專題03 圓錐曲線中的中點弦問題(教師版)

專題03圓錐曲線中的中點弦問題一、單選題1．已知橢圓的弦被點平分，那么這條弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設出這條弦與橢圓的交點，將點代入橢圓方程，兩式作差求出直線的斜率，再利用點斜式即可求解.【詳解】設這條弦與橢圓交于，，由在橢圓內，由中點坐標公式知，，把，代入，可得，①②可得，，這條弦所在的直線方程為，即為.則所求直線方程為.故選：A2．已知橢圓，過點的直線與橢圓交于兩點，若點恰為弦中點，則直線斜率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出的坐標代入橢圓方程后，作差變形，根據(jù)斜率公式和中點坐標公式可得解.【詳解】設，則，則，，兩式相減得，所以，即直線斜率是.故選：C【點睛】方法點睛：一般涉及到弦的中點和弦所在直線的斜率時，使用點差法解決.3．直線與橢圓相交于兩點，若中點的橫坐標為，則=（）A． B． C． D．【答案】C【分析】代入消元得關于一元二次方程，再用韋達定理即可.【詳解】設把代入得，，因為中點的橫坐標為，所以，解得.故選:C【點睛】用韋達定理解決直線與圓錐曲線交點問題是常用的方法，需要注意直線與圓錐曲線是否有交點，可用判斷.4．已知拋物線，以為中點作的弦，則這條弦所在直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設過點的直線交拋物線于、兩點，可得出，利用點差法可求得直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程.【詳解】設過點的直線交拋物線于、兩點.若直線垂直于軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意.所以，直線的斜率存在，由于點為線段的中點，則，由于點、在拋物線上，可得，兩式作差得，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故選：A.【點睛】本題考查拋物線的中點弦問題，考查點差法的應用，同時也可以利用直線與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理求解，考查計算能力，屬于中等題.5．已知橢圓：()的右焦點為，過點的直線交橢圓于，兩點.若的中點坐標為，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先設，，代入橢圓方程，兩式作差整理，得到，根據(jù)弦中點坐標，將式子化簡整理，得到，根據(jù)且，即可求出結果.【詳解】設，，則，兩式相減并化簡得，又過點的直線交橢圓于，兩點，的中點坐標為，所以，，即，由于且，由此可解得，，故橢圓的方程為.故選：D.【點睛】本題主要考查求橢圓的方程，考查中點弦問題，屬于?？碱}型.6．在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是拋物線的焦點，A、B是拋物線上兩個不同的點．若，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】本題先設，兩點，并判斷線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為，再求，最后求解.【詳解】解：設，，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為：，根據(jù)拋物線的定義：，整理得：，故線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為：，故選：B.【點睛】本題考查拋物線的定義，是基礎題.7．過橢圓的右焦點的直線與交于，兩點，若線段的中點的坐標為，則的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設以及中點坐標，利用“點差法”得到之間的關系，從而得到之間的關系，結合即可求解出橢圓的方程.【詳解】設，則的中點，所以，又，所以，即，而，，所以，又，所以，所以橢圓方程為：.故選：A.【點睛】本題考查了已知焦點、弦中點求橢圓方程，應用了韋達定理、中點坐標公式，屬于基礎題.8．已知橢圓的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點坐標為（1，-1），則G的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出兩點的坐標，利用點差法求得的關系式，結合求得，進而求得橢圓的方程.