課件chap 9 1第一類(lèi)曲線積分

第九章曲線積分與曲面積分第九章曲線積分曲面積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分積分學(xué) 定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域

區(qū)

間 平面域 空間域

曲線弧 曲面域第一節(jié)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分（第一類(lèi)曲線積分）一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法第九章AB一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)可得k

=1M

=DskMk

-1Mk(xk

,hk

,zk

)1.引例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量假設(shè)曲線形細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件在空間所占弧段為AB

,其線密度為為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,采用“分割,近似,求和,取極限”nG記作f

(x,

y,

z)

ds局部的任意取點(diǎn),下列“乘積和式極限”都存在,

則稱(chēng)此極限為函數(shù) 在曲線G

上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,或第一類(lèi)曲線積分.稱(chēng)為被積函數(shù)，G

稱(chēng)為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量

M

=

G

r

(x,

y,

z)

dsnlim

f

(xk

,hk

,zk

)Dsk

=Glfi

0

k

=1DskMk

-1Mk(xk

,hk

,zk

)2.定義設(shè)G

是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在G

上的一個(gè)有界函數(shù),若通過(guò)對(duì)G

的任意分割和對(duì)n=

lim

f

(xk

,hk

)Dsklfi

0

k

=1L

f

(x,

y)

ds如果

L

是

xOy

面上的曲線弧,

則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為如果

L

是閉曲線

,

則記為

L

f

(x,

y)

ds

.思考:(1)若在L

上f

(x,y)≡1,問(wèn)L

d

s

表示什么?(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds

?0,但定積分中dx

可能為負(fù).3.

性質(zhì)（a,b

為常數(shù))Gf(x,

y,

z)

ds(2)(1)

G

[a

f

(x,

y,

z)

+

b

g(x,

y,

z)]ds=

a

G

f

(x,

y,

z)

ds

+

b

G

g(x,

y,

z)

ds=21Gf

(x,

y,

z)

ds組成)f

(x,

y,

z)

ds

+

G(G

由m

l

￡

L

f

(

x,

y,

z)ds

￡

M

l,(5)如果m

￡

f

(x,y,z)￡

M

,則l

為曲線L的弧長(zhǎng).(6)

f

(x,y,z)在曲線L上連續(xù),則$(x,h,z

)?

L,使得L

f

(

x,

y,

z)ds

=

f

(x,h,z

)l,l為曲線L的弧長(zhǎng).空間曲線：類(lèi)似于三重積分的對(duì)稱(chēng)性結(jié)論平面曲線：類(lèi)似于二重積分的對(duì)稱(chēng)性結(jié)論1LL

(7)設(shè)曲線L關(guān)于xoy平面對(duì)稱(chēng),若f

(x,y,z)關(guān)于z

為奇函數(shù),則L

f

(

x,

y,

z)ds

=

0；若

f

(

x,

y,

z)關(guān)于z

為偶函數(shù),則f

(

x,

y,

z)ds

=

2

f

(

x,

y,

z)ds，L1是L

的上半部分.

￠￠baL+y

(t

)

d

tj

(t

)f

[j

(t

)

,y

(t

)]f

(x,

y)

ds

=22二、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算法轉(zhuǎn)化且是定義在光滑曲線弧上的連續(xù)函數(shù),則曲線積分基本思路:

求曲線積分 計(jì)算定積分定理:證:

根據(jù)定義n=

lim

f

(xk

,hk

)Dsklfi

0

k

=1n=

lim

f

(xk

,hk

)Dsklfi

0

k

=1ktk

-1Ds

=j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)

d

tn=

lim

f

[j

(tk

)

,y

(tk

)

]lfi

0

k

=1注意j

￠2

(t)+y

￠2

(t

)連續(xù)設(shè)各分點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為點(diǎn)(xk

,hk

)對(duì)應(yīng)參數(shù)為tk=

j

￠2

(tk￠)

