聊城大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院測(cè)試技術(shù)第4章

第4章測(cè)試系統(tǒng)的特性完成某種物理量的測(cè)量而由具有某一種或多種變換特性的物理裝置構(gòu)成的總體。1.測(cè)試系統(tǒng)4.1測(cè)試系統(tǒng)及其性質(zhì)簡(jiǎn)單測(cè)試系統(tǒng)(紅外體溫)復(fù)雜測(cè)試系統(tǒng)(振動(dòng)測(cè)量)系統(tǒng)失真測(cè)試系統(tǒng)的傳遞特性:由測(cè)試裝置自身的物理結(jié)構(gòu)所決定的測(cè)試系統(tǒng)對(duì)信號(hào)傳遞變換的影響特性。測(cè)試系統(tǒng)與輸入/輸出量之間的關(guān)系理想測(cè)試系統(tǒng)具有單值的確定的輸入輸出關(guān)系，輸出與輸入成線性關(guān)系最佳。

3)如果輸入和系統(tǒng)特性已知，則可以推斷和估計(jì)系統(tǒng)的輸出量。(預(yù)測(cè))

系統(tǒng)分析中的三類問(wèn)題：1)當(dāng)輸入、輸出是可測(cè)量的(已知)，可以通過(guò)它們推斷系統(tǒng)的傳輸特性。(系統(tǒng)辨識(shí))2)當(dāng)系統(tǒng)特性已知，輸出可測(cè)量，可以通過(guò)它們推斷導(dǎo)致該輸出的輸入量。(反求)由此根據(jù)測(cè)試要達(dá)到的要求正確合理選用儀器。測(cè)試系統(tǒng)與輸入/輸出量之間的關(guān)系2.理想測(cè)試系統(tǒng)——線性時(shí)不變系統(tǒng)

理想的測(cè)試系統(tǒng)應(yīng)該具有單值的、確定的輸入－輸出關(guān)系。對(duì)于每一輸入量都應(yīng)該只有單一的輸出量與之對(duì)應(yīng)。知道其中一個(gè)量就可以確定另一個(gè)量。其中以輸出和輸入成線性關(guān)系最佳。x(t)y(t)線性線性y(t)x(t)非線性y(t)x(t)

測(cè)試系統(tǒng)輸入x(t)和輸出y(t)間的關(guān)系可以用常系數(shù)線性微分方程來(lái)描述：

(a)線性系統(tǒng)

式中，an、an-1、…、a0和bm、bm-1、…、b0均為一些只與測(cè)試系統(tǒng)的特性有關(guān)的常數(shù)。上述方程就是常系數(shù)微分方程，所描述的是時(shí)不變線性系統(tǒng)，也稱為定常線性系統(tǒng)。一般在工程中使用的測(cè)試系統(tǒng)（測(cè)試裝置）都是線性系統(tǒng)。(b)線性系統(tǒng)的性質(zhì)疊加特性示例(1).疊加特性疊加特性：系統(tǒng)對(duì)各輸入之和的輸出等于各單個(gè)輸入的輸出之和即若x1(t)→y1(t)，x2(t)→y2(t)

則x1(t)

±x2(t)→y1(t)±y2(t)

疊加原理表明：同時(shí)作用的兩個(gè)輸入量所引起的響應(yīng)，等于該兩個(gè)輸入量單獨(dú)引起的響應(yīng)之和。一個(gè)輸入的存在不影響另一個(gè)輸入的響應(yīng)，各個(gè)輸入產(chǎn)生的響應(yīng)互不影響。線性系統(tǒng)的疊加特性(2).比例特性

常數(shù)倍輸入所得的輸出等于原輸入所得輸出的常數(shù)倍，即:

若x(t)→y(t)則kx(t)→ky(t)比例特性示例系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)的微分等于原輸出信號(hào)的微分，即若x(t)→y(t)則x'(t)→y'(t)

當(dāng)初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)對(duì)原輸入信號(hào)的積分等于原輸出信號(hào)的積分，即若x(t)→y(t)則∫x(t)dt→∫y(t)dt(3).微分特性(4).積分特性

若系統(tǒng)的輸入為某一頻率的諧波信號(hào)，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出將為同一頻率的諧波信號(hào)，即若x(t)=Acos(ωt+φx)

則y(t)=Bcos(ωt+φy)

