列方程（組）解應(yīng)用題（5種題型）【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點(diǎn)突破（含答案解析）

重難點(diǎn)02列方程（組）解應(yīng)用題（5種題型）目錄題型一：增長率問題題型二：工作效率問題題型三：利潤問題題型四：行程問題題型五：幾何圖形問題技巧技巧方法一、增長率問題公式：其中a為初始值即變化前值，b為變化后值，x為增長率或者降低率．二、工作效率問題：工作總量=工作效率工作時(shí)間；假設(shè)工作總量是1，則工作效率是．三、利潤：單件利潤=售價(jià)-成本；總利潤=單件利潤銷售件數(shù)．四、行程問題：行程問題中三個(gè)變量：路程、速度和時(shí)間，關(guān)系如下：路程=速度時(shí)間可以通過等式的相關(guān)計(jì)算推導(dǎo)出速度、和時(shí)間的相關(guān)計(jì)算公式．五、幾何圖形：1、關(guān)于線段長度類問題，主要列無理方程求解；2、與面積相關(guān)的問題；3、圖形中的動點(diǎn)問題．能力拓展能力拓展題型一：增長率問題一、解答題1．（2022秋·上海奉賢·八年級校考期中）一種筆記本電腦，原來的售價(jià)是元，經(jīng)過連續(xù)兩年的降價(jià)，今年每臺售價(jià)為元，每年降價(jià)的百分率相同．(1)年降價(jià)的百分率是多少？(2)小明是去年購買這種筆記本的，那么與今年的售價(jià)相比，他多付了多少元？【答案】(1)(2)元【分析】（1）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為，則第一次降價(jià)后的售價(jià)為元，第二次的降價(jià)后的售價(jià)為元，根據(jù)題意可列出方程，據(jù)此求解即可．（2）用現(xiàn)價(jià)減去去年的價(jià)格即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每年降價(jià)的百分率是，根據(jù)題意可得：，解得，舍去答：每年降價(jià)的百分率為．（2）解：，答：他多付了元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用—增長率問題，有理數(shù)的混合計(jì)算的應(yīng)用，關(guān)鍵是會根據(jù)增長率列出式子，再找到等量關(guān)系列出方程．2．（2022秋·上海奉賢·八年級校聯(lián)考期中）今年超市以每件25元的進(jìn)價(jià)購進(jìn)一批商品，當(dāng)商品售價(jià)為40元時(shí)，三月份銷售256件，四、五月該商品十分暢銷，銷售量持續(xù)上漲，在售價(jià)不變的基礎(chǔ)上，五月份的銷售量達(dá)到400件．(1)求四、五這兩個(gè)月銷售量的月平均增長百分率．(2)經(jīng)市場預(yù)測，六月份的銷售量將與五月份持平，現(xiàn)商場為了減少庫存，采用降價(jià)促銷方式，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每降價(jià)1元，月銷量增加5件，當(dāng)商品降價(jià)多少元時(shí)，商場六月份可獲利4250元？【答案】(1)四、五這兩個(gè)月的月平均增長百分率為(2)當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商場六月份可獲利4250元【分析】（1）利用平均增長率的等量關(guān)系：，列式計(jì)算即可；（2）利用總利潤＝單件利潤×銷售數(shù)量，列方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)平均增長率為，由題意得：，解得：或（舍）；∴四、五這兩個(gè)月的月平均增長百分率為；（2）解：設(shè)降價(jià)元，由題意得：，整理得：，解得：或（舍）；∴當(dāng)商品降價(jià)5元時(shí)，商場六月份可獲利4250元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上海·八年級?？计谥校┤ツ昴成痰辍笆稽S金周”進(jìn)行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的．(1)求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；(2)去年，該商店月份的營業(yè)額為375萬元，，月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與月份的營業(yè)額相等．求該商店去年，月份營業(yè)額的月增長率．【答案】(1)540萬元(2)【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額=前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，則（萬元），∴該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為540萬元；（2）解：設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：，解得：或（舍去）；∴該商店去年，月份營業(yè)額的月增長率為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）某產(chǎn)品5月份時(shí)每件200元，在6、7月進(jìn)行了兩次提價(jià)，且每次提價(jià)的百分率相同，此時(shí)售價(jià)為288元，后因產(chǎn)品銷售問題，8月選擇降價(jià)，降價(jià)的百分率與之前每次提價(jià)的百分率相同，求8月份該產(chǎn)品的售價(jià)？【答案】230.4元【分析】設(shè)每次提價(jià)的百分率為x，由連續(xù)兩次提價(jià)，且每次提價(jià)的百分率相同，此時(shí)售價(jià)為288元，列一元二次方程200（1﹣x）2＝288，再由直接開平方解答．【詳解】解：設(shè)每次提價(jià)的百分率為x，依題意得：200（1﹣x）2＝288，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝2.2（不合題意，舍去），∴288×（1﹣20%）＝230.4（元）．答：8月份該產(chǎn)品的售價(jià)為230.4元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用—增長率問題，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．5．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）為了讓我們的小朋友們有更好的學(xué)習(xí)環(huán)境，我校2020年投資110萬元改造硬件設(shè)施，計(jì)劃以后每年以相同的增長率進(jìn)行投資，到2022年投資額將達(dá)到185.9萬元．（1）求我校改造硬件設(shè)施投資額的年平均增長率；（2）從2020年到2022年，這三年我校將總共投資多少萬元？【答案】（1）我校改造硬件設(shè)施投資額的年平均增長率為30%；（2）從2020年到2022年，這三年我校將總共投資438.9萬元【分析】（1）設(shè)我校改造硬件設(shè)施投資額的年平均增長率為x，利用2022年投資額＝2020年投資額×（1+年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用這三年我?？偣餐顿Y的金額＝2020年投資額+2020年投資額×（1+年平均增長率）+2022年投資額，即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)我校改造硬件設(shè)施投資額的年平均增長率為x，依題意得：110（1+x）2＝185.9，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合題意，舍去）．答：我校改造硬件設(shè)施投資額的年平均增長率為30%．（2）110+110×（1+30%）+185.9＝110+143+185.9＝438.9（萬元）．答：從2020年到2022年，這三年我校將總共投資438.9萬元【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，列式計(jì)算．6．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）經(jīng)預(yù)算，某工廠從2022年1月份起，每月生產(chǎn)收入是22萬元，但在生產(chǎn)過程中會引起環(huán)境污染，若再按現(xiàn)狀生產(chǎn)，將會受到環(huán)境部門的處罰，每月罰款2萬元；如果投資85萬元治理污染，治污系統(tǒng)可在2022年1月份啟用，這樣，該廠不但不受處罰，還可降低生產(chǎn)成本，使1月至3月份的生產(chǎn)收入以相同的百分率逐月增長．經(jīng)預(yù)算，投資治污后，1月份生產(chǎn)收入為25萬元，3月份的生產(chǎn)收入可達(dá)36萬元．3月份以后，每月的生產(chǎn)收入穩(wěn)定在3月份的水平．（1）求出投資治污后，2月和3月每月生產(chǎn)收入增長的百分率；（2）如果利潤看作是生產(chǎn)累計(jì)收入減去治理污染的投資和環(huán)境部門的罰款，試問：治理污染多少個(gè)月后，所投資金開始見成效？即治污多少個(gè)月后所獲利潤不小于不治污情況下所獲利潤）【答案】（1）投資治污后，2月和3月每月生產(chǎn)收入增長的百分率為20%；（2）治理污染7個(gè)月后，所投資金開始見成效【分析】（1）設(shè)投資治污后，2月和3月每月生產(chǎn)收入增長的百分率為x，再根據(jù)1月份生產(chǎn)收入為25萬元，3月份的生產(chǎn)收入可達(dá)36萬元列出方程求解即可得到答案；（2）設(shè)治理污染y個(gè)月后，所投資金開始見成效，先分別求出治理污染后2月份和3月份的收入，即可得到1-3月的總收入，然后判斷前三個(gè)月的收入不能見效，最后根據(jù)題意列出不等式求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)投資治污后，2月和3月每月生產(chǎn)收入增長的百分率為x，由題意得：，解得，∴投資治污后，2月和3月每月生產(chǎn)收入增長的百分率為20%；（2）設(shè)治理污染y個(gè)月后，所投資金開始見成效，根據(jù)（1）所求可得治理污染后2月份的生產(chǎn)收入是萬元，∴治理污染后3月份的生產(chǎn)收入是萬元，∴治理污染后，前三個(gè)月的總收入為萬元，∵，∴，解得，∵y是整數(shù)，∴治理污染7個(gè)月后，所投資金開始見成效，答：治理污染7個(gè)月后，所投資金開始見成效．