+y

￠2

(tk￠)

Dtk

,則nlfi

0

k

=1=

lim

f

[j

(tk

)

,y

(tk

)

]xyOdxd

yds說(shuō)明:(1)

Dsk

>0,\Dtk

>0,因此積分限必須滿(mǎn)足a

<b

!(2)注意到ds

=(d

x)2

+

(d

y)2=

j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)

d

tx因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”.因此如果曲線L

的方程為如果方程為極坐標(biāo)形式:L

:r

=r(q

)(a

￡q

￡

b

),則=baq)

cosq

,

r(q)

sinq

)f

(r((t)

d

t22

2￠j

(t)

+y

(t)

+w￠

￠則有1+y

￠2

(x)

dx22r￠r

(q)

+

(q)

dq=baf

(x,y

(x))=推廣:設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為G

:

x

=

j

(t),

y

=y

(t),

z

=

w

(t)

(a

￡

t

￡

b

)則G

f

(x,y,z)dsbaf

(j

(t)

,y

(t),w

(t)

)計(jì)算步驟:（1）將曲線方程帶入被積函數(shù)將利用弧微分公式變換ds確定定積分的積分上下限例1.

計(jì)算

其中

L

是拋物線與點(diǎn)B

(1,1)

之間的一段弧.解:

L

:y

=x2=(

0

￡

x

￡1)10x121

+

4x

dx=

0

x0322

1

1=

12

(1

+

4x

)12=

1

(

5

5

-1)上點(diǎn)O

(0,0)O1

xyy

=

x2LB(1,1)例2.計(jì)算半徑為R

,中心角為的圓弧L對(duì)于它的對(duì)R

xyOLLy

ds2I

=2

2-a=(-R

sinq)2

+

(R

cosq

)2

dqR

sin

qsin

q

dq23a-a=

R02

43

q

sin

2q

a-=

2R=

R3

(a

-

sina

cosa

)稱(chēng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

I

(設(shè)線密度m

=

1).解:

建立坐標(biāo)系如圖,

則(-a

￡q

￡

a

)a

y

=

R

sin

qL

:

x

=

R

cosq例3.

計(jì)算其中L為雙紐線(

a

>

0

)(x2

+

y2

)

2

=

a2

(x2

-

y2

)解:在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為cos

2q

(0

￡q

￡

π

4

)L1

:

r

=

a利用對(duì)稱(chēng)性

,

得4π0=

4r

2

(q

)

+

r￠2

(q

)

dqr

cosq4π02=

4a

cosq

dqOyx其中G

為螺旋的一段弧.2

π0222[a

+

k

2t

2]d

t=

a

+

k3a2

+

k

2

(3a2

+

4

π

2k

2

)=

2

π例4.計(jì)算曲線積分線解:

G

(x

+

y

+

z

)

ds2

2

2例5.計(jì)算被平面其中G

為球面所截的圓周.2解:

由對(duì)稱(chēng)性可知

G3(x2

+

y

2

+

z

2

)

ds\x2

ds

=

1

GG13=G3a2

ds

=

1

a2

2

π

a3=

2

π

a32x

ds

=Gz

2

dsy

ds

=G思考:例5中G

改為計(jì)算

Z

=

zX

=

x

-1G

:

X

+Y

+

Z

=

0

X

2

+Y

2

+

Z

2

=

a2解:

令

Y

=

y

+1

,

則=

G

(

X

+1)

ds232+

2

G

X

ds圓G

的形心在原點(diǎn),故X

=

0=

3

π

a

+

2

X

2

π

a,如何利用形心公式例6.

計(jì)算其中G

為球面2

4解:

G

:

2

1

(x

-

1)2

+

1

y2

=1G

:(0

￡q

￡

2

π(-

2

sinq)

2922

π0\2

dq

=18

πI

=+

(

2

sinq)

2

d

q

=

2dq2

cosq2z

=

1

-2x2

+y2

+z

2

=9

與平面x

+z

=1的交線.,

化為參數(shù)方程22

cosq

+

1

x

+

z

=1x

=y

=

2sinq則ds

=例7.

