四川省瀘州市瀘縣第二中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高一上期末綜合測試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．設(shè)函數(shù)f(x)=若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.2．已知函數(shù)，則的圖像大致是（）A. B.C. D.3．在中，若，則的形狀為（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形4．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（）A. B.C. D.5．把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到的圖象是（）A. B.C. D.6．函數(shù)y=1g（1-x）+的定義域是（）A. B.C. D.7．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為A. B.C. D.8．“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分且不必要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知命題，，則命題否定為（）A.， B.，C.， D.，10．設(shè)命題，則命題p的否定為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．如果函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為______12．若的最小正周期為，則的最小正周期為______13．一個(gè)底面積為1的正四棱柱的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，若這個(gè)正四棱柱的高為，則該球的表面積為__________14．函數(shù)在[1，3]上的值域?yàn)閇1，3]，則實(shí)數(shù)a的值是___________.15．函數(shù)f（x）=2x+x-7的零點(diǎn)在區(qū)間（n，n+1）內(nèi)，則整數(shù)n的值為______三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知二次函數(shù)滿足（1）求的最小值；（2）若在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍17．對(duì)于函數(shù)，若在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，，使得成立，則稱是“躍點(diǎn)”函數(shù)，并稱是函數(shù)的1個(gè)“躍點(diǎn)”（1）求證：函數(shù)在上是“1躍點(diǎn)”函數(shù)；（2）若函數(shù)在上存在2個(gè)“1躍點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）是否同時(shí)存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)使得函數(shù)在上有2022個(gè)“躍點(diǎn)”？若存在，請求出和滿足的條件；若不存在，請說明理由18．已知A（﹣1，0），B（1，0），動(dòng)點(diǎn)G滿足GA⊥GB，記動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）如圖，點(diǎn)M是C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)（3，0）且與x軸垂直的直線為l，直線AM與l相交于點(diǎn)E，直線BM與l相交于點(diǎn)F，求證：以EF為直徑的圓與x軸交于定點(diǎn)T，并求出點(diǎn)T的坐標(biāo)19．若冪函數(shù)在其定義域上是增函數(shù).（1）求的解析式；（2）若，求的取值范圍.20．某次數(shù)學(xué)考試后，抽取了20名同學(xué)的成績作為樣本繪制了頻率分布直方圖如下：（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）求20位同學(xué)成績的平均分；（3）估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的第一四分位數(shù)和第80百分位數(shù)（保留三位有效數(shù)字）21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)，的值域

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、C【解析】由于的范圍不確定，故應(yīng)分和兩種情況求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由得，所以，可得：，當(dāng)時(shí)，，由得，所以，即，即，綜上可知：或.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)，解不等式的關(guān)鍵是對(duì)的范圍討論，分情況解，屬于中檔題.2、C【解析】判斷函數(shù)的奇偶性，再利用時(shí)，函數(shù)值的符號(hào)即可求解.【詳解】由，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除B、D.當(dāng)，則，所以，，所以，排除A.故選：C3、D【解析】利用誘導(dǎo)公式和兩角和差的正弦公式、正弦的二倍角公式化簡已知條件，再結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】因?yàn)?，由可得：，即，所以，所以，所以或，因?yàn)椋?，所以或，所以的形狀為等腰三角形或直角三角形，故選：D.4、A【解析】先求得函數(shù)的定義域，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可得其圖象開口向下，對(duì)稱軸的方程為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又由函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選：A.5、A【解析】由題意,的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),即解析式為,向左平移一個(gè)單位為,向下平移一個(gè)單位為,利用特殊點(diǎn)變?yōu)?選A.點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).6、B【解析】可看出，要使得原函數(shù)有意義，則需滿足解出x的范圍即可【詳解】要使原函數(shù)有意義，則：解得-1≤x＜1；∴原函數(shù)的定義域是[-1，1）故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的概念及求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和一元二次不等式的解法．意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.7、B【解析】利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出的取值范圍，從而可得結(jié)果.【詳解】，，，，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及比較大小問題，屬于難題.