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠正確理解題意，列出式子求解．7．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）隨著國內(nèi)新能源汽車的普及，為了適應(yīng)社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設(shè)，某省年公共充電樁的數(shù)量為萬個(gè)，年公共充電樁的數(shù)量為萬個(gè)．（1）求年至年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率；（2）按照這樣的增長速度，預(yù)計(jì)年該省將新增多少萬個(gè)公共充電樁？【答案】（1）；（2）萬個(gè)【分析】（1）設(shè)2018年至2020年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率為，根據(jù)該省2018年及2020年公共充電樁的數(shù)量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)該省2021年公共充電樁數(shù)量該省2020年公共充電樁數(shù)量增長率，即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)2018年至2020年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率為，依題意得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：2018年至2020年該省公共充電樁數(shù)量的年平均增長率為．（2）（萬個(gè)）．答：預(yù)計(jì)2021年該省將新增2.023萬個(gè)公共充電樁．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．8．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）山清水秀的東至縣三條嶺已成為游客最喜歡的旅游地之一，其中“蔡嶺”在2019年“五一”小長假期間，接待游客達(dá)2萬人次，預(yù)計(jì)在2021年“五一”小長假期間，接待游客2.88萬人次，在蔡嶺，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經(jīng)測算知，該小面成本價(jià)為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價(jià)格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元．（1）求出2019至2021年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護(hù)東至縣形象，物價(jià)局規(guī)定每碗售價(jià)不得超過20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用）【答案】（1）20%；（2）18元【分析】（1）可設(shè)年平均增長率為x，根據(jù)等量關(guān)系：2019年五一長假期間，接待游客達(dá)209萬人次，在2021年五一長假期間，接待游客將達(dá)2.88萬人次，列出方程求解即可；（2）可設(shè)每碗售價(jià)定為y元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元，根據(jù)利潤的等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：（1）可設(shè)年平均增長率為x，依題意，得：2（1＋x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增長率為20%；（2）設(shè)每碗售價(jià)定為y元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元，依題意得：（y﹣10）·[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，解得：y1＝18，y2＝22，∵每碗售價(jià)不得超過20元，∴y＝18．答：當(dāng)每碗售價(jià)定為18元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程是解答的關(guān)鍵．9．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）去年某商店“十一黃金周”進(jìn)行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．【答案】（1）504萬元；（2）20%．【分析】(1)根據(jù)“前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%”即可求解；(2)設(shè)去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，則十一黃金周的月營業(yè)額為350(1+x)2，根據(jù)“十一黃金周這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等”即可列方程求解．【詳解】解：(1)第七天的營業(yè)額是450×12%=54(萬元)，故這七天的總營業(yè)額是450+450×12%=504(萬元)．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．(2)設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合題意，舍去)．答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的增長率問題，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋·上海·八年級期中）某中心城市有一樓盤，開發(fā)商準(zhǔn)備以每平方米7000元價(jià)格出售，由于國家出臺了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價(jià)格后，決定以每平方米5670元的價(jià)格銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開發(fā)商建議：先公布下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣更有吸引力，請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？【答案】（1）平均每次下調(diào)的百分率為10%．（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者更優(yōu)惠．【分析】（1）根據(jù)利用一元二次方程解決增長率問題的要求，設(shè)出未知數(shù)，然后列方程求解即可；（2）分別求出兩種方式的增長率，然后比較即可.【詳解】（1）設(shè)平均每次下調(diào)x%，則7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合題意，舍去）；答：平均每次下調(diào)的百分率為10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者更優(yōu)惠．11.某工廠今年頭三個(gè)月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知甲種產(chǎn)品1月份生產(chǎn)16件，以后每月比上月增長相同的百分率；乙種產(chǎn)品每月比上月增產(chǎn)10件．又知2月份的甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量之比為2:3，且3月份的兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量之和為65件，求甲種產(chǎn)品每月的增長率和乙種產(chǎn)品1月份的產(chǎn)量．【難度】★★★【答案】甲產(chǎn)品每月產(chǎn)量增長率是，乙產(chǎn)品1月份的產(chǎn)量為20件．【解析】設(shè)甲種產(chǎn)品每月的增長率為，則甲2月份的產(chǎn)量為，3月份的產(chǎn)量為，則乙3月份產(chǎn)量為，2月份的產(chǎn)量為，依題意可得：，整理得，解得：，（舍），即得甲產(chǎn)品每月產(chǎn)量增長率是，乙產(chǎn)品1月份的產(chǎn)量為件．【總結(jié)】考查降低（增長）率問題的應(yīng)用，注意各個(gè)月份產(chǎn)量的表示．題型二：工作效率問題一、解答題1．（2022秋·上海靜安·八年級新中初級中學(xué)?？计谀┰诮衲暝绿柕膶W(xué)雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團(tuán)員去參加美化校園活動，如果八年級共青團(tuán)員單獨(dú)做小時(shí)，九年級共青團(tuán)員再單獨(dú)做小時(shí)，那么恰好能完成全部任務(wù)的；如果九年級共青團(tuán)員先做小時(shí)，剩下的由八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成，那么八年級共青團(tuán)員所用時(shí)間恰好比九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間多小時(shí)，求八九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園活動分別各需多少小時(shí)．