第四章-大數(shù)定理和中心極限定理歷年考研試題解答

PAGEPAGE1第四章_大數(shù)定理和中心極限定理歷年考研試題解答第一篇：第四章_大數(shù)定理和中心極限定理歷年考研試題解答大數(shù)定理和中心極限定理歷年考研試題匯總數(shù)一部分：1.(20XX年)設(shè)隨機變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計P{|XE(X)|2}______.解答：因為D(X)2，根據(jù)切比雪夫不等式可知：D(X)22P{|XE(X)|2}12.數(shù)三部分：1．(1988年)某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明，在索賠戶中被盜戶占20XX以X表示隨機抽查的100個索賠戶中因被盜向保險公司索賠的戶數(shù).(1)寫出X的概率分布；(2)利用棣莫弗-拉普拉斯定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值.kk100k0.20.8,k0,1,2,,100.解答：(1)X的概率分布為：P{Xk}C100(2)由棣莫弗-拉普拉斯定理知，P{14X30}P141000.21000.20.8X20XXX1000.20.20.8301000.20.20.8P1.52.5(2.5)(1.5)(2.5)(1.5)10.9440.93310.927.2.(1996年)假設(shè)X1,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，已知E(Xk)ak(k1,2,3,4).證明：當(dāng)n充分大時，隨機變量Znn1nXi2近似服從正態(tài)分布，并指出其分布參數(shù).i1解答：依題意X1,X2,Xn獨立同分布，知X12,X22,Xn2也獨立同分布，由E(Xk)ak(k1,2,3,4)，有E(Xi2)a2，D(Xi)E(Xi)E(Xi)a4a2,i1,2,,n242221于是E(Zn)En1D(Zn)Dnni1nX2i1nni1nE(Xi)a2i1Xi12ni1D(X)ia4a2n因此根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，當(dāng)n充分大時，UnZna2a4an~N(0,1)故當(dāng)n充分大時，Zn1nni1X2ia4a2近似服從參數(shù)為a2,n的正態(tài)分布.3.(20XX年)設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式P{|XY|6}______.解答：令ZXY，則E(Z)E(X)E(Y)220D(Z)D(XY)D(X)D(Y)2Cov(X,Y)142(0.5)D(X)D(Y)3于是有P{|XY|6}P{|ZE(Z)|6}4.(20XX年)一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為D(Z)6112.千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977((2)0.977，其中(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)).解答：設(shè)Xi(i1,2,,n)是裝運的第i箱的重量(單位：千克)，n為所求箱數(shù).由題設(shè)可以將X1,X2,Xn視為獨立同分布的隨機變量，而n箱的總重量SnX1X2Xn是獨產(chǎn)同分布隨機變量之和.由題設(shè)，有E(Xi)50,E(Sn)50n,D(Xi)5,D(Sn)5n(單位：千克)根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理知，Sn近似服從正態(tài)分布N(50n,25n)，箱數(shù)n根據(jù)下述條件確定Sn50n500050nP{Sn5000}P5n5n由此得100010nn2，從而n98.0199100010n0.977(2)n，即最多可以裝98箱.5.(20XX年)設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當(dāng)n時，YnnnXi依概率收斂于___________.i1解答：因為X1,X2,Xn相互獨立同服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，于是X12,X22,Xn2也獨立同分布，且E(Xi)12,D(Xi)14,i1,2,,n11于是E(X)D(Xi)E(Xi),i1,2,,n422i因此，根據(jù)辛欽大數(shù)定理有YnnnXi依概率收斂于i1nnE(Xi).i1第二篇：第五章大數(shù)定理及中心極限定理0.***4第五章大數(shù)定理及中心極限定理一、選擇題1.已知的Xi密度為f(xi)(i1,2,,100),且它們相互獨立,則對任何實數(shù)x,概率P{Xii1100x}的值為(C).100A.無法計算B.xixi1100[f(xi)]dx1dx100i1C.可以用中心極限定理計算出近似值D.不可以用中心極限定理計算出近似值2.設(shè)X為隨機變量,EX,DX2,則P{|X|3}滿足(A).A.B.C.D.13193.