梯形【好題精選精練】 數(shù)學八年級 下冊重難點突破（含答案解析）

核心考點05梯形目錄考點一：梯形考點二：直角梯形考點三：等腰梯形的性質(zhì)考點四：等腰梯形的判定考點五：三角形中位線定理考點六：梯形中位線定理考點考點考向1.梯形2.等腰梯形3.三角形、梯形的中位線4.梯形常用輔助線的添法梯形添輔助線目的：將梯形問題轉化為三角形和平行四邊形的問題來解決.考點考點精講一．梯形（共5小題）1．（2022春?青浦區(qū)校級期末）已知梯形ABCD，AB∥CD，AD＝6，AB＝9，當∠A＝60°時，對角線BD＝3．【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠ADE，進而求出AE，根據(jù)勾股定理求出DE，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解答】解：過點D作DE⊥AB于E，在△ADE中，∠A＝60°，則∠ADE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD＝×6＝3，∴BE＝AB﹣AE＝9﹣3＝6，DE＝＝＝3，∴BE＝＝＝3，故答案為：3．【點評】本題考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活運用勾股定理是解題的關鍵．2．（2022春?徐匯區(qū)校級期中）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC、BD交于點E．點F在DA延長線上，且∠FBA＝∠BDC，BD＝BC．求證：四邊形AFBC是菱形．【分析】根據(jù)梯形的性質(zhì)和SSS可證△ABC≌△DCB，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)，根據(jù)菱形的判定即可求解．【解答】證明：在梯形ABCD中，∵AD//BC，AB＝CD，∴AC＝BD，∵BD＝BC，∴AC＝BC，在△ABC與△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠CAB＝∠BDC，∵∠FBA＝∠BDC，∴∠CAB＝∠FBA，∴FB//AC，∵FA//BC，F(xiàn)B//AC，∴四邊形AFBC是平行四邊形，又∵AC＝BC，∴四邊形AFBC是菱形．【點評】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵．3．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）梯形的四條邊長分別為4、5、6、7，這樣不同形狀的梯形可以畫出6個．【分析】運用數(shù)字組合的規(guī)律結合梯形的定義可解決此問題．【解答】解：由4做梯形的一個底，有以下三種情況：5做另一個底，6、7做腰；6做另一個底，5、7做腰；7做另一個底，5、6做腰；由5做梯形的一個底，有以下三種情況：4做另一個底，6、7做腰；6做另一個底，4、7做腰；7做另一個底，4、6做腰；由6做梯形的一個底，有以下三種情況：4做另一個底，5、7做腰；5做另一個底，4、7做腰；7做另一個底，4、5做腰；由7做梯形的一個底，有以下三種情況：4做另一個底，5、7做腰；5做另一個底，4、7做腰；6做另一個底，4、5做腰；以上情況，除去形狀相同的，能畫出的圖形數(shù)量是：3×4÷2＝6（個）．故答案為：6．【點評】本題主要考查梯形的定義，找規(guī)律，分類討論是解題的關鍵．4．（2022春?寶山區(qū)校級月考）如圖，已知梯形ABCD，AD∥BC，AC⊥BD于點O，AD＝2，BC＝6，AC＝5．則BD＝．【分析】過D作DE∥AC交BC的延長線于E，證得四邊形ACED是平行四邊形，△BDE是直角三角形，由平行四邊形的性質(zhì)求出CE，DE，進而求出BC，根據(jù)勾股定理即可求出BD【解答】解：過D作DE∥AC交BC的延長線于E，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∵AD∥BC，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴CE＝AD＝2，DE＝AC＝5，∴BE＝BC+CE＝6+2＝8，在Rt△BDE中，BD＝＝＝，故答案為：．【點評】本題主要考查了梯形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線，把問題轉化為平行四邊形和直角三角形問題是解決問題的關鍵．5．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在梯形ABCD中，AD∥BC，AH是高，已知AB＝，AD＝3，CD＝5，AH＝4，則梯形ABCD的面積是20或8或16．【分析】分三種情況進行討論，先根據(jù)勾股定理和線段的和差關系求出下底，再根據(jù)梯形的面積公式即可求解．【解答】解：過D點作DE⊥BC于E，∵AH是高，AH＝4，∴DE＝4，∵CD＝5，∴CE＝＝3，∵AB＝，∴BH＝＝1，∵AD∥BC，∴HE＝AD＝3，①梯形ABCD的面積＝（（3+1+3+3）×4÷2＝20；②梯形ABCD的面積＝（（3+1+3﹣3）×4÷2＝8；③梯形ABCD的面積＝（（3+3+3﹣1）×4÷2＝16．故梯形ABCD的面積是20或8或16．故答案為：20或8或16．【點評】本題考查了梯形，關鍵是求出梯形的下底，注意分類思想的應用．二．直角梯形（共4小題）6．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17，則CD的長是8或24．【分析】分兩種情況畫圖：①過點C作CE⊥AB于E，再根據(jù)勾股定理求出BE的長，進而可得CD的長；②過點C作BE⊥CD于E，再根據(jù)勾股定理求出CE的長，進而可得CD的長．【解答】解：①如圖，過點C作CE⊥AB于E，得四邊形DAEC為矩形，∴CE＝AD＝15，CD＝AE，在Rt△ABE中，BC＝17，根據(jù)勾股定理，得BE＝＝＝8，∴AE＝AB﹣BE＝16﹣8＝8，∴CD＝8；②如圖，過點C作BE⊥CD于E，得四邊形ADEB為矩形，∴BE＝AD＝15，DE＝AB＝16，在Rt△CBE中，BC＝17，根據(jù)勾股定理，得CE＝＝＝8，∴CD＝DE+CE＝16+8＝24，綜上所述：CD的長為8或24．故答案為：8或24．【點評】本題考查了直角梯形，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是利用分類討論思想畫圖解答．7．（2022春?楊浦區(qū)校級期中）已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝CD，E是對角線BD上一點，且EA＝EC．求證：四邊形ABCD是正方形．【分析】證明△ADE≌△CDE（SSS），推出∠ADE＝∠CDE，由∠ADC＝90°，推出∠ADB＝∠CDB＝45°，由AD∥CD，推出∠ADB＝∠DBC＝45°，推出∠CDB＝∠CBD＝45°，推出CD＝CB，再證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得結論．