【答案】八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)．【分析】設(shè)九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，則八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，根據(jù)“八年級共青團(tuán)員單獨(dú)做小時(shí)，九年級共青團(tuán)員再單獨(dú)做小時(shí)，那么恰好能完成全部任務(wù)的”，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可求出九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間，再將其代入中可求出八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間．【詳解】解：設(shè)九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，則八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，依題意得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，舍去；是原方程的解，且符合題意，∴，∴八年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)，九年級共青團(tuán)員單獨(dú)完成美化校園所用時(shí)間為小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海·八年級期末）某區(qū)招辦處在中考招生錄取工作時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，全區(qū)3600名學(xué)生的成績數(shù)據(jù)分別由李某、王某兩位同志進(jìn)行操作，兩人各自獨(dú)立地輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致．已知李某的輸入速度是王某的2倍，結(jié)果李某比王某少用2小時(shí)輸完．問李某、王某兩人每分鐘分別能輸入多少名學(xué)生的成績？【答案】李某每分鐘能輸入30名學(xué)生的成績，王某每分鐘能輸入15名學(xué)生的成績．【分析】有工作總量3600，求的是工作效率，那么一定是根據(jù)工作時(shí)間來列等量關(guān)系的．關(guān)鍵描述語是：“李某比王某少用2小時(shí)輸完”，等量關(guān)系為：王某用的時(shí)間－2＝李某用的時(shí)間，據(jù)此列出方程并解方程即可．【詳解】解：設(shè)王某每分鐘能輸入名學(xué)生的成績，則李某每分鐘能輸入名學(xué)生的成績，根據(jù)題意得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，所以，答：李某每分鐘能輸入30名學(xué)生的成績，王某每分鐘能輸入15名學(xué)生的成績．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程，應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來列等量關(guān)系的，注意：解分式方程一定要檢驗(yàn)且要符合題意．找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．3．（2020春·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)校考階段練習(xí)）某校八（1）班和四川省某貧困縣一所中學(xué)的八（2）班是牽手班級，八（1）班所有學(xué)生準(zhǔn)備捐款3600元幫助小伙伴們來購置學(xué)習(xí)用品，在實(shí)際捐款中又有4名老師參加，如果總的捐款數(shù)不變，則參加捐款的每人平均少捐了10元，求這個(gè)班的人數(shù)．【答案】36人【分析】設(shè)這個(gè)班有人，根據(jù)題意即可列出分式方程，解即可求得．【詳解】解：設(shè)這個(gè)班有人，根據(jù)題意得，．整理得

解得

，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是原方程得根，因?yàn)槿藬?shù)不能為負(fù)數(shù)，所以答：這個(gè)班級有36人．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，注意分式方程要檢驗(yàn)．4．（2021春·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）在疫情防控常態(tài)化背景下，每周需要對面積為4800平方米的倉庫進(jìn)行一次全面消毒工作．最初采用人工操作完成消毒任務(wù)．為提高效率采用機(jī)器人消毒，機(jī)器人消毒每分鐘消毒面積比人工操作多60平方米，并且提前40分鐘完成消毒任務(wù)．求人工操作每分鐘消毒面積為多少平方米．【答案】60平方米【分析】根據(jù)題意得出“人工操作所需的時(shí)間－機(jī)器從消毒所需的時(shí)間＝40分鐘”，設(shè)人工操作每分鐘消毒面積為x平方米，則機(jī)器人消毒每分鐘消毒面積為（x＋60）平方米，則可列出方程，求解后即可．【詳解】解：設(shè)人工操作每分鐘消毒面積為x平方米，則機(jī)器人消毒每分鐘消毒面積為（x＋60）平方米，根據(jù)題意得：，則，解得（不合題意，舍去），，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．所以，人工操作每分鐘消毒面積為60平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系，并列出方程進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．5．（2020春·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期末）新冠肺炎疫情期間，工廠需加工一種口罩250萬個(gè)，在加工了100萬個(gè)后，采用了新技術(shù)，使每天比原來多加工2.5萬個(gè)，結(jié)果提前了3天完成任務(wù)，求工廠原來每天加工多少萬個(gè)口罩？【答案】該廠原來每天加工10萬個(gè)口罩．【分析】設(shè)該廠原來每天加工萬個(gè)口罩，根據(jù)工廠需加工一種口罩250萬個(gè)，在加工了100萬個(gè)后，采用了新技術(shù)，使每天比原來多加工2.5萬個(gè)，結(jié)果提前了3天完成任務(wù)，可列方程求解．【詳解】解：設(shè)原來每天加工萬個(gè)口罩，采用了新技術(shù)后，每天加工（）萬個(gè)口罩，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，均是原方程的解，但不符合題意，舍去．答：該廠原來每天加工10萬個(gè)口罩．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是以時(shí)間做為等量關(guān)系，根據(jù)天數(shù)=加工的個(gè)數(shù)除以每天加工的個(gè)數(shù)列方程求解即可．6．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）某地響應(yīng)“把綠水青山變成金山銀山，用綠色杠桿撬動經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型”發(fā)展理念，開展“美化綠色城市”活動，綠化升級改造了總面積為360萬平方米的區(qū)域．實(shí)際施工中，由于采用了新技術(shù)，實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是原計(jì)劃平均每年綠化升級改造的面積的2倍，所以比原計(jì)劃提前4年完成了上述綠化升級改造任務(wù)．實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是多少萬平方米？【答案】實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是90萬平方米．【分析】設(shè)原計(jì)劃每年綠化升級改造的面積是x萬平方米，則實(shí)際每年綠化升級改造的面積是2x萬平方米，根據(jù)“實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是原計(jì)劃平均每年綠化升級改造的面積的2倍，所以比原計(jì)劃提前4年完成了上述綠化升級改造任務(wù)”列出方程即可求解．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每年綠化升級改造的面積是x萬平方米，則實(shí)際每年綠化升級改造的面積是2x萬平方米，根據(jù)題意，得：，解得：x=45，經(jīng)檢驗(yàn)，x=45是原分式方程的解，則2x=2×45=90．答：實(shí)際平均每年綠化升級改造的面積是90萬平方米．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)題意設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，找出等量關(guān)系，列方程求解，注意檢驗(yàn)．7．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校橛泳€下開學(xué)，某學(xué)校決定對原有的排水系統(tǒng)進(jìn)行改造，如果甲組先做5天后，剩下的工程由乙組單獨(dú)承擔(dān)，還需7.5天才能完工，為了早日完成工程，甲乙兩組合作施工，6天完成了任務(wù)；甲乙兩組單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？