設(shè)隨機變量X1,X2,,X10相互獨立,且EXi1,DXi2(i1,2,,10)，則（C）A.P{Xi1}1B.P{Xi1}122i110i11010C.P{Xi10}120XX.P{Xi}120XX22i1i14.設(shè)對目標(biāo)獨立地發(fā)射400發(fā)炮彈,已知每發(fā)炮彈的命中率為0.2由中心極限定理,則命中60發(fā)～100發(fā)的概率可近似為(C).A.(2.5)B.2(1.5)1C.2(2.5)1D.1(2.5)5.設(shè)X1,X2,,Xn獨立同分布,EXi,DXi2,i1,2,,n,當(dāng)n30時,下列結(jié)論中錯誤的是(C).A.Xi近似服從N(n,n2)分布i1nnXin近似服從N(0,1)分布C.X1X2服從N(2,22)分布D.Xi不近似服從N(0,1)分布i1n6.設(shè)X1,X2,為相互獨立具有相同分布的隨機變量序列,且Xii1,2,服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,則下面的哪一正確?(D)nnXn2XniiA.limPxx;B.limPxx;nnnnX2X2iiC.limPxx;D.limPxx;nn其中x是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).二、填空題1、設(shè)n是n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，P(A)p,q1p，nnp[a,b]則對任意區(qū)間有l(wèi)imPab＝nnpq2、設(shè)n是n次獨立重復(fù)試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的0，均有l(wèi)imP|np|=.nn3、一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為p(10X18)X，估計4、已知生男孩的概率為0.515，求在1000個新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率=.第三篇：大數(shù)定理與中心極限定理doc第五章：大數(shù)定律與中心極限定理一，切貝謝夫不等式：0，有pXEXDX2或PXEX1nDX2二，序列Xn依概率收斂于a；0，有l(wèi)imPXna1三，大數(shù)定理：設(shè)X1,X2,是相互獨立的序列：EXi1、若均存在，且DXil，則有切貝謝夫定理．DXi1n1nPXiEXi10，有l(wèi)imnni1ni12、若：XBnp，即XXi1ni某事件發(fā)生的次數(shù)，則有XPp1貝努里大數(shù)定律；0，有l(wèi)imnn3、若Xi同分布，且EXia，則有辛欽大數(shù)定律1n0，有l(wèi)imPXia1nni1注：小概率原理四，中心極限定理：１、李亞普諾定理：相互獨立（同分布）的和服從正態(tài)分布即：設(shè)X1,,Xn相互獨立，則X２、拉普拉斯定理：若XBnp,i1n李說XiNE,XDX則paXpFbFa拉說例1、一個螺絲釘重量是個隨機變量，期期望是1兩，標(biāo)準(zhǔn)差是0.1兩，求一盒（100）個同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^10.2斤的概率？EXi1解：設(shè)Xi=“一個螺絲釘?shù)闹亓俊?DXi(0.1)0.01X“一盒螺絲釘?shù)闹亓俊?00EXEXi100100李i1則XXiN(EX,DX)100i1DXDXi1000.011i1102100所求P(X102)1P(X102)1F(102)111(2)10.977250.022750例2．美、英戰(zhàn)機向基地組織投彈100次，每次命中目標(biāo)的炸彈數(shù)目是一個隨機變量，期數(shù)學(xué)期望為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180顆到220XX彈命中目標(biāo)的概率？EXi2解：設(shè)Xi=“第次命中目標(biāo)得得炸彈數(shù)”DXi1.69X“100次命中得炸彈數(shù)”100EfEfi20XX00李i1則XXiN(EX,DX)其中100i1DfDfi169i1所求220XX0018020XX(180f220XXF(220XXF(180)1313(1.54)(1.54)2(1.54)10.87644例3．已知某電網(wǎng)10000盞燈，沒盞開著得概率為0.7，求有6800—720XX燈開著得概率？解：設(shè)X“開著得燈數(shù)”EXinp7000則XB(10000,0.7)DXinpq45.83所求為：720XXnp6800npP(6800X720XXF(720XXF(6800)拉=2(4.36)10.99999例4．一批產(chǎn)品次品率為0.005，求10000件產(chǎn)品中的次品數(shù)不大于70的概率？解：設(shè)X“10000件中的次品數(shù)”EXinp50則XB(10000,0.005)7.053,拉70np所求為P(X70)F(70)(2.84)0.9977第四篇：第五章大數(shù)定律和中心極限定理第五章大數(shù)定律和中心極限定理一、填空題1、設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX，方差DX2，則由切比雪夫不等式有PX3____________。