【詳解】設，則，兩式相減并化簡得，即,由于且，由此可解得，故橢圓的方程為.故選：D.【點睛】本小題主要考查點差法解決橢圓中的中點弦問題，屬于基礎題.9．直線過點與拋物線交于兩點，若恰為線段的中點，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點差法，兩式相減，利用中點坐標求直線的斜率.【詳解】設，，兩式相減得，即，當時，，因為點是的中點，所以，，解得：故選：A【點睛】本題考查中點弦問題，重點考查點差法，屬于基礎題型.10．已知橢圓的右焦點為，離心率，過點的直線交橢圓于兩點，若中點為，則直線的斜率為（）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)已知得到，再利用點差法求出直線的斜率.【詳解】由題得.設，由題得，所以，兩式相減得，所以，所以，所以.故選：C【點睛】本題主要考查橢圓離心率的計算，考查直線和橢圓的位置關系和點差法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.11．已知橢圓，過M的右焦點作直線交橢圓于A，B兩點，若AB中點坐標為，則橢圓M的方程為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設以及中點坐標，利用“點差法”得到之間的關系，從而得到之間的關系，結合即可求解出橢圓的方程.【詳解】設，的中點，所以，又，所以，即，而，，所以，又，∴，即橢圓方程為：.故選：D.【點睛】本題考查了已知焦點、弦中點求橢圓方程，應用了韋達定理、中點坐標公式，屬于基礎題.12．已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點M，則M的坐標為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意知：斜率為3的弦中點，設弦所在直線方程，結合橢圓方程可得即可求，進而求M的坐標.【詳解】由題意，設橢圓與弦的交點為，，則將代入橢圓方程，整理得：，∴，而，故，∴，又在上，則，故選：C【點睛】本題考查了求橢圓的弦中點坐標，應用了韋達定理、中點坐標公式，屬于基礎題.13．已知橢圓：，過點的直線交橢圓于，兩點.若中點坐標為，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設，代入橢圓方程，利用點差法得到，然后根據(jù)中點坐標為，求出斜率代入上式，得到a，b的關系求解.【詳解】設，則，兩式相減得：，因為中點坐標為，所以，所以，又，所以，即，所以，故選：B【點睛】本題主要考查橢圓的方程，點差法的應用以及離心率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.14．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，且線段的中點為，則直線的斜率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓的離心率可得，的關系，得到橢圓方程為，設出，的坐標并代入橢圓方程，利用點差法求得直線的斜率．【詳解】解：由，得，，則橢圓方程為，設，，，，則，，把，的坐標代入橢圓方程得：，①②得：，．直線的斜率為．故選：．【點睛】本題考查橢圓的簡單性質，訓練了利用“點差法”求中點弦的斜率，屬于中檔題．二、多選題15．已知橢圓C：內一點M(1，2)，直線與橢圓C交于A，B兩點，且M為線段AB的中點，則下列結論正確的是（）A．橢圓的焦點坐標為(2，0)、(-2，0） B．橢圓C的長軸長為C．直線的方程為 D．【答案】CD【分析】由橢圓方程可得焦點在軸上，且，即可判斷AB；利用點差法可求出直線斜率，即可得出方程，判斷C；聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長公式求出弦長即可判斷D.【詳解】由橢圓方程可得焦點在軸上，且，橢圓的焦點坐標為，故A錯誤；橢圓C的長軸長為，故B錯誤；可知直線的斜率存在，設斜率為，，則，兩式相減得，，解得，則直線的方程為，即，故C正確；聯(lián)立直線與橢圓，整理得，，,故D正確.故選：CD.【點睛】易錯點睛：已知橢圓方程，在求解當中，一定要注意焦點的位置，本題的焦點在軸上，在做題時容易忽略焦點位置，判斷錯誤.三、填空題16．