【解答】證明：在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SSS），∴∠ADE＝∠CDE，∵∠ADC＝90°，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，∵AD∥CD，∴∠ADB＝∠DBC＝45°，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∴CD＝CB，∵AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AD＝DC，∴四邊形ABCD是正方形．【點評】本題考查直角梯形，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．8．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝CD＝10．求：梯形ABCD的周長．【分析】先作DH⊥BC于點H，得四邊形ABHD是矩形，則BH＝AD＝2，CH＝8，再由勾股定理求出DH，即求出AB，從而求出梯形ABCD的周長．【解答】解：作DH⊥BC于點H，根據(jù)題意，得四邊形ABHD是矩形，BH＝AD＝2，∵BC＝10，∴CH＝BC﹣BH＝10﹣2＝8，∵CD＝10，∴DH＝＝6，∴AB＝DH＝6，∴梯形ABCD的周長為：AD+AB+BC+CD＝2+6+10+10＝28．答：梯形ABCD的周長為28．【點評】此題考查的知識點是直角梯形、勾股定理及矩形的判定與性質(zhì)，關鍵是先作輔助線得矩形，再用勾股定理求AB．9．（2022春?浦東新區(qū)校級期末）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，，CD＝3，那么∠C＝60°或120°．【分析】可分兩種情況：當∠C為銳角時，當∠C為鈍角時，過D（C）作垂線，結合矩形的判定與性質(zhì)，利用勾股定理可求解∠CDF（∠DCF）的度數(shù)，進而可求解．【解答】解：當∠C為銳角時，如圖，過D作DF⊥BC，垂足為F，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴四邊形ABFD是矩形，∴DF＝AB＝，∵CD＝3，∴CF＝，∴CD＝2CF，∴∠CDF＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°；當∠C為鈍角時，如圖，過C作CF⊥AD，垂足為F，∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴四邊形ABCF是矩形，∴CF＝AB＝，∠BCF＝90°，∵CD＝3，∴DF＝，∴∠DCF＝30°，∴∠BCD＝90°+30°＝120°．綜上，∠BCD＝60°或120°，故答案為：60°或120°．【點評】本題主要考查直角梯形，矩形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形，勾股定理，分類討論是解題的關鍵．三．等腰梯形的性質(zhì)（共6小題）10．（2022春?閔行區(qū)校級月考）等腰梯形的對角線互相垂直，兩底之和為16，那么這個梯形的面積是64．【分析】過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AD＝CE，AC＝DE，S△DCE＝S△DAB，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算，得到答案．【解答】解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于E，則四邊形ACED為平行四邊形，∴AD＝CE，AC＝DE，∴BE＝BC+CE＝BC+AD＝16，S△DCE＝S△DAB，∴S梯形ABCD＝S△DBE，∵AC⊥BD，∴DE⊥BD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE＝BE＝8，∴S△DBE＝×8×8＝64，∴S梯形ABCD＝64，故答案為：64．【點評】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、三角形的面積計算，正確作出輔助線、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD是解題的關鍵．11．（2022春?長寧區(qū)校級期末）若等腰梯形的兩條對角線互相垂直，則一條對角線與底邊的夾角是45°．【分析】過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AC＝DE，進而得到DE＝DB，根據(jù)的原直角三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E，∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形，∴AC＝DE，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∴DE＝DB，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC＝45°，即一條對角線與底邊的夾角是45°，故答案為：45°．【點評】本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟記等腰梯形的對角線相等是解題的關鍵．12．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知：如圖，梯形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AD＝BC，AC⊥BC，BE⊥AB交AC的延長線于E，EF⊥AD交AD的延長線于F，下列結論：①BD∥EF；②∠AEF＝2∠BAC；③AD＝DF；④AC＝CE+EF．其中正確的結論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)已知利用等腰梯形的性質(zhì)對各個結論進行分析從而得出最后的答案．【解答】解：根據(jù)四邊形ABCD是等腰梯形，可得出的條件有：AC＝BD，∠OAB＝∠OBA＝∠ODC＝∠OCD（可通過全等三角形ABD和BAC得出），OA＝OB，OC＝OD，∠ACB＝∠ADB＝90°（三角形ACB和BDA全等）．①要證BD∥EF就要得出∠ADB＝∠EFD，而∠ADB＝90°，∠EFD＝90°，因此∠ADB＝∠EFD，此結論成立；②由于BD∥EF，∠AEF＝∠AOD，而∠AOD＝∠OAB+∠OBA＝2∠OAB，因此∠AEF＝2∠OAB，此結論成立．③在直角三角形ABE中，∠OAB＝∠OBA，∠OAB+∠OEB＝∠OBA+∠OBE＝90°，因此可得出∠OEB＝∠OBE，因此OA＝OB＝OE，那么O就是直角三角形ABE斜邊AE的中點，由于OD∥EF，因此OD就是三角形AEF的中位線，那么D就是AF的中點，因此此結論也成立．