課件chap 9 1第一類曲線積分

第九章曲線積分與曲面積分第九章曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分積分學 定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域

區(qū)

間 平面域 空間域

曲線弧 曲面域第一節(jié)對弧長的曲線積分（第一類曲線積分）一、對弧長的曲線積分的概念與性質二、對弧長的曲線積分的計算法第九章AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質可得k

=1M

=DskMk

-1Mk(xk

,hk

,zk

)1.引例:曲線形構件的質量假設曲線形細長構件在空間所占弧段為AB

,其線密度為為計算此構件的質量,采用“分割,近似,求和,取極限”nG記作f

(x,

y,

z)

ds局部的任意取點,下列“乘積和式極限”都存在,

則稱此極限為函數(shù) 在曲線G

上對弧長的曲線積分,或第一類曲線積分.稱為被積函數(shù)，G

稱為積分弧段.曲線形構件的質量

M

=

G

r

(x,

y,

z)

dsnlim

f

(xk

,hk

,zk

)Dsk

=Glfi

0

k

=1DskMk

-1Mk(xk

,hk

,zk

)2.定義設G

是空間中一條有限長的光滑曲線,義在G

上的一個有界函數(shù),若通過對G

的任意分割和對n=

lim

f

(xk

,hk

)Dsklfi

0

k

=1L

f

(x,

y)

ds如果

L

是

xOy

面上的曲線弧,

則定義對弧長的曲線積分為如果

L

是閉曲線

,

則記為

L

f

(x,

y)

ds

.思考:(1)若在L

上f

(x,y)≡1,問L

d

s

表示什么?(2)定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例?否!對弧長的曲線積分要求ds

?0,但定積分中dx

可能為負.3.

性質（a,b

為常數(shù))Gf(x,

y,

z)

ds(2)(1)

G

[a

f

(x,

y,

z)

+

b

g(x,

y,

z)]ds=

a

G

f

(x,

y,

z)

ds

+

b

G

g(x,

y,

z)

ds=21Gf

(x,

y,

z)

ds組成)f

(x,

y,

z)

ds

+

G(G

由m

l

￡

L

f

(

x,

y,

z)ds

￡

M

l,(5)如果m

￡

f

(x,y,z)￡

M

,則l

為曲線L的弧長.(6)

f

(x,y,z)在曲線L上連續(xù),則$(x,h,z

)?

L,使得L

f

(

x,

y,

z)ds

=

f

(x,h,z

)l,l為曲線L的弧長.空間曲線：類似于三重積分的對稱性結論平面曲線：類似于二重積分的對稱性結論1LL

(7)設曲線L關于xoy平面對稱,若f

(x,y,z)關于z

為奇函數(shù),則L

f

(

x,

y,

z)ds

=

0；若

f

(

x,

y,

z)關于z

為偶函數(shù),則f

(

x,

y,

z)ds

=

2

f

(

x,

y,

z)ds，L1是L

的上半部分.

￠￠baL+y

(t

)

d

tj

(t

)f

[j

(t

)

,y

(t

)]f

(x,

y)

ds

=22二、對弧長的曲線積分的計算法轉化且是定義在光滑曲線弧上的連續(xù)函數(shù),則曲線積分基本思路:

求曲線積分 計算定積分定理:證:

根據(jù)定義n=

lim

f

(xk

,hk

)Dsklfi

0

k

=1n=

lim

f

(xk

,hk

)Dsklfi

0

k

=1ktk

-1Ds

=j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)

d

tn=

lim

f

[j

(tk

)

,y

(tk

)

]lfi

0

k

=1注意j

￠2

(t)+y

￠2

(t

)連續(xù)設各分點對應參數(shù)為點(xk

,hk

)對應參數(shù)為tk=

j

￠2

(tk￠)

+y

￠2

(tk￠)

Dtk

,則nlfi

0

k

=1=

lim

f

[j

(tk

)

,y

(tk

)

]xyOdxd

yds說明:(1)

Dsk

>0,\Dtk

>0,因此積分限必須滿足a

<b

!(2)注意到ds

=(d

x)2

+

(d

y)2=

j

￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)

d

tx因此上述計算公式相當于“換元法”.因此如果曲線L

的方程為如果方程為極坐標形式:L

:r

=r(q

)(a

￡q

￡

b

),則=baq)

cosq

,

r(q)

sinq

)f

(r((t)

d

t22

2￠j

(t)

+y

(t)

+w￠

￠則有1+y

￠2

(x)

dx22r￠r

(q)

+

(q)

dq=baf

(x,y

(x))=推廣:設空間曲線弧的參數(shù)方程為G

:

x

=

j

(t),

y

=y

(t),

z

=

w

(t)

(a

￡

t

￡

b

)則G

f

(x,y,z)dsbaf

(j

(t)

,y

(t),w

(t)

)計算步驟:（1）將曲線方程帶入被積函數(shù)將利用弧微分公式變換ds確定定積分的積分上下限例1.

計算

其中

L

是拋物線與點B

(1,1)

之間的一段弧.解:

L

:y

=x2=(

0

￡

x

￡1)10x121

+

4x

dx=

0

x0322

1

1=

12

(1

+

4x

)12=

1

(

5

5

-1)上點O

(0,0)O1

xyy

=

x2LB(1,1)例2.計算半徑為R

,中心角為的圓弧L對于它的對R

xyOLLy

ds2I

=2

2-a=(-R

sinq)2

+

(R

cosq

)2

dqR

sin

qsin

q

dq23a-a=

R02

43

q

sin

2q

a-=

2R=

R3

(a

-

sina

cosa

)稱軸的轉動慣量

I

(設線密度m

=

1).解:

建立坐標系如圖,

則(-a

￡q

￡

a

)a

y

=

R

sin

qL

:

x

=

R

cosq例3.