ABC的三個頂點都在拋物線E：y2＝2x上，其中A(2，2)，ABC的重心G是拋物線E的焦點，則BC邊所在直線的方程為________．【答案】4x＋4y＋5＝0【分析】設B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點為M(x0，y0)，先求出點的坐標，再求出直線的斜率，即得解.【詳解】設B(x1，y1)，C(x2，y2)，邊BC的中點為M(x0，y0)，易知，則從而，即，又，兩式相減得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，則直線BC的斜率故直線BC的方程為y－(－1)＝，即4x＋4y＋5＝0.故答案為：4x＋4y＋5＝0【點睛】方法點睛：圓錐曲線里與弦有關的問題常用點差法：先設出弦的端點坐標，再代入圓錐曲線的方程，再作差化簡即得弦的中點坐標和弦的斜率的關系.17．設A?B是橢圓上的兩點，點是線段AB的中點，直線AB的的方程為__________.【答案】【分析】設出，點坐標，根據(jù)兩點在橢圓上，代入橢圓方程，作差，利用中點坐標公式，即可化簡，求出直線的斜率，再根據(jù)斜率和直線上的定點坐標，寫出點斜式方程．【詳解】設，，，，則依題意，．是的中點，，，從而.所以直線的方程為，即．故答案為：【點睛】方法點睛：圓錐曲線里與中心弦有關的問題，常用點差法：首先設弦的端點坐標，，，，再把點的坐標代入圓錐曲線的方程，再作差化簡即得弦的中點和直線的斜率的關系式.18．已知橢圓，過點（4，0）的直線交橢圓于兩點.若中點坐標為（2，﹣1），則橢圓的離心率為_______【答案】【分析】設，代入橢圓方程，兩式作差，利用離心率公式即可求解.【詳解】設，則，①，②①②可得，因為中點坐標為（2，﹣1），則，，所以，所以，因為，所以，所以.故答案為：19．已知雙曲線方程是，過定點作直線交雙曲線于兩點，并使為的中點，則此直線方程是__________________．【答案】【分析】設得，兩式相減化簡得直線的斜率，即得直線的方程.【詳解】由題得，設所以，兩式相減得，由題得，所以，因為，所以，所以直線的方程為即.故答案為：【點睛】方法點睛：點差法：圓錐曲線里遇到與弦的中點有關的問題，常用點差法.先設弦的端點再代點的坐標到圓錐曲線的方程，再兩式相減得到直線的斜率和弦的中點的關系式.再化簡解題.20．已知橢圓E：過橢圓內部點的直線交橢圓于M，N兩點，且則直線MN的方程為_____________.【答案】【分析】由已知條件得到為的中點，利用中點坐標公式得到，設出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達定理得到即可得出結果.【詳解】由，可知為的中點，又,不妨設直線MN的方程為：，設點，則，①將直線MN的方程代入橢圓的方程消得：，化簡整理得：，由韋達定理得：，②由①②得：，所以直線MN的方程為：，即直線MN的方程為：.故答案為：.【點睛】關鍵點睛：確定為的中點以及直線與橢圓的方程聯(lián)立利用韋達定理求解是解決本題的關鍵.21．已知雙曲線和點，直線經(jīng)過點且與雙曲線相交于、兩點，當恰好為線段的中點時，的方程為______．【答案】【分析】設點、，利用點差法可求得直線的方程，進而可得出直線的方程.【詳解】設點、，若直線軸，則、兩點關于軸對稱，則點在軸上，不合乎題意.由于為線段的中點，則，可得，將點、的坐標代入雙曲線的方程可得，上述兩式相減得，可得，即，所以，，所以，直線的斜率為，因此，直線的方程為，即.故答案為：.【點睛】利用弦的中點求直線的方程，一般利用以下兩種方法求解：（1）點差法：設弦的兩個端點坐標分別為、，代點作差求得直線的斜率，進而利用點斜式可求得直線的方程；（2）設直線的點斜式方程，將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求得直線的斜率，進而可求得直線的方程.22．已知拋物線為過焦點的弦，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設，則下列結論正確的有________．①若直線的斜率為-1，則弦；②若直線的斜率為-1，則；③點恒在平行于軸的直線上；④若點是弦的中點，則．【答案】①③④【分析】設PA的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出，可得PA的方程，同理可得PB的方程,聯(lián)立與的方程求出點的坐標，可知④正確；設直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，當時，利用韋達定理求出與可知②錯誤，③正確；當時，利用拋物線的定義和韋達定理可得弦長，可知①正確．