④由③可知EF＝2OD＝2OC，而OA＝OE＝OC+CE．那么AC＝OA+OC＝OC+OC+CE＝2OC+CE＝EF+CE，因此此結論也成立．故選：D．【點評】本題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)．根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出的角和邊相等是解題的基礎．13．（2022春?寶山區(qū)校級月考）等腰梯形的一個銳角等于45°，腰長為5cm，下底為11cm，則上底為（11﹣5）cm．【分析】首先過點A作AE∥CD交BC于點E，即可得四邊形AECD是平行四邊形；根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得AD＝CE，AE＝CD，又由∠B＝45°，易得△ABE是等腰直角三角形，即可求得BE的長，即可求出AD的長．【解答】解：過點A作AE∥CD交BC于點E，∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝CE，AE＝CD，∵AB＝CD，∴AB＝AE＝5cm，∵∠B＝45°，∴∠AEB＝∠B＝45°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝＝5cm，∵BC＝BE+CE＝BE+AD＝11cm，∴AD＝BC﹣BE＝（11﹣5）cm．∴這個梯形的上底為（11﹣5）cm，故答案為：（11﹣5）．【點評】此題主要考查了等腰梯形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．解此題的關鍵是要注意平移梯形的腰，構造三角形與平行四邊形．14．（2022春?靜安區(qū)期中）已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝BC，對角線AC⊥BD，垂足為O，若CD＝4，AB＝8，梯形的高為6．【分析】過點D作DF∥AC，交BA的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．由已知可證△BDF是等腰直角三角形，可得BF＝AF+AB＝12，繼而求出DE的長．【解答】解：如圖，過點D作DF∥AC，交BA的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．∵AC∥DF，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∴AF＝CD，又AC⊥BD，且AC＝BD，∴BD⊥DF，BD＝DF，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝AF+AB＝12，∴DE＝BF＝6，故答案為：6．【點評】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解題的關鍵是平移一條對角線，兩條對角線與上、下底的和構成三角形，再根據(jù)梯形的條件解這個三角形求高或者求梯形的面積．15．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對角線AC與BD互相垂直，且AD＝3，BC＝7，求梯形的高．【分析】本題要靠輔助線的幫助．首先求出△BDE是等腰直角三角形，推出DF與BE的關系．【解答】解：過D作DE∥AC交BC的延長線于E，過D作DF⊥BE于F．∵AD∥BC，DE∥AC，∴四邊形ADEC是平行四邊形，∴DE＝AC，CE＝AD＝3，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∴BD＝AC，∴DE＝BD，∵AC⊥BD，DE∥AC，∴DE⊥DB，∴△BDE是等腰直角三角形，∴DF＝BE＝（BC+CE）＝×（7+3）＝5，即梯形的高為5．【點評】此題是一個綜合題，考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，關鍵是得到△BDE是等腰直角三角形．四．等腰梯形的判定（共4小題）16．（2022春?長寧區(qū)校級期末）菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，CE∥DB，則四邊形OCED是（）A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．梯形【分析】根據(jù)平行四邊形的定義得到四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD，根據(jù)矩形的判定定理得出結論．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥DB，∴四邊形OCED是平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC＝90°，∴平行四邊形OCED是矩形，故選：B．【點評】本題考查的是菱形的性質(zhì)、矩形的判定，熟記菱形的對角線相等是解題的關鍵．17．（2022春?寶山區(qū)校級月考）在下列說法中不正確的是（）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形 C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 D．有兩個底角相等的梯形是等腰梯形【分析】先畫出圖形，再根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定逐個判斷即可．【解答】解：A．如圖，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四邊形ABCD是正方形，故本選項不符合題意；B．如圖，∵OA＝OC，OD＝OB，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；C．如圖，∵四邊形FGH是平行四邊形，∴∠EHG＝∠EFG，∵FH分別平分∠EFG和∠EHG，∴∠EHF＝EHG，∠EFH＝EFG，∴∠EHF＝∠EFH，∴EH＝EF，∴平行四邊形EFGH是菱形，故本選項不符合題意；D．如圖，當?shù)捉恰螦＝∠B時，梯形ABCD不是等腰梯形，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定，能熟記平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的判定是解此題的關鍵．18．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＞BC，AB＝DC，E是AD．上方一點，分別聯(lián)結EA、ED、EB、EC，已知EA＝ED，點F、G分別是EB、EC與AD的交點．求證：四邊形FBCG是等腰梯形．【分析】證明△ABE≌△CDE（SAS），可得EB＝EC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EFG＝∠EGF，所以EF＝EG，進而可以解決問題．