【答案】甲組單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要10天，乙組單獨(dú)完成此頂工程需要15天．【分析】設(shè)甲組單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要x天，則乙組單獨(dú)完成此頂工程需要天．等量關(guān)系：甲組先做5天的工作量+乙做7.5天的工作量＝1．【詳解】設(shè)甲組單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要x天，則乙組單獨(dú)完成此頂工程需要天．依題意得解得x＝10，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝10是原方程的根，當(dāng)x＝10時(shí)，＝＝15．答：甲組單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要10天，乙組單獨(dú)完成此頂工程需要15天．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．本題應(yīng)用的公式：工作總量=工作時(shí)間×工效．8．（2020春·上海金山·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）某街道1000米的路面下雨時(shí)經(jīng)常嚴(yán)重積水．需改建排水系統(tǒng)．市政公司準(zhǔn)備安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)做這項(xiàng)工程，根據(jù)評估，有兩個(gè)施工方案：方案一：甲、乙兩隊(duì)合作施工，那么12天可以完成；萬案二：如果甲隊(duì)先做10天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)施工，還需15天才能完成．（l）甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少天？（2）方案一中，甲、乙兩隊(duì)實(shí)際各施工了多少米？【答案】（1）甲隊(duì)單獨(dú)完成需20天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需30天；（2）甲隊(duì)實(shí)際施工600米，乙隊(duì)實(shí)際施工400米【分析】（1）本題有兩個(gè)相等關(guān)系：甲、乙兩隊(duì)合作施工12天完成的工作量之和=1，甲隊(duì)先做10天完成的工作量+乙隊(duì)單獨(dú)施工15天完成的工作量=1，據(jù)此設(shè)未知數(shù)列方程組解答即可；（2）根據(jù)（1）題的結(jié)果列式計(jì)算即可．【詳解】解：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需x天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需y天，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程組的解，答：甲隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需20天，乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需30天．（2）方案一中：甲隊(duì)實(shí)際施工=米，乙隊(duì)實(shí)際施工=米．答：方案一中，甲、乙兩隊(duì)實(shí)際各施工了600米、400米．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意、找準(zhǔn)相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．（2022春·上海·八年級期中）某小區(qū)為了排污，需鋪設(shè)一段全長為720米的排污管道，為減少施工對居民生活的影響，需縮短施工時(shí)間，實(shí)際施工時(shí)每天的工作效率比原計(jì)劃提高20%，結(jié)果提前2天完成任務(wù)．求原計(jì)劃每天鋪設(shè)多少米？【答案】原計(jì)劃每天鋪設(shè)60米．【分析】設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道為xm，故實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道為1.2xm．等量關(guān)系為：原計(jì)劃完成的天數(shù)-實(shí)際完成的天數(shù)=2，根據(jù)這個(gè)關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際每天鋪設(shè)管道1.2x米，由題意，得

解得：x=60．

經(jīng)檢驗(yàn)，x=60是原方程的解．且符合題意．答：原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道60米．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會分析題意，提高理解能力．期中找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．10.某工廠甲、乙兩個(gè)車間各生產(chǎn)300個(gè)零件，按原來的工效，乙車間需要比甲車間多用一天的時(shí)間完成，現(xiàn)在甲、乙兩車間都提高了工效，其中甲車間工效提高了20%，而乙車間提高了一倍，結(jié)果生產(chǎn)同樣的300個(gè)零件，乙車間比甲車間少用了2天就可完成，問甲、乙兩車間原來生產(chǎn)300個(gè)零件各需要多少天?【難度】★★★【答案】甲車間原來生產(chǎn)300個(gè)零件需要7.5天，乙車間需要8.5天．【解析】設(shè)甲原來需要天，則乙原來需要天，依題意可得：，解得：，即甲車間原來生產(chǎn)300個(gè)零件需要7.5天，乙車間需要8.5天．【總結(jié)】考查工程問題一個(gè)量作設(shè)一個(gè)量列式．11.已知甲、乙、丙三人做某項(xiàng)工作，甲獨(dú)做所需要的時(shí)間是乙、丙兩人合做這件工作的a倍，乙獨(dú)做需要的時(shí)間是甲、丙兩人合做這件工作的b倍，求丙獨(dú)做所用的時(shí)間是甲、乙兩人合做此工作的幾倍．【難度】★★★【答案】．【解析】設(shè)甲、乙、丙需要的工作時(shí)間分別為，，，依題意可得，，分別整理可得，，相加得，由此得．【總結(jié)】考查工程問題的應(yīng)用，注意找準(zhǔn)字母之間的關(guān)系．12.一個(gè)水池有甲、乙兩個(gè)進(jìn)水管，單獨(dú)開放甲管注滿水池比單獨(dú)開放乙管少用10小時(shí)，如果單獨(dú)開放甲管10個(gè)小時(shí)后，加入乙管，需要6個(gè)小時(shí)把水池注滿，那么單獨(dú)開放一個(gè)水管，需要多少小時(shí)才可以把水池注滿?【難度】★★★【答案】單獨(dú)開放甲注水管需要20小時(shí)注滿水池，單獨(dú)開放乙注水管需要30小時(shí)注滿水池．【解析】設(shè)甲需要，則乙需要，依題意可得，整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)均是原方程的解，但不符合題意，舍去，故單獨(dú)開放甲注水管需要20小時(shí)注滿水池，單獨(dú)開放乙注水管需要30小時(shí)注滿水池．【總結(jié)】考查工程問題的應(yīng)用，合作加獨(dú)做合為單位“1”，注意分式方程要檢驗(yàn)．．題型三：利潤問題一、解答題1．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀﹥和?jié)前，某玩具商店根據(jù)市場調(diào)查，用3000元購進(jìn)一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用5400元購進(jìn)第二批這種玩具，所購數(shù)量比第一批增加了30件，但每套進(jìn)價(jià)多了10元．已知兩次購入的玩具數(shù)都沒有超過100件，求第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)．【答案】50元【分析】設(shè)第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)為x元，則第二批玩具每套的進(jìn)價(jià)為（x＋10）元，根據(jù)數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合第二批比第一批多購進(jìn)30套，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出x的值，再結(jié)合兩次購入的玩具數(shù)都沒有超過100套，即可確定x的值．【詳解】解：設(shè)第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)為x元，則第二批玩具每套的進(jìn)價(jià)為元，依題意得，整理得：，即，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，均為原方程的解，又∵兩次購入的玩具數(shù)都沒有超過100套，進(jìn)價(jià)為元時(shí)，第一批第二批購進(jìn)玩具均超過100件，不合題意，舍去．答：第一批玩具每套的進(jìn)價(jià)為50元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2022春·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）激光電視的光源是激光，它運(yùn)用反射成像原理，屏幕不通電無輻射，降低了對消費(fèi)者眼睛的傷害．某電器商行銷售的某款激光電視去年銷售總額為800萬元，由于技術(shù)革新和成本降低，今年這款激光電視每臺銷售價(jià)比去年降低4000元，若要保持銷售總額不變，今年這款激光電視的銷售量要比去年多100臺，今年這款激光電視每臺的售價(jià)是多少元？