線性系統(tǒng)的這些主要特性，特別是符合疊加原理和頻率保持性，在測(cè)量工作中具有重要作用。(5).頻率保持特性(c)系統(tǒng)線性近似

測(cè)試系統(tǒng)的局部線形實(shí)際測(cè)試系統(tǒng)中，系數(shù)都是隨時(shí)間而緩慢變化的微變以足夠的精度認(rèn)為多數(shù)常見(jiàn)的物理系統(tǒng)中的系數(shù)是常數(shù)一定的工作范圍內(nèi)和一定的誤差允許范圍，近似線性▲

如果測(cè)量時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)的輸入不隨時(shí)間而變化（變化極慢，在所觀察的時(shí)間間隔內(nèi)可忽略其變化而視作常量）

，則稱為靜態(tài)測(cè)量。靜態(tài)測(cè)量時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)表現(xiàn)出的響應(yīng)特性稱為靜態(tài)響應(yīng)特性。穩(wěn)態(tài)信號(hào)

動(dòng)態(tài)信號(hào)

4.２測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性理想測(cè)試系統(tǒng)其輸入、輸出之間呈單調(diào)、線性比例的關(guān)系。即輸入、輸出關(guān)系是一條理想的直線，斜率為S=b0/a0

。實(shí)際并非理想定常系統(tǒng)。在靜態(tài)測(cè)試中，輸入和輸出不隨時(shí)間而變化，而輸入和輸出的各階導(dǎo)數(shù)均等于零。穩(wěn)態(tài)輸入1.理想測(cè)試系統(tǒng)的靜態(tài)特性當(dāng)測(cè)試系統(tǒng)的輸入x有一增量△x，引起輸出y發(fā)生相應(yīng)的變化△y時(shí)，則定義:如果是線性理想系統(tǒng)，則1.一位移傳感器，當(dāng)位移變化為1mm時(shí)，輸出電壓變化為300mV，則2.一機(jī)械式位移傳感器，輸入位移變化為0.01mm時(shí)，輸出位移變化為10mm，則靜態(tài)測(cè)試靈敏度靈敏度S=300/1=300mV/mm

靈敏度S=10/0.01=1000

(1).靈敏度S=△y/△x

2.描述靜態(tài)特性的指標(biāo)(2).非線性度測(cè)試系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系保持常值線性比例關(guān)系的程度。定度（標(biāo)定）曲線擬合曲線端基直線獨(dú)立直線標(biāo)定曲線與擬合直線非線形度

非線性度:標(biāo)定曲線與擬合直線的偏離程度。實(shí)驗(yàn)標(biāo)定偏離程度：在測(cè)試系統(tǒng)的標(biāo)稱輸出范圍(全量程)A內(nèi)，標(biāo)定曲線與其擬合直線的最大偏差B與A的比值，即非線性度＝B/A×100％

式中，A——輸出信號(hào)的變化范圍；B——標(biāo)定曲線與其擬合直線下最大偏差，以輸出量計(jì)。

非線形度

用非線性誤差來(lái)衡量

量程為10V時(shí)的非線形度

量程為1000V時(shí)的非線形度

非線性度＝B/A×100％

(3).回程誤差

測(cè)試系統(tǒng)在輸入量由小增大和由大減小的測(cè)試過(guò)程中，對(duì)于同一個(gè)輸入量所得到的兩個(gè)數(shù)值不同的輸出量之間差值最大者為hmax，則定義回程誤差為:回程誤差=(hmax/A)×100%指測(cè)試系統(tǒng)所能檢測(cè)出來(lái)的輸入量的最小變化量，表明測(cè)試裝置分辨輸入量微小變化的能力。輸入量不變時(shí)，經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間后輸出量產(chǎn)生的變化。由于溫度變化而產(chǎn)生的漂移稱溫漂。結(jié)構(gòu)參數(shù)，周圍環(huán)境。(4).分辨力(5).漂移▲在對(duì)動(dòng)態(tài)物理量進(jìn)行測(cè)試時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)的輸出變化是否能真實(shí)地反映輸入變化，則取決于測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。動(dòng)態(tài)特性:輸入量隨時(shí)間作快速變化時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)的輸出隨輸入而變化的關(guān)系。

4.3測(cè)試系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性測(cè)試系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的描述方式：傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)用到的數(shù)學(xué)知識(shí)：拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）條件：①線性系統(tǒng)的初始狀態(tài)零②x(t)?X(S),y(t)?Y(S)進(jìn)行拉普拉斯變換：