【解答】證明：∵AB＝DC，∴∠BAD＝∠CDA，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵∠EAB＝∠BAD+∠EAD，∠EDC＝∠CDA+∠EDA，∴∠EAB＝∠EDC，在△ABE和△CDE中，，∴△ABE≌△CDE（SAS），∴EB＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠EFG，∠ECB＝∠EGF，∴∠EFG＝∠EGF，∴EF＝EG，∴FB＝GC，∵FG∥BC，∴四邊形FBCG是等腰梯形．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，是基礎知識要熟練掌握．19．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）如圖，已知四邊形ABCD中，點E是CD上的點（不與CD的中點重合），DE＝AB，∠BAC＝∠D，AD＝AC．（1）求證：四邊形AECB是等腰梯形；（2）點F是AB延長線上一點，且BC＝CF，聯(lián)結CF、EF，若AC⊥EF，求證：四邊形AECF是菱形．【分析】（1）由AD＝AC，證得∠D＝∠ACD，由∠BAC＝∠D，推出∠ACD＝∠BAC，由平行線的判定推出AB∥DE，根據(jù)三角形的判定證得△ADE≌△CAB，即可證得AE＝BC，由等腰梯形的判定即可證得結論；（2）通過全等三角形的性質(zhì)得到AF＝CE，推出四邊形AECF是平行四邊形，然后由菱形的判定定理即可得到結論．【解答】證明：（1）∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACD，∵∠BAC＝∠D，∴∠ACD＝BAC，∴AB∥DE，在△ADE和△CAB中，，∴△ADE≌△CAB，∴AE＝BC，∴四邊形AECB是等腰梯形；（2）由（1）得AE＝BC，∠AEC＝∠BCE，AB∥EC，∴∠FAC＝∠ACE，∵BC＝CF，∴AE＝CF，∠FBC＝∠BFC，∴∠BFC＝∠AEC，在△AEC和△CFA中，，∴△AEC≌△AFC，∴AF＝CE，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵AC⊥EF，∴?AECF是菱形．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．五．三角形中位線定理（共6小題）20．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM＝MN；（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的長．【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得MN＝AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM＝AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN＝90°，根據(jù)BN2＝BM2+MN2即可解決問題．【解答】（1）證明：在△CAD中，∵M、N分別是AC、CD的中點，∴MN∥AD，MN＝AD，在Rt△ABC中，∵M是AC中點，∴BM＝AC，∵AC＝AD，∴MN＝BM．（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2+MN2，由（1）可知MN＝BM＝AC＝1，∴BN＝【點評】本題考查三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型．21．（2022春?徐匯區(qū)期末）如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D、E分別是邊AB、AC的中點，那么四邊形DBCE的周長為11．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)線段中點的概念分別求出DB、EC，計算即可．【解答】解：∵D、E分別是邊AB、AC的中點，AB＝AC＝5，∴DE是△ABC的中位線，DB＝AB＝2.5，EC＝AC＝2.5，∴DE＝BC，∵BC＝4，∴DE＝2，∴四邊形DBCE的周長＝DB+BC+EC+DE＝2.5+4+2.5+2＝11，故答案為：11．【點評】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關鍵．22．（2022春?長寧區(qū)校級期末）如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，順次連接四邊形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…；如此進行下去，得到四邊形AnBn?nDn，那么四邊形A15B15C15D15的周長為．【分析】根據(jù)三角形中位線性質(zhì)定理可得每一次去各邊中點所形成新的四邊形周長都為前一個的；并且四邊形是平行四邊形，即可計算四邊形A15B15C15D15的周長，【解答】解：根據(jù)中位線的性質(zhì)易知，A15B15＝A13B13×A11B11…×A1B1＝××…×AC；B15C15＝B13C13×A11B11×…＝×B1C1＝××…×BD，∴四邊形A15B15C15D15的周長是2×（a+b）＝．故答案為．【點評】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．23．（2022春?虹口區(qū)校級月考）我們把聯(lián)結四邊形對邊中點的線段稱為“中對線”．凸四邊形ABCD的對角線AC＝BD＝12，且這兩條對角線的夾角為60°，那么該四邊形較長的“中對線”的長度為6．【分析】連接EF、FG、GH、HE，根據(jù)三角形中位線定理得到EF∥BD，EF＝6，GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，證明四邊形EFGH為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理計算，得到答案．【解答】解：設四邊形ABCD的“中對線”交于點O，連接EF、FG、GH、HE，∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴EF∥BD，EF＝BD＝×12＝6，同理可得：GH∥BD，GH＝6，EH∥AC，EH＝6，∴四邊形EFGH為菱形，∠EFG＝60°，∴∠EFO＝30°，∴OE＝EF＝3，在Rt△OEF中，OF＝＝＝3，∴FH＝6，即該四邊形較長的“中對線”的長度為6，故答案為：6．【點評】本題考查的三角形中位線定理、菱形的判定定理和性質(zhì)定理，根據(jù)三角形中位線定理和菱形的判定定理證明四邊形EFGH為菱形是解題的關鍵．24．