【答案】今年這款激光電視每臺的售價(jià)是16000元．【分析】設(shè)今年這款激光電視每臺的售價(jià)是x元，則去年這款激光電視每臺的售價(jià)是（x+4000）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合今年這款激光電視的銷售量要比去年多100臺，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)今年這款激光電視每臺的售價(jià)是x元，則去年這款激光電視每臺的售價(jià)是（x+4000）元，依題意得：，整理得x2＋4000x－320000000＝0，解得：x1＝16000，x2＝﹣20000，經(jīng)檢驗(yàn)，x1＝16000，x2＝﹣20000均為原方程的解，x2＝﹣20000不符合題意，舍去．∴x＝16000．答：今年這款激光電視每臺的售價(jià)是16000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需10天．(1)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？(2)已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？【答案】(1)30天(2)225000元【分析】（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)題意列出方程，求解即可；（2）先計(jì)算出甲乙兩隊(duì)合作的天數(shù)，再計(jì)算費(fèi)用即可．【詳解】（1）解：（1）設(shè)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是x天，根據(jù)題意得：，解得：x＝30．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原分式方程的解．答：這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是30天．（2）該工程由甲、乙隊(duì)合做完成，所需時(shí)間為：1÷（天），則該工程施工費(fèi)用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．答：該工程的費(fèi)用為225000元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答此類工程問題，經(jīng)常設(shè)工作量為“單位1”，注意仔細(xì)審題，運(yùn)用方程思想解答．4．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）某校為了準(zhǔn)備“迎新活動”，用900元購買了甲、乙兩種禮品共240個(gè)，其中購買甲種禮品比乙種禮品少用了180元．（1）購買甲種禮品一共用去____________元；（請直接寫出答案）（2）如果甲種禮品的單價(jià)是乙種禮品單價(jià)的2倍，那么乙種禮品的單價(jià)是多少元？【答案】（1）360；（2）3元【分析】（1）購買甲種禮品一共用去x元，則購買乙種禮品一共用去（180+x）元，然后根據(jù)一共花了900元，列出方程求解即可；（2）設(shè)乙種禮品單價(jià)是y元，則甲種禮品單價(jià)是2y元，然后根據(jù)用900元購買了甲、乙兩種禮品共240個(gè)，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）購買甲種禮品一共用去x元，則購買乙種禮品一共用去（180+x）元，由題意得：x+180+x=900，解得：x=360，∴購買甲種禮品一共用去360元，故答案為360；（2）設(shè)乙種禮品單價(jià)是y元，則甲種禮品單價(jià)是2y元，由題意得：，解得：y＝3，經(jīng)檢驗(yàn)，y＝3是原方程的根，并符合題意，答：乙種禮品的單價(jià)是3元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確理解題意，列出方程求解．5．（2021春·上海·八年級上海市第四中學(xué)?？计谥校┠成痰甑谝淮斡?00元購進(jìn)某種型號的鉛筆若干支，第二次又用600元購進(jìn)該款鉛筆，但每支的進(jìn)價(jià)比第一次貴1元，所以購進(jìn)數(shù)量比第一次少了30支．（1）求第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)和購買的數(shù)量．（2）若將這兩次購買的鉛筆按同一單價(jià)（元/支）全部銷售完畢，并要求總利潤不低于420元．求總利潤（元）關(guān)于單價(jià)（元/支）的函數(shù)關(guān)系式及定義域．【答案】（1）第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)是4元，購進(jìn)150支；（2）y＝270x?1200，定義域?yàn)閤≥6【分析】（1）利用第二次購進(jìn)數(shù)量比第一次少了30支，進(jìn)而得出關(guān)系式進(jìn)而得出答案；（2）利用（1）中所求，得出y＝（x?4）×150＋（x?5）×120從而列出不等式，求出x的范圍即可．【詳解】解：（1）設(shè)第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)為a元/支，則據(jù)題意得：，∴a1＝4，a2＝?5（舍），經(jīng)檢驗(yàn)：a=4是方程的解，且符合題意，600÷4＝150，答：第一次每支鉛筆的進(jìn)價(jià)是4元，購進(jìn)150支；（2）由題意得：y＝（x?4）×150＋（x?5）×120＝270x?1200，∵y≥420，∴270x?1200≥420，解得：x≥6，即獲利y（元）關(guān)于單價(jià)x（元/支）的函數(shù)關(guān)系為：y＝270x?1200，定義域?yàn)閤≥6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，利用第二次購進(jìn)數(shù)量比第一次少了30支列出分式方程是解題關(guān)鍵．6．（2020春·上?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考期中）小明在普通商場中用96元購買了一種商品，后來他在網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)完全相同的這一商品在網(wǎng)上購買比普通商場中每件少2元，他用90元在網(wǎng)上再次購買這一商品，比上次在普通商場中多買了3件．問小明在網(wǎng)上購買的這一商品每件幾元？【答案】小明在網(wǎng)上購買的這一商品每件6元【分析】設(shè)小明在網(wǎng)上購買的這一商品每件x元，小明在普通商場中用96元購買了一種商品，后來他在網(wǎng)上發(fā)現(xiàn)完全相同的這一商品在網(wǎng)上購買比普通商場中每件少2元，他用90元在網(wǎng)上再次購買這一商品，比上次在普通商場中多買了3件根據(jù)此可列方程求解．【詳解】設(shè)小明在網(wǎng)上購買的這一商品每件x元．，x2+4x﹣60＝0，x1＝﹣10，x2＝6．經(jīng)檢驗(yàn)它們都是原方程的根，但x＝﹣10不符合題意．答：小明在網(wǎng)上購買的這一商品每件6元．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)出價(jià)格，根據(jù)件數(shù)作為等量關(guān)系列方程求解．7．（2021春·上海·八年級上海市西南模范中學(xué)?？计谥校W(xué)校開展“書香校園”活動，購買了一批圖書．已知購買科普類圖書花費(fèi)了10000元，購買文學(xué)類圖書花費(fèi)了9000元，其中科普類圖書平均每本的價(jià)格比文學(xué)類圖書平均每本的價(jià)格貴5元，且購買科普類圖書的數(shù)量比購買文學(xué)類圖書數(shù)量少100本，科普類圖書平均每本的價(jià)格是多少元？【答案】科普類圖書平均每本的價(jià)格為20元．【分析】設(shè)科普類圖書平均每本的價(jià)格為x元，則文學(xué)類圖書平均每本的價(jià)格為（x-5）元，根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)結(jié)合用10000元購買科普類圖書比用9000元購買文學(xué)類圖書數(shù)量少100本，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)科普類圖書平均每本的價(jià)格為x元，則文學(xué)類圖書平均每本的價(jià)格為（x-5）元，根據(jù)題意得：，化簡得x2+5x-500=0，解得：x=20或x=-25（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是所列分式方程的解，且符合題意．答：科普類圖書平均每本的價(jià)格為20元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及解一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．8．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校昀习迦D書批發(fā)市場購買某種圖書.第一次用1200元購書若干本，并按該書定價(jià)7元出售，很快售完，由于該書暢銷，第二次購書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了，他用1500元所購該書數(shù)量比第一次多10本，當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書.試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？【答案】該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元．