橢球面的幾何特征與測量計算

第五章地球橢球及橢球面上的計算應用大地測量學

山東科技大學地科學院測繪系

1可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應用大地測量學測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進行的，或者說主要是對地球表面進行觀測的，由于地球表面不是一個規(guī)則的數(shù)學曲面，在其上面無法進行嚴密的測量計算。因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體——地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球來表示地球必須解決2個問題：一是橢球參數(shù)的選擇；二是確定橢球與地球的相關位置，即橢球的定位。2可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應用大地測量學一、橢球的幾何參數(shù)及其關系3可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應用大地測量學一、橢球的幾何參數(shù)及其關系第一偏心率第二偏心率：

扁率橢球長半徑a，短半徑b

4可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應用大地測量學一、橢球的幾何參數(shù)及其關系kpaCOBCKuu1980國家大地坐標系WGS-84a637824563781406378137b6356863.018776356755.288166356752.3142e20.006693421622970.006694384999590.00669437999013e′20.00673852544680.006739501819470.00673949674227f1:298.31:298.2571:298.257223563幾種橢球幾何參數(shù)

5可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應用大地測量學二、垂線偏差及其基本公式垂線偏差——地面一點上，鉛垂線方向和相應的橢球面法線方向之間的夾角。垂線偏差μ的分量——子午圈分量ξ和卯酉圈分量ηξ=ψ-Bη=(λ-L)cosψA=α-(λ-L)sinψ=α-η·tanψ

6可編輯版第一節(jié)地球橢球及其定位

應用大地測量學三、橢球的定位橢球定位——將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關位置固定下來，確定測量計算基準面的具體位置和大地測量起算數(shù)據(jù)。橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn)。對于大地原點： B0=ψ0-ξ0 L0=λ0-η0·secψ0 A0=α0-η0·tanψ0 H0=H0常+ζ0初期定位時，ξ0，η0，ζ0未知，可取為0。根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù)，在條件下，求出原點的ξ0，η0，ζ0值。7可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學基本概念法截面——包含曲面一點法線的平面。法截線——法截面與曲面的截線。子午圈——包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈——與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該點的卯酉圈。平行圈——垂直于短軸的平面與橢球面的交線。8可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關系9可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學一、平行圈半徑r與卯酉圈曲率半徑N的關系10可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學二、子午圈曲率半徑M表M、N隨B變化的規(guī)律

BNM說明B=0°N0=aM0=a(1-e2)在赤道上，N為赤道半徑a，M小于赤道半徑a0°<B<90°a<N<ca(1-e2)<M<c此間N、M均隨B的增大而增大B=90°在極點，卯酉圈變?yōu)樽游缛?1可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學三、任意方向法截線曲率半徑RA12可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學三、任意方向法截線曲率半徑RA13可編輯版第二節(jié)橢球面上法截線曲率半徑

應用大地測量學四、平均曲率半徑五、曲率半徑的數(shù)值計算公式14可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計算

應用大地測量學一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計算，橢球面上大地問題解算）

1、計算B=0到B的子午圈弧長X由M=dX/dB得：

將

代入上式，從0到B積分，可得X?？芍?，X是B的函數(shù)。15可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計算

應用大地測量學一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計算，橢球面上大地問題解算）

1、計算B=0到B的子午圈弧長X由M=dX/dB得：

將

代入上式，從0到B積分，可得X?？芍?，X是B的函數(shù)。16可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計算

應用大地測量學一、子午圈弧長公式（用于高斯投影計算，橢球面上大地問題解算）

2、計算已知緯度B1和B2之間的子午圈弧長△X（1）分別計算0到B1和0到B2之間的子午圈弧長X1和X2，然后求△X=X2-X1；（2）用上述積分式求B1～B2之間的子午圈弧長△X。17可編輯版第三節(jié)橢球面上弧長計算

應用大地測量學二、平行圈弧長平行圈是一個半徑等于r=N·COSB的圓，緯度B處經(jīng)度L1～L2之間的平行圈弧長

18可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學一、相對法截線設Q1和Q2兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線Q1n1和Q2n2不相交。法截線Q1m1Q2和Q2m2Q1稱為兩點間的相對法截線。19可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學一、相對法截線正反法截線之間的夾角△：令Bm=45°，A=45°，不同距離S求得的△值為：