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）如圖所示，DE為△ABC的中位線，點F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，則EF的長為2．【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出DF，計算即可．【解答】解：∵DE為△ABC的中位線，∴DE＝BC＝5，∵∠AFB＝90°，D是AB的中點，∴DF＝AB＝3，∴EF＝DE﹣DF＝2，故答案為：2【點評】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．25．（2022春?奉賢區(qū)校級期末）已知：如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD＝AC，E、F、G分別是BC、AD、CD的中點，EF、CA的延長線相交于點H．求證：（1）∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）AH＝AF．【分析】（1）由題目的已知條件可得EG是△BDC的中位線，所以EG∥BD，由此可得∠CGE＝∠BDC，再根據(jù)三角形外角和定理即可證明∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）連接FG，易證△FGE是等腰三角形，所以∠GFE＝∠GEF，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及對頂角相等可證明∠H＝∠AFE，進而可得：AH＝AF，【解答】證明（1）∵E，G分別是BC，CD的中點，∴EG是△BDC的中位線，∴EG∥BD，∴∠CGE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ACD+∠CAD，∴∠CGE＝∠ACD+∠CAD；（2）連接FG，∵E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，CD的中點，∴EG＝BD，F(xiàn)G＝AC，∵BD＝AC，∴GE＝GF，∴∠GFE＝∠GEF，∵FG∥HC，∴∠GFE＝∠H，∵∠GEF＝∠BFE＝∠AFH，∴∠H＝∠AFE，∴AH＝AF．【點評】本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用．六．梯形中位線定理（共7小題）26．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）已知梯形的面積為20平方厘米，高為4厘米，那么梯形的中位線長為5厘米．【分析】根據(jù)梯形面積求出（AD+BC）＝5厘米，根據(jù)梯形的中位線旋轉得出EF＝（AD+BC），求出即可．【解答】解：∵梯形的面積為20平方厘米，高為4厘米，∴（AD+BC）×4＝20，∴（AD+BC）＝5厘米，∵EF是梯形ABCD的中位線，∴EF＝（AD+BC）＝5厘米，故答案為：5厘米【點評】本題考查了梯形中位線性質(zhì)的應用，關鍵是求出（AD+BC）的值和得出EF＝（AD+BC）．27．（2022春?長寧區(qū)校級期末）已知梯形的上底長為6cm，中位線長為10cm，則它的下底為14cm．【分析】根據(jù)梯形中位線定理列式計算即可．【解答】解：設梯形的下底為xcm，由題意得：×（6+x）＝10，解得：x＝14，故答案為：14．【點評】本題考查的是梯形中位線定理，熟記梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關鍵．28．（2022春?楊浦區(qū)校級期末）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，對角線AC⊥BD，如果高DE＝8cm，那么等腰梯形ABCD的中位線的長為8cm．【分析】過D點作DF∥AC交BC的延長線于F，如圖，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再證明四邊形ACFD為平行四邊形得到DF＝AC＝BD，AD＝CF，接著判斷△DBF為等腰直角三角形，所以DE＝BF＝（BC+AD）＝8cm，然后根據(jù)梯形的中位線定理求解．【解答】解：過D點作DF∥AC交BC的延長線于F，如圖，∵梯形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∵AD∥BC，DF∥AC，∴四邊形ACFD為平行四邊形，∴DF＝AC＝BD，AD＝CF，∵AC⊥BD，∴DF⊥BD，∴△DBF為等腰直角三角形，∵DE⊥BC，∴DE＝BF＝（BC+CF）＝（BC+AD）＝8cm，∴等腰梯形ABCD的中位線的長＝（BC+AD）＝8cm．故答案為8．【點評】本題考查了梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．也考查了等腰梯形的性質(zhì)．通過平移把兩條對角線組成一個三角形的兩邊是解決問題的關鍵．29．（2021春?靜安區(qū)期末）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C＝30°，AD的長為3，高AH的長為，那么梯形的中位線長為6．【分析】過點D作DG⊥BC于G，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到HG＝AD＝3，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)勾股定理求出BH，根據(jù)梯形的中位線定理計算，得到答案．【解答】解：過點D作DG⊥BC于G，∵AH⊥BC，∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四邊形AHGD為平行四邊形，∵DG⊥BC，∴平行四邊形AHGD為矩形，∴HG＝AD＝3，在Rt△ABH中，∠B＝30°，AH＝，∴AB＝2AH＝2，由勾股定理得：BH＝＝＝3，同理可得：GC＝3，∴BC＝BH+HG+GC＝9，∴梯形的中位線長＝×（3+9）＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是梯形的中位線、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用，掌握梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半是解題的關鍵．30．（2021春?虹口區(qū)校級期末）如圖，梯形的對角線將中位線EF分成EG、GH、HF三段，AD＝7，BC＝9，則GH＝1．【分析】根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)，計算出EF的長，再根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，求出EG和HF的長，從而計算出GH的長．【解答】解：∵EF是梯形ABCD的中位線，∵EF∥AD∥BC，∴E、G、H、F分別為AB、BD、AC、DC的中點，又∵AD＝7，BC＝9，∴EF＝（7+9）÷2＝8，EG＝HF＝7÷2＝3.5，∴GH＝EF﹣EG﹣HF＝8﹣3.5﹣3.5＝1．