【分析】設(shè)第一次購書的單價(jià)為元，第二次購書的單價(jià)為元,根據(jù)前后的數(shù)量關(guān)系可得,可求出單價(jià).【詳解】解：設(shè)第一次購書的單價(jià)為元，第二次購書的單價(jià)為元．根據(jù)題意得：解得：.經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解.所以第一次購書為（本）.第二次購書為（本）.第一次賺錢為（元）.第二次賺錢為（元）.所以兩次共賺錢（元）答：該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元．【點(diǎn)睛】考核知識點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用.理解題意，弄清數(shù)量與單價(jià)關(guān)系是關(guān)鍵．9．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）某中學(xué)為配合開展“垃圾分類進(jìn)校園”活動，新購買了一批不同型號的垃圾分類垃圾桶，學(xué)校先用2700元購買了一批給班級使用的小號垃圾桶，再用3600元購買了一批放在戶久使用的大號垃圾桶，已知每個(gè)大號垃圾桶的價(jià)格是小號垃圾桶的4倍，且購買的數(shù)量比小號垃圾桶少40個(gè)，求每個(gè)小號垃圾桶的價(jià)格是多少元？【答案】45【分析】設(shè)每個(gè)小號垃圾桶的價(jià)格是元，則每個(gè)大號垃圾桶的價(jià)格是元，由購買大號垃圾桶的數(shù)量比小號垃圾桶少40個(gè)列出方程解答即可；【詳解】設(shè)每個(gè)小號垃圾桶的價(jià)格是元，則每個(gè)大號垃圾桶的價(jià)格是元依題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解答：每個(gè)小號垃圾桶的價(jià)格是45元.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的相等關(guān)系，列方程求解．10．（2019秋·上海普陀·八年級?？茧A段練習(xí)）某書店兩次從圖書批發(fā)市場購進(jìn)某種圖書，每次都用2000元，其中第二次購進(jìn)這種書每本的批發(fā)價(jià)比第一次每本的批發(fā)價(jià)降低了2元，且比第一次購進(jìn)的書多了50本，求第一次購書時(shí)每本的批發(fā)價(jià).【答案】第一次購書時(shí)每本的批發(fā)價(jià)為10元．【分析】本題首先依題意可知等量關(guān)系為第一次購書的本數(shù)=第二次購書的本數(shù)-50，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，最后求出結(jié)果檢驗(yàn)并作答．【詳解】設(shè)第一次購書時(shí)每本的批發(fā)價(jià)為x元．根據(jù)題意得，化簡方程得x2-2x-80=0，解得x1=10，x2=-8．經(jīng)檢驗(yàn)，x1=10，x2=-8都是方程的根，但x=-8不合題意，舍去．答：第一次購書時(shí)每本的批發(fā)價(jià)為10元．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①根據(jù)題意找出等量關(guān)系②列出方程③解出分式方程④檢驗(yàn)⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗(yàn)．11.某水果店在水果批發(fā)市場用100元購進(jìn)一批甲種水果，再用100元購進(jìn)一批乙種水果，已知購進(jìn)的乙種水果比甲種水果多10千克，乙種水果的批發(fā)價(jià)比甲種水果的批發(fā)價(jià)低0.5元/千克．（1）求甲乙兩種水果各購進(jìn)了多少千克?（2）購進(jìn)水貨當(dāng)天，甲乙兩種水果都按照2.8元/千克出售，乙種水果很快售完，而甲種水果先售出剩余的按售價(jià)打5折出售，這一天的水果買賣是否賺錢?如果賺錢了，賺多少?如果不賺錢，那么賠了多少?【難度】★★★【答案】（1）甲種水果購進(jìn)40千克，乙種水果購進(jìn)50千克；（2）賺了29.6元【解析】（1）設(shè)購進(jìn)甲種水果x千克，乙種水果x+10千克，由題意得，解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)x=40是原方程的解，且符合題意，故購進(jìn)甲種水果是40千克，乙種水果是40+10=50千克；（2）利潤為：，故賺了29.6元．【總結(jié)】本題主要考察了利潤問題，找出題目中的等量關(guān)系再列方程．12.某中學(xué)庫存960套舊課桌椅，準(zhǔn)備修理后捐助給貧困山區(qū)學(xué)校，現(xiàn)在有甲乙兩個(gè)木工小組都希望承攬這項(xiàng)業(yè)務(wù)，經(jīng)協(xié)商研究得知：甲小組單獨(dú)修理這批桌椅比乙小組單獨(dú)修理要多用20天；乙小組每天比甲小組多修理8套；學(xué)校每天需要付甲乙小組修理費(fèi)分別是80元和120元；求甲乙兩個(gè)小組每天各修理課桌椅多少套?在修理桌椅的過程中，學(xué)校委派一名維修工進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控，由學(xué)校每天發(fā)出10元錢作為生活補(bǔ)貼；現(xiàn)在有三種修理方案：方案一由甲單獨(dú)修理；方案二由乙單獨(dú)修理；方案三由甲乙共同修理；選擇哪種方案，更省錢?【難度】★★★【答案】（1）甲小組每天修理16套舊桌椅，則乙小組每天修理24套舊桌椅；（2）方案三．【解析】（1）設(shè)甲小組每天修理套舊桌椅，則乙小組每天修理套舊桌椅，依題意可得，整理得，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)均是原方程的解，但不符合題意，舍去，即得甲小組每天修理16套舊桌椅，則乙小組每天修理24套舊桌椅；方案一需要的費(fèi)用為元；方案二需要的費(fèi)用為元；方案三需要的費(fèi)用為元，可知方案三更省錢．【總結(jié)】考查工程問題的應(yīng)用，注意分式方程要檢驗(yàn)．題型四：行程問題一、解答題1．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若A、B兩地相距30千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地相向而行，且甲比乙早出發(fā)2小時(shí)．如果乙比甲每小時(shí)多行2千米，那么兩人恰好在AB中點(diǎn)相遇．求甲、乙兩人的速度各是每小時(shí)多少千米？【答案】甲的速度是每小時(shí)3千米，乙的速度是每小時(shí)5千米．【分析】設(shè)甲的速度是每小時(shí)x千米，則乙的速度是每小時(shí)（x＋2）千米，根據(jù)“行駛一半的路程甲所用時(shí)間比乙所用時(shí)間多2小時(shí)”列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲的速度是每小時(shí)x千米，則乙的速度是每小時(shí)（x＋2）千米，根據(jù)題意，得：，整理，得：，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)：，都是原方程的解，但不符合題意，舍去，∴原方程的解是x＝3，則x＋2＝5，答：甲的速度是每小時(shí)3千米，乙的速度是每小時(shí)5千米．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解一元二次方程，關(guān)鍵是能夠表示兩人所用時(shí)間，然后根據(jù)題意列方程求解．2．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┘滓覂扇朔謩e從相距27公里的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，3小時(shí)相遇，相遇后兩人用原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，甲到達(dá)B地比乙到達(dá)A地快1小時(shí)21分鐘，則甲乙兩人的速度分別是多少？【答案】甲的速度是5公里/小時(shí)，則乙的速度為4公里/小時(shí)．【分析】設(shè)甲的速度是x公里/小時(shí)，則乙的速度為（-x）公里/小時(shí)，根據(jù)到達(dá)B地比乙到達(dá)A地快1小時(shí)21分鐘可得=，解出方程檢驗(yàn)即可得答案．【詳解】解：設(shè)甲的速度是x公里/小時(shí)，則乙的速度為（-x）公里/小時(shí)，根據(jù)題意得：=，去分母化為整式方程得：x2+31x-180=0，解得x=5或x=-36，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5和x=-36都是原方程的解，但x=-36不符合題意，舍去，∴x=5，∴-x=9-5=4，答：甲的速度是5公里/小時(shí)，則乙的速度為4公里/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系列方程．3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ惺形鞒跫壷袑W(xué)?？计谥校┮涣谢疖嚨竭_(dá)A站已經(jīng)晚點(diǎn)6分鐘，如果將速度每小時(shí)加快10千米，那么繼續(xù)行駛20千米便可以在B站正點(diǎn)到達(dá)，求火車原來行駛的速度．【答案】火車原來行駛的速度為40千米每小時(shí)【分析】設(shè)貨車原來的行駛速度為x千米每小時(shí)，然后根據(jù)將速度每小時(shí)加快10千米，那么繼續(xù)行駛20千米便可以在B站正點(diǎn)到達(dá)，列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)貨車原來的行駛速度為x千米每小時(shí)，由題意得：，解得或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴火車原來行駛的速度為40千米每小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意列出方程求解是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·上海·八年級期末）甲、乙兩輛客車分別從相距400千米的A、B兩站同時(shí)出發(fā)，相向而行，相遇時(shí)乙車行駛了250千米，如果乙車每小時(shí)比甲車多走20千米，求甲、乙兩車速度．