得：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(S)

：其中，S為復(fù)變量，S=α+jω；

n代表微分方程的階數(shù)；如n=1,n=2就分別稱為一階或二階系統(tǒng)。1.傳遞函數(shù)(Transferfunction)H(S)只反映系統(tǒng)對(duì)輸入的響應(yīng)特性，與測(cè)量信號(hào)無(wú)關(guān)，與具體的物理結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。傳遞函數(shù)的特點(diǎn)H(S)是實(shí)際物理系統(tǒng)抽象為數(shù)學(xué)模型后的拉普拉斯變換，因此，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)或元件，可以具有相同類型的傳遞函數(shù)H(S)。H(S)以測(cè)試系統(tǒng)本身的參數(shù)表示出輸入與輸出之間的關(guān)系，所以它將包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位。H(S)中的分母完全由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)所決定，分母中最高次冪n代表系統(tǒng)微分方程的階數(shù)。而分子則與激勵(lì)點(diǎn)位置、激勵(lì)方式、所測(cè)量的變量以及測(cè)量點(diǎn)布置情況有關(guān)。傳遞函數(shù)：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性2.頻率響應(yīng)函數(shù)(Frequencyresponsefunction)方法：傅里葉變換法

替代法將此公式兩邊作傅立葉變換，在變換過(guò)程中利用傅立葉變換的微分性質(zhì)：傅里葉變換法頻率響應(yīng)函數(shù)是傳遞函數(shù)的特例！

替代法輸入：簡(jiǎn)諧信號(hào)x(t)=X0sinωt穩(wěn)態(tài)輸出：簡(jiǎn)諧信號(hào)y(t)=Y0sin(ωt+φ)相同：輸入和輸出都為同頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào).不同：兩者的幅值不一樣，其幅值比A(ω)=Y0/X0隨頻率ω而變化，是ω的函數(shù)。相位差φ(ω)也是頻率ω的函數(shù)。輸出信號(hào)的幅、相頻圖輸入信號(hào)的幅、相頻圖物理意義:頻率響應(yīng)函數(shù)是在簡(jiǎn)諧信號(hào)的激勵(lì)下，測(cè)量裝置達(dá)到穩(wěn)態(tài)后輸出和輸入之間的關(guān)系。直觀反映了測(cè)試系統(tǒng)對(duì)各個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧信號(hào)的響應(yīng)特性。基于頻率響應(yīng)函數(shù)的圖像描述幅頻相頻圖伯德圖實(shí)頻虛頻圖奈魁斯特圖４幅圖：幅頻相頻圖A()-曲線稱為幅頻特性曲線()-曲線稱為相頻特性曲線一階系統(tǒng)的幅頻特性曲線

一階系統(tǒng)的相頻特性曲線

伯德圖（Bode圖）20lgA()-lg曲線為對(duì)數(shù)幅頻曲線()-lg曲線對(duì)數(shù)相頻曲線。一階系統(tǒng)的伯德圖

奈魁斯特圖（Nyquist圖）。作Im()-Re()曲線并注出相應(yīng)頻率實(shí)頻、虛頻圖H(ω)=P(ω)+jQ(ω)P(ω)——ω實(shí)頻特性曲線Q(ω)——ω虛頻特性曲線。一階系統(tǒng)的奈魁斯特圖H(ω)=A(ω)ejφ(ω)例

4.1:某測(cè)試系統(tǒng)傳遞函數(shù)，當(dāng)輸入信號(hào)分別為，時(shí)，試分別求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出。信號(hào)

信號(hào)

穩(wěn)態(tài)輸出：3.脈沖響應(yīng)函數(shù)稱h(t)為測(cè)試裝置的脈沖響應(yīng)函數(shù)或權(quán)函數(shù)。h(t)描述了測(cè)試裝置的瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程。若x(t)=δ(t)，則：進(jìn)行拉氏逆變換：Y(S)=H(S)X(S)拉氏反變換:設(shè)：x(t)?

X(S)，y(t)?

Y(S)，h(t)?