【詳解】設PA方程與拋物線方程聯(lián)立得，由得，方程為，同理得PB方程，聯(lián)立，解得，所以交點P，即，所以④正確；根據(jù)題意直線的斜率必存在，設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，，所以③正確；當t=-1時，，所以②錯誤，當t=-1時，根據(jù)拋物線的定義可得，所以①正確．故答案為：①③④【點睛】關鍵點點睛：設出切線方程，利用判別式等于0，求出切線方程，聯(lián)立切線方程求出交點的坐標是解題關鍵.23．已知橢圓的半焦距為，且，若橢圓經(jīng)過兩點，且是圓的一條直徑，則直線的方程為_________.【答案】【分析】設，代入橢圓方程做差，根據(jù)直線的斜率公式及AB的中點M，求出直線斜率，即可得到直線方程.【詳解】設,代入橢圓方程可得：①，②，②①得：，由可得，即，又AB的中點M，所以所以直線的方程為，即.故答案為：【點睛】方法點睛：點差法是解決涉及弦的中點與斜率問題的方法，首先設弦端點的坐標，代入曲線方程后做差，可得出關于弦斜率與弦中點的方程，代入已知斜率，可研究中點問題，代入已知中點可求斜率.24．橢圓的弦中點為，則直線的方程___________【答案】【分析】設出的坐標，利用點差法求解出直線的斜率，然后根據(jù)直線的點斜式方程求解出直線的方程，最后轉化為一般式方程.【詳解】設，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，即，故答案為：.【點睛】思路點睛：已知橢圓中一條弦的中點坐標，求解該弦所在直線方程的思路：（1）可以通過先設出弦所在直線與橢圓的交點坐標，將坐標代入橢圓方程中并將兩個方程作差；（2）得到中點和坐標原點連線的斜率與直線斜率的關系，從而根據(jù)直線的點斜式方程可求解出直線方程.25．已知點P(1，2)是直線l被橢圓所截得的線段的中點，則直線l的方程是_____.【答案】【分析】設出直線與橢圓的交點，采用點差法進行分析，由此可求得直線的斜率，再根據(jù)直線的點斜式方程則直線的方程可求.【詳解】設直線與橢圓交于兩點，，所以，所以，所以，且，所以，所以即，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查橢圓中點弦所在直線方程的求法，難度一般.已知橢圓中一條弦的中點坐標，求解該弦所在直線方程時，可以通過先設出弦所在直線與橢圓的交點坐標，將坐標代入橢圓方程中并將兩個方程作差，由此可得中點和坐標原點連線的斜率與直線斜率的關系，從而根據(jù)直線的點斜式方程可求解出直線方程.四、解答題26．已知橢圓的左、右頂點分別為、，直線與橢圓交于、兩點．（1）點的坐標為，若，求直線的方程；（2）若直線過橢圓的右焦點，且點在第一象限，求、分別為直線、的斜率）的取值范圍．【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用點差法，求直線的斜率，再求直線方程；（2）直線的斜率不存在時，求點的坐標，得到的值，以及當斜率存在時，直線與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系求的值，并將表示為的二次函數(shù)，并求取值范圍.【詳解】解：（1）設，，，，由題意可得為線段的中點，由兩式相減可得，而，即有，，則，可得，故直線的方程為，即；（2）由題意可得，，，當直線的斜率不存在時，，，，．當直線的斜率存在時，則的斜率不為0，設直線的方程為，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，則，，所以，所以，因為在第一象限，所以，所以，．【點睛】思路點睛：1.一般涉及中點弦問題時，采用點差法求解；2.直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系解決幾何問題.27．已知動圓過點，且與直線相切．（Ⅰ）求圓心的軌跡的方程；（Ⅱ）斜率為1的直線經(jīng)過點，且直線與軌跡交于點，求線段的垂直平分線方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）由題意得圓心M到點等于圓心到直線的距離，利用兩點間距離公式，列出方程，即可求得答案.