【答案】甲車的速度是30千米/小時(shí)，乙車的速度是50千米/小時(shí)．【分析】設(shè)甲車每小時(shí)行駛x千米，乙車每小時(shí)行駛（x+20）千米，根據(jù)兩車行駛的時(shí)間相等列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)甲車每小時(shí)行駛x千米，乙車每小時(shí)行駛（x+20）千米，由題意：，解得x＝30，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝30是原方程的解且符合題意，x+20＝50，∴甲車的速度是30千米/小時(shí)，乙車的速度是50千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)兩車行駛的時(shí)間相等列方程求解，解分式方程不要忘記檢驗(yàn)．5．（2021春·上海松江·八年級校考期中）一列火車到達(dá)A站已經(jīng)晚點(diǎn)6分鐘，如果按原速度繼續(xù)行駛20千米到達(dá)B站，也晚點(diǎn)6分鐘，但如果從A站到B站將速度每小時(shí)加快10千米，那么可以在B站準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)，求火車原來行駛的速度．【答案】40千米/小時(shí)【分析】根據(jù)題意列出分式方程，然后解分式方程，根據(jù)分式方程和實(shí)際意義求出方程的解即可；【詳解】設(shè)火車原來的行駛速度為x千米/小時(shí)，則提速后火車的速度為千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：x＝40或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40時(shí)原分式方程的解．答：火車原來的行駛速度為40千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系進(jìn)行列方程是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校W(xué)校組織八年級部分學(xué)生乘坐甲、乙兩輛大客車到洋山深水港參觀，已知連接臨港新城和深水港的東海大橋全長30千米，假設(shè)兩車都勻速行駛，甲車比乙車早6分鐘上橋，但由于乙車每小時(shí)比甲車多行10千米，所以甲、乙兩車同時(shí)下橋，求甲車的速度．【答案】甲車的速度為50km/h【分析】設(shè)甲車的速度的速度為，則乙車的速度為，根據(jù)甲的時(shí)間=乙的時(shí)間+，列方程即可解決．【詳解】解：設(shè)甲車的速度的速度為，則乙車的速度為.由題意：，整理得，，解得或-60，經(jīng)檢驗(yàn)：或-60都是分式方程的解，但是不符合實(shí)際意義，所以，答：甲車的速度為50km/h．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，找等量關(guān)系是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，注意解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn)，列方程時(shí)注意時(shí)間單位是小時(shí)，屬于常考題型．7．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校?021年5月22日，“祝融號”火星車安全駛離著陸平臺，到達(dá)火星表面，開始巡視探測工作．著陸點(diǎn)附近的火星表面照片顯示，最佳探測路線有兩條，西線地勢平坦，行程米，東線地勢稍有起伏，行程米，走西線比走東線多用小時(shí)，走西線的速度比走東線的速度每小時(shí)快米．同時(shí)，為了確保安全，火星車的速度要小于米/小時(shí)，問走東線、走西線的速度各是多少？【答案】東線米/小時(shí)，西線米/小時(shí)．【分析】設(shè)走東線的速度為x米/小時(shí)，則走西線的速度為（x+60）米/小時(shí)，根據(jù)時(shí)間=距離÷速度可列分式方程，解方程并檢驗(yàn)即可得走東線的速度，進(jìn)而可得走西線的速度．【詳解】設(shè)走東線的速度為x米/小時(shí)，∵走西線的速度比走東線的速度每小時(shí)快米，∴走西線的速度為（x+60）米/小時(shí)，∵走西線比走東線多用小時(shí)，∴，解得：，，∵火星車的速度要小于米/小時(shí)，∴，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，∴x+60=90，答：走東線、走西線的速度分別為30米/小時(shí)，90米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．注意：分式方程要驗(yàn)根，避免出現(xiàn)增根．8．（2021·上海·八年級期末）為慶祝建黨100周年，某中學(xué)組織八年級學(xué)生進(jìn)行徒步活動，從學(xué)校出發(fā)，步行至離校千米的紅色基地，返回時(shí)，由于步行速度比去時(shí)每小時(shí)少千米，結(jié)果時(shí)間比去時(shí)多用了半小時(shí)，求學(xué)生返回時(shí)步行的速度．【答案】【分析】設(shè)學(xué)生返回時(shí)步行的速度為x千米/時(shí)，則去時(shí)步行的速度為（x+1）千米/時(shí)，利用時(shí)間=路程÷速度，結(jié)合返回時(shí)比去時(shí)多用了半小時(shí)，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，，經(jīng)檢驗(yàn)，x1=3，x2=-4均為原方程的解，且x2=-4不符合題意，舍去．返回時(shí)速度為．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，注意分式方程應(yīng)用題要檢驗(yàn)根是否符合原分式方程的解，還要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際意義是解題的關(guān)鍵．9．（2019秋·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）兩個(gè)小組同時(shí)開始攀登一座高的山，第一組的攀登速度是第二組的1.2倍，他們比第二組早到達(dá)頂峰．（1）兩個(gè)小組的攀登速度各是多少？（2）如果山高為，第一組的攀登速度是第二組的倍，并比第二組早到達(dá)頂峰，則兩組的攀登速度各是多少？【答案】（1）兩個(gè)小組的速度分別是和；（2）兩組速度分別是和【分析】（1）設(shè)第二組速度為xm/min，則第一組速度為1.2xm/min，由題意可得關(guān)于x的分式方程，解方程即可得到問題解答；（2）設(shè)第二組速度為ym/min，則第一組速度為aym/min，由題意可得關(guān)于y的分式方程，解方程即可得到問題解答．【詳解】解：（1）設(shè)第二組速度為第一組速度為則方程兩邊同時(shí)乘得：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，且x的值符合題意，∴原分式方程的解為∴答：兩個(gè)小組的速度分別是和（2）設(shè)第二組的速度為．則第一組速度為．（，）∴方程兩邊乘得檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)∵∴且y的值符合題意，∴原分式方程的解為∴答：兩組速度分別是和．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)定適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)并列出正確的分式方程求解是解題關(guān)鍵．10．（2022春·上?！ぐ四昙壠谀┌四昙壍膶W(xué)生去距學(xué)校10千米的科技館參觀，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了25分鐘，其余的學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)，已知每小時(shí)汽車的速度比騎自行車學(xué)生速度的2倍還多10千米，求騎車學(xué)生每小時(shí)行多少千米？【答案】騎車學(xué)生每小時(shí)行15千米【分析】先將25分鐘化成小時(shí)為小時(shí)，再設(shè)騎車學(xué)生每小時(shí)走x千米，根據(jù)汽車所用的時(shí)間＝學(xué)生騎車時(shí)間﹣，列分式方程：，求出方程的解即可．【詳解】解：設(shè)騎車學(xué)生每小時(shí)走x千米，據(jù)題意得：，整理得：x2﹣7x﹣120＝0，解得：x1＝15，x2＝﹣8，經(jīng)檢驗(yàn)：x1＝15，x2＝﹣8是原方程的解，因?yàn)閤＝﹣8不符合題意，所以舍去，答：騎車學(xué)生每小時(shí)行15千米．【點(diǎn)睛】本題是分式方程的應(yīng)用，找等量關(guān)系是本題的關(guān)鍵；這是一道行程問題，汽車和學(xué)生的路程、速度、時(shí)間三個(gè)量要準(zhǔn)確把握，以走完全程的時(shí)間為依據(jù)列分式方程，注意單位要統(tǒng)一．11．（2020春·上海松江·八年級統(tǒng)考期末）甲，乙兩人同時(shí)從地出發(fā)，沿相同路線騎自行車前往距離地15千米的地，已知甲比乙平均每小時(shí)多騎1千米，但由于甲在路上修自行車耽擱了半小時(shí)，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)地，求甲，乙兩人每小時(shí)各騎行多少千米？