H(S)x(t)=δ(t)線性系統(tǒng)輸出的時(shí)域響應(yīng)表示為：?jiǎn)挝幻}沖相應(yīng)函數(shù)h(t)與系統(tǒng)輸入x(t)的卷積。4.線性系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)

5.H(S)、h(t)、H(jω)之間的關(guān)系

h(t)時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程H(jω)頻域簡(jiǎn)諧激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(S)復(fù)數(shù)域瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程頻響函數(shù)的含義是一系統(tǒng)對(duì)輸入與輸出皆為頻域（簡(jiǎn)諧）信號(hào)傳遞關(guān)系的描述。它反映了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間的關(guān)系。傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)包括穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)輸出與輸入之間的關(guān)系。權(quán)函數(shù)是在時(shí)域中通過(guò)瞬態(tài)響應(yīng)過(guò)程來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。小結(jié)：實(shí)際難以獲得

可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法對(duì)簡(jiǎn)諧信號(hào)的特性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性描述方法的關(guān)系L－1h(t)1）串聯(lián)系統(tǒng)：6.系統(tǒng)的聯(lián)接方式:如：有：如：有：2）并聯(lián)系統(tǒng)：

傳遞函數(shù)的分解

任何高于二階系統(tǒng)都可以看成是若干個(gè)一階和二階系統(tǒng)的并聯(lián)和串聯(lián)。分母因式分解經(jīng)部分分式分解得數(shù)學(xué)表述：7.典型系統(tǒng)的響應(yīng)特性(1)一階系統(tǒng)(First-orderSystem)進(jìn)行拉式變換(τS+1)Y(S)=KX(S)

靜態(tài)靈敏度：時(shí)間常數(shù)：則傳遞函數(shù)：令：K＝1靈敏度歸一處理

在工程實(shí)際中，一個(gè)忽略了質(zhì)量的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，在施于A點(diǎn)的外力f(t)作用下，其運(yùn)動(dòng)方程為負(fù)值表示相角的滯后輸出滯后于輸入頻率響應(yīng)函數(shù)A(ω)－ωτ

φ(ω)－ωτ

幅頻特性曲線圖相頻特性曲線圖幅、相頻圖伯德圖奈魁斯特圖2.一階系統(tǒng)是一個(gè)低通環(huán)節(jié)。只有當(dāng)遠(yuǎn)小于1/時(shí)，幅頻響應(yīng)才接近于1，因此一階系統(tǒng)只適用于被測(cè)量緩慢或低頻的參數(shù)。幅值A(chǔ)(ω)隨ω的增大而減小。A(ω)和φ(ω)的變化表示輸出與輸入之間的差異，稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)誤差。一階系統(tǒng)的頻率特性１.當(dāng)時(shí)：

，表明測(cè)量系統(tǒng)輸出與輸入為線性關(guān)系；

很小，，，相位差與頻率呈線性關(guān)系。通常為了減小一階測(cè)試系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動(dòng)態(tài)誤差，增大工作頻率，應(yīng)盡可能采用時(shí)間常數(shù)τ小的測(cè)試系統(tǒng)。例：設(shè)有一階測(cè)量裝置，時(shí)間常數(shù)為0.1s，輸入信號(hào)頻率為多少時(shí)其輸出信號(hào)的幅值誤差不大于6%。這時(shí)輸出信號(hào)的滯后角是多少？周期信號(hào)，試求其響應(yīng)。某測(cè)試系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線，若輸入已知：①H(jω)或A(jω)、Φ(ω)或H(S)；②x(t)或y(t)；求：y(t)或x(t)

一般思路：由H(jω)或H(S)求A(jω)、Φ(ω)

將x(t)、y(t)分解成正弦諧波信號(hào)，再用A(jω)、Φ(ω)定義求取。一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)輸出迅速衰減，衰減速度與的大小有關(guān)。微分方程

微分方程變?yōu)椋海ü逃蓄l率）（阻尼比）稱重(應(yīng)變片)加速度(壓電)(2)二階系統(tǒng)（Second-ordersystem）（靈敏度）

對(duì)二階系統(tǒng)而言，主要的動(dòng)態(tài)特性參數(shù)是系統(tǒng)固有頻率和阻尼系數(shù)。

頻率響應(yīng)函數(shù)幅頻特性和相頻特性A(ω)－ω/ωn

φ(ω)－ω/ωn

幅頻特性曲線圖相頻特性曲線圖傳遞函數(shù)二階系統(tǒng)的幅相頻特性＜1，時(shí)，，幅頻特性平直，輸出與輸入為線性關(guān)系；與為線性關(guān)系。

