插值與擬合學(xué)習(xí)課件

第四章插值與擬合

4.1代數(shù)插值問(wèn)題

4.2拉格朗日插值方法

4.3代數(shù)插值的牛頓形式

4.4差分與等距節(jié)點(diǎn)插值公式

4.5分段線性插值

4.7數(shù)據(jù)擬合

插值法與數(shù)據(jù)擬合是函數(shù)逼近的兩個(gè)重要方法。常用于求函數(shù)的近似表達(dá)式或推導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)公式。插值法在數(shù)值積分、求微分方程數(shù)值解等方面也有廣泛的應(yīng)用。

在科學(xué)研究和工程中，常常會(huì)遇到計(jì)算函數(shù)值等一類(lèi)問(wèn)題。然而函數(shù)的關(guān)系往往是很復(fù)雜的，甚至沒(méi)有明顯的解析表達(dá)式。

例如，根據(jù)觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)得到一系列的數(shù)據(jù)，確定了與自變量的某些點(diǎn)相應(yīng)的函數(shù)值，而要計(jì)算未觀測(cè)到的點(diǎn)的函數(shù)值。例如，f(x)如下x……y……為此，我們可以根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)妮^簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)，近似地代替要尋求的函數(shù)。

這樣我們讓P(x)近似地通過(guò)這些點(diǎn)，使P(x)能大體上反映f(x)的變化趨勢(shì)，我們稱(chēng)這樣的函數(shù)逼近問(wèn)題為擬合問(wèn)題（如下圖）。定義1插值節(jié)點(diǎn)插值條件

4.1代數(shù)插值問(wèn)題插值區(qū)間定義問(wèn)題：代數(shù)插值問(wèn)題是否一定存在？是否唯一？定理1則滿足插值條件的插值多項(xiàng)式是存在且唯一的。且滿足證明此方程組的系數(shù)行列式為n+1階范德蒙行列式由Cramer法則,方程組有唯一解。定理得證。

(1)雖然上面定理證明線性方程組推出的插值多項(xiàng)式存在且唯一，但通過(guò)解上線性方程組求插值多項(xiàng)式卻不是好的方法。（2）在插值問(wèn)題中，最常用的插值函數(shù)就是多項(xiàng)式函數(shù)。這是因?yàn)槎囗?xiàng)式計(jì)算簡(jiǎn)單，計(jì)算機(jī)能直接處理，任何多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)和不定積分也易于確定，而且仍然是多項(xiàng)式。說(shuō)明：

(4)插值法的發(fā)展歷史悠久，早在公元六世紀(jì)，我國(guó)劉焯已將等距二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算，十七世紀(jì)，Newton和Gregory建立了等距節(jié)點(diǎn)上的一般插值公式。十八世紀(jì)，Lagrange給出了更一般的非等距節(jié)點(diǎn)上的插值公式。一、線性插值首先考慮最簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題：

4.2拉格朗日插值方法設(shè)直線方程為則線性插值上述形式可以改寫(xiě)為二、二次插值（拋物線插值）方法1利用插值條件，可容易求得于是得此式稱(chēng)為二次插值的Lagrange形式。若記方法2代入插值條件，可容易求得于是得到二次插值的另一種表達(dá)形式三、Lagrange插值法對(duì)于一般情形，如下表給出的插值節(jié)點(diǎn)x……y……當(dāng)構(gòu)造不超過(guò)n次的插值多項(xiàng)式Pn(x)時(shí)，我們也想將它寫(xiě)成如下容易記憶的形式：顯然，此時(shí)有滿足插值條件。下面來(lái)考慮如何求出。稱(chēng)上式的為L(zhǎng)agrange插值基函數(shù),相應(yīng)的多項(xiàng)式Lagrange插值多項(xiàng)式的另一種形式寫(xiě)法此式對(duì)于實(shí)際計(jì)算沒(méi)什么幫助，但在有關(guān)公式推導(dǎo)時(shí)有時(shí)會(huì)顯得很方便。四