察的結果往往是不相同的．甚至同一個人從不同的角度去觀察同一個題目，觀察的結果也有所不同．這是因為觀察是在知識與經驗的聯(lián)想中進行的，沒有聯(lián)想，就不可能有深入的觀察．另一方面，聯(lián)想也是在對題目和解題過程的觀察中進行的，沒有觀察，就不可能產生聯(lián)想．因此，觀察和聯(lián)想形影不離，緊緊相隨．克服思維呆滯性的途徑是訓練學生觀察聯(lián)想，活躍學生的思維，培養(yǎng)思維的靈活性。觀察聯(lián)想的方法有：（1）定向聯(lián)想：有預定的目的，以達到某一目標為方向的聯(lián)想；（2）接近聯(lián)想：為求解把觀察同有直接或間接接觸的事物相聯(lián)系，并通過想象尋找它們的相同點。（3）類似聯(lián)想：對性質接近，形狀相似的同類內容進行聯(lián)想。（4）對比聯(lián)想：即對具有相反特點的事物作比較聯(lián)想。下面從一些實際的例子中分別介紹觀察聯(lián)想的方法：例7圖中所示的圓是的內切圓，與、、的切點分別是、、，求的度數。分析這個題目對于我們農村中學的學生來說是有一定難度的。講解這題我首先引導學生進行審題，分析已知條件之間的關系，啟發(fā)學生探究和之間的關系。教學中，我首先引導學生思考：對于一個任意四邊形，對角的大小沒有必然的數量關系的，但如果四邊形與圓結合在一起，情況就不一樣了，就這個問題我們應該根據條件通過“第三者”把它們聯(lián)系起來。讓學生思考后，提問學生：“在圓與直線相切的問題中，常見的‘第三者’是什么呢？”（讓學生探討操作），最后再作出通過切點的半徑這兩條輔助線引導學生分析解題。例8已知是邊的中點，，求證：。分析若直接求證與相很難成功。而通過條件，誘發(fā)與三角形中位線聯(lián)想，作輔助線的證法也就隨之而來，即過點作的平行線交與，于是論證的思路也暢通了。4.3反向練習，逆向思維逆向思維是指根據一種觀念（概念、原理、思想）、方法及研究對象的特點，從它的相反或否定的方面去進行思考，以產生新的觀念，在學習和研究數學的過程中，有機地、適當地注意從所考察的數學問題的相反方面或否定方面進行數學逆向思維，就能在探索中，從對立統(tǒng)一中把握數學知識的內在聯(lián)系，澄清對某些數學概念的模糊認識，更深刻、更透徹地理解教材，鞏固所學知識，并能培養(yǎng)學生對數學問題的探究能力。如何進行逆向思維？一是在概念教學中注意反方向的思考；數學中的很多概念都要教學生從正、逆兩方面去思考和理解，如對一元二次方程的理解，除了正向理解，若是的兩個實根，則有，；還要從反面理解若，且，則是方程的兩個根。二是重視逆定理的應用和公式逆用的教學；如勾股定理逆定理以及三角形中位線定理逆定理的運用在中學數學中都是比較常見的。三是強調某些基本數學方法的逆用。下面通過一例來對基本數學方法的逆用進行說明：例9當是什么實數時，方程至少有一個正根。分析此題如果從正面求解至少要分三種情況：（1）兩根均為正；（2）兩根中一正一負；（3）兩根中一正一零。解法較為繁瑣，如考慮不周全會忽略了第三種情況，還會導致錯誤。如果考慮方程至少有一個正根的反面，即“方程的兩根均為負根或兩根中一負一零”，以此入手求得補集，這種方法則很簡捷。由正向思維向逆向思維轉化，對能力差的學生來說，是深感困難的，對他們建立逆向思維是特殊任務。要加強訓練，先講正向變形，在正向變形訓練到較為熟悉的程度后再轉向逆向使用公式訓練。4.4類比發(fā)現，激勵思維所謂類比發(fā)現就是根據兩個對象或兩類事物間存在著的相同或不同屬性，推斷另一類事物也可能具有某種屬性的思維方法，是初中學生數學思維能力提高的具體體現。在學習過程中，類比推理往往學生不夠重視，甚至也被老師忽視，有許多學生和老師想通過做大量的題目來掌握所學知識從而提高數學成績。然而，數學問題浩如煙海，考試時很難遇到做過的原題，遇到了新題型或只是稍稍變換一下，就不知所措，原因是在平時的學習中，缺乏掌握數學思考方法。在數學中，類比是發(fā)展概念，推導性質定理，運算的重要手段，也是探索問題、解題的一種重要方法。數學概念不但是數學思維基礎，也是數學思維的結果。初中數學教材有些概念很抽象，講解時學生不易理解，影響學生的數學思維能力。