解答比較大小問題，常見思路有兩個(gè)：一是判斷出各個(gè)數(shù)值所在區(qū)間（一般是看三個(gè)區(qū)間）；二是利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答；數(shù)值比較多的比大小問題也可以兩種方法綜合應(yīng)用.8、A【解析】解指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式，求出兩個(gè)命題的等價(jià)命題，進(jìn)而根據(jù)充要條件的定義，可得答案【詳解】“”“”，“”“”，“”是“”的充分而不必要條件，故“”是“”的的充分而不必要條件，故選：9、D【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題形式，直接選出答案.【詳解】命題，，是全稱命題，故其否定命題為：，，故選：D.10、C【解析】由全稱命題的否定是特稱命題即可得解.【詳解】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題可知，命題的否定命題為，故選：C二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】利用即可得出.【詳解】函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程只有1個(gè)根，，解得.故答案為：.12、【解析】先由的最小正周期，求出的值，再由的最小正周期公式求的最小正周期.【詳解】的最小正周期為，即，則所以的最小正周期為故答案為：13、【解析】底面為正方形，對(duì)角線長為.故圓半徑為，故球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題.解決與幾何體外接球有關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，主要是要找到球心所在的位置，并計(jì)算出球的半徑.尋找球心的一般方法是先找到一個(gè)面的外心，如本題中底面正方形的中心，球心就在這個(gè)外心的正上方，根據(jù)圖形的對(duì)稱性，易得球心就在正四棱柱中間的位置.14、【解析】分類討論，根據(jù)單調(diào)性求值域后建立方程可求解.【詳解】若，在上單調(diào)遞減，則，不符合題意；若，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)值域?yàn)闀r(shí)，可知，解得.故答案為：15、2【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，又f(0)＝20＋0－7＝－6<0，f(1)＝21＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0所以f(2)·f(3)<0，故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是(2,3)，所以整數(shù)n的值為2.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得出，再由均值不等式求解即可；（2）根據(jù)零點(diǎn)的分布列出不等式組求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闈M足，所以化簡得因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為【小問2詳解】由（1）知．對(duì)稱軸方程為，因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以解得所以ab的取值范圍是17、（1）證明見詳解（2）（3）存在，或或【解析】（1）將要證明問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可證；（2）原問題等價(jià)于方程在由兩個(gè)根，然后構(gòu)造二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)分布問題可解；（3）將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有2022個(gè)實(shí)數(shù)根，再轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，然后可解.【小問1詳解】因?yàn)檎淼?，令，因?yàn)?，所以在區(qū)間有零點(diǎn)，即存在，使得，即存在，使得，所以，函數(shù)在上是“1躍點(diǎn)”函數(shù)【小問2詳解】函數(shù)在上存在2個(gè)“1躍點(diǎn)”方程在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即在上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則解得或，所以的取值范圍是【小問3詳解】由，得，即因?yàn)楹瘮?shù)在上有2022個(gè)“躍點(diǎn)”，所以方程在上有2022個(gè)解，即函數(shù)與的圖象有2022個(gè)交點(diǎn).所以或或即或或18、（1）x2+y2＝1；（2）證明見解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【解析】(1)由可得,列出等式即可求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo),我們可以得到直線AM、直線BM的方程,與直線方程聯(lián)立求得點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而得到以為直徑的圓的方程,最后求出定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)G（x，y）（x≠±1），因?yàn)镚A⊥GB，所以，整理得C的方程為x2+y2＝1（x≠±1）；（2）設(shè)點(diǎn)M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，則直線AM的方程為y，令x＝3，得E（3，），直線BM的方程為y，令x＝3，得F（3，），從而以EF為直徑的圓方程為（x﹣3）2+（y）（y）＝0，令y＝0，則（x﹣3）2?0，即（x﹣3）20，又因?yàn)閤02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，解得x＝3±2，所以定點(diǎn)T（3+2，0）或T（3﹣2，0）【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,考查直線與圓的方程的應(yīng)用問題,屬于中檔題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有直線的點(diǎn)斜式方程,由圓上兩點(diǎn)的坐標(biāo)列出圓的方程,認(rèn)真分析題意求得結(jié)果.19、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的概念，以及冪函數(shù)單調(diào)性，求出，即可得出解析式；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，將不等式化為，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)槭莾绾瘮?shù)，所以，解得或，又是增函數(shù)，即，，則；（2）因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以由可得，解得或的取值范圍是或.20、（1）；（2）；（3）第一四分位數(shù)為70.0；第80分位數(shù)為【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率之和為1即可求解；(2)根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)的計(jì)算公式即可求解；(3)根據(jù)題意，結(jié)合百分位數(shù)的概念與計(jì)算公式，即可求解.【詳解】(1)依圖可得：，解得：(2)根據(jù)題意得，(3)由圖可知，，，，，對(duì)應(yīng)頻率分別為：0.1