S

△

100km

0.042″

60km

0.015″

30km

0.004″在長距離的測量中，對向觀測所得3個內(nèi)角不能組成閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線——大地線。20可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學二、大地線及其幾何特征1、大地線——曲面上兩點間的最短曲線。（或：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包含曲面在該點的法線。2、大地線幾何特征大地線與相對法截線間的夾角為δ=△/3。大地線與相對法截線間的長度之差甚微，600km時二者之差僅為0.007mm。兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。21可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學二、大地線及其幾何特征22可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學三、大地線微分方程和克萊勞方程

大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與dS的關系：

大地線的三個微分方程：23可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學三、大地線微分方程和克萊勞方程

大地線的解析特性——表述dB、dL、dA與dS的關系：

大地線的克萊勞方程

：r·sinA=常數(shù)對于橢球面上一大地線而言，每點處平行圈半徑與該點處大地線方位角正弦的乘積是一個常數(shù)。24可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學四、地面觀測方向歸算至橢球面

1、垂線偏差改正δ1將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面上以法線為準的觀測方向，其改正數(shù)δ1為：δ1=-（ξsinA-ηcosA）tanα例：A=0°，tanα=0.01，ξ=η=5″，則δ1=0.05″。垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或沒垂直角）。僅在國家一、二等三角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。

25可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學四、地面觀測方向歸算至橢球面

2、標高差改正δ2因照準點B高出橢球面某一高度H2，使得在A點照準B點的法截線Ab′與Ab之間有一夾角δ2。B2照準點的大地緯度；A1測站點至照準點的大地方位角；H2照準點高出橢球面的高程；M1測站點子午圈曲率半徑。例：A1=45°，B2=45°，H2=2000m，δ1=0.1″局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。

26可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學四、地面觀測方向歸算至橢球面

3、截面差改正δ3將橢球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)δ3。例：A1=45°，Bm=45°，S=30kmδ3=0.001″截面差改正主要與測站點至照準點間的距離有關。只有在國家一等三角測量計算中，才進行改正。

27可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學五、地面觀測距離歸算至橢球面

設A、B兩點的大地高分別為H1為H2，h=H2-H1，d為空間直線長。由三角形AOB按余弦公式可得：

弦長弧長28可編輯版第四節(jié)地面觀測值歸算至橢球面

應用大地測量學六、橢球面上的三角形解算

目的——將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。方法一：按球面三角形解算公式：方法二：將球面三角形改化為對應邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。球面三角形球面角超ε=（A0+B0+C0）-180°=△/R2·ρ″，△為三角形面積。

A1=A0-ε/3，B1=B0-ε/3，C1=C0-ε/3。29可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應用大地測量學一、概述（一）解算內(nèi)容大地問題正解——已知P1點大地坐標（B1，L1）、P1P2大地線長S和大地方位角A1，推求P2點大地坐標（B2，L2）和大地方位角A2。大地問題反解——已知P1P2兩點的大地坐標（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地線長S和大地方位角A1、A2。30可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應用大地測量學一、概述（二）解算方法1、按解算的距離分為短距離（<400km)、中距離（400～1000km)和長距離（1000～2000km)的解算。2、直接解法和間接解法直接解法——直接解求點B、A和相鄰起算點的大地經(jīng)差。間接解法——先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角差，再加入到已知點的相應大地數(shù)據(jù)中。主要用于短距離大地問題的解算。

31可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應用大地測量學一、概述（二）解算方法3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）?；舅悸罚篴、按照平均引數(shù)展開的臺勞級數(shù)把大地線兩端點的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長S的冪級數(shù)；b、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導數(shù)，最終得到大地問題解算公式。32可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應用大地測量學二、高斯平均引數(shù)公式（一）按平均引數(shù)展開的臺勞級數(shù)平均引數(shù)xm為xo、xa的中點，將f(xa)、f(xo)都以xm為出發(fā)點展為臺勞級數(shù)。33可編輯版第五節(jié)橢球面上大地問題解算

應用大地測量學二、高斯平均引數(shù)公式（二）高斯平均引數(shù)正解公式推求步驟：1、經(jīng)差l、緯差b、方位角差a是S的函數(shù)，故可以將其展為S的臺勞級數(shù)（按平均引數(shù)在S/2處展為S的冪級數(shù)）。2、引入大地線兩端點的平均緯度和平均方位角，將dL/dS以Bm、Am按臺勞級數(shù)展開。3、根據(jù)大地線微分方程求