故答案為：1，【點評】本題考查梯形的中位線定理，三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握梯形中位線定理，屬于中考?？碱}型．31．（2020春?浦東新區(qū)期末）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝12，AB＝DC＝8．∠B＝60°．（1）求梯形的中位線長．（2）求梯形的面積．【分析】（1）過A作AE∥CD交BC于E，則四邊形AECD是平行四邊形，得AD＝EC，AE＝DC，證出△ABE是等邊三角形，得BE＝AB＝8，則AD＝EC＝4，即可得出答案；（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，由梯形面積公式即可得出答案．【解答】解：（1）過A作AE∥CD交BC于E，∵AD∥BC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∴AD＝EC，AE＝DC，∵AB＝DC，∴AB＝AE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等邊三角形，∴BE＝AB＝8，∴AD＝EC＝BC﹣BE＝12﹣8＝4，∴梯形ABCD的中位線長＝（AD+BC）＝（4+12）＝8；（2）作AF⊥BC于F，則∠BAF＝90°﹣∠B＝30°，∴BF＝AB＝4，AF＝BF＝4，∴梯形ABCD的面積＝（AD+BC）×AF＝（4+12）×4＝32．【點評】本題考查了梯形中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及梯形面積公式等知識；熟練掌握梯形中位線定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．32．（2020春?徐匯區(qū)期末）如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD．（1）若AD＝BC，且AC⊥BD，AC＝6，求梯形ABCD的面積；（2）若CD＝3，M、N分別是對角線AC、BD的中點，聯(lián)結MN，MN＝2，求AB的長．【分析】（1）如圖1，過C作CE∥BD，交AB的延長線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到CE＝BD，CD＝BE，求得AC＝BD，推出△ACE是等腰直角三角形，得到AC＝CE＝6，求得CH＝AE＝3，根據(jù)梯形的面積公式即可得到結論；（2）如圖2，延長NM交AD于G，連接DM并延長交AB于H，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCM＝∠HAM，根據(jù)線段中點的定義得到AM＝CM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DM＝HM，求得DN＝BN，得到AG＝DG，根據(jù)三角形的中位線定理即可得到結論．【解答】解：（1）如圖1，過C作CE∥BD，交AB的延長線于E，過點C作CH⊥AB于H，∵AB∥CD，∴四邊形DBEC是平行四邊形，∴CE＝BD，CD＝BE，∵AC⊥BD，∴AC⊥CE，∵AD＝BC，AB∥CD，∴AC＝BD，∴AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝6，∴AE＝AC＝6，∴CH＝AE＝3，∴梯形ABCD的面積＝×6×3＝18；（2）如圖2，延長NM交AD于G，連接DM并延長交AB于H，∵CD∥AB，∴∠DCM＝∠HAM，∵M是對角線AC的中點，∴AM＝CM，∵∠CMD＝∠AMH，∴△AMH≌△CMD（ASA），∴DM＝HM，∵N是對角線BD的中點，∴DN＝BN，∴MN∥AB∥CD，∴AG＝DG，∴GM＝CD＝，∵MN＝2，∴GN＝，∴AB＝2GN＝7．【點評】本題考查了梯形的中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關鍵．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海浦東新·八年級?？计谥校┑妊菪蔚难L為，周長為，則它的中位線長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等腰梯形的周長等于四邊之和，那么據(jù)此可求上下底之和，而梯形中位線等于上下底和的一半，又可求中位線．【詳解】解：上底下底兩腰周長，上底下底，上底下底，中位線．故選：C．【點睛】本題利用了梯形的周長公式以及梯形中位線定理．解題的關鍵是牢記中位線與兩底的數(shù)量關系．2．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，則這個梯形的周長是（

）A．16cm B．20cm C．24cm D．18cm【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)推出，得出，推出，過作交于，推出四邊形是平行四邊形，得出，，，證是等邊三角形，求出即可．【詳解】解：，，平分，，，，過作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，是等邊三角形，，這個梯形的周長是，故選：B．【點睛】本題主要考查對等邊三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．3．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ秀籼林袑W?？茧A段練習）在下列說法中不正確的是（

）A．一組鄰邊相等的矩形是正方形； B．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形； D．有兩個底角相等的梯形是等腰梯形．【答案】D【分析】運用正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定依次排查即可．【詳解】解：A、已經(jīng)是矩形，根據(jù)鄰邊相等可以判定是菱形，繼而判定是正方形，故此選項正確，不符合題意；B、對角線互相平分可以判定是平行四邊形，對角線相等可以繼續(xù)判定是矩形，故此選項正確，不符合題意；C、平行四邊形可以得出對邊平行，推導內(nèi)錯角相等，再結合對角線平分一組對角可以得到鄰邊相等，繼而判定是菱形，故此選項正確，不符合題意；D、“同一底的兩個底角相等才叫等腰梯形”，若同側上下兩個底角相等，則是直角梯形，故此選項不正確，符合題意；故選D．【點睛】本題考查正方形、矩形、菱形、等腰梯形的判定，掌握相關知識是解題的關鍵．4．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】過作交于，得出四邊形是平行四邊形，推出，，證出是等邊三角形，得到，即可求出答案．【詳解】解：過作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，∵，是等邊三角形，，．故選：C．【點睛】本題主要考查對等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，把等腰梯形轉化成平行四邊形和三角形是解此題的關鍵．5．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，在等腰梯形中，ABCD，AD=BC=3cm，，平分，則梯形的周長（