2、設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX100，方差DX10，則由切比雪夫不等式，可得P80X120XX_________3、設(shè)X1,X2,,Xn是n個相互獨立同分布的隨機變量，EXi，DXi8，i1,2,,n，對于XXi，寫出所滿足的切比雪夫不等式_______________；i1nn__。并估計PX4__________4、設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式PXY6____________。5、設(shè)隨機變量X1,X2,,Xn,相互獨立同分布，且EXn0，則nlimPXin______。ni1二、單項選擇題1、設(shè)X1,X2,,Xn,為獨立同分布的隨機變量序列，其分布函數(shù)為Fxaxarctan,b0，則辛欽大數(shù)定律對此序列（）b1A、適用B、當(dāng)常數(shù)a,b取適當(dāng)?shù)臄?shù)值時適用C、不適用D、無法判別2、設(shè)X1,X2,,Xn,為獨立同分布的隨機變量序列，且Xi(i1,2,)服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則（）nnXinXinA、limPi1xxB、limPi1xxnnnnnnXiXiC、limPi1xxD、limPi1xxnnnn1x其中x12et22dt。3、設(shè)隨機變量X1,X2,,Xn相互獨立，SnX1X2Xn，則根據(jù)中心極限定理，當(dāng)n充分大時，Sn近似服從正態(tài)分布，只要X1,X2,,Xn（）A、有相同的數(shù)學(xué)期望B、有相同的方差C、服從同一泊松分布D、服從同一連續(xù)型分布三、計算題1、在每次實驗中，事件A發(fā)生的概率為0.5，利用切比雪夫不等式估計，在1000次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)在400—600之間的概率。2、設(shè)隨機變量X服從二項分布Bn,p，試分別用切比雪夫不等式和中心極限定Xnp理，估計滿足PnDX99%式中的n。33、一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的。假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5000千克的汽車承運，試用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977？四、證明題設(shè)X1,X2,,Xn獨立同分布，已知EXkak(k1,2,3,4)。證明：當(dāng)n充分大1n2時，隨機變量ZnXi近似服從正態(tài)分布，并指出該正態(tài)分布的分布參數(shù)。ni1參考答案：一、填空題1398111、2、3、PX2；14、5、19402n12n二、單項選擇題1、C2、A3、C三、計算題391、2、n30；n83、箱數(shù)m98.02，最多裝98箱四、證明題略3第五篇：第五章大數(shù)定律和中心極限定理第五章大數(shù)定律和中心極限定理考試內(nèi)容切貝雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大數(shù)定律伯努利大數(shù)定律辛欽（Khinchine）大數(shù)定律棣莫弗－拉普拉斯（DeMoivre－Laplace）定理列維－林德伯格（Levy－Lindbreg）定理考試要求1.了解切比雪夫不等式．2.了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律）。3.了解棣莫弗一拉普拉斯定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維一林德伯格定理（獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理）．重點內(nèi)容切比貝夫不等式及其應(yīng)用，列維一林德伯格中心極限定理及其應(yīng)用，其余大數(shù)定律與中心極限定理。特別注意切貝雪夫大數(shù)定律，伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律這三個大數(shù)定律成立的條件的異同；注意區(qū)分兩個中心極限定理。一、主要內(nèi)容講解1、切貝雪夫不等式設(shè)隨機變量X的方差存在，則對0，都有P{XEX}DX2或P{XEX}1DX22、依概率收斂設(shè)有隨機變量序列X1,X2,,Xn?和隨機變量X〔可以是常數(shù)〕，如果對0，滿足limP(XnX)1nX(n).則稱Xn依概率收斂于X.記作XnP注意：依概率收斂與函數(shù)極限的收斂是不同的；概率是頻率的穩(wěn)定值表達的就是一種依概率收斂關(guān)系.3、大數(shù)定律X〔隨機變量的均值→期望的均值，→依概率收斂〕切貝雪夫大數(shù)定律：設(shè)隨機變量X1,X2,,Xn?相互獨立，均具有有限方差，且有公共上界，即D(Xi)C(i=1,2,?),則對于任意的正數(shù)，有1limPnnni1Xi1nni1E(Xi)1.