系統(tǒng)的輸出y(t)真實(shí)準(zhǔn)確地再現(xiàn)輸入x(t)的波形，這是測(cè)試設(shè)備應(yīng)有的性能。

結(jié)論：為了使測(cè)試結(jié)果能精確地再現(xiàn)被測(cè)信號(hào)的波形，在傳感器設(shè)計(jì)或測(cè)量系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，必須使其阻尼比＜1，固有圓頻率至少應(yīng)大于被測(cè)信號(hào)頻率（3～5）倍，即≥(3～5)。測(cè)試系統(tǒng)的輸入、輸出與傳遞函數(shù)之間有關(guān)系式：對(duì)上式取拉普拉斯斯反變換1測(cè)試系統(tǒng)在單位階躍輸入下的響應(yīng)4.4測(cè)試系統(tǒng)的典型輸入響應(yīng)一階系統(tǒng)的響應(yīng)一階系統(tǒng)在單位階躍激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出誤差為零越小越好。響應(yīng)都要經(jīng)過(guò)一段時(shí)間才能達(dá)到階躍輸入值，該過(guò)程稱為瞬態(tài)過(guò)程(動(dòng)態(tài)過(guò)渡過(guò)程)。二階系統(tǒng)的響應(yīng)

二階系統(tǒng)的固有頻率和阻尼比是二階測(cè)試系統(tǒng)的重要特征參數(shù)，簡(jiǎn)稱為二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。響應(yīng)曲線形狀由阻尼比和固有頻率決定。二階系統(tǒng)在單位階躍激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出誤差為零。1)阻尼比的取值決定了階躍響應(yīng)趨于穩(wěn)態(tài)值的快慢，值過(guò)大或過(guò)小趨于穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間都過(guò)長(zhǎng)。為提高響應(yīng)速度，通常選取=0.6-0.8較合適。

2)測(cè)量系統(tǒng)的階躍響應(yīng)速度，隨系統(tǒng)固有角頻率的變化而不同。當(dāng)不變時(shí)，越大，響應(yīng)速度越快；越小，響應(yīng)速度就越饅。

2測(cè)試系統(tǒng)在單位正弦輸入下的響應(yīng)一階系統(tǒng)的響應(yīng)二階系統(tǒng)的響應(yīng)其中：K1和K2是與ωn和ξ有關(guān)的系數(shù)，和分別為二階系統(tǒng)的幅頻和相頻特性。一階系統(tǒng)的正弦響應(yīng)二階系統(tǒng)的正弦響應(yīng)▲

設(shè)測(cè)試系統(tǒng)的輸出y(t)與輸入x(t)滿足關(guān)系

y(t)=A0x(t-t0)

該測(cè)試系統(tǒng)的輸出波形與輸入信號(hào)的波形精確地一致，只是幅值放大了A0倍，在時(shí)間上延遲了t0而已。這種情況下，認(rèn)為測(cè)試系統(tǒng)具有不失真的特性。信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度大小和時(shí)間先后的不同，而沒(méi)有波形的變化。4.5測(cè)試系統(tǒng)不失真測(cè)量條件y(t)=A0x(t-t0)H(ω)=A(ω)ejφ(ω)則其幅頻和相頻特性應(yīng)分別滿足：

A(ω)=A0=constφ(ω)=-t0ω即為實(shí)現(xiàn)不失真測(cè)試的條件。

x(t)→x(ω)

y(t)→

y(ω)A(ω)=A0=constφ(ω)=-t0ω物理意義:1)系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)中所含各頻率成分的幅值進(jìn)行常數(shù)倍數(shù)放縮，也就是說(shuō)，幅頻特性曲線是一與橫軸平行的直線。2)輸入信號(hào)中各頻率成分的相角在通過(guò)該系統(tǒng)時(shí)作與頻率成正比的滯后移動(dòng)，也就是說(shuō)，相頻特性曲線是一通過(guò)原點(diǎn)并且有負(fù)斜率的直線。1)如果A(ω)不等于常數(shù)，引起的失真稱為幅值失真；

2)φ(ω)與ω不成線性關(guān)系引起的失真稱為相位失真。

3)當(dāng)φ(ω)=0時(shí)，輸出和輸入沒(méi)有滯后，此時(shí)，測(cè)試系統(tǒng)才是最理想的。