）cm．A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)求出，求出，根據(jù)等腰三角形的判定得出，求出，即可求出答案．【詳解】解：四邊形是等腰梯形，，，，平分，，，，，，，梯形的周長為故選：B．【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，能求出和是解此題的關鍵．6．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀╉槾芜B接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，那么與只需滿足（

）A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．互相平分且垂直【答案】B【分析】連接、，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，根據(jù)菱形的判定定理解答即可．【詳解】解：連接、，、分別是、的中點，，同理可得，，，，當時，，四邊形為菱形，順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是菱形，只需滿足，故選：B．【點睛】本題考查的是菱形的判定、三角形中位線定理，熟記三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關鍵．7．（2022春·上?！ぐ四昙壭？计谥校┫铝忻}中，錯誤的是（）A．有兩個角相等的梯形是等腰梯形B．順次聯(lián)結矩形各邊中點所成四邊形是菱形C．對角線相等的平行四邊形是矩形D．對角線互相平分且相等的四邊形是矩形【答案】A【分析】利用等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】解：A、有兩個角相等的梯形可能是等腰梯形，也可能是直角梯形，故錯誤，符合題意；B、順次聯(lián)結矩形各邊中點所成四邊形是菱形，正確，不符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，正確，不符合題意；D、對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，正確，不符合題意．故選：A．【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解等腰梯形的判定方法、菱形及矩形的判定方法，難度不大．二、填空題8．（2022春·上海楊浦·八年級校考期末）平行四邊形中，兩條鄰邊長分別為和，與的平分線交于點，點是的中點，連接，則______．【答案】5或2【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題：如圖中，當，時，延長交于如圖中，當，時；由直角三角形的性質(zhì)，梯形的中位線定理可得出答案．【詳解】如圖中，當，時，延長交于．，，，，，，，，，，，，，；如圖中，當，時，同法可證，，，可得，綜上所述，的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、梯形的中位線定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構建梯形中位線解決問題，屬于中考常考題型．9．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀┮阎菪危?，，，當時，對角線______．【答案】【分析】過點作于，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，進而求出，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：過點作于，在中，，則，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，靈活運用勾股定理是解題的關鍵．10．（2022春·上海·八年級上海田家炳中學?？计谥校┮阎诘妊菪蜛BCD中，CD∥AB，AD=BC，對角線AC⊥BD，垂足為O，若CD=4，AB=8，梯形的高為________．【答案】6【分析】過點D作DF∥AC，交BA的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．由已知可證△BDF是等腰直角三角形，可得BF=AF+AB=12，繼而求出DE的長．【詳解】解：如圖，過點D作DF∥AC，交BC的延長線于點F，并過點D作DE⊥AB交AB于點E．∵AC∥DF，∴ACDF是平行四邊形，∴AF=CD，又AC⊥BD，且AC=BD，∴BD⊥DF，BD=DF，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BF=AF+AB=12，∴DE=BF=6，故答案為：6．【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解題的關鍵是平移一條對角線，兩條對角線與上、下底的和構成三角形，再根據(jù)梯形的條件解這個三角形求高或者求梯形的面積．11．（2022春·上海·八年級專題練習）如圖，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周長為___，面積為___．【答案】

【分析】過點作，可得四邊形是矩形，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出，求出后問題即可解決．【詳解】解：如圖，過點作，垂足為點，∵，梯形是等腰梯形，∴四邊形是矩形，．∴．在中，，，∴，∴，∴，∴梯形的周長，．故答案為：，．【點睛】本題考查等腰梯形的定義和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線是解題關鍵．12．（2022秋·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，已知中，，，，以邊的中點為旋轉中心按順時針方向旋轉，將A、B、C的對應點記為、、，當時，點B與點的距離為__________．【答案】或##或【分析】由勾股定理可得，由旋轉可知，，，分點在右側和左側兩種情況，可知，根據(jù)三角形中位線逆定理可知為的中位線，求出，，的長度即可求得點B與點的距離．【詳解】∵，，，∴如圖，當點在右側時，連接，由旋轉可知，，，∵∴∵為的中點，∴，為的中位線，∴，，∴，則：；如圖，當點在左側時，連接，同理可得：，，，則：；綜上，點B與點的距離為或．故答案為：或．