計算其中L為雙紐線(

a

>

0

)(x2

+

y2

)

2

=

a2

(x2

-

y2

)解:在極坐標系下它在第一象限部分為cos

2q

(0

￡q

￡

π

4

)L1

:

r

=

a利用對稱性

,

得4π0=

4r

2

(q

)

+

r￠2

(q

)

dqr

cosq4π02=

4a

cosq

dqOyx其中G

為螺旋的一段弧.2

π0222[a

+

k

2t

2]d

t=

a

+

k3a2

+

k

2

(3a2

+

4

π

2k

2

)=

2

π例4.計算曲線積分線解:

G

(x

+

y

+

z

)

ds2

2

2例5.計算被平面其中G

為球面所截的圓周.2解:

由對稱性可知

G3(x2

+

y

2

+

z

2

)

ds\x2

ds

=

1

GG13=G3a2

ds

=

1

a2

2

π

a3=

2

π

a32x

ds

=Gz

2

dsy

ds

=G思考:例5中G

改為計算

Z

=

zX

=

x

-1G

:

X

+Y

+

Z

=

0

X

2

+Y

2

+

Z

2

=

a2解:

令

Y

=

y

+1

,

則=

G

(

X

+1)

ds232+

2

G

X

ds圓G

的形心在原點,故X

=

0=

3

π

a

+

2

X

2

π

a,如何利用形心公式例6.

計算其中G

為球面2

4解:

G

:

2

1

(x

-

1)2

+

1

y2

=1G

:(0

￡q

￡

2

π(-

2

sinq)

2922

π0\2

dq

=18

πI

=+

(

2

sinq)

2

d

q

=

2dq2

cosq2z

=

1

-2x2

+y2

+z

2

=9

與平面x

+z

=1的交線.,

化為參數(shù)方程22

cosq

+

1

x

+

z

=1x

=y

=

2sinq則ds

=例7.

有一半圓弧其線密度R2解:d

Fx=

k

m

ds

cosqd

Fy

=

k

m

ds

sinqO-

RR

xπ0R2q

cosq

dq2kF

=xπ0q

sinq

dqRR2kF

=y0π=

q

sinq

+

cosq

]R2k

[0π-q

cosq

+

sinq

]=R2k

[(x,

y)求它對原點處單位質量質點的引力.y故所求引力為

F

=

(-

4k

,

2k

πR

Rb

bs

=

ds

=

f￠2

(t

)

+y

￠2

(t

)dt

=

1+

y￠2

(

x)dxL

a

aba=

r2

(q)

+

r￠2

(q)dq.22ba￠￠=

r2

(q)

+

r￠2

(q)dq.bbL

aas

=

ds

=

f

(t

)

y+

(t

)dt

=1+

y￠2

(

x)dx當r(x,y)表示L的線密度時,M

=

L

r(

x,

y)ds

;當

f

(

x,

y)

”1時,

L弧長

=

L

ds

;定積分應用

平面曲線弧長幾何與物理應用L(3￠)

設L

為xoy

平面上一曲線，繞x

軸旋轉得一旋轉面,該旋轉曲面的面積為S

=

2p

|

y

|

ds.oxyAB(x,

y)L|

y

|(3)

當f

(x,y)表示立于L上的柱面在點(x,y)處的高時,S柱面面積

=

L

f

(

x,

y)ds.sLz

=

f

(

x,

y)(4)曲線弧對x軸及y軸的轉動慣量,2

2

xyL

LI

=x

rds,

I

=

y

rds.(5)曲線弧的重心坐標x

=

L

xrds

,L

rdsy

=

L

yrds

.L

rds內容小結1.

定義

L

f

(x,

y)

ds(2)

G

f

(

x,

y,

z)ds

=

G

f

(

x,

y,

z)ds

+

G1

2f

(

x,

y,

z)ds(G

由G1,G2

組成)(3)

G

ds

=l

(l

曲線弧G

的長度)G

f

(x,

y,

z)

ds2.

性質(1)

G

[a

f

(x,

y,

z)

+

b

g(x,

y,

z)

]ds+b

G

g(x,y,z)ds

(a

,b

為常數(shù))3.

計算對光滑曲線弧Lf

(x,

y)

ds對光滑曲線弧Lf

(x,

y)ds=baf

(x,y

(x))=aq)

sinq

)q)

cosq

,

r(f

(r(對光滑曲線弧L

f

(x,

y)dsb(t

)

d

t22￠j

(t

)

+y￠1+y

￠2

(x)

dxr

2

(q)

+

r￠2

(q)

dq=bay

(t

)]f

[j

(t

),思考與練習1.

已知橢圓x2

y2L

:

+

=14

3周長為a

,求L2

2(2xy

+

3x

+

4

y

)

dsx2

y

2-

2yO

2

x3提示:利用對稱性L

2xy

ds

=0原式

=

12L

(

4

+

3

)ds

=12L

ds

=12a2xy

dsL

2xy

ds

=

L上L2xyds+下=

2x

+

2x(-

)分析:設均勻螺旋形彈簧L的方程為

求它關于z

軸的轉動慣量Iz

;求它的重心.解:

設其密度為

ρ

(常數(shù)).z=L(x2

+

y2

)r

d

s

=02

πa2

ra2

+

k

2

d

ta2

+

k

2=

2

π

a2

ra2

+

k