（Ⅱ）求得直線的方程，與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理，可得的值，即可求得中點的坐標，根據(jù)直線與直線垂直平分線垂直，可求得直線垂直平分線的斜率，利用點斜式即可求得方程.【詳解】（Ⅰ）設動點，則，化簡得軌跡E的方程：；（Ⅱ）由題意得：直線的方程為：，由，得，，設，中點則，所以，，又垂直平分線的斜率為-1，所以垂直平分線方程為.【點睛】本題考查拋物線方程的求法，拋物線的幾何性質，解題的關鍵是直線與曲線聯(lián)立，利用韋達定理得到的表達式或值，再根據(jù)題意進行化簡和整理，考查計算求值的能力，屬基礎題.28．已知橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，且線段的中點在圓，求的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)條件解關于的方程組即可得結果；（2）設，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，可求得中點坐標，代入圓方程解得的值.【詳解】（1）由題意，得，解得，故橢圓的標準方程為．（2）設，，線段的中點為．聯(lián)立，消去y得，，，即，．又因為點M在圓上，所以，解得，滿足題意．【點睛】關鍵點睛：本題考查弦中點問題以及橢圓標準方程，解題的關鍵是熟悉中點坐標公式，本題中直線方程代入橢圓方程整理后應用韋達定理求出，求出中點坐標，再將其代入圓中求解，考查了學生的基本分析轉化求解能力，屬中檔題.30．已知直線l與拋物線交于兩點．（1）若l的方程為，求；（2）若弦的中點為，求l的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，寫出韋達定理，利用弦長公式即可求解；（2）利用點差法求出直線斜率，即可求出直線方程.【詳解】設兩點的坐標分別為．（1）聯(lián)立得，因此，故．（2）因為兩點在C上，所以兩式相減，得，因為，所以，因此l的方程為，即．【點睛】方法點睛：解決中點弦問題常用點差法求解，即將兩交點設點代入曲線方程，兩式相減利用平方差公式化簡，將中點坐標代入即可得出弦所在直線斜率.31．坐標平面內的動圓與圓外切，與圓內切，設動圓的圓心的軌跡是曲線，直線.（1）求曲線的方程；（2）當點在曲線上運動時，它到直線的距離最小？最小值距離是多少？（3）一組平行于直線的直線，當它們與曲線相交時，試判斷這些直線被橢圓所截得的線段的中點是否在同一條直線上，若在同一條直線上，求出該直線的方程；若不在同一條直線上，請說明理由？【答案】（1）；（2）點到直線的距離最小，距離最小為；（3）在同一直線，直線為：.【分析】（1）利用兩個圓外切與內切的性質可得，再利用橢圓的定義即可求得曲線的方程；（2）設與平行的直線的方程為，代入，整理可得，當，直線與曲線相切，此時點到直線的距離最小，利用點到線距離公式求得最小值.（3）設兩個交點為，利用點差法化簡得，即，整理得.【詳解】解：（1）設動圓的半徑為，由題意可知，則，根據(jù)橢圓的定義可知曲線是以為焦點，長軸長為的橢圓，其中，即所以曲線的方程為：.（2）設與平行的直線的方程為，即，代入，可得，整理得，，當時，此時直線與曲線相切，根據(jù)圖形可知當時，點到直線的距離最小，.（3）這些直線被橢圓所截得的線段的中點在同一條直線上設與平行的直線與曲線的兩交點坐標為，中點，，兩式作差得，整理可得：，即，整理得，即所有弦的中點均在直線上.【點睛】思路點睛：本題考查求橢圓的標準方程，橢圓上點到直線的最近距離，點差法的應用，解決直線與橢圓的位置關系的相關問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關系建立方程，解決相關問題．涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．32．已知橢圓的長軸長為8，一條準線方程為與橢圓共焦點的雙曲線其離心率是橢圓的離心率的2倍.（1）分別求橢圓和雙曲線的標準方程；（2）過點M(4，1)的直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且M為線段PQ的中點，求直線l的方程.【答案】（1）；；（2）【分析】（1）根據(jù)橢圓的長軸長以及準線方程求出，，進而求出，即求橢圓的方程，求出橢圓的離心率，可得雙曲線的離心率，結合與橢圓共焦點即可求出雙曲線的標準方程.（2）設，，利用點差法求出直線的斜率即可求解.