【點睛】本題考查旋轉的性質(zhì)，勾股定理及三角形的中位線相關知識，能夠推導出為的中位線是解決問題的關鍵．13．（2022秋·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，平分，且于點，交于點E，，，那么的周長為___________cm．【答案】4【分析】先由等腰三角形的性質(zhì)得，再證，然后由三角形中位線定理得，即可解決問題．【詳解】解：∵平分，∴，∵于D，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，∴是的中位線，∴，∴的周長．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、熟練掌握三角形中位線定理和等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．14．（2022春·上海浦東新·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，是的中點．若，則等于______．【答案】【分析】取的中點，連接，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，由三角形的中位線定理即可得．【詳解】解：取的中點，連接，，是的中點，，，，在和中，，≌，，，是的中點，，，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．15．（2022秋·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知線段，．是上兩點，且，是線段上一動點，在同側分別作等邊三角形和等邊三角形，為線段的中點，點由點移動到點時，點移動的路徑長度為___．【答案】3【分析】分別延長、交于點，易證四邊形為平行四邊形，得出為中點，則的運行軌跡的中位線，運用中位線的性質(zhì)求出的長度即可．【詳解】解：如圖，分別延長、交于點，，，，，四邊形為平行四邊形，與互相平分．為的中點，為的中點，即在的運動過程中，始終為的中點，的運行軌跡為的中位線，，點移動的路徑長度為3．故答案為：3【點睛】本題考查了三角形中位線定理及等邊三角形的性質(zhì)，解答本題的關鍵是作出輔助線，找到點移動的規(guī)律，判斷出其運動路徑，綜合性較強．16．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┤鐖D，梯形ABCD中對角線，，，點E為BC邊上一點，如果，那么BE：BC=_______．【答案】【分析】根據(jù)平行線與等腰三角形證明，進而證明，得到AD=DF，再證明EF=CE，根據(jù)線段的和差關系求得CE，進而得到BE即可得出答案．【詳解】，，∵梯形ABCD中，，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判斷，互余的性質(zhì)，求出CE的長是關鍵．三、解答題17．（2022春·上海楊浦·八年級?？计谀┤鐖D，四邊形中，AD∥BC，，，是上方一點，分別聯(lián)結、、、，已知，點、分別是、與的交點．求證：四邊形是等腰梯形．【答案】證明見詳解【分析】證明≌（SAS），可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，所以，進而可以解決問題．【詳解】由題意得四邊形ABCD為等腰梯形，，，，，，，在和中，，≌（SAS），，，，，，，，，，四邊形是等腰梯形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)，是基礎知識要熟練掌握．18．（2022春·上海奉賢·八年級?？计谀┤鐖D，在梯形ABCD中，ADBC，AB＝CD，過點D作DE⊥BC，垂足為E，并延長DE至F，使EF＝DE，聯(lián)結BF、CF、AC．(1)求證：四邊形ABFC是平行四邊形．(2)聯(lián)結BD，如果AD＝AB，BD＝DF，求證：四邊形ABFC是矩形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接BD，利用等腰梯形的性質(zhì)得到AC＝BD，再根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到DB＝FB，從而得到AC＝BF，然后證得ACBF，利用一組對邊平行且相等判定平行四邊形；（2）先證明△BDF是等邊三角形，再證明∠ABF＝90°，即可得到結論．（1）證明：連接BD．∵梯形ABCD中，ADBC，AB＝DC，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD，∵△ABC和△DCB中，AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS），∴∠ACB＝∠DBC．又∵DE⊥BC，EF＝DE，∴△BDF是等腰三角形，∴BD＝BF，∠DBC＝∠FBC，∴AC＝BF，∠ACB＝∠CBF，∴ACBF，∴四邊形ABFC是平行四邊形；（2）∵BC垂直平分DF，∴BD＝BF，∠BED＝90°，∵BD＝DF，∴△BDF是等邊三角形，∴∠BDE＝60°，∠DBE＝30°，∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，∵ADBC，∴∠ADB＝∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠ABF＝90°，∵四邊形ABFC是平行四邊形，∴四邊形ABFC是矩形【點睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定、矩形的定義、等邊三角形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握平行四邊形的判定和矩形的定義是解題的關鍵．19．（2022春·上海·八年級期末）已知梯形中，，，點、分別是對角線、的中點．求證：四邊形為等腰梯形．【答案】證明見解析【分析】由題意得到四邊形為等腰梯形，得到對角線相等，再由點、分別是對角線、的中點，等量代換得到，利用三線合一得到垂直于，垂直于，利用得到與全等，利用全等三角形對應角、對應邊相等得到，，再利用得到與全等，利用全等三角形對應角相等得到，進而得到與平行，與不平行，即四邊形為梯形，再利用對角線相等的梯形為等腰梯形即可得證．【詳解】證明：∵梯形中，，，∴四邊形是等腰梯形，∴，∵點、分別是對角線、的中點，∴，，∴，∵，點、分別是對角線、的中點，∴，，在和中，∵，∴，∴，，在和中，∵，∴，∴，設對角線交于點O，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴和都是銳角，∴與不平行，∴四邊形為梯形，又∵，∴四邊形為等腰梯形．【點睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，梯形的判定以及平行線的判定等知識．熟練掌握等腰梯形的判定方法是解本題的關鍵．20．（2022春·上海·八年級專題練習）如圖，已知等腰梯形ABCD中