因此，做好概念教學，讓學生正確理解概念就會為他們學習其它數學知識打下堅實的基礎。用類比法引入新概念，可使學生更好地理解新概念的內涵與外延。在初中數學教學中類比隨處可見，例如：在概念教學中的“從算式到等式”、“從因數分解到因式分解”、“從分數到分式”、“從一元一次方程到一元一次不等式”、“一次函數到二次函數”、“從全等三角形到相似三角形”、“從三角形的中位線到梯形的中位線”、“《軸對稱和軸對稱圖形》到《中心對稱和中心對稱圖形》”等等。同時，有些命題之間存在聯(lián)系和相似之處，通過類比，往往能由一題的解法啟發(fā)另一題的思路，獲得解題途徑。這樣做一題，貫通幾題，解決一類，學生的智力得到發(fā)展，增加思維的靈活性。例10已知是正數，并且，求證以為邊的四邊形是菱形。分析學生一接觸到這個題目，思維受阻，不知從哪里下手。這時老師可以進行適當的心里誘導，將與比較熟悉的因式分解題相比，引導學生回顧此題的解答過程，比較解答問題結構上的異同，學生便很快能找到解題的訣竅。總之，類比思想是數學學習中不可缺少的一種數學方法。它可以使一些問題簡單化，也可以使我們的思維更加廣闊。在中學數學教學過程中，創(chuàng)造性的巧設一些例題，進行類比推理思維能力的培養(yǎng)，能夠大大的將學生從題山題海中解放出來，既能真正做到減負，又能讓學生掌握更多知識，進一步激發(fā)學生的數學學習興趣，提高學生的數學思維能力。4.5引導歸納，深化思維歸納思維模式是加拿大課程理論學家塔芭女士提出來的，是為了提高學生處理住處的能力而設計的。她認為要教會學生確認和列舉與問題有關的資料，從相似性為基礎對資料的項目進行分類，對這些類別形成范疇。歸納思維的過程不僅包括集中利用信息來解決問題，還包括創(chuàng)造性的加工信息，加強歸納思維訓練的方法有：（1）歸納整合知識點教師在課堂上傳授完新知識，要注重課堂授課之后的一種課堂“反思”，即明確概念，重新思考整個的知識系統(tǒng)的思維順接，各個知識內容之間聯(lián)系，新舊知識的關系、銜接，思維上的過渡、轉換。這樣學生能從原有的知識結構中提取最有效的舊知識來吸納新知識，即找到新知識的“媒介點”，這樣，新舊知識在學生的頭腦中發(fā)生積極的相互作用和聯(lián)系，導致原有知識結構的不斷分化和重新組合，使學生獲得新知識。例11不等式（定理：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數）的證明。分析①與圓的知識相聯(lián)系：以長的線段為直徑作圓，在直徑上取點，使，由∽,得到不等式。②與數列的知識相聯(lián)系：把看作是正數等差中項，看作是正數的等比中項。（2）歸納解題方法例如初中數學常用解題方法有：配方法（在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它）因式分解法（因式分解的方法有提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等）、判別式法與韋達定理、換元法、待定系數法、構造法、反證法、面積法等。5結束語思維具有深刻性、廣闊性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性，它們之間是一個整體，而且是相輔相成的，彼此促進和補充的，在現實生活中幫助我們解決實際問題，應用廣泛。學生在數學教學課堂中學習數學知識，更可以說是學習數學的思維，發(fā)展自己的思維。數學教學的過程實際上是培養(yǎng)學生進行數學思維的過程，在這一過程中，學生在教師的啟發(fā)引導下，圍繞數學問題開展數學思維活動，進而獲得數學知識、培養(yǎng)數學能力、發(fā)展數學思維。加強數學思維方法的訓練，在教學過程中培養(yǎng)學生數學思維，對提高學生數學素質，實現中學數學課程目標等具有很強的現實意義與作用。要讓學生的一些重要想法、合乎情理的思維過程都展現出來，讓學生在有一定思維自由的環(huán)境中學會按照正確的思維方式和方法，展開真實而有效的數學思維活動。參考文獻[1]譚偉根.初中數學中的數學思維培養(yǎng)[J].時代教育，2012,(06):69-71.