【答案】甲每小時(shí)騎行6km，乙每小時(shí)騎行5km．【分析】設(shè)乙每小時(shí)騎行xkm，則甲每小時(shí)騎行（x+1）km，根據(jù)乙所用時(shí)間﹣甲所用時(shí)間＝小時(shí)列出方程并解答．【詳解】解：設(shè)乙每小時(shí)騎行xkm，則甲每小時(shí)騎行（x+1）km，根據(jù)題意，得﹣＝．解得x1＝5，x2＝﹣6（舍負(fù)）．經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是所列方程的根．所以x+1＝6．答：甲每小時(shí)騎行6km，乙每小時(shí)騎行5km．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．12．（2021春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┙陙?，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線為全程的普通道路，路線包含快速通道，全程，走路線比走路線平均速度提高，時(shí)間節(jié)省，求走路線的平均速度．【答案】75km/h【分析】根據(jù)題意，設(shè)走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，由等量關(guān)系列出方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設(shè)走線路A的平均速度為，則線路B的速度為，則，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，∴是原分式方程的解；∴走路線的平均速度為：（km/h）；【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，以及理解題意的能力，解題的關(guān)鍵是以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解．13．（2020春·八年級校考課時(shí)練習(xí)）A、B兩個(gè)碼頭相距6千米,一只船從A出發(fā)劃船逆流而上用了1小時(shí)30分鐘到達(dá)B．回來時(shí)，開始的路程劃船前進(jìn)，余下的路程讓船順?biāo)频竭_(dá)A地，結(jié)果來去所用時(shí)間相同．求船在靜水中的劃行速度和水流速度．【答案】船在靜水中的劃行速度為6千米/小時(shí)，水流速度2千米/小時(shí)．【分析】設(shè)船在靜水中的劃行速度為x千米/小時(shí)，水流速度y千米/小時(shí)，根據(jù)題意列出方程組即可求解．【詳解】設(shè)船在靜水中的劃行速度為x千米/小時(shí)，水流速度y千米/小時(shí)，根據(jù)題意得解得或，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程組的解且符合實(shí)際，是方程組的解但不符合實(shí)際，所以，故船在靜水中的劃行速度為6千米/小時(shí)，水流速度2千米/小時(shí)．【點(diǎn)睛】此題主要考查列方程組解應(yīng)用題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程求解．14．（2023春·八年級單元測試）甲、乙兩輛車同時(shí)從A地出發(fā)開往距A地240千米的B地，結(jié)果甲車比乙車早到了60分鐘；第二次乙車提速30千米/小時(shí)，結(jié)果比甲車早到20分鐘，求第一次甲、乙兩車的速度各是多少？【答案】80千米/小時(shí)、60千米/小時(shí).【分析】設(shè)甲車、乙車的速度分別為x、y千米/小時(shí)，根據(jù)題意列方程組求解即可.【詳解】設(shè)甲車速度x千米/小時(shí)，乙車y千米/小時(shí)，根據(jù)題意可得，，解得x=80千米/小時(shí)，y=60千米/小時(shí)，答：第一次甲車的速度為80千米/小時(shí)，乙車的速度為60千米/小時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題中找出等量關(guān)系列出方程組．15.甲、乙兩人分別從相距27千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，3小時(shí)相遇，隨后兩人按照原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，甲到達(dá)B地比乙到達(dá)A地少用1小時(shí)21分鐘，求兩人的速度．【難度】★★★【答案】甲的速度為，乙的速度為．【解析】設(shè)甲的速度為，乙的速度為．依題意可得，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程組的解，且符合題意，故甲的速度為，乙的速度為．【總結(jié)】考查行程問題的應(yīng)用，，注意分式方程組要檢驗(yàn)．題型五：幾何圖形問題一、解答題1．（2022秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ羞M(jìn)才實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）在中，，，射線上有一點(diǎn)分別為點(diǎn)P關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，則______，______．(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長線上時(shí)．根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，并探究是否存在點(diǎn)P，使得，若存在，直接寫出滿足條件時(shí)的長度；若不存在，說明理由．【答案】(1)，(2)補(bǔ)全圖形見解析，5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后結(jié)合圖形即可即可；（2）先根據(jù)軸對稱圖形的特點(diǎn)補(bǔ)全圖形；再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PB=BM，PC=CN，設(shè)，則或，，利用和線段的和差列出方程求解即可．【詳解】（1）解：，，，，分別為點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)，，，，，．故答案為，．（2）解：補(bǔ)全圖形如圖所示．存在點(diǎn)P，使得．設(shè)，則或，，或，或5．經(jīng)檢驗(yàn)或5為方程的解，∵線段不可能為負(fù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對稱圖形的特點(diǎn)、角度的計(jì)算、分式方程的應(yīng)用等知識點(diǎn)，理解題意、熟練掌握運(yùn)用軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022春·上?！ぐ四昙壠谥校┰谛旭偼昴扯稳?00千米的高速公路時(shí)，李師傅對張師傅說：“你的車速太快了，平均每小時(shí)比我多跑20千米，比我少用1.5小時(shí)就跑完了全程．”(1)若這段高速公路全程限速110千米/時(shí)，如若兩人全程均勻速行駛，那么張師傅超速了嗎？請說明理由．(2)張師傅所行駛的車內(nèi)油箱余油量y（升）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油？【答案】(1)沒有超速，理由見解析(2)33升【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題；（2）根據(jù)函數(shù)圖象可以求得張師傅每小時(shí)的耗油量，從而可以求得行駛完這段高速公路，他至少需要多少升油．(1)解：張師傅沒有超速，理由：設(shè)張師傅的速度為x千米/時(shí)，由題意得：，解得：x1＝﹣80（舍去），x2＝100，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝100是原分式方程的解，∵100＜110，∴張師傅沒有超速；(2)由函數(shù)圖象可得，張師傅每小時(shí)耗油量為：44÷8＝5.5（升），行駛完這段高速公路，張師傅至少需要：＝33（升），答：行駛完這段高速公路，他至少需要33升油．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，解答此類問題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，列出相應(yīng)的分式方程，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答問題．3．（2022春·上海寶山·八年級校考階段練習(xí)）如圖反映了甲、乙兩名自行車愛好者同時(shí)騎車從地到地進(jìn)行訓(xùn)練時(shí)行駛路程（千米）和行駛時(shí)間（小時(shí)）之間關(guān)系的部分圖像，根據(jù)圖像提供的信息，解答下列問題：（1）求乙的行駛路程和行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式；（2）如果甲的速度一直保持不變，乙在騎行小時(shí)之后又以第小時(shí)的速度騎行，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)地，求、兩地之間的距離．【答案】（1）；（2）千米【分析】（1）觀察圖中乙圖像，將（1，30）（3，50）代入一次函數(shù)表達(dá)式即可，（2）根據(jù)圖像求出甲，乙兩人速度，按照關(guān)系式列方程求解即可．【詳解】（1）由圖像設(shè)此函數(shù)表達(dá)式為，把點(diǎn)（1，30）（3，50）代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，∴函數(shù)表達(dá)式為：，即乙的行駛路程和行駛時(shí)間之間的函數(shù)解析式：，（2）由圖像可得：前一小時(shí)，乙的速