有一半圓弧其線密度R2解:d

Fx=

k

m

ds

cosqd

Fy

=

k

m

ds

sinqO-

RR

xπ0R2q

cosq

dq2kF

=xπ0q

sinq

dqRR2kF

=y0π=

q

sinq

+

cosq

]R2k

[0π-q

cosq

+

sinq

]=R2k

[(x,

y)求它對(duì)原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.y故所求引力為

F

=

(-

4k

,

2k

πR

Rb

bs

=

ds

=

f￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)dt

=

1+

y￠2

(

x)dxL

a

aba=

r2

(q)

+

r￠2

(q)dq.22ba￠￠=

r2

(q)

+

r￠2

(q)dq.bbL

aas

=

ds

=

f

(t

)

y+

(t

)dt

=1+

y￠2

(

x)dx當(dāng)r(x,y)表示L的線密度時(shí),M

=

L

r(

x,

y)ds

;當(dāng)

f

(

x,

y)

”1時(shí),

L弧長(zhǎng)

=

L

ds

;定積分應(yīng)用

平面曲線弧長(zhǎng)幾何與物理應(yīng)用L(3￠)

設(shè)L

為xoy

平面上一曲線，繞x

軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)面,該旋轉(zhuǎn)曲面的面積為S

=

2p

|

y

|

ds.oxyAB(x,

y)L|

y

|(3)

當(dāng)f

(x,y)表示立于L上的柱面在點(diǎn)(x,y)處的高時(shí),S柱面面積

=

L

f

(

x,

y)ds.sLz

=

f

(

x,

y)(4)曲線弧對(duì)x軸及y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,2

2

xyL

LI

=x

rds,

I

=

y

rds.(5)曲線弧的重心坐標(biāo)x

=

L

xrds

,L

rdsy

=

L

yrds

.L

rds內(nèi)容小結(jié)1.

定義

L

f

(x,

y)

ds(2)

G

f

(

x,

y,

z)ds

=

G

f

(

x,

y,

z)ds

+

G1

2f

(

x,

y,

z)ds(G

由G1,G2

組成)(3)

G

ds

=l

(l

曲線弧G

的長(zhǎng)度)G

f

(x,

y,

z)

ds2.

性質(zhì)(1)

G

[a

f

(x,

y,

z)

+

b

g(x,

y,

z)

]ds+b

G

g(x,y,z)ds

(a

,b

為常數(shù))3.

計(jì)算對(duì)光滑曲線弧Lf

(x,

y)

ds對(duì)光滑曲線弧Lf

(x,

y)ds=baf

(x,y

(x))=aq)

sinq

)q)

cosq

,

r(f

(r(對(duì)光滑曲線弧L

f

(x,

y)dsb(t

)

d

t22￠j

(t

)

+y￠1+y

￠2

(x)

dxr

2

(q)

+

r￠2

(q)

dq=bay

(t

)]f

[j

(t

),思考與練習(xí)1.

已知橢圓x2

y2L

:

+

=14

3周長(zhǎng)為a

,求L2

2(2xy

+

3x

+

4

y

)

dsx2

y

2-

2yO

2

x3提示:利用對(duì)稱(chēng)性L

2xy

ds

=0原式

=

12L

(

4

+

3

)ds

=12L

ds

=12a2xy

dsL

2xy

ds

=

L上L2xyds+下=

2x

+

2x(-

)分析:設(shè)均勻螺旋形彈簧L的方程為

求它關(guān)于z

軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iz

;求它的重心.解:

設(shè)其密度為

ρ

(常數(shù)).z=L(x2

+

y2

)r

d

s

=02

πa2

ra2

+

k

2

d

ta2

+

k

2=

2

π

a2

ra2

+

k