[2]李冬勝.《數學思維方法》[M].山西人民出版社，2010.[3]秦小舒.中學生數學思維培養(yǎng)的教學策略[D].東北師范大學，2008,(01).[4]周森磊.《數學思維概論》[M].北京師范大學出版社，2012.[5]魏仁洪.論中學生數學創(chuàng)造性思維及其培養(yǎng)[D].華中師范大學，2002,(05).[6]周繼光.《初中數學思維方法》[M].上海科學普及出版社，2003.[7]楊曉賢.在數學教學中培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的實踐研究[D].河北師范大學，2009,(20).[8]王憲昌.《數學思維方法（第2版）》[M].人民教育出版社，2010.[9]黃輝梅.中學生數學形象思維能力培養(yǎng)研究[D].華中師范大學，2010,(05).[10]朱海濤.中學數學思維方法及能力培養(yǎng)探索[J].科技資訊，2006,(33):2-7.致謝值此論文完成之際，謹向曾經關心、幫助、支持和鼓勵我的老師、同學、親人和朋友致以最真誠的謝意和最忠心的祝福!

首先,我要感謝我的指導老師。論文是在老師的悉心指導下完成的，老師對本選題十分重視。提綱、完成初稿、修改完善到最后的定稿都一一過問，花費了大量心血。她的耐心教導給予了我很多靈感，使我受益匪淺。在此，也衷心感謝曾經指導過我學業(yè)的各位老師，他們的指導和幫助為本文的完成奠定了良好的專業(yè)基礎。

再次，衷心感謝周圍的同學和朋友，我們一起走過了難以忘懷的歲月，締結了永恒而真摯的友誼。在論文完成過程中得到了你們無私的幫助，在此深表謝意!

同時要感謝我的家人對我的全力支持，他們?yōu)槲腋冻龅奶?，他們在生活和精神上的支持是我順利完成學業(yè)的根本保證!最后還有許許多多給予我學業(yè)上鼓勵和幫助的師長、朋友，在此無法一一列舉，在此也一并表示忠心地感謝！基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構件開發(fā)的技術研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數字磁通門傳感器基于單片機的旋轉變壓器-數字轉換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數據采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設計與實現基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網絡的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數據存儲技術的應用研究基于單片機的疊圖機研究與教學方法實踐基于單片機嵌入式Web服務器技術的研究及實現基于AT89S52單片機的通用數據采集系統(tǒng)基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統(tǒng)基于單片機的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學實驗中的應用研究基于單片機系統(tǒng)的網絡通信研究與應用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設計與研究基于單片機的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應用研究基于雙單片機沖床數控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機與Internet互聯(lián)的研究與實現變頻調速液壓電梯單片機控制器的研究基于單片機γ-免疫計數器自動換樣功能的研究與實現基于單片機的倒立擺控制系統(tǒng)設計與實現單片機嵌入式以太網防盜報警系統(tǒng)基于51單片機的嵌入式Internet系統(tǒng)的設計與實現單片機監(jiān)測系統(tǒng)在擠壓機上的應用MSP430單片機在智能水