特殊情形：若X1,X2,,Xn?具有相同的數(shù)學(xué)期望E(Xi)，則上式成為n1limPnni1Xi1.伯努利大數(shù)定律：設(shè)μ是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù)ε，有l(wèi)imPp1.nn伯努利大數(shù)定律說明，當(dāng)試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即limPp0.nn這就以嚴格的數(shù)學(xué)形式描述了頻率的穩(wěn)定性。〔切比雪夫大數(shù)定律的特殊情形〕注：如果用X表示n重伯努利試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p(0limP{nXnp}1辛欽大數(shù)定律：設(shè)X1,X2,,Xn，?是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E(Xi)，則對于任意的正數(shù)ε有n1limPnni1Xi1.EX|2}2例5.1：設(shè)隨機變量X的方差為2，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計P{|X例5.2：設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望分別為-2和2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為-0.5，則根據(jù)切比雪夫不等式有估計P{|XY|6}112例5.3：設(shè)總體X服從參數(shù)為2的指數(shù)分布，X1,X2,,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，則當(dāng)n時,Ynn2innXi依概率收斂于。i1分析：n時,YnXni12E(X)，n2ii1nE(Xi)D(Xi)(EXi)（)例5.4：設(shè)X1,X2,,Xn，?相互獨立同分布，且EXi0，則nlimPXinni1nn1limPXinlimP分析：ni1nn[1,EXi0]i11Xi1limPnnni1Xi011n注：事實上，對0，都有l(wèi)imPXin1.ni1例5.5：設(shè)X1,X2,,Xn，?是相互獨立的隨機變量序列，Xn服從參數(shù)為n的指數(shù)分布（n=1,2,?），則下列中不服從切比雪夫大數(shù)定律的隨機變量序列是：（A）X1,X2,,Xn，?；（B）X1,22X2,,n2Xn，?〔B〕（C）X1,X2/2,,Xn/n，?；（D）X1,2X2,,nXn，?分析：E(n2Xn)n21nn,D(nXn)n1nn(n)注：也不服從辛欽大數(shù)定律〔不同分布〕。4、中心極限定理XN(,n)[→極限分布]列維－林德伯格定理：設(shè)隨機變量X1,X2,,Xn?相互獨立，服從同一分布，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：E(Xk),D(Xk)變量0(k1,2,)，則隨機nYnk1Xknn的分布函數(shù)Fn(x)對任意的實數(shù)x，有nXnkk1limFn(x)limPxnnnt12xedt.此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。n注：即Xkk1N(n,n，再標(biāo)準(zhǔn)化得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。)（近似服從正態(tài)分布）棣莫弗－拉普拉斯定理：設(shè)隨機變量Xn為具有參數(shù)n,p(0p1)的二項分布，則對于任意實數(shù)x,有l(wèi)imFn(x)limPnnxXnp1xetdt注：即二項分布的極限分布是正態(tài)分布N(np,npq)，再標(biāo)準(zhǔn)化得到N(0,1).【評注】棣莫弗－拉普拉斯定理是列維－林德伯格定理的特殊情形〔二項分布是獨立的服從0-1分布的隨機變量之和〕。例5.6：一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克。若用最大載重量為5噸的汽車承運，試利用中心極限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977。解：令Xi――第i箱的重量，XX1Xn.P(X5000)0.977,XN(50,25n)P(X5000n)0.977.5000由500.9775000502n98.例5.7：設(shè)X1,X2,,Xn，?是相互獨立的隨機變量序列，在下面條件下，X12，X22，?，Xn2，?滿足列維－林德伯格中心極限定理的是：〔A〕（A）P{Xim}pmq1m,m0,1；x（B）P{Xix}(1tcm)；（C）P{Xim}2,m1,2,，常數(shù)c2m1m1；（D）Xi服從參數(shù)為i的指數(shù)分布。分析：（A）Xi01分布，Xi01分布.期望、方差都存在。（B）柯西分布，期望不存在。（C）EXi不存在〔m（D）不同分布。5、二項定理：若當(dāng)N時,CMCNMCMNknkCm不絕對收斂〕E(Xi2)不存在。MNp(n,k不變)，則Cnp(1p)kknk(N).即超幾何分布的極限分布為二項分布。例5.8：兩只一模