【詳解】（1）橢圓的長軸長為，則，一條準線方程為，則，解得，所以，所以橢圓的標準方程為，離心率設雙曲線的標準方程為，則，又離心率為，則，解得，所以，所以雙曲線的標準方程為.（2）設，，，兩式作差可得，，即，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)中點弦求直線方程，關鍵是利用“點差法”求出直線的斜率，考查了計算求解能力.33．橢圓：，直線過點，交橢圓于?兩點，且為的中點.（1）求直線的方程；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設，，利用點差法求直線的斜率；（2）根據(jù)（1）的結果，聯(lián)立方程，利用弦長公式，求的值.【詳解】（1），，點在橢圓里面，設，，則，兩式相減可得，變形為，①點是線段的中點，，并且有橢圓對稱性可知，由①式兩邊同時除以，可得，，設直線的斜率為，，解得：，所以直線的方程；（2），，，可得，，，化簡為，且解得：【點睛】方法點睛：點差法是解決涉及弦的中點與斜率問題的方法，首先設弦端點的坐標，可得出關于弦斜率與弦中點的方程，代入已知斜率，可研究中點問題，代入已知中點可求斜率.34．在平面直角坐標系中，已知雙曲線的焦點為、，實軸長為.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點的直線與曲線交于，兩點，且恰好為線段的中點，求線段長度.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義，，即可求出雙曲線的方程；（2）先根據(jù)點差法求直線的方程，再根據(jù)弦長公式即可求出.【詳解】（1）雙曲線的焦點為、，實軸長為，則，，而，雙曲線的標準方程；（2）設點，，，，點恰好為線段的中點，即有，，又，兩式相減可得，，直線的斜率為，其方程為，即，由，即，可得，則.【點睛】本題考查了雙曲線的方程，直線與雙曲線的位置關系，考查了運算求解能力，屬于中檔題.35．已知雙曲線.（1）傾斜角45°且過雙曲線右焦點的直線與此雙曲線交于M，N兩點，求.（2）過點的直線l與此雙曲線交于，兩點，求線段中點P的軌跡方程；（3）過點能否作直線m，使m與此雙曲線交于，兩點，且點B是線段的中點?這樣的直線m如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由.【答案】（1）8（2）（3）不存在，理由見解析【分析】（1）直線斜率為1，寫出直線方程與雙曲線聯(lián)立，由韋達定理即弦長公式求解；（2）設，，，，，則，，兩式相減，利用是中點及斜率相等可求得軌跡方程，從而得到其軌跡；（3）假設直線存在．由已知條件利用點差法求出直線的方程為，聯(lián)立方程組，得，由，推導出直線不存在．【詳解】（1）由雙曲線知，右焦點為，由直線傾斜角45°可知直線斜率為1，所以直線方程為：，聯(lián)立可得，設，則且，，所以（2）設，，，，，則，，，，，直線的斜率，，，，，共線，，，即線段的中點的軌跡方程是．（3）假設直線存在．設是弦的中點，且，，，，則，．，在雙曲線上，，，，，直線的方程為，即，聯(lián)立方程組，得△，直線與雙曲線無交點，直線不存在．【點睛】關鍵點點睛：在直線與雙曲線相交問題中，涉及弦及弦中點的問題，可以采用“點差法”，可以簡化運算，降低運算難度.新高考數(shù)學培優(yōu)專練共39講（附解析版）目錄如下。全套39講（附解析）word版本見：高考高中資料無水印無廣告word群559164877新高考數(shù)學培優(yōu)專練01圓錐曲線中的弦長問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練02圓錐曲線中的面積問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練03圓錐曲線中的中點弦問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練04圓錐曲線中的范圍問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練05圓錐曲線中的定點問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練06圓錐曲線中的定值問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練07圓錐曲線中的向量共線問題（原卷板及解析版）新高考數(shù)學培優(yōu)專練08公式法求等差等比數(shù)列和（原卷板及解